分解因式的常见题型
14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】
14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是 （填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
因式分解的七种常见方法
1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握：
①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方 面考虑。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
ax ay ax y
方法 1 提公因式法
具体方法：
1.当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；
2.字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2； ＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)
(3)(a－b)2(a＋b)＋(a－b)(a＋b)2. ＝(a－b)(a＋b)[(a－b)＋(a＋b)]＝2a(a－b)(a＋b)
返回
方法 2 公式法
题型1 直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(2)－3x7＋24x5－48x3 ＝－3x3(x4－8x2＋16)
返回
＝－3x3(x2－4)2＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
题型3 先局部再整体法
7．把下列各式分解因式：
(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； ＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3) ＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)] ＝(x＋3)(2x＋1)
取每项相同的多项式，多项式的次数取最低的。
3.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，
使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
专题4.5 因式分解章末八大题型总结(拔尖篇)(北师大版)(解析版)
专题4.5因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）【北师大版】【题型1利用整体思想分解因式】 (1)【题型2利用拆项法分解因式】 (6)【题型3利用添项法分解因式】 (8)【题型4利用因式分解的结果求参数】 (10)【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 (12)【题型6利用因式分解探究三角形形状】 (14)【题型7与因式分解有关的探究题】 (16)【题型8因式分解的应用】 (22)【题型1利用整体思想分解因式】【例1】（2024八年级下·山东东营·期中）[阅读材料]因式分解：+2+2++1．解：将“+”看成整体，令+=，则原式=2+2+1=+12．再将“A”还原，原式=++12．上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．[问题解决](1)因式分解：1+4−+4−2；(2)因式分解：2−62−6+18+81；(3)证明：若n为正整数，则代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方．【答案】(1)1+2−22(2)−34(3)见解析【分析】（1）用换元法设−=，将原式化为1+4+42，再利用完全平方公式得出1+22，再将A还原即可；（2）设2−6=，则原式=+92后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可；（3）先计算+1+2=2+3+2，再利用完全平方公式即可．【详解】（1）解：令−=，原式=1+4+42=1+22=1+2−22；（2）令2−6=，则2−62−6+18+81=+18+81=2+18+81=+92=2−6+92=−34；（3）+1+22+3+1=2+3+22+3+1=2+32+22+3+1=2+3+12，∵n为正整数，∴2+3+1正整数．∴+1+22+3+1=2+3+12，即代数式+1+22+3+1的值一定是某个整数的平方．【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．【变式1-1】（2024八年级下·山西运城·期中）（1）2+2−+22；（2）−−2−+1．【答案】（1）3(+p(−p；（2）(−−1)2．【分析】（1）设=2+s=+2，先利用平方差公式进行因式分解，再将s换回去，计算整式的加减即可得；（2）设=−，先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解，然后将换回去即可得．【详解】解：（1）设=2+s=+2，则原式=2−2=(+p(−p，将s换回去得：原式=(2+++2p2+−(+2p，=(3+3p(−p，=3(+p(−p；（2）设=−，则原式=−2+1，=2−2+1，=(−1)2，将换回去得：原式=(−−1)2．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．【变式1-2】（2024八年级下·福建漳州·期中）(1)因式分解：2−4+12−4+7+9；(2)因式分解：+−2B+−2+B−12；(3)求证：多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数．【答案】(1)（1）−24(2)−121−2(3)见解析【详解】（1）解：解法一：设2−4=，则原式=+1+7+9=2+8+16=+42=2−4+42=−24；方法二：设2+1=，−4=，则原式=+++6+9=+2+6++9=++32=2+1−4+32=2−4+42=−24；（2）解：设+=，B=，则原式=−2−2+−12=2−2B−2+4+2−2+1=2−2B−2+−12=2−2+1++12=−−12=+−B−12=−121−2；（3）解：+1+2+3+6+2=2+7+62+5+6+2，设2+6=，=，则原式=+7+5+2=2+12B+362=+62=2+6+62，∵2+6+62≥0，∴+1+2+3+6+2≥0，∴多项式+1+2+3+6+2的值一定是非负数．【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．【变式1-3】（2024八年级下·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式(2+2p(2+2+2)+1进行因式分解的解题思路：将“2+2”看成一个整体，令2+2=，则原式=o+2)+1=2+2+1=(+1)2．再将“x”还原为“2+2”即可．解题过程如下：解：设2+2=，则原式=+2+1（第一步）=2+2+1（第二步）=(+1)2（第三步）=2+2+12（第四步）．问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式2−42−4+8+16进行因式分解；(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1−2−3−⋯−2023)×(2+3+⋯+2024)−(1−2−3−⋯−2024)×(2+3+⋯+2023)．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为(+1)4；②(−2)4(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设=1−2−3−⋯−2023，=2+3+⋯+2024，则原式=B−(−2024)(−2024)，整体代入计算即可．【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设2+2=，则原式=+2+1（第一步）=2+2+1（第二步）=(+1)2（第三步）=2+2+12（第四步）=(+1)22=(+1)4．∴最后的结果为(+1)4．②设2−4=，原式=o+8)+16=2+8+16．=(+4)2=2−4+42=(−2)4；（2）设=1−2−3−⋯−2023，=2+3+⋯+2024，则1−2−3−⋯−2023−2024=−2024,2+3+⋯+2023=−2024，+=1+2024=2025，原式=B−(−2024)(−2024)=B−B+2024(+p−20242=2024×2025−20242=2024×(2024+1)−20242=20242+2024−20242=2024．【题型2利用拆项法分解因式】【例2】（2024八年级下·山东济宁·期中）观察下面因式分解的过程：4+3+22+3−3=4+3−2+32+3−3=22+−1+32+−1=2+32+−1上面因式分解过程的第一步把22拆成了−2+32，这种因式分解的方法称为拆项法．请用上面的方法完成下列题目：(1)2−2+2+6−8；(2)4−232+1．【答案】(1)+−2−+4(2)2+1+52+1−5【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将−8拆成1−9，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将−232拆成22−252，然后重新组合，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：2−2+2+6−8=2−2+2+6+1−9=2+2+1−2−6+9=+12−−32=+1+−3+1−+3=+−2−+4；（2）解：4−232+1=4+22−252+1=4+22+1−252=2+12−52=2+1+52+1−5．【变式2-1】（2024八年级下·陕西榆林·期中）(1)分解因式：2−6+5；(2)分解因式：2+4B−52．【答案】(1)−1−5(2)+5−【分析】（1）将5拆解成9−4，再根据完全平方公式得−32−22，然后利用平方差公式进一步分解．（2）将−52拆解成42−92，再根据完全平方公式得+22−92，然后利用平方差公式进一步分解．【详解】（1）原式=2−6+9−4=−32−22=−3−2−3+2=−1−5（2）原式=2+4B+42−92=+22−92=+2+3+2−3=+5−【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式2-2】（2024八年级下·黑龙江鸡西·期中）（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)(a－b)【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；（2）仿照例题方法分解因式即可；【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；（2）a2＋4ab﹣5b2=a2＋4ab+4b2﹣9b2=（a+2b）2－(3b)2=（a+2b+3b）(a+2b－3b)=(a+5b)(a－b)．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．【变式2-3】（2024八年级下·上海嘉定·期中）把多项式4+322+44分解因式．【答案】2+22+B2+22−B【分析】把原式中的第二项的系数3变为4−1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：4+322+44=4+422+44−22=2+222−B2=2+22+B2+22−B．【题型3利用添项法分解因式】【例3】（2024八年级下·山西·期中）阅读与思考任务：(1)请根据以上阅读材料补充完整对3+3因式分解的过程．(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求3+3的值．【答案】(1)+2−B+2(2)3+3=32【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式+，整理即可；（2）由（1）可知求出2−B+2的值即可求出3+3的值．将2−B+2变形为+2−3B，再代入+和B的值即得出2−B+2的值，由此即得出结果．【详解】（1）3+3=3+2−2+3=3+2−2−3=+⋅2−+⋅−=+⋅2−−．=+2−B+2；（2）∵2−B+2=+2−3B=22−3×−4=16∴3+3=+2−B+2=2×16=32．【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．【变式3-1】（2024八年级·全国·合肥期中）将下列式子因式分解：4+44【答案】（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）【分析】运用添项法因式分解，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；【详解】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；【点睛】本题考查了添项法因式分解，理解完全平方公式和平方差公式是解答关键．【变式3-2】（2024八年级下·甘肃兰州·期中）分解因式：−2−2−4−3．【答案】++1−−3【详解】解：2−2−2−4−3=2−2+1−1−2−4−4−3+4=−12−+22=−1++2−1−−2=++1−−3．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．【变式3-3】（2022·广西柳州·八年级期中）分解多项式5−1的结果是．【答案】−14+3+2++1【分析】直接根据添项方法进行因式分解即可．【详解】解：5−1=5−4+4−3+3−2+2−+−1=4−1+3−1+2−1+−1+−1=−14+3+2++1，故答案为：−14+3+2++1【点睛】本题考查添项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．【题型4利用因式分解的结果求参数】【例4】（2024八年级下·浙江宁波·期中）因为2+2−3=+3−1，这说明多项式2+2−3有一个因式为−1，我们把=1代入此多项式发现=1能使多项式2+2−3的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若+3是多项式2+B+12的一个因式，求的值；(2)若−3和−4是多项式3+B2+12+的两个因式，试求，的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3+B2+12+因式分解．【答案】(1)=7(2)=−7，=0(3)o−3)(−4)【分析】（1）将=−3代入多项式并使多项式等于0，求；（2）将=3和=4分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，求，；（3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：∵+3是多项式2+B+12的一个因式，∴当=−3时，2+B+12=9−3+12=0，解得=7；（2）∵(−3)和(−4)是多项式3+B2+12+的两个因式，∴33+×32+12×3+=043+×42+12×4+=0，解得=−7=0．∴=−7，=0．（3）解：由（2）得3+B2+12+即为3−72+12，∴3−72+12=o2−7+12)=o−3)(−4)．【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．【变式4-1】（2024八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的二次三项式2−B+可分解为+2−3，则3−的值为．【答案】9【分析】把+2−3展开，求出、的值，计算即可．【详解】解：∵+2−3=2+2−3−6=2−−6，∴2−B+=2−−6，∴=1，=−6，∴3−=3×1−−6=3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．【变式4-2】（2023八年级下·江苏·专题练习）已知多项式4+B+能分解为(2+B+p(2+2−3)，则=，=．【答案】−2；7．【分析】把2+B+2+2−3展开，找到所有z和y的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．【详解】解：∵2+B+2+2−3=4+B3+B2+23+2B2+2B−32−3B−3=4++23++2−32+2−3−3=4+B+．∴展开式乘积中不含3、2项，∴+2=0+2−3=0，解得：=−2=7．故答案为：−2，7．【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．【变式4-3】（2024八年级下·江苏苏州·期中）已知多项式2+B+36能分解为两个整系数一次式的乘积，则k的值有（）个．A．10B．8C．5D．4【答案】A【分析】设2+B+36能分解成++，根据整式的乘法化简，得到+=s B=36，根据s为整数求解即可．【详解】设2+B+36=++=2+++B，则+=s B=36∴=1=36,=2=18,=3=12,=4=9,=6=6,=−1=−36,=−2=−18,=−3=−12,=−4=−9,=−6=−6∴=+=37,20,15,13,12,−37,−20,−15,−13,−12,共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．【题型5利用因式分解进行有理数的简算】【例5】（2024八年级下·上海青浦·【答案】2021．【分析】此题考查了因式分解的应用，先设2020=，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用．【详解】解：设2020=，则原式===+1，∴原式=2020+1=2021．【变式5-1】（2024八年级下·重庆·期中）简便计算：(1)9999×10001−100002；(2)999992+199999．【答案】(1)−1(2)10000000000【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；（2）利用因式分解进行计算，即可解答．【详解】（1）解：原式=10000−1×10000+1−100002=100002−12−100002=−1；（2）解：原式=999992+99999+100000=99999×99999+1+100000=99999×100000+100000=100000×99999+1=100000×100000=10000000000．【变式5-2】（2024八年级下·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（）A．999×1001=1000−1×1000+1=10002−1B．802−160×78+782=80−782 C．257−512=514−512=51252−1D．1992=200−12=2002−1【答案】D【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．【详解】解：A、999×1001=1000−1×1000+1=10002−1，选项正确，不符合题意；B、802−160×78+782=80−782，选项正确，不符合题意；C、257−512=514−512=51252−1，选项正确，不符合题意；D、1992=200−12=2002−2×200×1+1，选项错误，符合题意．故选：D．【变式5-3】（2024八年级下·四川遂宁·期中）已知=999999，=1110990，那么、的大小关系为（）A．>B．<C．=D．不确定【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，以及积的乘方逆用，根据作差法比较两个数的大小即可．【详解】解：−=999999−1110990=999−1110×99999=999−11×999999=999×1−11999=−10×999999<0，∴<．故选：B．【题型6利用因式分解探究三角形形状】（2024八年级下·山东泰安·阶段练习）已知s s为三角形三边，且满足2+2+2−B−B−B=0.【例6】试说明该三角形是等边三角形．【答案】见解析【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出△B的形状．【详解】解：∵2+2+2−B−B−B=0，∴22+22+22−2B−2B−2B=0，∴(2−2B+2)+(2−2B+2)+(2−2B+2)=0，∴(−p2+(−p2+(−p2=0，∴−=0，−=0，−=0，∴==，∴△B为等边三角形．【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．【变式6-1】（2024八年级下·福建福州·期中）已知△B的三边a，b，c满足−+−=0，则△B 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先提取公因式，得到−−=0，进而得出−=0或−=0，即可判断△B的形状．【详解】解：∵−+−=0，∴−−−=−−=0，∴−=0或−=0，∴=或=，∴△B的形状为等腰三角形，故选：B．【变式6-2】（2024八年级下·四川内江·阶段练习）若a、b、c是△B的三边，且满足2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，则△B的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】D【分析】根据2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，分别提取公因式即可得到(+p(−p=0，(+p(−p=0，再根据+≠0，+≠0，得到−=0，−=0，据此即可判定该三角形的形状．【详解】解：∵2+B−B−B=0，2+B−B−B=0，∴(+p(−p=0，(+p(−p=0，又∵、b、c是△B的三边，∴+≠0，+≠0，∴−=0，−=0，∴=，=，∴==，∴该三角形是等边三角形，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解【变式6-3】（2024八年级下·重庆北碚·期中）已知△B三边长、、满足32+2B=32+2B，试判定△B的形状．【答案】△B为等腰三角形．【分析】根据分组分解法对式子进行因式分解，即可判断．此题考查了因式分解的应用、等腰三角形的定义等知识，利用因式分解对原式进行变形是解题的关键．【详解】解：∵32+2B=32+2B，∴32+2B−32−2B=0，∴3+−+2−=0，∴−3+3+2=0∵a，b，c是△B的三边长，∴3+3+2≠0，∴−=0∴=∴△B为等腰三角形．【题型7与因式分解有关的探究题】【例7】（2024八年级下·山东淄博·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16=52−32，所以16就是一个智慧数，而5和3则是16的智慧分解．那么究竟哪些数为智慧数？第2022个智慧数是否存在，若存在，又是哪个数？为此，小明和小颖展开了如下探究．小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22−12，5=32−22，7=42−32，9=52−42，…小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为+1，，其中≥1，且为整数．则(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1．(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；(2)继续探究，他们发现8=32−12，12=42−22，所以8和12均是智慧数，由此，他们猜想：4o≥2，且为整数）均为智慧数请证明他们的猜想；(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．【答案】(1)奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8(2)见解析(3)第2023个智慧数是2700，2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）【分析】（1）由小明的探究可得，2+1(≥1，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得11、15的智慧分解；（2）借助小明的探究思路，可证猜想；（3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．【详解】（1）解：∵(+1)2−2=(+1+p(+1−p=2+1(≥1，且为整数），∴智慧数是除1外所有的奇数，(5+1)2−52=62−52=(6+5)(6−5)=11，(7+1)2−72=82−72=(8+7)(8−7)=15，故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；（2）证明：设≥2，且为整数，∵8=32−12=(2+1)2−(2−1)2=(2+1+2−1)(2+1−2+1)，12=42−22=(3+1)2−(3−1)2=(3+1+3−1)(3+1−3+1)，∴(+1)2−(−1)2=(+1+−1)(+1−+1)=4，∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4o≥2且为整数）均为智慧数；（3）解：据探究得，智慧数是奇数时≥1，且为整数，智慧数是4的倍数时，≥2且为整数，∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，(2023−1)÷3=674，4×(674+1)=2700，∴第2023个智慧数是2700，∵2700能被4整除，∴2700=6762−6742=(676+674)(676−674)．【点睛】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键．【变式7-1】（2024八年级下·吉林长春·期中）探究题:(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：2+6+9=__________；2−4+4=________；42−20+25=________；(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62=4×1×9；(−4)2=4×1×4；(−20)2=4×4×25；归纳猜想：若多项式B2+B+o>0,>0)是完全平方式，猜想：系数a，b，c之间存在的关系式为_____________________．(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．(4)解决问题：若多项式(+1)2−(2+6)+(+6)是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出n的值．【答案】(1)+32；−22；2−52(2)2=4B(3)见解析(4)=3【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想2=4B；（3）可用完全平方公式进行验证；（4）多项式ax2＋bx＋c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可列[−（2n＋6）]2＝4（n＋1）（n＋6），进而求出n的值．【详解】（1）解：2+6+9=+32；2−4+4=−22；42−20+25=2−52．故答案为：+32；−22；2−52．（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：2=4B．故答案为：2=4B．（3）验证结论：可用x2＋4x＋4，验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，∴2=4B．（4）根据题意可得：−2＋62＝4＋1＋642+24+36=42+7+642+24+36=42+28+244=12=3【点睛】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强．【变式7-2】（2024八年级下·湖南长沙·期中）阅读理解并填空：(1)为了求代数式2+2+3的值，我们必须知道x的值．若=1，则这个代数式的值为________﹔若=2，则这个代数式的值为_______；……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：2+2+3=2+2+1+2=+12+2，因为+12是非负数，所以这个代数式的最小值是______，此时相应的x的值是______．(3)求代数式−2−6+12的最大值，并写出相应的x的值．(4)试探究关于x、y的代数式52−4B+2+6+25是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6，11(2)2，−1(3)代数式−2−6+12的最大值是21，相应的x的值是−3(4)代数式52−4B+2+6+25有最小值是16，相应的=−3，=−6【分析】（1）把=1和=2分别代入代数式2+2+3中，再进行计算即可得出答案；（2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；（4）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质求出最小值及此时x、y的值．【详解】（1）解：把=1代入2+2+3中，得：12+2+3=6；若=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11；故答案为：6，11；（2）解：根据题意可得：2+2+3=2+2+1+2=+12+2，∵+12是非负数，∴这个代数式2+2+3的最小值是2，相应的x的值是−1；故答案为：2，−1；（3）解：根据题意得：∴−2−6+12=−+32+21，∴代数式−2−6+12的最大值是21，相应的x的值是−3；（4）解：代数式52−4B+2+6+25有最小值是16，相应的=−3，=−6，理由如下：52−4B+2+6+25=42−4B+2+2+6+9+16=2−2++32+16，∵2−2及+32都是非负数，当2−=0，+3=0时，代数式有最小值是16，相应的=−3，=−6．【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．【变式7-3】（2024八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在学习《因式分解》）时，邹老师给同学们发了很多硬纸片(×的正方形A，×的正方形B，×的长方形C．(1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明2+B可以分解为______；(2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上(3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．【答案】(1)o+p；(2)2+3B+22=(+2p(+p；(3)2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2．【分析】（1）根据这个图形的面积有直接求和间接求两种方法，即可写出分解因式的结果．（2）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．（3）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．【详解】（1）由图知长方形的面积还可表示为o+p，因此2+B可以分解为o+p．故答案为：o+p（2）如图1张A，2张B和3张C可拼成一个长方形，由此得2+3B+22=(+2p(+p．故答案为：(+2p(+p．（3）如图，用1张A，4张B，5张C可拼成一个长方形，由此可得2+5B+42=(+4p(+p．如图，用1张A，4张B，4张C可拼成一个正方形，由此可得2+4B+42=(+2p2．故答案为：2+5B+42=(+4p(+p或2+4B+42=(+2p2．【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用面积法写出一个多项式因式分解的结果，能够正确的列出等式是解题的关键．【题型8因式分解的应用】【例8】（2024八年级下·湖北恩施·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式4−4，因式分解的结果是−+2+2，若取= 9，=9，则各个因式的值是：−=0，+=18，2+2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式3−B2，取=52，=28，用上述方法产生的密码不可能是（）A．528024B．522824C．248052D．522480【答案】B【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．【详解】解：∵3−B2=2−2=+−，∵=52，=28，则各个因式的值为=52，+=80，−=24，∴产生的密码不可能是522824，故选：B．【变式8-1】（2024八年级下·湖南湘西·期中）如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为、的长方形场地，已知2+B2=240，则这个长方形场地的面积为（）平方米．A．32B．24C．16D．12【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用．由题意得+=10，再由已知变形得到B=24，即可求解．【详解】解：由题意得+=202=10（米），2+B2=240，∴B+=240，解得B=24，∴个长方形场地的面积为24平方米．故选：B．【变式8-2】（2024八年级下·吉林·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为vm的大正方形，2块是边长为vm的小正方形，5块长是vm，宽为vm的相同的小长方形，且>(1)观察图形，可以发现代数式22+5B+22可以因式分解为；(2)若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm．①求+的值；②求图中空白部分的面积．【答案】(1)+2+2(2)①5；②20cm2【分析】本题考查了因式分解的应用．（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案；（2）①根据长方形的周长是23+3=30即可得出+的值；②由图可得空白部分的面积是5B，故我们可以根据第一步中求出的+的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积．【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：22+5B+22cm2，长方形的长是2+cm，宽是+2cm，由此可得：22+5B+22=+2+2，故答案为：+2+2；（2）解：①根据长方形的周长为30cm，可得：22+++2=30，23+3=30，6+=30，+=5．答：+的值为5．②空白部分的面积为5Bcm2，根据②得：+=5，∵阴影部分的面积为34cm2，且阴影部分的面积表示为22+22，故2+2=17，∵+2−2B=2+2，∴52−2B=17，∴B=4，∴5B=20．答：空白部分的面积为20cm2．【变式8-3】（2024八年级下·福建泉州·期中）【实践探究】小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究：(1)现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：；(2)【问题解决】若要用这四种长方体拼成一个棱长为+2的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个?试通过计算说明理由；(3)【拓展延伸】如图3，在一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出3−3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知与2分别是两个大小不同正方体的棱长，且3−83=−24−4B，当−2为整数时，求B的值．【答案】(1)+·b=B2+3；(2)②号长方体需要6个，③号长方体需要12个，+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83，(3)B=0.3．【分析】（1）根据图2立方体的体积求法即可；（2）根据题中的给定的长方体组合把+23计算即可；（3）先把3−3因式分解，然后据此分解3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B即可；此题考查了因式分解的应用，解题的关键是利用几何体的体积进行因式分解及数形结合思想的应用．【详解】（1）根据题意可知：+·b=B2+3，故答案为：+·b=B2+3；（2）②号长方体需要6个，③号长方体需要12个，+23=3+32·2+3b22+23=3+62+12B2+83；（3）由题意得：3−3=−2+B+2，由上可知：3−83=3−23=−22+2B+22=−22+2B+42=−24−4B，∴−22+2B+42−4+4B=0，整理得：−22+6B+42−4=0，∵且与2两个大小不同正方体的棱长，∴−2≠0，∴2+6B+42−4=0，则−22=4−10B，∵−2为整数，则4−10B为平方数，∴4−10B=1，∴B=0.3．。
初中因式分解经典题型(含详细答案)
初中因式分解经典题型精选第一组：基础题1、a²b+2ab+b2、2a²-4a+23、16-8（m-n）+（m-n）²4、a²（p-q）-p+q5、a（ab+bc+ac）-abc【答案】1、a²b+2ab+b=b（a²+2a+1）=b（a+1）²2、2a²-4a+2=2（a²-2a+1）=2（a-1）²3、16-8（m-n）+（m-n）²然后运用完全平方公式=4²-2*4*（m-n）+（m-n）²=[4-(m-n)] ²=(4-m+n) ²4、a²（p-q）-p+q=a²（p-q）-（p-q）=（p-q）（a²-1）=（p-q）（a+1）（a-1）5、a（ab+bc+ac）-abc=a[（ab+bc+ac）-bc]=a（ab+bc+ac-bc）bc与-bc 抵消=a（ab+ac）提取公因式a=a²（b+c）第二组：提升题6、（x-y-1）²-（y- x-1）²7、a3b-ab38、b4-14b²+19、x4+x²+2ax+1﹣a²10、a5+a+1【答案】6、（x-y-1）²-（y- x-1）²用平方差公式=[（x-y-1）+（y-x-1）][（x-y-1）-（y-x-1）]去括号，合并同类项=（-2）（2x-2y）提取2= -4（x-y）7、a3b-ab3提取公因式ab=ab（a²-b²）用平方差公式=ab（a+b）（a-b）8、b4-14b²+1将-14b²拆分为：+2b²-16b²=b4+2b²-16b²+1将-16b²移到最后=b4+2b²+1-16b²将前三项结合在一起=（b4+2b²+1）-16b²=（ b²+1）²-（4b）²用平方差公式=[（ b²+1）+4b][（ b²+1）-4b] =（ b²+4b+1）（ b²-4b+1）9、x4+x²+2ax+1﹣a²将+x²拆分为：+2x²- x²=x4+2x²- x² +2ax+1﹣a²将x4、+2x²、+1结合，将-x²、+2ax、﹣a²结合=（x4+2x²+1）+（-x²+2ax﹣a²）提取-1=（ x²+1）² -（x²-2ax+a²）=（ x²+1）²-（ x-a）²用平方差公式=[（x²+1）+（x-a）][（x²+1）-（x-a）]=（x²+x-a+1）（x²-x+a+1）10、a5+a+1在式子中添加：-a²+a²=a5 - a²+ a²+a+1将前两项结合，后面三项结合=（a5-a²）+（a²+a+1）提取公因式a²=a²（a3-1）+（a²+a+1）用立方差公式=a²（a-1）（a²+a+1）+（a²+a+1）提取公因式（a²+a+1）=（a²+a+1）[a²（a-1）+1]=（a²+a+1）(a3-a²+1)第三组：进阶题11、x4-2y4-2x3y+xy312、（ac-bd）²+（bc+ad）²13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）14、x²－4ax＋8ab－4b²15、xy² +4xz -xz²-4x【答案】11、x4-2y4-2x3y+xy3x4与xy3结合，-2y4与-2x3y结合=（x4+xy3）+（-2y4-2x3y）x-2y，=x（x3+y3）-2y（x3+y3）提取公因式（x3+y3）=（x3+y3）（x-2y）=（x+y）（x2-xy+y2）（x-2y）12、（ac-bd）²+（bc+ad）²去括号展开= a²c² - 2abcd + b²d²+b²c² +2abcd + a²d²- 2abcd与+2abcd 抵消=a²c² + b²d² +b²c² + a²d²a²c²与b²c²结合，b²d²与a²d²结合=（a²c²+b²c²）+（ b²d²+a²d²）c²， d ²，=c²（a²+b²）+d²（a²+b²）提取公因式（a²+b²）=（a²+b²）（c²+d²）13、x²（y-z）+y²（z-x）+z²（x-y）=x²（y-z）+y²z -y²x +z²x -z²yy²z与-z²y结合，z²x 与-y²x=x²（y-z）+（y²z -z²y）+（z²x-y²x）提取公因式zy提取公因式=x²（y-z）+ zy（y-z）+x（z²-y²）提取公因式（y-z），=（y-z）（x²+zy）+x（z+y）（z-y）y-z），后一项 +x则变为 -x =（y-z）[（x²+zy）-x（z+y）]=（y-z）（x²+zy-xz-xy）14、x²－4ax＋8ab－4b²²与－4b²结合，－4ax与＋8ab结合=（x²－4b²）+（－4ax＋8ab）-4a=（x+2b）（x-2b）-4a（x-2b）x-2b），=（x-2b）[（x+2b）-4a]=（x-2b）（x+2b-4a）15、xy² +4xz -xz²-4xx，=x（y²+4z -z²-4）=x[y²+(4z -z²-4)]-1，=x[y²-(z²-4z+4)]用完全平方公式进行分解，=x[y²-（z-2）²]=x[y+（z-2））][y-（z-2）]=x（y+z-2）（y-z+2）第四组：经典题16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）17、4m3-31m+1518、a3+5a²+3a-919、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2【答案】16、a6（a²-b²）+b6（b²-a²）-1=a6（a²-b²）-b6（a²-b²）提取公因式（a²-b²）=（a²-b²）（a6-b6）=（a²-b²）（a²-b²）（a4+a²b²+b4）=（a²-b²）²（a4+a²b²+b4）=（a+b）²（a-b）²（a4+a²b²+b4）17、4m3-31m+15-31m拆分为：-m-30m=4m3-m-30m+15=（4m3-m）+（-30m+15）m-15=m（4m²-1）-15（2m-1）=m（2m+1）（2m-1）-15（2m-1）（2m-1），=（2m-1）[m（2m+1）-15]=（2m-1）（2m²+m-15）=（2m-1）（2m-5）（m+3）18、a3+5a²+3a-93a拆分为：-6a+9a =a3+5a²-6a+9a-9=（a3+5a²-6a）+（9a-9）a9=a（a²+5a-6）+9（a-1）=a（a+6）（a-1）+9（a-1）提取公因式（a-1）=（a-1）[a（a+6）+9]=（a-1）（a²+6a+9）=（a-1）（a+3）²19、x4（1- y）²+2x²（y²-1）+（1+ y）²-1=x4（1- y）² - 2x²（1-y²）+（1+ y）²=[x²(1-y)]² -2x²（1-y）（1+y）+（1+ y）²=（x²-yx²-1- y）²20、2x4 -x3-6x²- x+ 2-x拆分为：3x-4x =2x4 -x3-6x²+3x-4x+ 2=（2x4 -x3）+（-6x²+3x）+（-4x+ 2）=（2x-1）（x3-3x-2）第五组：精选题21、a3+2a2+3a+222、x4-6x²+123、x3+3x+424、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c425、a3-3a-226、2x3+3x2-127、a2+3ab+2b2+2a+b-3【答案】21、a3+2a2+3a+23a拆分为：a+2a =a3+2a2+a+2a+2=（a3+2a2+a）+（2a+2）=a（a2+2a+1）+2（a+1）=a（a+1）2+2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a+1）+2]=（a+1）（a2+a+2）22、x4-6x²+1-6x2拆分为：-2x2-4x2 =x4-2x²-4x²+1-4x2移到最后=x4-2x²+1-4x²=（x4-2x²+1）-4x²=（x2-1）2-（2x）2=[（x2-1）+2x][（x2-1）-2x] =（x2+2x-1）（x2-2x-1）23、x3+3x+44拆分为：3+1=x3+3x+3+1x3与1结合，3x与3结合=（x3+1） + （3x+3）3=（x+1）（x2-x+1）+3（x+1）x+1）=（x+1）[（x2-x+1）+3]=（x+1）(x2-x+4)24、2a2b2+2a2c2+2b2c2+a4+b4+c4=（a4+b4+2a2b2）+（2a2c2+2b2c2）+c4 =（a2+b2）2+2c2（a2+b2）+c4=[（a2+b2）+c2]2=(a2+b2+c2）225、a3-3a-2-3a拆分为：-a-2a=a3-a-2a-2=（a3-a）+（-2a-2）=a（a2-1）-2（a+1）=a（a+1）（a-1）-2（a+1）a+1）=（a+1）[a（a-1）-2]=（a+1）（a2-a-2）=（a+1）（a+1）（a-2）=（a+1）2（a-2）26、2x3+3x2-13x2拆分为：2x2+x2 =2x3+2x2+x2-1=（2x3+2x2）+（x2-1）=2x2（x+1）+（x+1）（x-1）x+1）=（x+1）[2x2+（x-1）]=（x+1）（2x2+x-1）=（x+1）（2x-1）（x+1）=（x+1）2（2x-1）27、a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3 =[(a+b)-1][(a+2b)+3] =(a+b-1)(a+2b+3)十字叉乘法故：x2+6x+5=（x+1）（x+5）故：2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）故：4x2+5x-3=（2x-1）（2x+3）黄勇权2019-7-14。
专题07 因式分解压轴四大类型(原卷版)
专题07 因式分解压轴四大类型题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解题型二：十字相乘法因式分解题型三：分组分解法题型四：因式分解的应用题型一：运用提公因式法合公式法综合因式分解【典例1】（2023秋•西城区期末）分解因式：（1）xy3﹣xy；（2）2x2﹣20x+50．【变式1-1】（2023春•鼓楼区校级期中）因式分解：（1）2mx2﹣4mx+2m；（2）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2．【变式1-2】（2023春•皇姑区校级期中）因式分解：（1）x2（a﹣b）+4（b﹣a）；（2）2x2﹣12xy+18y2．【变式1-3】（2022秋•渑池县期末）因式分解：（1）18a2b﹣12ab2+2b3；（2）x2（x﹣3）+y2（3﹣x）．题型二：十字相乘法因式分解【典例2】（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．【变式2-1】（2023秋•璧山区期末）因式分解a2+a﹣6的结果是．【变式2-2】（2023秋•浦东新区期末）因式分解：x2﹣8x+12＝．【变式2-3】（2023秋•河北区校级期末）把多项式x2﹣2x﹣35因式分解为．题型三：分组分解法【典例3】（2023秋•临潼区期末）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”．请在这种方法的启发下，解决以下问题：（1）因式分解：a3﹣3a2+6a﹣18；（2）因式分解：ax+a2﹣2ab﹣bx+b2．【变式3-1】（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy．【变式3-2】（2023秋•沙坪坝区校级期末）把下列各式因式分解：（1）﹣3ab3+6a2b2﹣3a3b；（2）x2﹣y2﹣ax+ay．【变式3-3】（2023秋•武都区期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式，就可以完整分解了，具体分解过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，请利用这种方法对下列多项式进行因式分解：（1）mn2﹣2mn+2n﹣4；（2）x2﹣2xy+y2﹣16；（3）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3．题型四：因式分解的应用【典例4】（2023秋•钢城区期末）阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）．（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4∵（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．结合以上材料解决下面的问题：（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是；（2）分解因式：x2﹣8x+15；（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？【变式4-1】（2022春•金东区期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察下列几个式子：第1个：2+2＝2×2；第2个：3+＝3×；第3个：4+＝4×…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”．（1）写出第4个式子．（2）写出第n个式子，并检验．（3）若m，n是一对“和积数对”，求代数式的值．【变式4-2】（2023秋•哈密市期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．【变式4-3】（2023春•罗湖区校级期中）阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+m）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x2﹣y2+2x﹣2y；（2）知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）若m、n、p为非零实数，且（m﹣n）2＝（p﹣n）（m﹣p），求证：2p＝m+n．一．选择题（共8小题）1．（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25B．20C．15D．102．（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为x cm，y cm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15D．163．（2023秋•洪山区期末）已知实数a满足a2﹣2a﹣1＝0，则代数式2a3﹣a2﹣8a+4的值为（）A．9B．7C．0D．﹣94．（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300B．±84C．±48D．±12 5．（2023秋•海安市期末）已知xy＝4，则x2﹣2x+y2﹣2y的最小值是（）A．﹣9B．﹣2C．0D．26．（2023秋•宣化区期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（）A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）7．（2023秋•鲅鱼圈区期末）已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（）A．57B．120C．﹣39D．﹣150 8．（2023秋•东兴区校级期中）已知，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．0B．C．2D．3二．填空题（共5小题）9．（2023秋•乌兰察布期末）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC 的形状是．10．（2023秋•通山县期末）已知：x2﹣x＝1，则x4﹣x3﹣2x2+x+1的值是．11．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若将多项式2x3﹣x2+m进行因式分解后，有一个因式是x+1，则m的值为．12．（2022秋•东莞市校级期末）已知a＝x+20，b＝x+19，c＝x+21，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是．13．（2022秋•芝罘区期末）计算：20232﹣2023×2022＝．三．解答题（共3小题）14．（2023秋•梨树县期末）已知a﹣b＝7，ab＝﹣12．（1）求a2b﹣ab2的值；（2）求a2+b2的值；（3）求a+b的值．15．（2023秋•东辽县期末）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：①ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）②2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？。
公式法分解因式经典练习题分类汇编
【基础知识】公式法分解因式（1）平方差公式： a 2－b 2＝ .（2）完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝ . a 2－2ab ＋b 2＝ .（3）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+.（4）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++.【题型1】利用平方差公式分解因式分解因式：(1)4x 2－y 2； (2)－16＋a 2b 2； (3)x 2100－25y 2； (4)(x ＋2y)2－(x －y)2.【变式训练】 1.分解因式(1)4a 2－y 2； (2)x 2y 4－49； (3)4a 2－(3b －c)2； (4)(x ＋y)2－4x 2； (5)x 4－16；(6)(4x －3y)2－25y 2 (7)25(a ＋b)2－4(a －b)2； (8)9x 2－(2x －y)2；(9)(a ＋b)4－(a －b)4；(10)(2x ＋y)2－(x －2y)2； (11)9(a ＋b)2－16(a －b)2； (12)9(3a ＋2b)2－25(a －2b)2．2.分解因式(1)a 3－9a ； (2)3x 2－12； (3)8m 3－2m ； （4）12 m 2n 2-8； （5）31a 2b 2-3.(6)3m(2x －y)2－3mn 2； (7)(a －b)b 2－4(a －b)； (8)x ²-y ²-3x-3y ； (9)a 2（a-b ）+b 2（b-a ）.【题型2】完全平方式已知x 2＋kxy ＋16y 2是一个完全平方式，则k 的值是 .【变式训练】1.下列式子为完全平方式的是( )A.a 2＋ab ＋b 2B.a 2＋2a ＋2C.a 2－2b ＋b 2D.a 2＋2a ＋12.若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式，则 k 的值是（ ）A.±4B.±2C.3D.4或23.已知a 2x 2±2x＋b 2是完全平方式，且a ，b 都不为零，则a 与b 的关系为（ ）A.互为倒数或互为负倒数B.互为相反数C.相等的数D.任意有理数4.下列各式能组成完全平方式的个数是 .①x 6－31128x ②x 8+4x 4+4 ③3m 2+2m+3 ④m 2－2m+4 5.若x 2＋8x ＋k 是完全平方式，则k ＝ .6.若x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m 的值是 .【题型3】利用完全平方公式分解因式分解因式： (1)a 2+4a ＋4； (2)x 2＋4y 2－4xy ； (3)9+12a ＋4a 2； (4)a 2－2a ＋1.【变式训练】1.因式分解：(1)4x 2＋y 2－4xy ； (2)9－12a ＋4a 2； (3)(m ＋n)2－6(m ＋n)＋9.2.分解因式：（1）ab2-4ab+4a；（2）-3x+12x-12；（3）4x2-8x+4；(4)2a3－8a2＋8a； (5)－2x2y＋12xy－18y； (6)3x2－6x＋3； (7)－4a2＋24a－36.(8)2a3b－8a2b＋8ab； (9)4x3y-24x2y+39xy； (10)-3x2y+6xy-3y； (11)4a2b2＋24ab+36.3.分解因式(1)x(x－1)－3x＋4； (2)(x－2y)2＋8xy；（3）（2a+b）2-4ab；（4）（x-y）2-z2+4xy；(5)ab(ab+2)+2ab＋4； (6)(x+2y)2-8xy；（7）（x-y）2+4xy；（8）（2a-b）2-c2+8ab.。
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因式分解中的常见题型
一、因式分解： (公式法及提取公因式法)
1.m2(p －q) －p＋q；
2.a(ab ＋bc＋ac) －abc；
3.abc(a 2＋b2＋c2) －a3bc＋2ab2c2；
4.a 2(b －c) ＋b2(c －a) ＋c2(a －b) ；
5.(x 2－2x)2 ＋2x(x －2) ＋1；
6.(x －y) 2＋12(y －x)z ＋36z2；
7.x 2－4ax＋8ab－4b2；
8.(ax ＋by) 2＋(ay －bx) 2＋2(ax ＋by)(ay －bx) ；
9.(1 －a2)(1 －b2) －(a 2－1)2(b 2－1) 2；
10.(x ＋1) 2－9(x －1) 2；
11.4a 2b2－(a 2＋b2－c2) 2；
12.ab 2－ac2＋4ac－4a；
13.x 2＋4xy＋3y2；
14.x 2＋18x－144；
15.x 4＋2x2－8；
4 2
16.－m＋18m－17；
17.x 5－2x3－8x；
18.(x 2－7x) 2＋10(x 2－7x) －24；
19.5 ＋7(a ＋1) －6(a ＋1) 2；
20.(x 2＋x)(x 2＋x－1) －2；
21.x 2＋y2－x2y2－4xy－1；
22.(x －1)(x －2)(x －3)(x －4) －48；
23.x 2－y2－x－y；
24.ax 2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；
42
25.m ＋m＋1；
26.a 2－b2＋2ac＋c2；
27.a 3－ab2＋a－b；
28.625b 4－(a －b) 4；
29.x6 －y6＋3x2y4－3x4y2；
30.x 2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；
31.m2－a2＋4ab－4b2；
22
32.5m－5n－m＋2mn－n .
二、证明 (求值) ：
1.已知 a＋b=0，求 a3－2b3＋a2b－ 2ab2的值 .
2.求证：四个连续自然数的积再加上 1，一定是一个完全平方数 .
3.证明： (ac －bd) 2＋(bc ＋ad) 2=(a 2＋b2)(c 2＋d2).
4.已知 a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求 a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac 的值 .
5.若 x2＋mx＋n=(x －3)(x ＋4) ，求 (m＋n) 2的值.
6.当 a 为何值时，多项式 x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24 可以分解为两个一次因式的乘积 .
7.若 x，y 为任意有理数，比较 6xy 与 x2＋9y2的大小 .
8.两个连续偶数的平方差是 4 的倍数 .
三、分解因式（十字相乘法）
(1)x2-6 x-7(2)x2+6x-7
(3)x2-8 x+7(4)x2+8x+7
(5)x2-5 x+6(6)x2-5 x-6
(7)x2+5x-6(8)x2+5x+6
(9) x2－7x + 12(10) x2－4x－12
(11) x2 + 8x + 12(12) x2－11x－12
(13) x2 + 13x + 12(14) x2－x－12；
、2-3x ＋2) (x2-3x-4) －72
15(x
16、.求值题⑴已知 x2＋2x=3，求代数式 x2＋6x 的值；
⑵已知（ x2＋y2）（x2＋y2 -1 ）-6=0，求代数式 x2＋y2的值；
⑶已知 3x2＋xy- 2y2=0，求代数式 x2- 4y 2 +x- 2y2的值；
93
17．x2+6x-7218．（x+y）2-8（x+y）+48 19．x4-7x2+18；20．x2-10xy-56y2
21、2x2-7x+322、6x2-7x-5
23、5x2+6xy-8y 224、（x-y）（2x-2y-3）-2
25、2x2-5x-1226、3x2-5x-2；
27、6x2-13x+5；28、7x2-19x-6；
29、12x2-13x+3；30、4x2+24x+27
31、6x2-13x+6y 2；32、8x2y2+6xy-35；
33、18x2-21xy+5y2；34、2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。
35、2x2+3x+1；36、2y2+y-6；
37、6x2-13x+6；38、3a2-7a-6；
39、6x2-11xy+3y2；40、4m2+8mn+3n2；
41、10x2-21xy+2y 2；42、8m2-22mn+15n2
43、4n2+4n-15；44、6a2+a-35；
45、5x2-8x-13；46、4x2+15x+9；
一、知识要点：
1、因式分解的意义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，
叫做多项式的因式分解。
注意：因式分解与整式乘法的联系与区别。
如：a2b2 a b a b 属于因式分解， a b a b a2b2属于整式乘法。
2、因式分解的方法：
（1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
这种分解因式的方法叫做提取公因式法。
即：
ma mb mc m a b c .
（2）运用公式法：如果把乘法公式反过来应用，就可以把多项式写成积的形式，达到分解因式的目的。
这种方法叫做公式法。
如：
①平方差公式： a2b2 a b a b
②完全平方和（差）公式： a22ab b2 a b 2
（3）分组分解法：运用加法交换律、结合律把多项式分组后，
应用上述方法（ 1）、（2）来分解因式。
（4）十字相乘法：型如x2p q x pq x p x q 。
3、因式分解的一般步骤：
（1）对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解。
（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。
（4）对于四项以上的多项式，考虑用分组分解法。