高中数学余弦定理课件新人教A版必修
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2022-2023学年人教A版必修第二册 6-4-3-1 余弦定理、正弦定理 课件(47张)
余弦定理的变形和延伸： (1)变形：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝c2＋2ac2a－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2. (2)延伸：a2>b2＋c2⇔A 为钝角，a2＝b2＋c2⇔A 为直角，a2<b2＋c2⇔A 为锐角．
[重点理解] 1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它 含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
际问题.
作图分析的习惯.
第一课时 余弦定理
课前篇·自主梳理巩固基础
[笔记教材] 知识点 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C．
4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝5，c＝7，则角 C 2π ＝____3____.
解析：根据余弦定理的推论，得
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×532×－572＝－12.
又因为 C∈(0，π)，所以 C＝23π.
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 已知三角形的三边解三角形 [典例 1] 已知△ ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ ABC 的各角的大小． [名师引导] 已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而将问题转化为已知三边求 三角，可利用余弦定理求解．
[重点理解] 1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它 含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
际问题.
作图分析的习惯.
第一课时 余弦定理
课前篇·自主梳理巩固基础
[笔记教材] 知识点 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C．
4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝5，c＝7，则角 C 2π ＝____3____.
解析：根据余弦定理的推论，得
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×532×－572＝－12.
又因为 C∈(0，π)，所以 C＝23π.
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 已知三角形的三边解三角形 [典例 1] 已知△ ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ ABC 的各角的大小． [名师引导] 已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而将问题转化为已知三边求 三角，可利用余弦定理求解．
余弦定理【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
人教版高中数学必修5(A版) 1.1.2《余弦定理》 PPT课件
A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
人教版高中数学课件-高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)
[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．
高中数学人教新课标A版：正弦定理和余弦定理 课件
答案：2 3
三、“基本思想”很重要
1．(转化与化归)在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2C，则△ABC 的形状是 ( )
A．等边三角形
B．等腰三角形ຫໍສະໝຸດ C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为 sin 2A＝sin 2C⇒sin 2A＝sin(π－2C)，
所以 A＝C 或 A＋C＝π2.当 A＝C 时，三角形为等腰三角形；当 A＋C＝π2时， 三角形为直角三角形．
内容
a sin
A＝
b sin B
＝sinc C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ； c2＝ a2＋b2－2abcos C
续表
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C； 变形 (2)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
a＋b＋c (3)sin A＋sin B＋sin C
＝sina A＝2R
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin C＝
在△ABC 中，若sina A＝cobs B，则角 B 为
A．π6
B．π4
C．π3
D．π2
答案：B
()
3．(好题分享——新人教 A 版必修第二册 P48T3 改编)
在△ABC 中，已知 AC＝ 3，AB＝3，A＝30°，则 BC＝
A．4
B．2
()
C．3 答案：D
高一数学人教A版必修二《6.4.3余弦定理、正弦定理》完整课件(78页)
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
人教A版高中数学必修5余弦定理教学课件ppt
变式:已知:a=3,b=5,c=7,试判断此三角形的形状. 变式:已知:a:b:c=3:5:7,试判断此三角形的形状.
2 2 2 0 a b c C =90 ① △ABC为直角三角形 ② a2 b2 c2 C 900 △ABC为钝角三角形 ③ a2 b2 c2 C 900？ △ABC为锐角三角形
一、复习回顾
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
变形： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
正弦定理可解决的两类问题： （1）已知三角形的任意两个角和一条边 （AAS型或ASA型） sin 75 cos15 6 2 4 （2）已知三角形的两条边和其中一边的对角 （SSA型）
练：(1)已知在三角形 ABC 中，b＝6，c＝4，A＝120 求边 a.
(2) 已知在三角形 ABC 中，a＝1，c＝4，B＝60 求边 b.
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B (2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A (3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 61 求B
(2) B 45 , C 60 , a 4 (3)a 2, b 2 3, A 30 (4) A 120 , c 5, a 7
复习：
(1) 已知 a 6, b 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b =________
（2）已知 a 5, b 4 且 a b =10，求 a 与 b 的夹角____________