高中数学余弦定理课件

[例 5]
在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C
2B＋C
的对边， 若 m＝(sin
7 ， 1)， n＝(cos2A＋ ， 4)， 且 m∥n. 2 2
(1)求∠A(用角度制表示)； 3 (2)当 a＝ 3，△ABC 的面积 S＝ 2 时，求 b 和∠B.
分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各
6＋ 2 解析：cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝ 8－4 3， ∴c＝ 8－4 3＝ 6－ 22＝ 6－ 2. a c 由正弦定理得sinA＝sinC，
6－ 2 2× 4 asinC asin15° 1 sinA＝ c ＝ c ＝ ＝2， 6－ 2 1 ∵b>a，sinA＝ ，∴A＝30° . 2 ∴B＝180° －A－C＝135° .
＋52－2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定 理：
在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：
BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.
21 2 即( 8 ) ＝9＋y2－3y，整理得： 15 9 (y－ )(y－ )＝0， 8 8 15 9 15 ∴y＝ 8 或 y＝8(舍去)，∴AD 的长为 8 .
二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题： 1．已知三边，求⑪________. 2．已知两边和它们的夹角，求⑫
________和⑬________.
友情提示：理解应用余弦定理应注意以下
四点： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的 客观规律，是解三角形的重要工具； (2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定 理是⑮________的特例； (3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个 量，利用方程的观点，可以⑯________；
[例3]
在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确 定此三角形的形状．
解析：解法 1：由 a· cosA＝b· cosB 以及余弦定理得 b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 a· 2bc ＝b· 2ac ， 得 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2 －b2)＝0. ∴a2＝b2 或 c2＝a2＋b2， ∴a＝b 或 c2＝a2＋b2.
→· → ＝1，∴bccosA＝1. (2)∵AB AC b2＋c2－a2 由余弦定理得 bc· 2bc ＝1， 即 b2＋c2－a2＝2. ∵由(1)得 a＝b，∴c2＝2，∴c＝ 2.
→ ＋AC → |＝ 6， (3)∵|AB → |2＋|AC → |2＋2AB →· → ＝6. ∴|AB AC 即 c2＋b2＋2＝6，∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2，∴b2＝2，b＝ 2. 3 3 2 ∴△ABC 为正三角形，∴S△ABC＝ 4 ×( 2) ＝ 2 .
弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2； 令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°， 则c2＝a2＋b2. (2)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则A为⑧ ________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2， 则A为⑨________角，反之亦成立；若 a2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦 成立．
[变式训练 4]
如图，甲船在 A 处发现了乙船在北偏东
Baidu Nhomakorabea
45° 与 A 的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/时的速度向 南偏东 75° 的方向航行，已知甲船速度是 20 3海里/时．问： 甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？
解析：设 t 小时后相遇，则 BC、AB 的长分别为 20t 与 20 3t.由图可知∠ACB＝120° . 由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos∠ACB， 1 即(20 3t) ＝10 ＋(20t) －2×10×20t×(－2)，
[变式训练2]
如图，已知 AD为△ABC的内角∠BAC的 平分线，AB＝3，AC＝5， ∠BAC＝120°，求AD的 长． 分析：由余弦定理可解三角 形ABC，求出BC长度；由三 角形内角平分线定理可求出 BD长，再解△ABD即可求出 AD长．
解析：在△ABC中，由余弦定理： BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32
化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解 决，要注意题中给出的已知条件．本题实际 解析： 依题意， O 中，求△ 是△ABC 外接圆的圆心， 设半径为 r km. 上是在△ ABC ABC的外接圆的半径 2 2 AB ＋BC － AC2 4.32＋3.72－4.72 OB 及 OB 与边 BC 的夹角． ∵cosB＝ ＝ ≈0.3171，
bc＝2 由 b＋c＝3
解得 b＝2，c＝1 或 b＝1，c＝2.
当 b＝1 时，∵a＝ 3，∠A＝60° ，∴b<a，且∠A bsinA 1 为锐角， 由正弦定理， 得 sinB＝ ＝ ， ∴∠B＝30° . a 2 当 b＝2，c＝1 时，∵a＝ 3，∴b2＝a2＋c2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠B＝90° .
2AB· BC 2×4.3×3.7 ∴△ABC 为锐角三角形， sinB＝ 1－cos2B≈0.9484.
由正弦定理知，AC＝2rsinB， AC ∴r＝ ≈2.5(km)． 2sinB r2＋BC2－r2 由余弦定理知，cos∠OBC＝ ＝0.74， 2rBC ∴∠OBC≈42° . 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处， 使 OB 约 为 2.5 km，且∠OBC 约为 42° .
1．2
余弦定理
一、余弦定理 1．三角形任何一边的平方等于①
________，即a2＝②________，b2＝③ ________，c2＝④________. 2．余弦定理的推论： cosA＝⑤________，cosB＝⑥________， cosC＝⑦________.
3．余弦定理与勾股定理 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余
[例4]
(数学与日常生活)如图，某市三个 新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同 建一个中心医院O，使得医院到三个小区 的距离相等，已知这三个小区之间的距离 分别为AB＝4.3 km，BC＝3.7 km，AC＝ 4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1°)
分析：实际问题的解决，应首先根据题意转
角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2) 分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关 于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.
解析：(1)∵m∥n， ∴4sin
2B＋C
7 －(cos2A＋ )＝0， 2 2
2
7 ∴2[1－cos(B＋C)]－(2cos A－1)－2＝0，① 又 cos(B＋C)＝－cosA， ①式化简得 4cos2A－4cosA＋1＝0， 1 即(2cosA－1) ＝0，∴cosA＝2.
在△ABC 中，如果 a ︰b ： ( 3＋1)，求这个三角形的最小角．
[例 1]
︰c＝
︰ 6
︰
解析： 在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据 已知条件判断最小边应为 a. ∵a ︰b ︰c＝ ︰ 6 ︰( 3＋1)，
可设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 最小角为角 A，由余弦定理得 b2＋c2－a2 6＋ 3＋12－4 2 cosA＝ ＝ ＝2， 2bc 2 3＋1× 6 故 A＝45° .
2 2 2
1 1 解得 t＝2或－4(舍去)． 1 1 故 AB＝20 3× ＝10 3，BC＝20× ＝10. 2 2
AB BC 由正弦定理得 ＝ ， sin∠ACB sin∠BAC 3 10× 2 1 即 sin∠BAC＝ ＝ ， 10 3 2 ∴∠BAC＝30° ，所求角为 30° ＋45° ＝75° . ∴甲船应沿北偏东 75° 方向航行． 答：甲船应沿北偏东 75° 方向航行半小时后才能 与乙船相遇．
⑭勾股定理
⑮余弦定理
⑯知三求一
⑱另一边
在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的
标准是什么？ 在没有学习余弦定理之前，还会解三角形， 但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了， 不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要 依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择， 还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知 两边和一边的对角或已知两角及一边时，通 常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹
[变式训练 5]
在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分
→· → ＝BA →· → ＝1. 别为 a、b、c，若AB AC BC (1)求证：A＝B； (2)求边长 c 的值； → ＋AC → |＝ 6，求△ABC 的面积． (3)若|AB
→· → ＝BA →· →， 解析：(1)证明：∵AB AC BC ∴bccosA＝accosB，即 bcosA＝acosB. 由正弦定理得 sinBcosA＝sinAcosB， ∴sin(A－B)＝0， ∵－π<A－B<π， ∴A－B＝0，∴A＝B.
当a＝b时，△ABC为等腰三角形； 当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形． ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理
得 2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝ sin2B. 又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)， 故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B ＝.
[变式训练 1] △ABC 中， 已知 a＝2， b＝ 3， c＝ 2 ＋1，求 A.
b2＋c2－a2 解析：cosA＝ 2bc 32＋ 2＋12－22 3 ＝ ＝3. 2× 3× 2＋1 3 ∴A＝arccos . 3
先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦
定理或正弦定理求出其他两个角． [例2] 在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A、B和边c的 值．
2
∵0° <∠A<180° ，∴∠A＝60° .
1 3 (2)由题意得 S＝ bcsinA＝ ， 2 2 1 3 即 bcsin60° ＝ ，∴bc＝2， 2 2 由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－ 2bccos60° ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 由 a＝ 3及 bc ＝2 知(b＋c)2－6＝3， ∴b＋c＝3 或 b＋c＝－3(舍去)．
(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰
答案： ①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍 ②b2＋c2－2bccosA ③c2＋a2－2cacosB b2＋c2－a2 c2＋a2－b2 ⑤ 2bc ⑥ 2ca ⑨直 ⑩钝 ⑪各角 ⑫第三边
④a2＋b2－2abcosC a2＋b2－c2 ⑦ 2ab ⑧锐 ⑬其他两角 ⑰角
[变式训练3]
(2010·辽宁卷)在△ABC中，a， b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b ＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
解析：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝ (2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc. 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 1 故 cosA＝－2，A＝120° . (2)由(1)得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC. 1 又 sinB＋sinC＝1，得 sinB＝sinC＝ . 2 因为 0° <B<90° ，0° <C<90° ，故 B＝C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．
特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其
原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此 范围内同一个正弦值一般对应两个角，一 个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的 正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否 都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值 仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的 余弦值，可以避免分类讨论.