4.1因式分解
4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教案一. 教材分析北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》这一节主要介绍了因式分解的概念和基本方法。
通过本节课的学习，学生能够理解因式分解的意义，掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法，并能够运用这些方法解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了整式的乘法，对一些基本的代数运算有一定的了解。
但是，因式分解作为一种独立的数学思想，对学生来说可能还有一些抽象和难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.了解因式分解的概念和意义。
2.掌握提公因式法、公式法等基本的因式分解方法。
3.能够运用因式分解解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.因式分解的概念和意义。
2.提公因式法和公式法的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生从实际问题出发，探索和理解因式分解的概念和方法。
同时，结合案例分析和练习，让学生在实践中掌握因式分解的方法。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，比如：已知二次函数f(x)=x^2+4x+4，求其解析式。
让学生思考如何将这个二次函数表示成两个一次函数的乘积形式。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念，介绍提公因式法和公式法。
通过PPT课件，展示因式分解的步骤和例子，让学生理解和掌握因式分解的方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个题目进行因式分解。
教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，教师选取一些题目进行讲解和分析。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将因式分解应用到解决实际问题中，比如：求解一元二次方程、求函数的极值等。
6.小结（5分钟）让学生总结因式分解的概念和方法，以及自己在学习过程中的收获和不足。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生巩固所学知识。
专题4.1 因式分解(提公因式法与运用公式法)(学生版)
专题4.1 因式分解（提公因式法与运用公式法）1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2.会用提公因式法分解因式；3.会用运用公式法分解因式。
知识点01 因式分解的概念【知识点】因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【知识拓展1】辨别因式分解与整式乘法例1．（2024·江苏常州·期中）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A ．2(1)(1)1a a a +-=- B ．43222186?3x y x y x y -=- C ．221(2)1x x x x ++=++ D ．2269(3)a a a -+=-【即学即练】1．（2024·广东禅城·期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++C ．()()2111x x x -=+-D ．()ax bx c x a b c ++=+【知识拓展2】应用因式分解的概念求参数例2．（2024·山东中区·初二期中）已知多项式x 2+ax ﹣6因式分解的结果为（x +2）（x +b ），则a +b 的值为（ ） A ．﹣4 B ．﹣2C ．2D ．4【即学即练】1．（2024·贵州铜仁·初二期末）多项式26x mx ++可因式分解为()()23x x --，则m 的值为 （ ） A ．6B ．5±C ．5D ．5-2．（2024·江西昌江·景德镇一中初一期末）已知,,m n p 为实数，若1,4x x -+均为多项式32x mx nx p+++的因式，则2286m n p --+=__________.【知识拓展3】错题正解例3．（2024·上海市八年级期中）甲乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4），乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则2a +b ＝_____． 【即学即练】1．（2024·张家界市初二期中）甲、乙两个同学分解因式x 2+ax+b 时，甲看错了b ，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a ，分解结果为(x+1)(x+9)，则a -b 的值是__________．知识点02 因式分解的方法（一）提公因式法【知识点】①提公因式法：pa +pb +pc =p (a +b +c )；注意:挖掘隐含公因式;有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。
北师大版八年级数学下册4.1因式分解
否 是 是
(4) x 2 2 x 1 x( x 2) 1 否
否 否 否
x y 1 x y
能力提升
20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004 =2004× (2004+1) =2004×2005 ∴ 20042+2004能被2005整除
多项式 = 整式×整式
注意：
1. 分解因式的结果要以积的形式表示； 2. 分解后的每个因式必须是整式；
3.分解后每个整式的次数都低于原来的多项式的次数。
想一想
因式分解与整式乘法有什么联系?
单项式乘以单项式
整式乘法 单项式乘以多项式
多项式乘以多项式
多项式
整式乘法: 整式×整式 = 多项式 因式分解：多项式 = 整式×整式
4．1 因式分解
学习目标
1.理解因式分解的概念。 2.理解因式分解与整式乘法的关系。 3.会判断某个变形是因式分解还是整式的乘法。
做一做
数学中的游戏
1. 3.不通过计算，你能判断出这个式子能被比 它大1的数整除吗？
想一想
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?
某学生是这样想的: 993 99 99 992 99 1
你知道每一步的根据 吗?993-99还能被哪些整 数整除?
99(99 1) 99 9800 98 99 100
2
所以, 993 99能被100整除.
因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解。因式分解也可称为 分解因式。
2.下列式子从左到右的变形是否为因式分解？ 不是的请说明理由。
专题4.1 因式分解(解析版)
专题4.1 因式分解专项突破卷（1）1．B【解析】首先提取公因式a ，再利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】4a ﹣a 3=a （4﹣a 2）=a （2﹣a ）（2+a ）．故选：B ．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．2．C【解析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；D. 244x x -+=（x -2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．3．A【解析】试题分析：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解4．B【解析】试题分析：根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可：A 、()2421421a a a a +-=+-不是因式分解，故此选错误；B 、()()242137a a a a +-=-+，正确； C 、()()237421a a a a -+=+-，不是因式分解，故此选错误；D 、()22421225a a a +-=+-，不是因式分解，故此选错误.故选B ．考点：因式分解的意义．.5．A【解析】直接提取公因式a 即可：a 2－4a=a （a －4）。
故选A6．C【解析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论．【详解】A ．m 2﹣2m +1=（m ﹣1）2；B ．21m +，不能分解；C ．2m m +=m （m +1）；D ．()()21211m m ++++=（m +1+1）2=（m +2）2．故选C ．【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键． 7．B【解析】移项并分解因式，然后解方程求出a 、b 、c 的关系，再确定出△ABC 的形状即可得解．【详解】移项得，a 2c 2−b 2c 2−a 4＋b 4＝0，c 2（a 2−b 2）−（a 2＋b 2）（a 2−b 2）＝0，（a 2−b 2）（c 2−a 2−b 2）＝0，所以，a 2−b 2＝0或c 2−a 2−b 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，因此，△ABC 等腰三角形或直角三角形．故选B ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，提取公因式并利用平方差公式分解因式得到a 、b 、c 的关系式是解题的关键．8．B【解析】试题分析：根据平方差公式的特点：两个平方项，且异号．完全平方公式的特点：两个数的平方项，且同号，再加上或减去这两个数的积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：①原式=（2x+y ）（2x ﹣y ），能分解因式；②原式=2x 2（x+2y ）2，能分解因式；③两个数的平方项，且异号，不能分解因式；④原式=（x+3y ）（x ﹣2y ），能分解因式；⑤不能化为两个整式积的形式，故不能分解因式．则不能分解因式的有2个．故选B ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．点评：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握各个公式的结构特征是解题的关键． 9．C【解析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】解：△a 2+b 2﹣4a ﹣10b +29＝0，△（a 2﹣4a +4）+（b 2﹣10b +25）＝0，△（a ﹣2）2+（b ﹣5）2＝0，△a ＝2，b ＝5，△当腰为5时，等腰三角形的周长为5+5+2＝12，当腰为2时，2+2＜5，构不成三角形．故选：C ．【点睛】此题考查了配方法的应用，三角形三边关系及等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握完全平方公式．10．C【解析】△x 2+mx -15=（x+3）（x+n ），△x 2+mx -15=x 2+nx+3x+3n ，△3n=-15，m=n+3，解得n=-5，m=-5+3=-2．11．x （x -9）【解析】【详解】()2x 9x x x 9-=-， 故答案为：()x x 9-.12．2(21)a -【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．【详解】解：22441(21)a a a -+=-．故答案为2(21)a -．【点睛】本题考查用完全平方公式法进行因式分解，能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点需熟练掌握．13．4(a+2)(a -2)【解析】先提公因式4，然后再利用平方差公式进行因式分解.【详解】原式=24(4)a -=4(a+2)(a -2)，故答案为4(a+2)(a -2).14．(x -3)(x+1)；【解析】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x 2﹣3x+x ﹣3 =x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x -3看做整体提公因式：原式=x （x ﹣3）+（x ﹣3）=（x ﹣3）（x+1）.故答案为（x ﹣3）（x+1）．点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可. 15．2(a －1)2【解析】先提公因式法，再套用完全平方公式.【详解】解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a -1)2.【点睛】考点：提公因式法与公式法的综合运用．16．()()1n n m m -+【解析】mn(n -m)-n(m -n)= mn(n -m)+n(n -m)=n(n -m)(m+1)，故答案为n(n -m)(m+1).17．a 2+2ab+b 2=（a+b ）2【解析】试题分析：两个正方形的面积分别为a 2，b 2，两个长方形的面积都为ab ，组成的正方形的边长为a ＋b ，面积为(a ＋b )2，所以a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2．点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系． 18．(10)(3)x x +-.【解析】因为-30可分解为-3×10，7=-3+10，所以利用十字相乘法分解因式即可得解.【详解】2730x x +-，=2(3+10(3)10x x +-+-⨯)=(10)(3)x x +-.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练运用分解因式的方法是解题的关键.19．2（x -3）2【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】原式=2（x 2-6x+9）=2（x -3）2．【点睛】考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．x(x +1)(x −1)【解析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解.【详解】解：x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)21．见解析【解析】将前两项以及后两项分组进而利用公式法以及提取公因式法分解因式即可；【详解】解：2222a b a b --+()()2222a b a b =---()()()2a b a b a b =+---()()2a b a b =-+-⎡⎤⎣⎦()()2a b a b =-+-【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．22．（1）()()2323x x +-；（2）()23a x y +【解析】（1）直接运用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式3a ，然后进行完全平方公式进行分解即可.【详解】解：（1）原式=()()2323x x +-；（2）原式=()()22233a x xy y a x y ++=+. 【点睛】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23．（1）（x +52）2； （2）3a （x +2）2（x ﹣2）2 【解析】（1）原式整理后，利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【详解】解：（1）原式＝x 2+5x +254＝（x +52）2； （2）原式＝3a [（x 2+4）2﹣16x 2]＝3a （x +2）2（x ﹣2）2【点睛】此题考察多项式的因式分解，根据多项式的特点选择恰当的分解方法是解题的关键，还需注意分解因式需分解到不能再分解为止.24．（1）C ；（2）没有考虑a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；（2）根据题目中B 到C 可知没有考虑a=b 的情况；（3）根据题意可以写出正确的结论．【详解】（1）由题目中的解答步骤可得，错误步骤的代号为：C ，故答案为：C ；（2）错误的原因为：没有考虑a=b 的情况，故答案为：没有考虑a=b 的情况；（3）本题正确的结论为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故答案为：△ABC 是等腰三角形或直角三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．25．(1)2,4；（2）.【解析】试题分析：(1)把8分解成24，且2+4=6，类比例题即可求解；(2)把-4分解成1（-4），且1+（-4）=-3，类比例题分解因式，利用因式分解法解方程即可.试题解析：（1）_2__4_)；（2）考点：“十字相乘法”因式分解，解一元二次方程26．（1）2(a 2)-；（2）2；（3）ABC V 为等边三角形，理由见解析 【解析】(1)运用完全平方公式将 2a 4a 4-+ =0 ，变形为2(a 2)-，，即可得结论；(2)首先将22a 2a b 6b 100++-+=，，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a ，b 的值即可； (3)先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．【详解】解：()221a 4a 4(a 2)Q -+=-， 故答案为2(a 2)-；()222a 2a b 6b 100++-+=Q ，22(a 1)(b 3)0∴++-=，a 1∴=-，b 3=，a b 2∴+=；()3ABC V 为等边三角形.理由如下：222a 4b c 2ab 6b 2c 40++---+=Q ，222(a b)(c 1)3(b 1)0∴-+-+-=，a b 0∴-=，c 10-=，b 10-=a b c 1∴===，ABC ∴V 为等边三角形．【点睛】本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题。
4.1《因式分解》参考教案1
4.1 因式分解教案一、背景介绍因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。
它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。
因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
二、教学设计【教学内容分析】因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。
教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。
在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。
【教学目标】1、认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义（2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
2、能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。
3、情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
【教学重点、难点】重点是因式分解的概念，难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学准备】实物投影仪、多媒体辅助教学。
【教学过程】㈠、情境导入看谁算得快：（抢答）(1)若a=101,b=99,则a2-b2=___________；(2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；(3)若x=-3,则20x2+60x=____________。
【初一年级学生活波好动，好表现，争强好胜。
情境导入借助抢答的方式进行，引进竞争机制，可以使学生在参与的过程中提高兴趣，并增强竞争意识和探究欲望。
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计
2024北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教学设计一. 教材分析《因式分解》是北师大版数学八年级下册第4章第1节的内容。
本节课的主要内容是利用提公因式法和公式法分解因式。
因式分解是中学数学中的重要内容，是解决许多数学问题的基础。
通过本节课的学习，使学生掌握因式分解的方法，提高解题能力。
二. 学情分析学生在七年级已经接触过简单的因式分解，对因式分解有初步的认识。
但八年级的因式分解内容更加系统和复杂，需要学生有一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
根据学生的实际情况，我将采用循序渐进的教学方法，引导学生逐步掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法和公式法分解因式的方法。
2.过程与方法：通过独立探究、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法和公式法分解因式。
2.难点：如何引导学生发现和运用提公因式法和公式法的规律。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生独立思考和合作交流，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关案例和练习题。
2.准备课件和教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入因式分解的概念，激发学生的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现因式分解的方法，包括提公因式法和公式法。
通过讲解和示例，让学生初步理解这两种方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的练习题，巩固所学的知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习情况进行反馈，解答学生的问题，帮助学生巩固因式分解的方法。
5.拓展（5分钟）通过一些综合性的练习题，引导学生运用因式分解的方法解决问题，提高学生的解题能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调因式分解的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一些因式分解的练习题，让学生回家后巩固所学知识。
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4.1因式分解
【教学目标】
1、了解因式分解的意义；
2、理解因式分解与整式乘法的相互关系；
3、初步感受因式分解在解决相关问题中的作用
【教学重点与难点】
重点是因式分解的概念
难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。
【教学过程】
一、创设情景，引出新知
问题1：在一次智力抢答赛中，主持人提出这样两个问题：
（1）当a=101,b=99时，a2-b2的值
（2）某沿江风光带修建了三块长方形的绿化草坪，它们的宽都为8m，长分别是55.5m，24.2m，20.1m，那么这些绿化带的面积之和为多少。
学生思考、讨论以上问题，并动手计算。
计算后，师生共同讲评。
对于第一题，1012－992有学生可能运用计算器计算，教师就进一步提问，能不用计算器计算吗？有简便计算的方法吗？而第二题可列出这样的式子：8×55.5+8×24.4+8×20.1=8×(55.5+24.4+20.1)你选择那个式子运算，为什么？说明从左边到右边这样的变形对于解决问题是有必要的。
那么我们就来学习这种变形。
我们来看一般情况。
二、探究新知
1、因式分解的意义。
若将引入的问题（2）一般化，即三个长方形的长分别为a、b、c，宽都为k，则三个长方形的面积和为多少？可以有几种表示。
（这三个长方形的面积之和一方面等于ka+kb+kc，另一方面又等于k(a+b+c)，等式k(a+b+c)＝ka+kb+kc从左到右是进行什么运算，若如果把左边与右边互换，则有ka+kb+kc＝k(a+b+c)，这还是整式乘法吗？这种变形与小学里的关于数的运算类似。
来寻找他们的共同的特点。
2、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。
（学生概括，老师补充。
）
在小学里，我们已学过：2×3=6称为整数乘法，反之6=2×36称为因数分解，类似于因数分解，我们可把ka+kb+kc＝k(a+b+c)这种变形称之为什么？接下来我们来探究怎样的变形是因式分解。
3、因式分解与整式乘法之间的关系
计算：
（1）a(a-1)=
（2）(a+b)(a-b)=
（3）(a+3)2=
这些运算都是整式的乘法，我们与上面这一题一样，将左右互换则有a2-a = a(a-1)，a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2a+1 =(a+1)2，我们来观察他们都是由怎样的形式代数式化为怎样的形式的代数式。
学生用自己的语言描述。
教师板书因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，又叫分解因式。
根据概念，你认为因式分解的对象是谁?结果又怎样呢？
（1）被分解的对象是多项式
（2）因式分解后的每个因式都是整式
（3）分解的结果是积的形式
因式分解与整式乘法之间有怎样的联系与区别？（结论：多项式的因式分解与整式乘法是两种相反方向的变形，它们互为逆过程。
）
你能根据整式乘法与因式分解的关系，进行因式分解吗？
（1）∵3a(a+4) =3a 2+12a
∴ 3a 2+12a = ( )( );
（2）∵m （a+b ）ma+mb
∴ma+mb= ( )( );
（3）∵(a+4)(a-3) = a 2+a-12
∴a 2+a-12 = ( )( );
辨一辨：下列式子从左边到右边是因式分解吗，为什么？
（1）. a 2+a=a(a+1)
（2）. (a+3)(a-3)=a 2-9
（3）. x 2-3x+1=x(x-3)+1
（4）. （5）. x 2-4x-12=(x+6)(x-2) 三、例题分析
例: 检验下列因式分解是否正确：
(1)x 2y －xy 2=xy(x －y)
(2) 2x 2－1=(2x+1)(2x －1)
(3) x 2+3x+2=(x+1)(x+2)
分析：检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整式相乘的积与右边的多项式是否相等。
四、巩固提高
（1）若(a+5)(a+2)=a 2+7a+10，则a 2+7a+10=( )( )
（2）若 x 2+mx-n 能分解成(x-2)(x-5),则m= ,n=
谁能与计数器比运算速度？
（1）10032-1002
2 （2）1012-992
（3）872+87×13
（4）(721)2-(2
1)2 五、归纳小结
㈠因式分解的概念
㈡因式分解的注意点
㈢因式分解的作用．
六．布置作业
课堂作业本
教学反思：因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。
因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。
它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。
因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。
)x 1x(x 1x 2+=+。