高中数学人教A版必修《余弦定理》课件
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《余弦定理》课件八(21张PPT)(人教A版必修5)
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
24
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
△ABC是直角角三角形 a 2 b2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2求B，并判断 △ABC的形状。
24
小结： 余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山
脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即
线段BC的张角），最后通过计算求出山脚的长度BC。
已测的：ＡＢ＝１千米，
AＣ＝
3 2
千米
角Ａ＝６０Ｏ
求山脚ＢＣ的长度．
解：BC2 | AB |2 | AC |2 2 | AB | AC | cos A
∴ AB= 13
3.定理的证明
A
B
C
证明： 在三角形ABC中，AB、BC、 CA的长分别为c,a,b.
AB AC CB
AB AB ( AC CB) ( AC CB)
2
2
AC 2AC CB CB
2
AC
2
AC
CB
c os (1800
C)
2
解斜三角形
余弦定理
1.创设问题情境
A
B
A
BCຫໍສະໝຸດ 600Ac
B
b
a
C
2.特殊到一般,发现定理
令∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
A
B
D
C
看看答案
解: 过A作BC边上的高AD,则 AD=4sin600,CD=4cos600, BD=3－4cos600,
人教A版高中数学必修第二册《余弦定理》名师课件
=
+ , 所以 =
+ −
+ −
,得
所以 + − = , 所以 + =
所以△ABC是直角三角形.
= ,
.
方法归纳
判断三角形形状的思路
1、转化为三角形的边来判断
(1)△ABC为直角三角形⇔ 2 = b2 + c 2 或 b2 = 2 + c 2 或 c 2 = 2 + b2
△ 中的最大角与最小角的和为∘ .
=
典例讲授
例2、在△ABC中, = , = , =
,则
= ,sin A = .
解析
根据余弦定理,得
=
+
− =
+
得 = .由 = , − , = 及余弦定理的推论,得
变式训练
2.在△ 中,已知 = 3, = 2, ( + ) =
B.
A.4
C.3
1
,则
3
=( D )
D.
解析
由三角形内角和定理可知, = [ ° − ( + )] = −( + ) = − .
又由余弦定理,得
=
+
ቐ 2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
2 + 2 − 2
cos =
2
2 + 2 − 2
cos =
2
人教版高中数学余弦定理(说课)(共20张PPT)教育课件
人教版A版高中数学必修5
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
1.1.2余弦定理
第一章《解三角形》第二节课
玉林高中 饶蔼
人教版A版高中数学必修5
一.教材分析 二.学情分析 三.教学方法 四.教学过程
量化
激发
产生
掌握
提高
思维 能力
知识与技能：
通过探究 学会 掌握 两种表示 运用
过程与方法：
培养 特殊到一般 提升 解决几何问题
情感态度价值观：
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
知两边与夹角
例2：在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）.
知三边
练习1：在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
练习2：在△ABC中，已知a=7 cm，b=10 cm， c=6 cm ， 解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 cm）
学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。 理财的时候需要做的一方面提高收入， 令一方 面是节 省开支 。这就 是所谓 的开源 节流。 时间管 理也是 如此， 一方面 要提高 效率， 另一方 面是要 节省时 间。主 要做法 有：1、 同时做 两件事 情（备 注：请 认真选 择哪些 事情可 以同时 做）， 比如跑 步的时 候边听 有声书 ；2、 压缩休 息时间 提升睡 眠效率 ，比如 晚睡半 小时早 起半小 时（6~7个小 时即可 ）；3、 充分利 用零碎 时间学 习，比 如做公 交车、 等车、 上厕所 等。
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共18张PPT)
2ab
应用：已知三条边求角度．
思考：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系,余弦定理则指出 了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,你能说说这两个定理之间的关 系吗？
a2 b2 c2 2bc cosA
a2 b2 c2
探究2：
当角C为直角时有c2 a2 b2,当角C为锐角
时，这三者的关系是什么样子？钝角呢？
探究1
在三角形ABC中,三个角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,怎样用a,b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
c a b
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c
2
c c
a
b
a
b
C aa
a a b b 2 a b
a2 b2 2abcosC
所以 c2 a2 b2 2ab cosC
4．在△ABC 中，内角 A，B，1 C 的对边分别为 a，b，c，已知 B＝C,2b
＝ 3a，则 cos A＝
3
.
【解析】由 B＝C,2b＝ 3a，可得 b＝c＝ 23a，
所以
cos
A＝b2＋c2－a2＝
3a2＋3a2－a2 44
＝1.
2bc
2× 3a× 3a 3
22
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x －6＝0的根，求第三边c的长．
同理可证 a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB
A
cc B
余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
应用：已知三条边求角度．
思考：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系,余弦定理则指出 了三角形的三条边与其中一个角之间的关系,你能说说这两个定理之间的关 系吗？
a2 b2 c2 2bc cosA
a2 b2 c2
探究2：
当角C为直角时有c2 a2 b2,当角C为锐角
时，这三者的关系是什么样子？钝角呢？
探究1
在三角形ABC中,三个角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,怎样用a,b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
c a b
b
ห้องสมุดไป่ตู้
c
2
c c
a
b
a
b
C aa
a a b b 2 a b
a2 b2 2abcosC
所以 c2 a2 b2 2ab cosC
4．在△ABC 中，内角 A，B，1 C 的对边分别为 a，b，c，已知 B＝C,2b
＝ 3a，则 cos A＝
3
.
【解析】由 B＝C,2b＝ 3a，可得 b＝c＝ 23a，
所以
cos
A＝b2＋c2－a2＝
3a2＋3a2－a2 44
＝1.
2bc
2× 3a× 3a 3
22
5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x －6＝0的根，求第三边c的长．
同理可证 a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB
A
cc B
余弦定理 三角形任一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
人教A版必修第二册6.4.3.1余弦定理课件
角形(角精确到1 );
(参考数据： 7 2.645 , cos 40.89 0.756 , cos 79.11 0.189 )
简析：
a2 b2 c2 2bc cos A
202 302 2 20 30 cos 30
A
700 a 700 10 7(cm)
a2 c2 b2 cos B
A
b5
c2
cos A 1 sin2 A
1 ( 231 )2 13 .
20
20
由余弦定理得
a2 b2 c2 2bc cos A 52 22 2 5 2 13 16
20
a 4
又 cos C a2 b2 c2 2ab
?
Ca
B
42 52 22
37 0.925
2 4 5 40
综上，A 45 , B 30 , C 105 .
4. 在ABC中 , 已知b 5 , c 2 , 锐角A 满足 sin A 231 ，求C . 20
(精确到1 ).( 参考数据：cos 22.3316 0.925) .
简析：
sin A 231 , 且A 为锐角. 20
(教材P44练习第3 题)
综上，a 41cm , B 106 , C 33.
返回
例2.在ABC中 , a 7, b 8, 锐角C 满足 sin C 3 3 , 14
求B(精确到1 ) .(参考数据：cos 81.7843 0.1429)
解： sin C 3 3 , C 为锐角.
14
A
c3 b8
cosC 1 sin2 C
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
特例：勾股定理
思考(4): 三角形的三条边，三个角叫三角形的元素 .
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)
温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知 三求一”.
例 1 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的
另一边长为 A.52
√B.2 13
C.16
D.4
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C 表示c? 提示 如图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
a2＋c2－b2 cos B＝ _________2_aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc________ ，
a2＋b2－c2 cos C＝ __________2_a_b________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B
＝ 15
3
A. 4
B.4
3 15 C. 16
√11 D.16
coAs .C－＝15 1134，则最大角B的.－余61弦值是
√C.－17
D.－81
根据题意，由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 64＋49－2×8×7×1134＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. 因此 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝429＋ ×79－ ×364＝－17.
6.4.2余弦定理高一数学同步教学课件人教A版必修第二册课件共16张PPT
★ = ° ⇔ = + − ★ = ° ⇔ = + +
2
解三角形
1
解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
2
余弦定理在解三角形中的应用
【1】已知三角形的三边解三角形
如图，因为AC=AB+AC，
所以AC2=(AB+BC)2，即
AC2=AB2+BC2+2AB ·BC=AB2+BC2+2|AB||BC|(cos180°-B)
从而2 = 2 + 2 − 2
同理，根据AB=AC+CB，BC=BA+AC，可以得到
2 = 2 + 2 − 2
∴ = − 12 =
∵ =
+ −
6+ 2
4
6 − 2 2, ∴ = 6 − 2或−( 6 − 2)(舍)
=
3
,且0＜A＜180°，∴A=30°，B=180°-(A+C)=135°
2
∴ A=30°，B=135°， = 6 − 2
题⑤ ——判断三角形的形状
在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别是 , , ，且 + + ( +
− ) = 3, = 2, 判断ΔABC的形状.
【解】因为 + + + − = 3，化简得2 = 2 + 2 −
1
由余弦定理得2 = 2 + 2 − 2 ，所以 = 2
①连续用余弦定理求出两角
高中数学余弦定理新人教A必修PPT课件
1.复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
第1页/共27页
(2) 三角形面积公式：
1
1
1
SABC
bc sin 2
A
ca sin 2
思考：
如果已知一个三角形的两条边及其 夹角，根据三角形全等的定理，该三角 形大小形状完全确定，那么如何解出这 个三角形呢？
第3页/共27页
2.余弦定理
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c.
（1）向量法
设
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角三角形 a 2 b 2 c 2
第21页/共27页
练习：
7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状
分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。
B
a2
c2b2 2ac
327282 237
1 7
第24页/共27页
4.小结:
（1）余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
（2）推论:
cos A b2 c2 a2
2bc
a2 b2 c2
cos C
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
(1)正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
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(2) 三角形面积公式：
1
1
1
SABC
bc sin 2
A
ca sin 2
思考：
如果已知一个三角形的两条边及其 夹角，根据三角形全等的定理，该三角 形大小形状完全确定，那么如何解出这 个三角形呢？
第3页/共27页
2.余弦定理
思考： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB
与CA 的夹角为∠C， 求边c.
（1）向量法
设
CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得
提炼：设a是最长的边，则
△ABC是钝角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b2 c 2
△ABC是直角三角形 a 2 b 2 c 2
第21页/共27页
练习：
7. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状
分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。
B
a2
c2b2 2ac
327282 237
1 7
第24页/共27页
4.小结:
（1）余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
（2）推论:
cos A b2 c2 a2
2bc
a2 b2 c2
cos C
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小试身手：
1.在△ABC中,若b=8,c=3,A=60。, 则a=__7____
2.在△ABC中,边长a,b是方程x2-3x+2=0的两个
根，C=120。，则边长c=___7____
3.在△ABC中,若a=3,b=5,c=7, 则C=_1_2_0___
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
解此三角形。
2. △ABC中三个内角A、B、C所对的边分别
为a,b,c.已知a2+c2=b2+ac,且a : c ( 3 1) : 2, 求角C的大小
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
小试身手：
1.三角形三边之比为3：5：7,则Байду номын сангаас最大角是（B）
A.
B. 2
2
3
C. 3 4
D. 5 6
2.在△ABC中,已知a2=b2+c2+bc,则角A为（C）
A.
B.
C. 2
3
6
3
D. 或 2 33
3.在△ABC中,若 a2 b2 - c2 0, 则△ABC为（C）
2ab
A .锐角三角形
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
即：
作用：
已知三角形的任意两边及其夹角,求第三边
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
B. 直角三角形
C .钝角三角形
D. 锐角或直角三角形
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
思考：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
1.1.2余弦定理
平罗中学 孙丽丽
复习引入
1. 正弦定理
a
b
c
sin A
sin B
sin C
2R A
C
2.正弦定理能解决怎样的解B 三角形问题？ ①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边
的对角.
情境设置
问题：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
讲解范例：
例1. 在△ABC中,已知
求b及A.
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
高中数学人教A版必修5第一章1.1.2《 余弦定 理》( 第一课 时）课 件（共1 4张PPT ）
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余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
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课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共 同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
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推论：
作用：
①已知三边，求三角 ②判断三角形的形状
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A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
从量化的角度来看，如何从B 已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
学习目标
1. 会用余弦定理解三角形： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹A 角，求第三边.
2. 会判断三角形的形C 状 B
3. 知道余弦定理与勾股定理之间的关系
情境设置
探究：
2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
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课后作业
1. 在△ABC中，已知 b 5, c 5 3, A 30
如何从已知两边和它们的夹角求 三角形的另一边？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？
b
c
C
aB
如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.
已知a, b和∠C，求边c？
A
b
cA
C
aB
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