第5章 图像变换何光宏

N −1 x=0
式中：x，u=0， 1， 2， …, N－1。
第四章 图像变换
令 则
x W N = e − j 2πx / N
F (u ) = f (x) =
1 N 1 N
∑ ∑
N −1 x=0
ux f (x)W N
N −1 x=0
ux F (u ) W N
矩阵表示
00 01 WN F (0) WN F (1) 10 11 WN WN 20 21 F (2) = WN WN M M M ( ( F ( N − 1) WN N −1) 0 WN N −1)1
L L L
f ( 0) f (1) f (2) M ( L WN N −1)( N −1) f ( N − 1)
0 WN ( N −1) 1 WN( N −1) 2 WN ( N −1) M
第四章 图像变换 若令
F = [F(0) F(1) F(2) L F(N −1)]
第四章 图像变换
第四章 图像变换
1 图像的离散傅立叶变换 2 图像变换的一般表示形式
3 离散余弦变换 4 K-L变换 变换
第四章 图像变换
1 离散傅立叶变换
(Discrete Fourier Transform,DFT)
离散傅立叶变换建立了离散空域和离散频域之间的联系，是图像处理的重 要工具，广泛应用于图像增强、复原、编码等方面
x=0 y=0 M−1N−1
− j 2π (
]
− j 2π (
xu yv + ) M N
= F(u, v)
第四章 图像变换
进一步， 进一步，有：
| F (u , v) |=| F ( −u ,−v ) |
它说明频谱以原点为对称 它说明频谱以原点为对称。 频谱以原点为对称
第四章 图像变换
1.3.4 旋转性
第四章 图像变换
4.5
4
3.5
3
2.5
2
直接变换
1.5
1
0.5
0
-0.5
4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5
分步变换结果
第四章 图像变换 1.3.2 平移性
空域平移 频域平移
f (x − x0, y − y0 ) ⇔F(u,v)e
F(u −u0 ,v −v0 ) ⇔ f (x, y)e
xu M
W Nyv
yv N
F (x, )
F (u, )
1 M
M −1 x =0
∑[
x =0
1
∑ f ( x, y)W N
y =0
N −1
按按按按按按DFT
按按按按按按DFT
=
1 M
M −1
∑ F ( x, v)W
xu M
第四章 图像变换 f = zeros(30,30);f(5:24,13:17) = 1; h=[f,f]; ff1=fft(h,256,1);%行变换 ff2=fft(ff1,256,2); %列变换 F = fft2(h,256,256); %直接二维变换 F2 = fftshift(F); subplot(1,2,1),imshow(h); subplot(1,2,2),imshow(log(abs(F2)),[-1 5]); colormap(jet); colorbar figure,imshow(log(abs(fftshift(ff2))),[-1 5]); colormap(jet); colorbar
傅立叶谱通常用lg(1+|F(u,v)|)的图象显示，而非|F(u,v)|的直接显示
第四章 图像变换 1.3 离散傅立叶变换的性质 离散傅立叶变换的性质 1.3.1 分离性
DFT的变换核是可分的、对称的，即 的变换核是可分的、对称的， 的变换核是可分的
e
± j 2π (
xu yv + ) M N
f (r ,θ + θ 0 ) ⇔ F (ω , φ + φ 0 )
（a） 原始图像； ） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱； ） 原始图像的傅立叶频谱； （c） 旋转 °后的图像； ） 旋转45°后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱 ）
(a)
(b)
(c)
(d)
第四章 图像变换
1.3.5 线性性
1.1 一维DFT
设{f(x) | f(0), f(1), f(2), …, f(N-1)}为一维信号f(x)的N个抽样，其离散傅立 叶变换对为
F (u ) = f (x) =
1 N 1 N
∑ ∑
N −1 x=0
f ( x ) e − j 2 π ux / N F (u )e
j 2 π ux / N
− j2π(
x0u y0v + ) M N
u0x v0 y + ) M N
− j 2π (
意义： 意义： ① 对 f(x,y) 的平移不影响其傅立叶变换的幅值 的平移不影响其傅立叶变换的幅值； ② f(x,y) 乘以一个指数项相当于将其变换后的频域中心移动到一个新位 同样， 置 ； 同样 ， F(u,v)乘以一个指数项相当于将其反变换后的空域中心移动到 乘以一个指数项相当于将其反变换后的空域中心移动到 一个新位置。 一个新位置 一般地，图像的频域中心在（ ， ） 为了便于观察， 一般地，图像的频域中心在（0，0）点。为了便于观察，需要将其中心移 动到矩阵中心。根据上述公式，只须再空域中各阵元乘以（ ） 动到矩阵中心。根据上述公式，只须再空域中各阵元乘以（-1）x+y ，再进 行DFT，即可将频谱中心由（0，0）点移动到 (M/2,N/2) 。下图是简单方 ，即可将频谱中心由（ ， ） 块图像平移的结果。 块图像平移的结果。
F ( f ( x, y )) = F (u , v )
M −1 N −1 x=0 y =0
则： F (u + aM, v + bN) = ∑∑ f ( x, y) exp(− j 2π ( x(u + aM) + y(v + bN) ))
M
N
= ∑∑ f ( x, y) exp(− j 2π (
这里a、 、 、 均为整数 均为整数， 这里 、b、x、y均为整数，所以
L
则变换式可表示为
F = Uf
傅立叶变换为正交变换。
变换矩阵U：
UT =U
U是对称阵
U −1 = (U *)T = U * U为酉矩阵，实酉 矩阵称为正交矩阵。
同理可得反变换的矩阵表示为
f =U F=U F
*
−1
第四章 图像变换 1.2 二维DFT
F (u , v ) = f (x, y) = 1 MN 1 MN
= e
± j 2π
xu M
•e
± j 2π
yv N
证明： 证明：
F (u, v) = = 1
e
− j 2π (
ux vy + ) M N
ux vy = WM WN
这说明，2D-DFT可以通过两次1D-DFT 完成：
f (x, y)
xu ]WM
∑∑ f ( x, y)W MN
x =0 y = 0
M −1 N −1
xu yv + )) exp(− j 2π ( xa + yb)) M N
e
− j 2π ( xa + yb )
=1
F (u + aM , v + bN ) = F (u , v)
同理， 同理，有
f ( x + aM , y + bN ) = f ( x, y )
为了求取周期函数f(x,y) 的傅立叶变换，只须 变换一个周期即可； 为了求取周期频谱 F(u,v)的逆傅立叶变换， 也只须变换一个周期；
第四章 图像变换 一些简单形状图像的傅立叶变换
第四章 图像变换
%傅立叶变换幅度谱的图形 表示 f=zeros(30,30); f(5:24,13:17)=1; F=fft2(f,256,256); F2=fftshift(F); F3=log(1+abs(F2)); subplot(2,2,1); imshow(f); title('原图象'); subplot(2,2,2); imshow(F3); title('傅立叶幅度谱');
1 MN
F (0,0)
பைடு நூலகம்
第四章 图像变换 1.3.8 离散卷积定理
阵列[f(x,y)]A×B 和[g(x,y)]C×D 的离散卷积定义为 离散卷积定义为： 阵列 离散卷积定义为
M −1 N−1 m=0 n=0
f (x, y) ∗ g(x, y) = ∑∑ fe (m, n)ge (x − m, y − n)
第四章 图像变换
(a)
(b)
(c)
傅立叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱
第四章 图像变换 1.3.3 周期性和共轭对称性 周期性
对定义在有限区域的函数f(x,y)进行周期延拓 进行周期延拓: 对定义在有限区域的函数 进行周期延拓 若
f ( x + aM , y + bN ) = f ( x, y )
F (u , v ) = F (u , v ) e
jϕ ( u ,v )
幅度谱 | F (u, v) |= R 2 (u, v) + I 2 (u, v) 相位谱 能量谱
ϕ (u , v) = arctan
I (u , v) R (u, v)