高中数学1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4-1

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高中数学 《平行线分线段成比例定理》教案3 新人教A版选修4-1

高中数学 《平行线分线段成比例定理》教案3 新人教A版选修4-1

平行线分线段成比例定理目的与要求:1、学会用平行线分线段成比例定理证明这个性质定理。

2、比例谈定理与平行线分线段成比例定理推论的区别,理解其实用价值。

重点与难点:重点:三角形一边的平行线的性质定理及其应用难点:体会该定理特殊使用价值,区分两个类似定理。

主要教法:综合比较法一、 复习引入:1、平行线分线段成比例定理及推论2、△ABC 中,若DE ∥BC ,则,AC AE AB AD =它们的值与BC DE 相等吗?为什么? 二、 新课:例1:已知:如图,DE ∥BC ,分别交AB 、AC 于点D 、E 求证:BCDE AC AE AB AD == 分析:BC DE 中的DE 不是△ABC 的边BC 上,但从比例,AC AE AB AD =可以看出,除DE 外,其它线段都在△ABC 的边上,因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ,然后再证明BCCF AB AD =就可以了,这只要过D 作DF ∥AC 交BC 于F ,CF 就是平移DE 后所得的线段。

结论:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线。

所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

例2:已知:△ABC 中,E 、G 、D 、F 分别是边AB 、CB 上的一点,且GF ∥ED ∥AC ,EF ∥AD求证:.BCBD BE BG = 例3、已知:△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,过C 任作一直线交AD 于E ,交AB 于F 。

求证:FBAF ED AE 2= 例4:如图,已知:D 为BC 的中点,AG ∥BC ,求证:FCAF ED EG =DC AG (DC=BD ) 例5:已知:△ABC 中,AD 平分∠BAC , 求证:DC BD AC AB =,过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E.例6:△ABC 中,AD 平分∠BAC ,CM ⊥AD交AD 于E ,交AB 于M ,求证:AMAB DC BD =MF BD 再证:△MEF ≌△CED(由三线合一:ME=EC )三、 练习:四、 小结:1、今天学习的定理是在原三角形中用平行线截出新三角形,可得这两个三角形的三对对应边成比例,特别注意与平行线分线段成比例定理的区别。

高中数学 1.1平分线等分线段定理课件 新人教A版选修4-1

高中数学 1.1平分线等分线段定理课件 新人教A版选修4-1
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栏 目 链 接
10
点评:在几何证明中添加辅助线的常见方法:①在
三角形中,利用角平分线可构造全等三角形或相似
三角形;②在三角形或梯形中,若已知一边或一腰 栏
的中点,则过中点可作平行于底边的辅助线.
目 链

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►变式训练
2.如图,已知在△ABC中,D是AC的中点, DE∥BC,交AB于点E,EF∥AC交BC于点F,求 证:BF=CF.
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5
(3)连接A5B,分别过A1、A2、A3、A4作A5B的平行 线A1C、A2D、A3E、A4F,分别交AB于C、D、E、 F,那么
C、D、E、F就是所求作的线段AB的五等分点.
如下图所示.
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6
点评:求作已知线段AB的n等分点的一般作法:过线
段AB的一个端点作一条射线,从射线的端点起,依次 栏
栏 目 链 接
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分析:由于 OE∥AB,OA=OC,根据平行线等分线段定理的推论 1,
得出 E 是 BC 的中点,所以 BE=EC=12BC=12AD.
解析:∵四边形 ABCD 是平行四边形,


∴OA=OC,BC=AD,
链 接
又∵OE∥AB,∴BE=CE=12BC,
又∵AD=6,∴BE=12BC=12AD=3.
分析:延长AE交BC于M,要证AF=BF,因为EF∥BC, 所以需证明E是AM的中点,由于CD平分∠ACB,所以 ∠ACE=∠ECM,因为AE⊥CD,所以△ACE≌△MCE, 即AE=ME.
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9
证明:延长AE交BC于M. ∵CD平分∠ACB,AE⊥CD于E, ∴在△ACE和△MCE中, ∠AEC=∠CEM,CE=CE, ∠ACD=∠MCD, ∴△ACE≌△MCE, ∴AE=EM,即E是AM的中点. 又在△ABM中,EF∥BM,AE=EM, ∴F是AB的中点,∴AF=BF.

《平行线分线段成比例》课件7(人教A版选修4-1)

《平行线分线段成比例》课件7(人教A版选修4-1)
AB DE AB 2 探究 在图1 8中, 相等吗? 取 BC EF BC 3 l l` 的特殊情形进行探讨.
A D
l1
B
E
l2
C
F
l3
图1 8
我们可以将上述问题化归为平行 线间距离相等的情形 . AB 2 如图1 9, 如果 , 设线段 BC 3 AB的中点为P1 , 线段BC 的三分 点为P2、P3 , 这时有 AP P1 B BP2 P2 P3 P3C . 1
l
A D B
l`
l1
观察图1 10 和图1 11 , 它们是图1 8 的特殊情形,即 l 与 l `的交点都在l1上 . 根 据 平行线分线段成比例定理可得 , AD AE . AB AC
l2
E C
l3
图1 10
l
D
A B C
l` E
l1
l2
如果把图 10 和图1 11中的直线l2 1 看成是平行于 ABC的BC 边的直线, 那么可以得到:
A
D E
l1 l2
F
l3
AB AC DE DF BC AC EF DF AB DE AC DF BC EF AC DF
是 是


综合以上,结论是对应线段成比例.
上 全 ; 上 全 B 下 全 ;C 下 全 上 上 ; 全 全 下 下 ; 全 全
A
D E
l1 l2
F
l3
. .
.
一般地, 我们有 平行线分线段成比例定理 三条平行线 截两条直线,所截的对应线段成比例.
思考:你怎样理解“对应线段成比例”
AB DE 上 上 是 ; BC EF 下 下 B

人教A版高中数学选修4-1课件 平行线平分线段定理课件

人教A版高中数学选修4-1课件 平行线平分线段定理课件

请同学们独立完成证明过程
A
E
B
达标检测
1、已知梯形ABCD中,AB//DC,E为AD中点,EF//BC,求证:BC=2EF.
2、已知梯形ABCD 中,AD//BC,∠ ABC=90°,M是 CD的中点,求证:A M=BM.
3、已知AC⊥ AB,DB⊥ AB,O是CD的中点,求证:OA=OB.
4、在ABC中,D为AB的中点, DE//BC.求证:DE=BC.
11
11
11
A
l1
l2
B
l3
C
l4
D
A1 ? B1 ? C1

D1
小组讨论,完成证明
分析:
∵ 如图 ,l ∥l ∥l 且 AB =BC
1
2
3
∴ A B =B C
11
11
∵ 如图,直线l ∥l ∥l 且 BC = CD
2
3
4
∴B C =C D
11
11
A
定理辨析
D
E
1、如图ΔABC中点 D、E三等分AB,D F//EG//BC, DF、EG分别交AC 于点F、G,
从特殊到一般
1、已知:直线l //l //l ,AC//A C 且AB =BC 求证 : A B =B C
1
2
3
11
11
11
A
l1
B
l2
l3
C
A1 B1 C1
问题:从图形中我们能够找到哪些平行四边形吗?
预设:
四边形ABA B 为平行四边形 11
四边形BCC B 为平行四边形 11
问题:我们能否利用平行四边形性质得到 A B B C ?

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

《平行线分线段成比例》课件1(人教A版选修4-1)

问题1:若将图(1)中的直线L3擦掉得到图(2),仍
使L1∥L2 ∥ L4 不变,你能否发现在两直线a,b上截得 b 的线段有什么关系? a E A 通过计算可以得到:
AB EF BD FH
AB EF AD EH
BD FH AD EH
B
D
F
L1 L2 L4
AD EH 等等 BD FH
AC DF BC EF
F
C (3)
L3
注:“对应线段”是指一条直线 被两条平行线截得的线段与另 一条直线被这两条平行线截得 的线段成对应线段。而“对应线 段成比例”是指同一条直线上的 两条线段的比等于与他们 对应 的另一条直线上的两条线段的比
例题解析:
例1、 已知:如图L1∥L2∥L3,AB=3,DE=2, EF=4,求BC A 分析:图形已具备什么定理的基本 图形? 平行线分线段成比例定理 那么如何求线段BC的长呢? (建立比例) C 解: ∵ L1∥L2∥L3 ∴
E B
AB m , DE AB AB 由 BC n DF AC AB BC AB m 由比例性质发现
AB BC mn
(图5) (平行线分 线段成比 例定理)
证明:
∵ L1∥L2∥L3
EF n , ∴ DE m

DE AB m EF BC n
EF DE n m DE m
AB DE BC EF
D E F
L1
B
L2
L3
(平行线分线段成比例定理)
3 2 即 BC 4
∴2BC=3×4 BC=6
AB m 例2:已知:如图(5),L1∥L2∥L3, BC n
求证:
DE m DF m n

1.2平行线分线段成比例定理(人教A版选修4-1)

1.2平行线分线段成比例定理(人教A版选修4-1)

反思感悟 证明空间几何中的比例式问题 (1)认真读图,作出辅助线,将空间问题转化为 平面问题; (2)通过中间比证明; (3)化为平面问题后,同一平面内,平面几何中 的相关定理都适用.
P9. 2.在△ABC中,作平行于BC的直线交AB于 D,交AC于E.如果BE和CD相交于O,AO和DE相 交于F,AO的延长线和BC相交于G。证明:
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
三条平行线截两条直线会有什么结果?
平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的 对应 线段成比例.
A B C
D E
l1
l2 l3
上 上 = 下 下
F
下 下 = 全 全
形象记忆
. . . .
左 左 = 右 右 . . . .
∴DE与BC不平行
B
C
小结 一、平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段 成比例. (关键要能熟练地找出对应线段) 二、要熟悉该定理的几种基本图形
A B C
2015/9/21
D E F C
D B
A E F
三、注意该定理在三角形中的应用
2015/9/21
方法技巧 探索并证明空间形式的“平行面分线段成比例定理” 【示例】 如图,α∥β∥γ,l1、l2 是异 面直线,l1 交 α、β、γ 分别为点 A、 B、C,l2 交 α、β、γ 分别为点 D、 AB DE E、F.求证:BC= EF . [思维启迪] 由于 A、B、C 与 D、E、 F 分别在异面直线 l1 与 l2 上,因此要 证明这一比例成立,就需要作出一直线, 使它与 l1、l2 都共面,建立一个中间比.

高中数学 《平行线分线段成比例定理》教案5 新人教A版选修4-1

高中数学 《平行线分线段成比例定理》教案5 新人教A版选修4-1

平行线分线段成比例定理一、教学目标:㈠知识与技能:1.掌握平行线分线段成比例定理的推论。

2.用推论进行有关计算和证明。

㈡教学思考:通过探究平行线分线段成比例定理的推论,培养学生数学思维能力。

㈢解决问题:学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论,体验解决问题的多样性,感悟比例中间量的作用。

㈣情感态度:1.通过探究活动,给学生创造表现自我的机会,让学生体验成功的喜悦。

2.培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。

3.将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。

二、教学重点:推论及应用三、教学难点:推论的应用四、教学方法:引导、探究五、教学媒体:投影、胶片六、教学过程:【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容?本节将研究什么?学生共同手工拼图,通过思考探究得出结论。

在本次活动中,教师应重点关注:1.操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。

2.学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。

设计意图:使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。

【活动二】探究推论问题2.被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上,平行线分线段成比例定理是否还成立?问题3.若上述问题成立,可得什么特殊结论?321123教师提问,引导学生猜想,并在拼好的图上测量、计算、证明。

推论:投影出示。

在本次活动中,教师应重点关注: 1.学生是否认真、仔细的测量和计算。

2.学生能否用定理证明所得推论。

设计意图:培养学生大胆猜测,从实践中得出结论。

【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子,师生结对子说出比例式。

在本次活动中,教师应重点关注:1.学生能否顺利回答对方所提出的比例式。

2.学生是否与同伴交流中达到互帮互学。

3.学生能否体会由平行得出多个比例式。

设计意图:给学生表现机会,让学生体验成功的喜悦,调动学生积极性。

【活动四】 教学例3问题5 已知:如图:BC ∥DE ,AB=15,AC=9,BD=4,求:AEE学生独立思考后,分组交流得出多种解题途径,老师引导学生找出最佳方案。

高二数学之数学人教A版选修4-1课件:1.2 平行线分线段成比例定理

高二数学之数学人教A版选修4-1课件:1.2 平行线分线段成比例定理

12
名师点拨1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需 要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它 们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条 数还可以更多.
2.定理的结论还有
������������ ������������
=
������������ ������������
HISHI SHHHIUSIHLSIHI SI HSHUULILI HONGNAN JVJHHIAOOONNGGNNAANNJJVVJJIIAAONOLI TOUXI IIAANNLLUIITTITOOAUUNXXGIIYANLIAN
比例的有关概念及性质
剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
证明线段成比例
【例1】 如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使
AE=AF.
求证:
������������ ������������
=
������������������������.
分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考 虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的 中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
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2.推论
文字 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 语言 得的对应线段成比例
符号 直线 DE 分别与△ABC 的两边 AB,AC 所在直线交于点பைடு நூலகம்D,E,
语言

DE∥BC,则
AD DB
=
AE EC
图形 语言
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=
������������ . ������������
= =
������������ ������������ ,即 ������������ ������������ ������������ ,即 ������������
KO =KE· KF.
探究一
探究二
探究三
探究四
特别提醒利用平行线来转移比例是常用的证题技巧,当题
������������ ������������
=
������������ ������������ , ������������ ������������
=
������������ 等. ������������
(3)当截得的对应线段成比例,且比值为 1 时,则截得的线段相等,因此平 行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行线等分线段 定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线段定理是证明线段 相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明线段成比例的途径.
a∥b∥c,直线 m 分别与 a,b,c 相交于点 A, B,C,直线 n 分别与 a,b,c 相交于 点 D,E, F,则
AB BC
=
DE EF
总结(1)定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需要
a,b,c 互相平行,构成一组平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但它们必须与 已知的平行线 a, b,c 相交,即被平行线 a, b,c 所截.平行线的条数还可以更多. (2)定理的结论还有
探究一
探究二
探究三
探究四
思路分析:KO,KE,KF 在一条直线上,要证明 KO2=KE· KF,即要证
������������ ������������
=
������������ ,显然要寻找中间比,现有图形无法将线段 KO,KE,KF 与平行线分线 ������������
段成比例定理及其推论联系起来,若延长 CK,BA,设它们交于点 H,则图形中 出现两个基本图形,这就不难将
������������ ������������ , 进行转换而找到中间比. ������������ ������������
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:延长 CK,BA,设它们交于点 H. ∵ KO∥HB,∴ ∴
������������ ������������ ������������ ������������
提示:(1)线段的比 :用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度比叫 做这两条线段的比. (2)比例线段 :在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段 的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. (3)比例的有关概念 :已知四条线段 a, b,c,d,如果 = 或 a∶ b=c∶ d,那么线 段 a,d 叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项,线段 d 叫做线段 a, b,c 的第四 比例项.若 = 或 b2=ac,那么线段 b 叫做线段 a,c 的比例中项.
=
������������ , ������������
=
������������ ������������ ,即 ������������ ������������
������������ ������������
∵ KF∥HB,∴ ∴ ∴
������������ ������������ ������������ ������������
= =
= =
2
������������ ������������ , ������������ ������������ ������������ . ������������
������������ ������������ , ������������ ������������ ������������ . ������������

平行线分线段成比例定理
课程目标
学习脉络
1.掌握平行线分线段成比例定理及其 推论. 2.能利用平行线分线段成比例定理及 推论解决有关问题.
1.平行线分线段成比例定理
文 字 语 言 符 号 语 言 图 形 语 言 作 用 证明分别在两条直线上的线段成比例 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
=
������+������ . ������ ������+������+…+������ ������ +������+…+������
③等比性质 :如果 = =…= (b+d+…+n ≠0),那么段是既有区别又有联系的两个概念.线段的比是 对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的比有顺序性,a∶ b 与 b∶ a 通常是不相等的; 比例线段也有顺序性,如线段 a, b,c,d 成比例,与线 段 a,c,b,d 成比例不同.
2.推论
文 字 语 言 符 号 语 言 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线 段成比例
直线 DE 分别与△ABC 的两边 AB,AC 所在直线交于 D,E,且 DE∥ BC,则
AD DB
=
AE EC
续表
图形 语言
作用
证明三角形中的线段成比例
思考比例的概念及有关性质有哪些?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 证明线段成比例
比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题,应注意平行线的应 用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段的产生.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,过 O 作 AB 的平行线,与 AD,BC 分别交于点 E, F,与 CD 的延长线交于点 K.求 证 :KO2=KE· KF.
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
(4)比例的性质 :①基本性质 :a∶ b=c∶ d⇔ad=bc. ②合比性质 :如果 = ,那么
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������+������ ������ ������ ������
中没有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转移比 例的目的.
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