九年级数学圆的有关性质-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
初中九年级上数学练习题(圆的有关性质).doc
九年级上数学练习题（圆的有关性质）一、选择题1、下列结论正确的是（ )A ．弦是直径B ．弧是半圆C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径2、下列说法正确的是（ )A ．一个点可以确定一条直线B ．两个点可以确定两条直线C ．三个点可以确定一个圆D ．不在同一直线上的三点确定一个圆3、若⊙P 的半径为13，圆心P 的坐标为（5, 12 ), 则平面直角坐标系的原点O 与⊙P 的位置关系是（ ) A ．在⊙P 内 B ．在⊙P 内上 C ．在⊙P 外 D ．无法确定4、已知⊙O 的直径为10，圆心O 到弦的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ）A 、4B 、6C 、7D 、85l ，那么它的外接圆的直径是（ )A.1B.2C.3D.46、已知⊙O 的半径长6cm ，P 为线段O A 的中点，若点P 在⊙O 上，则OA 的长是（ )A ．等于6cmB ．等于12cmC ．小于6cmD ．大于12cm7、正方形ABCD 的边长是l ，对角线AC ，BD 相交于点O ，若以O 为圆心作圆．要使点A 在⊙O 外，则所选取的半径可能是（ )A.128、出下列命题： (l )垂直于弦的直线平分弦； (2 )平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3 )平分弦的直线必过圆心； (4 )弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
其中正确的命题有（ )A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个9、小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块10、如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形ABOC, DEOF,HMNO 均为矩形，设BC=a,EF=b, NH=C ，则下列各式中正确的是( ) A.a>b>c B.a=b=c C.c>a>b D.b>c>a11、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm , P 是弦AB 上一点，若OP 的长是整数， 则满足条件的点P 有（ ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个二、填空题12、圆上各点到圆心的距离都等于 , 到圆心距离等于半径的点都在 .13、若圆的一条弦长为该圆的半径等于12cm ，其弦心距等于 cm.14、在Rt △ABC 中，∠C=900, CD ⊥AB, AC=2, BC=3，若以C 为圆心，以2为半径作⊙C ，则点 A在⊙C ，点B 在⊙C ，点D在⊙C .15、三角形的外心是三角形的三条的交点。
中考数学复习《圆的有关性质》测试题(含答案)
中考数学复习《圆的有关性质》测试题（含答案）一、选择题(每题5分，共30分)1．[2014·梧州]已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O 的位置关系是(C) A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【解析】∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O 的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．2．[2015·珠海]如图29－1，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)A．25°B．30°C．40°D．50°图29－1【解析】∵在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∴AD︵＝BD︵，∴∠DOB＝2∠C＝50°.3．[2015·遂宁]如图29－2，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝(B) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm图29－2【解析】 显然利用垂径定理．如答图，连结OA ， ∵AB ＝6 cm ，AC ＝12AB ＝ 3 cm ， 又⊙O 的半径为5 cm ，所以OA ＝5 cm ， 在Rt △AOC 中， OC ＝AO 2－AC 2＝52－32＝4(cm)．4．[2015·宁波]如图29－3，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠A ＝72°，则∠BCO 的度数为(B)A ．15°B ．18°C ．20°D ．28°图29－3【解析】 连结OB ，如答图，∠BOC ＝2∠A ＝2×72°＝144°，∵OB ＝OC ，∴∠CBO ＝∠BCO ，∴∠BCO ＝12(180°－∠BOC )＝12×(180°－144°)＝18°.5．[2015·巴中]如图29－4，在⊙O 中，弦AC ∥半径OB ，∠BOC ＝50°，则∠OAB 的度数为(A)A ．25°B ．50°C ．60°D ．30° 【解析】 ∵∠BOC ＝2∠BAC ，∠BOC ＝50°，第3题答图第4题答图∴∠BAC＝25°，∵AC∥OB，∴∠BAC＝∠B＝25°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B＝25°.图29－4 图29－56．[2014·荆门]如图29－5，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D) A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD【解析】由题意可知，∠ADC＝∠ADB＝90°，A．∵∠ACD＝∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A正确；B．∵AD＝DE，∴AD︵＝DE︵，∴∠DAE＝∠B，∴△ADC∽△BDA，故B正确；C．∵AD2＝BD·CD，∴AD∶BD＝CD∶AD，∴△ADC∽△BDA，故C正确；D．∵AD·AB＝AC·BD，∴AD∶BD＝AC∶AB，但∠ADC＝∠ADB不是夹角，故D错误．二、填空题(每题5分，共30分)7．[2015·贵州]如图29－6，A ，B ，C 三点均在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB ＝__40°__．【解析】 ∠ACB ＝12∠AOB ＝12×80°＝40°.图29－6 图29－78．[2015安徽]如图29－7，点A ，B ，C 在⊙O 上，⊙O 的半径为9，AB ︵的长为2π，则∠ACB 的大小是__20°__．9．[2015·娄底]如图29－8，在⊙O 中，AB 为直径，CD 为弦，已知∠ACD ＝40°，则∠BAD ＝__50__度． 【解析】 ∵在⊙O 中，AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠B ＝∠ACD ＝40°，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝50°.10.[2015·泰州]如图29－9，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A ＝115°，则∠BOD 等于__130°__．【解析】 ∵∠A ＝115°，∴∠C ＝180°－∠A ＝65°，∴∠BOD ＝2∠C ＝130°.图29－9 图29－10图29－811．[2015·绍兴]如图29－10，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于__60__度． 【解析】 ∵A (0，1)，B (0，－1)， ∴AB ＝2，OA ＝1，∴AC ＝2， 在Rt △AOC 中，cos ∠BAC ＝OA AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.12．某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段与原管道同样粗细的新管道．如图29－11，水面宽度原有60 cm ，发现时水面宽度只有50 3 cm ，同时水位也下降65 cm ，则修理人员应准备的半径为__50__cm 的管道．图29－11【解析】 如答图所示：过点O 作EF ⊥AB 于点F ，交CD 于点E ，连结OC ，OA ， ∵CD ∥AB ，∴EF ⊥CD ，∵CD ＝60 cm ，AB ＝50 3 cm ， ∴CE ＝12CD ＝12×60＝30 cm ， AF ＝12AB ＝12×503＝25 3 cm ，设⊙O 的半径为r ，OE ＝h cm ，则OF ＝65－h (cm)， 在Rt △OCE 中，OC 2＝CE 2＋OE 2，即r 2＝302＋h 2，①第12题答图在Rt△OAF中，OA2＝AF2＋OF2，即r2＝(253)2＋(65－h )2，②①②联立，解得r＝50 cm.三、解答题(共10分)13．(10分)[2014·湖州]如图29－12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．图29－12解：(1)证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD；(2)由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，第13题答图如答图，连结OA，OC，∴CE＝OC2－OE2＝82－62＝27.AE＝OA2－OE2＝102－62＝8.∴AC＝AE－CE＝8－27.14．(8分)[2015·安顺]如图29－13，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为(C)图29－13A．2 2 B．4C．4 2 D．8【解析】∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝22OC＝22，∴CD＝2CE＝4 2.15．(10分)某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2 m，如图29－14，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD＝2.4 m．现有一艘宽3 m，船舱顶部为方形并高出水面(AB)2 m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？图29－14解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB的中点．∵AB＝7.2 m，∴BD＝12AB＝3.6 m.第15题答图设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝OC－CD＝r－2.4.在Rt△BOD中，根据勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9(m)．∵CD＝2.4 m，船舱顶部为方形并高出水面AB为2 m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96，∴EN＝ 2.96 m，∴MN＝2EN＝2× 2.96≈3.44(m)＞3(m)，∴此货船能顺利通过这座拱桥．16．(12分)[2015·台州]如图29－15，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.图29－15解：(1)∵BC＝DC，∴BC︵＝DC︵.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°；(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.。
人教版数学九年级上册24.1《圆的有关性质》训练题
24.1 圆的有关性质1.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）．B．BC BD= C．∠BAC=∠BAD A．CE=DED．AC>AD2．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（） A．4 B．6 C．7 D．83．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．AD BD= D．PO=PD4.下列命题中，真命题的个数为（）①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③900的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个5.如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对6.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧AB与CD关系是（）A.AB=2CDB.AB>CDC.AB<2CDD.不能确定7.如图，⊙O中，如果AB=2AC，那么（）A．AB=AC B．AB=AC C．AB<2AC D．AB>2AC 8.如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（）A.2对B.4 对C.8 对D.16对9.如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K=200，∠PMQ =400，则∠MQP等于（）A. 300B. 350C. 400 D . 50010.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC 和∠ACB的平分线分别交⊙O于点D, E，且BD=CE，则∠A 是（ )A.300B.450C.600D.90011.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个12.如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．13.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．14.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____.7题8题1题2题3题9题10题11题12题15.如图，A, B, C, D 是⊙O 上的点，已知∠1=∠2，则与AD 相等的弧是 ，与BCD 相等的弧是 ，于是AD= , BD= .16.如图，以ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交BC 、AD 于E 、F ，若∠D=50°，求BE 的度数和EF 的度数．17.如图， AB 是⊙O 的直径，C, D 是AB 上的点，且AC=BD; P ，Q 是⊙O 上在AB 同侧的两点，且AP BQ =, 延长PC, QD 分别交⊙O 于点M, N ．求证：AM BN =.18.如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ， 求AB 、AD 的长。
初三数学圆的试题及答案
初三数学圆的试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 圆的半径为5，圆心到圆上任意一点的距离称为圆的半径，这种说法（）A. 正确B. 圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离C. 错误D. 无法判断2. 已知圆的半径为4厘米，圆心到圆上一点的距离为2厘米，那么这个点（）A. 一定在圆内B. 一定在圆上C. 一定在圆外D. 不能确定3. 圆的周长公式是（）A. C = πrB. C = 2πrC. C = πdD. C = 2πd4. 圆的面积公式是（）A. S = πr²B. S = 2πrC. S = πdD. S = πd²5. 已知圆的直径为10厘米，那么这个圆的半径是（）A. 5厘米B. 10厘米C. 20厘米D. 15厘米二、填空题（每题2分，共10分）6. 圆的直径是半径的________倍。
7. 如果一个圆的半径为3，则其周长为________厘米。
8. 圆的面积与半径的平方成________比。
9. 一个圆的半径增加1厘米，其面积增加________平方厘米。
10. 圆心角为60°的扇形面积是同半径圆面积的________。
三、简答题（每题5分，共10分）11. 圆的切线有哪些性质？12. 圆的内接四边形有哪些性质？四、计算题（每题10分，共20分）13. 已知一个圆的半径为7厘米，求这个圆的周长和面积。
14. 已知一个扇形的半径为8厘米，圆心角为120°，求这个扇形的弧长和面积。
五、应用题（每题15分，共30分）15. 一个圆形花坛的直径为20米，求这个花坛的周长和面积。
16. 一个圆环，内圆半径为3厘米，外圆半径为5厘米，求这个圆环的面积。
答案：1. C2. C3. B4. A5. A6. 27. 18.848. 正9. 6π10. 1/611. 圆的切线性质：①切线垂直于过切点的半径；②过圆心的直线与切线垂直；③切线与圆只有一个公共点。
初中九年级数学中考专项复习综合滚动练习：圆的有关性质(含答案)
初中九年级数学中考专项复习综合滚动练习：圆的有关性质(含答案)综合滚动练习：圆的有关性质时间：45分钟分数：100分得分：________一、选择题(每题4分，共32分) 1．⊙O的半径为5，直线AB与⊙O有交点，那么点O到直线AB的距离可能为( ) A．5.5 B．6 C．4.5 D．72．如图，点A，B，C均在⊙O上，假设∠B＝40°，那么∠AOC的度数为( ) A．40°B．60° C．80° D．90°第2题图第3题图3．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，测直径时把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，那么圆的直径为( )A．12个单位 B．10个单位 C．4个单位 D．15个单位 4．(2022·福建中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．以下四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD第4题图第5题图第6题图5．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，BC＝CD＝DA，那么∠BCD 等于( )A．100° B．110° C．120° D．135°6．如图，A，B，C，D为⊙O上的点，OC⊥AB于点E，假设∠CDB＝30°，OA ＝2，那么AB的长为( )A.3 B．23 C．2 D．47．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，那么剪下的△AMN的周长为( )A．20cm B．15cm C．10cm D．无法确定- 1 -8．(2022·陕西中考)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙⊙O 上的一点，在△ABP中PB＝AB，那么PA的长为( )53A．5 B. C．52 D．532二、填空题(每题4分，共24分) 9．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，点E在DC的延长线上．假设∠A＝50°，那么∠BCE＝________．第9题图第10题图第11题图10．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，∠ACD＝40°，那么∠BAD＝________°. 11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，那么∠ABC＝________． 12．如图①，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图②是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，那么该脸盆的半径为________cm.第12题图第13题图第14题图13．(2022·宜春二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB＝90°，⊙P1是△OAB的内切圆，且P1的坐标为(3，1)，那么OB的长为________．14．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，假设∠CBD＝32°，那么∠BEC的度数为________．三、解答题(共44分)15．(10分)如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠D＝2∠A.(1)求∠D的度数；(2)假设CD＝2，求BD的长．16．(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O- 2 -上一点，且∠AED＝45°.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；5(2)假设⊙O的半径为3，sin∠ADE＝，求AE的长．617．(12分)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD的延长线与BC的延长线交于点E，DC＝DE.(1)求证：∠A＝∠AEB；(2)连接OE，交CD于点F，OE⊥CD.求证：△ABE是等边三角形．18．(12分)★在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD.(1)如图①，假设点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径r； (2)如图②，假设点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数．- 3 -参考答案与解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A8．D 解析：连接OA，OB，OP，OB与AP交于点D.∵∠C＝30°，∴∠APB＝∠C＝30°.∵PB＝AB，∴∠PAB＝∠APB＝30°，∴∠ABP＝120°.∵PB＝AB，∴OB ⊥AP，AD＝PD，∴∠OBP＝∠OBA＝60°.∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5，那么Rt△ABD中，AD＝sin60°·AB＝353×5＝，∴AP＝2AD＝53.应选D. 229．50°° 12.25 13.514．122°解析：在△ABC的外接圆中，∵∠CBD＝32°，∴∠CAD＝32°.∵点E是△ABC的内心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠BAC ＝2∠CAD＝2×32°＝64°，∴∠EBC＋∠ECB＝(180°－64°)÷2＝58°，∴∠BEC＝180°－58°＝122°.15．解：(1)∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠COD＝∠A＋∠ACO＝2∠A.∵∠D ＝2∠A，∴∠D＝∠COD.(3分)∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝45°.(5分)(2)由(1)可知∠D＝∠COD，∴∵CD＝2，∴OC＝OB＝2.(7分)在Rt△OCD中，由勾股定理得OD2＝OC2＋CD2＝22＋22＝8，∴OD＝22，∴BD＝OD－OB＝22－2.(10分)16．解：(1)CD与⊙O相切．(1分)理由如下：连接OD，那么∠AOD＝2∠AED ＝2×45°＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，(3分)∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD.∴CD与⊙O相切．(5分)(2)连接BE，那么∠ADE＝∠ABE.∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6.(8AE5分)在Rt△ABE中，∵sin∠ABE＝sin∠ADE＝＝，∴AE＝5.(10分)AB617．证明：(1)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠BCD＝180°.∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE.(4分)∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∴∠A＝∠DEC，即∠A＝∠AEB.(6分)(2)由(1)可知∠A＝∠AEB，∴AB＝EB，∴△ABE是等腰三角形．(7分)∵OE⊥CD，∴CF＝DF，∴OE是CD的垂直平分线，∴∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE 是等边三角形，(10分)∴∠AEB＝60°，∴△AEB是等边三角形．(12分)1118．解：(1)过点O作OE⊥AC于点E，那么AE＝AC＝×2＝1.∵翻折后点D与圆心O22212322222?1?重合，∴OE＝r.(3分)在Rt△AOE中，AO＝AE＋OE，即r＝1＋?2r?，解得r＝.(623。
人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案
人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=8cm,则油面的深度为（）A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm第1题第2题第3题第4题2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的两点,连接AC,OD,CD,且AC//OD,若AB=6,∠ACD=15°,则AC的长为（）A.2√2B.4C.3√2D.3√33.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为⊙O的直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是（）A.15°B.25°C.35°D.65°4.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,若BD=BC,∠ABC=65°,则∠BOD 的度数（）A.65°B.60°C.50°D.25°5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,∠BAC=28°,则∠D的度数是（）A.56°B.58°C.60°D.62°第5题第6题第7题第8题6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=84°,则∠C的度数为（）A.88°B.92°C.106°D.138°7.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B的大小是（）.A.35°B.45°C.60°D.70°8.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°̂的中点,连接9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBDAF,BF,AC,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,交⊙O于点H.̂=DF̂②HC = BF③MF = FC④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂.其中现有以下结论:①CF成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,点P在⊙O的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上,点C,E,F,H 都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16,OP=√2,则DG 的长是（ ） A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3第10题 第11题 第12题 第13题11.如图,⊙O 经过菱形ABCD 的顶点A,B,C,顶点D 在⊙O 内,延长AD,CD 与⊙O 分别交于点E,F,连接 BE,BF.下列结论:①BE=BF ②AB ̂=AF ̂=EF ̂③∠ABC=90°+ 12∠EBF,其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①③ C. ②③ D.①②③12.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD ⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4,则AB 的长（ ）A.6√2B.10C.12D.6√513.如图,在半径为√13的⊙O 中,弦AB 与CD 交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD 的长（ ）A.2√6B.2√10C.2√11D.4√314.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为（ ）A.(4,176) B .(4,3) C.(5,176) D .(5,3) 15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=3.若P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为（ ）A.1.5B.√3C.√3D.216.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O 上的一动点,Q 为AP 的中点,连接CQ,则线段CQ 的最大值为（ ）A.3B.1+√6C.1+3√2D.1+√7二、填空题17.如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E 的度数_______.18.如图,AB,CD 是⊙O 的直径,弦BE 与CD 交于点F,F 为BE 中点,AF//ED,若AF 的长为 2√3,则BC 的长为___.第17题 第18题 第19题19.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E,AB̂=BF ̂,CE =1,AB=6,则弦AF 的长度为___. 20.如图,⊙E 与y 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的上方),与x 轴的正半轴相交于点C,且圆心E 的坐标为(m,0),半径为5;直线l 的函数表达式为y=34x+n,且经过点A 并与x 轴相交于点D(-/2,0).若以C为顶点的抛物线过点B,则该抛物线的函数表达式为___.第20题第21题第22题21.如图,AB是⊙O的弦,AB= 6√3,∠AOB=120°,C为⊙O上的一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连接DE,则线段DE的取值范围是____.22.如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE长的最小值为____.三、解答题̂的中点,连结CD,CA,AD.23.如图 1,AB是⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为ABD(1)求证:OC平分∠ACD.(2)如图 2,延长AC,DB相交于点E.①求证:OC//BE.②若CE = 4√5,BD =6,求⊙O的半径.24.如图,⊙O为Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4,点D是⊙O上的动点,且点C,D 分别位于AB的两侧.(1)求⊙O的半径;(2)当CD=4√2时,求∠ACD的度数;(3)设AD的中点为M,在点D的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点A,C 且与边AE,CE 分别交于点D,F,点B 是AĈ上一点,且DF̂=BC ̂,连接AB,BC,CD. (1)求证:△CDE ≌△ABC;(2)若AC 为⊙O 的直径,填空:①当∠E =______时,四边形ABCD 为正方形;②当∠E =____时,四边形OCFD 为菱形.26.已知⊙O 中,弦AB=AC,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA,PB,PC 之间的关系.参考答案一、选择题1-5 ADBCD 6-10 DABCB 11-15 BDCAB 16 D二、填空题17. 215° 18.2√619.485 20.y=−116(x −8)221.3√3-3≤DE ≤3√3+322.94 三、解答题23.(1)提示：圆心角定理，垂径定理.(2)①略②半径长5.24(1)半径长4.(2)15°(3)2√ 3+225.(1)略(2)①45°②60°26.(1)略(2)①PA=PB+PC。
九年级数学上学期 24.1 圆的有关性质 同步练习卷 含解析
24.1 圆的有关性质一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．39．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为．（只考虑小于90°的角度）14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为寸．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（）A．a＞b B．a≥b C．a＜b D．a≤b【分析】根据直径是弦，且是最长的弦，即可求解．【解答】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．故选：B．2．已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A．等于6cm B．等于12cm C．小于6cm D．大于12cm【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP ＝12．故选：B．3．下列说法错误的是（）A．圆有无数条直径B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦C．过圆心的线段是直径D．能够重合的圆叫做等圆【分析】根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．【解答】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．4．如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（）A．猫先到达B地B．老鼠先到达B地C．猫和老鼠同时到达B地D．无法确定【分析】利用半圆的弧长公式，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：以AB为直径的半圆的长是：π•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．则老鼠行走的路径长是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选：C．5．如图，AB，CD是⊙O的直径，＝，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（）A．32°B．60°C．68°D．64°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由＝得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°．【解答】解：∵＝，∴∠BOD＝∠AOE＝32°，∵∠BOD＝∠AOC，∴∠AOC＝32°∴∠COE＝32°+32°＝64°．故选：D．6．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（）A．AB＞2AMB．AB＝2AMC．AB＜2AMD．AB与2AM的大小不能确定【分析】以及等弧所对的弦相等，以及三角形中两边之和大于第三边，即可判断．【解答】解：连接BM．∵M为的中点，∴AM＝BM，∵AM+BM＞AB，∴AB＜2AM．故选：C．7．在同圆中，若AB＝2CD，则与的大小关系是（）A．＞B．＜C．＝D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE 与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．【解答】解：如图所示，CD＝DE，AB＝2CD，在△CDE中，∵CD＝DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD＝AB，∴CE＜AB，∴＜．故选：A．8．如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A．4B．6 C．2D．3【分析】过O作垂直于AB的半径OC，设交点为D，根据折叠的性质可求出OD的长；连接OA，根据勾股定理可求出AD的长，由垂径定理知AB＝2AD，即可求出AB的长度．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD＝OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD＝，由垂径定理得，AB＝2AD＝4，故选：A．9．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．6【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，故选：D．10．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【分析】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC＝∠EBC＝65°，再根据AC＝AD得出∠ACD ＝∠ADC＝65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD＝50°，再由圆周角定理得出∠DBC＝∠CAD＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．【解答】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．二．填空题（共8小题）13．如图，小量角器的0°刻度线在大量角器的0°刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40°，那么在小量角器上对应的度数为70°．（只考虑小于90°的角度）【分析】设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为B．利用三角形的内角和定理求出∠PBA的度数．然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．【解答】解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB＝90°，∠PAB＝20°，因而∠PBA＝90°﹣20°＝70°，在小量角器所求弧所对的圆心角为70°，因而P在小量角器上对应的度数为70°．故答案为：70°；14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是28°．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠DOE是△AOE的外角，得∠A+∠AEO＝∠EOD，即∠A+2∠A＝84°，∠A＝28°．故答案为：28°．15．如图所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是15+5．【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长，∵弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠DBA＝90°，∴由勾股定理得AD的长为5，∴周长为5×3+5＝15+5．故答案为：15+5．16．如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于60 度．【分析】先利用PA＝PB，∠P＝60°得出△PAB是等边三角形，再求出△COA，△DOB也是等边三角形，得出∠COA＝∠DOB＝60°，可求∠COD．【解答】解：连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，有∠A＝∠B＝60°，∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，∴∠COA＝∠DOB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60度．17．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是 4 ．【分析】方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，求出当DK为直径时符合，再求出PM即可；方法二、求出C，M，O，P，四点共圆，连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．【解答】解：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO＝4时PM最大．即PM max＝4，故答案为：4．18．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为26 寸．【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt △OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．19．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝54°，则∠BAD＝36°．【分析】连接BD，根据AB为直径，得出∠ADB＝90°，∠ABD＝∠ACD＝54°，继而可求得∠BAD．【解答】解：连接BD，如图所示：∵∠ACD＝54°，∴∠ABD＝54°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝36°，答案为：36°．20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为110°．【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．【解答】解：∵∠B＝110°，∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．三．解答题（共5小题）21．如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由AD＝BC得到＝，把两弧都加上弧AC 得到＝，于是得到DC＝AB．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴DC＝AB．22．已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点．求证：AD＝BC．【分析】利用SAS证明△AOD≌△BOC，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BC．【解答】证明：∵OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点，∴OA＝OB，OC＝OD．在△AOD与△BOC中，∵，∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴AD＝BC．23．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．【分析】过O作OF垂直于CD，连接OD，利用垂径定理得到F为CD的中点，由AE+EB 求出直径AB的长，进而确定出半径OA与OD的长，由OA﹣AE求出OE的长，在直角三角形OEF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OF的长，在直角三角形ODF中，利用勾股定理求出DF的长，由CD＝2DF即可求出CD的长．【解答】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF＝DF，∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，∴OA＝4，∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，∴OF＝OE＝1，在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，根据勾股定理得：DF＝＝，则CD＝2DF＝2．24．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34；（2）连结OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16．∴A′B′＝32．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取紧急措施．25．已知：如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E．（1）∠E的度数为600；（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．【分析】（1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；（2）同理解答（2）（3）．【解答】解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，∵OD＝OC＝CD＝2∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°∴∠DBC＝30°∴∠EBD＝30°∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴∠E＝90°﹣300＝600∠E的度数为600；（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠EBD＝30°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠E＝90°﹣30°＝60°，（3）如图3，连结OD，OC，∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴∠ADB＝90°，∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°．。
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质
2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质一．选择题（共5小题）1．（2020秋•龙游县期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（）A．131°B．119°C．122°D．58°2．（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2021•清江浦区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°4．（2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等5．（2021•亭湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝20°，则∠1的大小是（）A．160°B．150°C．140°D．40°二．填空题（共5小题）6．（2021春•兴化市期末）如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝30°，则∠B＝°．7．（2020秋•温江区校级期末）如图，点M为⊙O的半径OA的中点，弦BC过点M且垂直于AO，若AO＝4，则弦BC的长为．8．（2021春•射阳县校级期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD （填“＞”“＜”或“＝”）．9．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为．10．（2020秋•龙游县期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是．三．解答题（共5小题）11．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．12．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．13．（2021春•昌江区校级期末）已知：在圆O内，弦AD与弦BC相交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG．（1）证明：OG⊥MN；（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形．14．（2021春•亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．15．（2020秋•南平期末）在扇形AOC中，∠AOC＝60°，点B在上，且＝2，点E 在半径OB上，以OE，OA为邻边作平行四边形OAFE，当点C，B，F共线时．（1）求∠CF A的度数；（2）求证：CF＝OC．2022-2023学年上学期初中数学人教版九年级期末必刷常考题之圆的有关性质参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2020秋•龙游县期末）如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（）A．131°B．119°C．122°D．58°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】先利用圆周角定理求出∠D＝61°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠ACB 的度数．【解答】解：∵∠AOB＝122°，∴∠D＝∠AOB＝61°，∵四边形ADBC为⊙O内接四边形，∴∠ACB+∠D＝180°，∴∠ACB＝180°﹣61°＝119°．故选：B．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．2．（2021春•巨野县期末）下列说法：①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】圆的认识．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】利用圆的有关定义与性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①弦是直径，错误，符合题意；②半圆是弧，正确，不符合题意；③过圆心的弦是直径，故错误，符合题意；④圆心相同半径相同的两个圆是同圆，故错误，符合题意，错误的有3个，故选：C．【点评】主要考查圆的认识，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021•清江浦区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，若∠AOC＝120°，则∠D的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】根据邻补角的性质求得∠BOC的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得∠BDC的度数，【解答】解：∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝60°，∴∠BDC＝∠BOC＝30°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（2020秋•西林县期末）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．【分析】根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．【解答】解：A．如图，弦AB＝弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；C．如图，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；D．如图，弦AB＝弦AB，但是圆心角∠ADB和∠ACB不相等，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．5．（2021•亭湖区一模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝20°，则∠1的大小是（）A．160°B．150°C．140°D．40°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】首先根据圆周角定理求得∠2＝2∠D＝40°，然后由邻补角的定义求∠1的大小．【解答】解：如图，＝，∠D＝20°，∴∠2＝2∠D＝40°．∴∠1＝180°﹣∠2＝140°．故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二．填空题（共5小题）6．（2021春•兴化市期末）如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝30°，则∠B＝75°．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】先根据圆周角定理得到∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．【解答】解：∵弧AB＝弧AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝30°，∴∠B＝×（180°﹣30°）＝75°．故答案为75．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．（2020秋•温江区校级期末）如图，点M为⊙O的半径OA的中点，弦BC过点M且垂直于AO，若AO＝4，则弦BC的长为4．【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理．【专题】圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】连接OB，根据垂径定理得出BM＝CM，根据直角三角形的边角关系求得∠OBM ＝30°，解直角三角形求得BM，进而即可求得BC．【解答】解：连接OB，∵点M为⊙O的半径OA的中点，∴OM＝OB，∵弦BC过点M且垂直于AO，∴∠OBM＝30°，∴BM＝OB＝×4＝2，∵OA⊥BC，∴BM＝CM，∴BC＝2BM＝4，故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．8．（2021春•射阳县校级期末）如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC＝BD （填“＞”“＜”或“＝”）．【考点】圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观；模型思想．【分析】根据同圆与等圆中，圆心角、弦、弧的关系得出＝即可．【解答】解：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AC＝BD，故答案为：＝．【点评】本题考查圆心角、弦、弧的关系，掌握在同圆与等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组量也对应相等是正确解答的前提．9．（2020秋•南充期末）如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为20cm．【考点】垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】作OD⊥AB于D，连接OB，根据垂径定理得到AD＝BD＝30cm，即可得到PD ＝100cm，利用勾股定理即可求得结果．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OB，∴AD＝BD＝AB＝30cm，∴OD＝＝＝40（cm），∴PD＝PB+BD＝70+30＝100（cm），∴OP＝＝20（cm）；故答案为20cm．方法二：解：延长PO交圆于D；∵AB＝60cm，PB＝70cm，∴P A＝130cm；由割线定理，得：PB•P A＝PC•PD；设点P到圆心的距离是xcm，则有：（x﹣50）（x+50）＝70×130，解得x＝20cm．故OP长为20cm．故答案为20cm．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．10．（2020秋•龙游县期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是36°．【考点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【分析】连接AF、BF，根据等腰三角形的性质得出∠FOC＝∠CFO＝α，求出∠FCB＝2α，根据平行四边形的性质得出EF∥AB，AE∥CF，根据平行线的性质得出∠A＝∠FCB＝2α，∠EF A＝∠F AB，求出∠B＝∠A＝2α，根据OF＝OB求出∠OFB＝∠B＝2α，由三角形内角和定理求出∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，得出2α+2α+α＝180°，求出α即可．【解答】解：连接BF、AF，∵OC＝CF，∴∠FOC＝∠CFO，设∠FOC＝∠CFO＝α，则∠FCB＝∠FOC+∠CFO＝2α，∵四边形AEFC是平行四边形，∴EF∥AB，AE∥CF，∴∠A＝∠FCB＝2α，∠EF A＝∠F AB，∴＝，∴＝（都加上），∴∠B＝∠A＝2α，∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠B＝2α，在△OFB中，∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，即2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，即∠FOC＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理等知识点，能求出∠B＝∠A是解此题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2020秋•上虞区期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，P是AB延长线上一点，且BP＝1，过点P作一直线，分别交⊙O于C，D两点，已知∠P＝30°．（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积．【考点】垂径定理．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【分析】（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得△APD和△PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：（1）过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，在Rt△OPH中，∠P＝30°，OP＝OB+BP＝2+1＝3，∴，PH＝OP•cos30°＝3×＝，在Rt△OHC中，．∵CD＝2CH，∴．∴．（2）由（1）知：，P A＝5，∠P＝30°，∴，，∴．【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键．12．（2021•上城区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，连接AD，GD，AG．（1）找出图中和∠ADC相等的角，并给出证明；（2）已知BE＝2，AE＝8，求CD的长．【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由垂径定理可得DE＝CE，＝，可得结论；（2）通过证明△ACE∽△CBE，由相似三角形的性质可求CE＝4，即可求解．【解答】解：（1）∠AGD＝∠ADC，理由如下：∵弦CD⊥AB，∴DE＝CE，＝，∴∠AGD＝∠ADC；（2）方法一、如图，连接AC，BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠ACE+∠CAE，∴∠BCE＝∠CAE，又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，∴△ACE∽△CBE，∴，∴CE•CE＝2×8＝16，∴CE＝4，∴CD＝8．方法二、连接OC，∵BE＝2，AE＝8，∴BA＝10，∴OC＝OB＝5，∴OE＝3，∴CE＝＝＝4，∴CD＝8．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．13．（2021春•昌江区校级期末）已知：在圆O内，弦AD与弦BC相交于点G，AD＝CB，M、N分别是CB和AD的中点，联结MN、OG．（1）证明：OG⊥MN；（2）联结AB、AM、BN，若BN∥OG，证明：四边形ABNM为矩形．【考点】矩形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）证明Rt△OMC≌Rt△OND（HL），推出OM＝ON，证明Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），推出GM＝GN，由OM＝ON，推出OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．（2）设OG交MN于J．证明四边形ABNM是平行四边形，由AN＝BM，推出四边形ABNM 是矩形．【解答】证明：（1）连接OM，ON，OD，OC．∵BM＝CM，AN＝ND，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠OMC＝∠OND＝90°，∵AD＝BC，∴CM＝DN，∵OD＝OC，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，∵OG＝OG，∠OMG＝∠ONG＝90°，∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，∵OM＝ON，∴OG垂直平分线段MN，即OG⊥MN．（2）设OG交MN于J．∵OG垂直平分线段MN，∴MJ＝JN，∵AN＝BM．GM＝GN，∴AG＝BG，∵BN∥OG，MJ＝JN，∴BG＝GM，∴AG＝BG＝GN＝GM，∴四边形ABNM是平行四边形，∵AN＝BM，∴四边形ABNM是矩形．【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．14．（2021春•亭湖区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．（1）求证：点E是BC的中点．（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．【考点】等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【分析】（1）连接AE，根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据圆周角定理得到∠DAB＝∠BOD＝37.5°，再根据圆的内接四边形的对角互补得到∠DAB+∠DEB＝180°，而CBED+∠DEB＝180°，则∠CED＝∠DAB．【解答】（1）证明：连接AE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，即点E为BC的中点；（2）解：∵∠BOD＝75°，∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．【点评】本题考查了在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角为直角；圆的内接四边形的对角互补；等腰三角形的性质．15．（2020秋•南平期末）在扇形AOC中，∠AOC＝60°，点B在上，且＝2，点E 在半径OB上，以OE，OA为邻边作平行四边形OAFE，当点C，B，F共线时．（1）求∠CF A的度数；（2）求证：CF＝OC．【考点】平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】（1）求出∠OBC＝80°，再利用平行四边形的性质求解即可．（2）想办法证明OC＝CA，CF＝CA，可得结论．【解答】（1）解：∵＝2，∴∠AOB＝2∠BOC，∵∠AOC＝60°，∴∠OBC＝20°，∠AOB＝40°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝80°，∵四边形OAFE是平行四边形，∴OB∥AF，∴∠OBC＝∠CF A＝80°．（2）证明：∵OC＝OA，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴∠OAC＝60°，OC＝AC，∵四边形OAFE是平行四边形，∴OE∥AF，∴∠OAF＝180°﹣∠AOB＝140°，∴∠CAF＝∠CF A＝80°，∴CA＝CF，∴CF＝OC．【点评】本题考查圆周角定理，平行四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考点卡片1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．2．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．4．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．5．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．6．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．7．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．8．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．9．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．10．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．11．圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补。
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九年级数学圆的有关性质-初中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初
中数学试卷-试卷下载
第30课圆的有关性质
〖知识点〗圆、圆的对称性、点和圆的位置关系、不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆、垂径定理逆定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆周角定理、圆内接四边形的性质
〖大纲要求〗
1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；
2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个
圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；
3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半
径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；
4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的
圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
5．掌握圆内接四边形的性质定理：它沟通了圆内外图形的关系，并能应用它解决有关
问题；
6．注意：（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”
③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论（当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制），条理性的记忆，不但简化了对它实际代表的10条定理的记忆且便于解题时的灵活应用，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有弦可作弦心距组成垂径定理图形；见到直径要想到它所对的圆周角是直角，想垂径定理；
想到过它的端点若有切线，则与它垂直，反之，若有垂线则是切线，想到它被圆心所平分；（3）见到四个点在圆上想到有4组相等的同弧所对的圆周角，要想到应用圆内接四边形的性质。
〖考查重点与常见题型〗
1．判断基本概念、基本定理等的正误，在中考题中常以选择题、填空题的形式考查学
生对基本概念和基本定理的正确理解，如：下列语句中，正确的有（）
(A)相等的圆心角所对的弧相等
(B)平分弦的直径垂直于弦
(C)长度相等的两条弧是等弧
(D)弦过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
2．论证线段相等、三角形相似、角相等、弧相等及线段的倍分等。
此种结论的证明重
点考查了全等三角形和相似三角形判定，垂径定理及其推论、圆周角、圆心角的性质及切线的性质，弦切角等有关圆的基础知识，常以解答题形式出现。
考点训练：
1．在⊿ABC中，⊿C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C 和⊿A的位置关系是（）
(A)C在⊿A 上(B)C在⊿A 外(C)C在⊿A 内(D)C在⊿A 位置不能确定。
2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为()
(A)16cm或6cm,(B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm
3.如图，弦AC，BD相交于E，且AB，BC，CD的弧长相等，
⊿AED＝30°，则⊿AED的度数是（）
(A)150°(B) 105°(C) 120° （D）140°
4.在⊿ABC中，⊿C=90°，O是BC上的一点，以OB为半径作
⊿O交于AB于D，交BC于E，⊿A=30°BD=6，则⊿O的直径是()
(A)12(B) 9(C) 6 （D)3
5．AB是⊿O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊿AB于F，则CD=_________
6．⊿ABC内接于⊿O，OD⊿BC，⊿BOD＝36°，则⊿A＝＿＿＿＿
7．圆内接⊿ABC中，AB＝AC，圆心到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，则腰长AB＝＿＿＿
8．四边形ABCD内接于圆，AB，BC，CD，DA的弧长之比为5：8：3：2则⊿ABC＝＿＿＿＿＿
9．如图，⊿O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N.且AB＝CD，求证：⊿AMN＝⊿CNM
10．如图，四边形ABCD内接于⊿O，⊿ADC＝90°，B是弧AC的中点，AD＝20，CD＝15,求BD 的长。
解题指导。
1．如图，⊿O1的圆心在⊿O的圆周上，⊿O和⊿O1交于A，B，AC切⊿O1于A，连结CB，BD 是⊿O的直径，⊿D＝40°求：⊿A O1B、⊿ACB和⊿CAD的度数。
2．如图，AB是⊿O直径，ED⊿AB于D，交⊿O于G，EA交⊿O于C，CB交ED于F，求证：DG2＝DE•DF
3．如图，⊿O是⊿ABC外接圆，AD⊿BC于D，交⊿O于N，AE平分⊿BAC交⊿O于E，求证：AE 平分⊿OAD
4．已知，如图O为圆心，⊿AOB＝120°，弓形高ND＝2cm，矩形EFGH的两顶点E，F在弦AB上，H，G在弦AB上，且EF＝4HE，求HE的长。
独立训练：
1．三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（）
（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形
2．边长为2的等边三角形的外接圆的半径是（）
（A）（B）（C）2（D）
3，圆内接四边形ABCD中，四个角的度数比可顺次为（）
（A）4：3：2：1（B）4：3：1：2（C）4：2：3：1（D）4：1：3：2
4．AB是⊿O的弦，⊿AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（）
(A)40°(B) 140°或40°(C) 20° （D）20°或160°
5．AB是⊿O的弦，C为⊿O上的一点，弧AC，CB的长比是1：2，弦BC＝12cm,则⊿O半径为＿＿＿＿＿＿cm
6．⊿O直径为8，弦AB＝4，则⊿AOB＝＿＿＿＿＿。
7．圆的半径为2cm，圆内一条弦长为2cm，则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为＿＿＿＿＿＿，这条的弦心距为＿＿＿＿＿＿＿
8．已知⊿O中，半径OD⊿直径AB，F是OD中点，弦BC过F点，
若⊿O半径为R则弦BC长＿＿＿＿＿
9．如图，⊿ABC内接于⊿O，且BC是⊿O的直径，AD⊿BC于D，F是弧BC中点，且AF交BC 于E，AB＝6，AC＝8，求CD，DE，及EF的长。
10．如图，弦EF⊿直径MN于H，弦MC延长线交EF的反向延长线于A，求证：MA•MC ＝MB•MD
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