16-17学年第二学期概率论与数理统计A卷 (1)
3《概率论与数理统计》期末考试试题答案A卷
3《概率论与数理统计》期末考试试题答案A卷华中农业⼤学本科课程考试参考答案与评分标准考试课程：概率论与数理统计学年学期：试卷类型：A 卷考试时间：⼀、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其字母代号写在该题【】内。
答案错选或未选者，该题不得分。
每⼩题2分，共10分。
）1. 设A 、B 满⾜1)(=A B P ，则．【 d 】（a ）A 是必然事件；（b ）0)(=A B P ；（c ）B A ?；（d ）)()(B P A P ≤．2. 设X ～N （µ，σ2），则概率P （X ≤1＋µ）=（）【 d 】 A ）随µ的增⼤⽽增⼤； B ）随µ的增加⽽减⼩； C ）随σ的增加⽽增加； D ）随σ的增加⽽减⼩．3. 设总体X 服从正态分布),(N 2σµ，其中µ已知，2σ未知，321X ,X ,X 是总体X 的⼀个简单随机样本，则下列表达式中不是统计量的是．【 c 】（a ）321X X X ++；（b ）)X ,X ,X m in(321；（c ）∑=σ31i 22i X ；（d ）µ+2X ．4. 在假设检验中, 0H 表⽰原假设, 1H 表⽰备择假设, 则成为犯第⼆类错误的是．【 c 】（a ）1H 不真, 接受1H ；（b ）0H 不真, 接受1H ；（c ）0H 不真, 接受0H ；（d ）0H 为真, 接受1H ．5．设n 21X ,,X ,X 为来⾃于正态总体),(N ~X 2σµ的简单随机样本，X 是样本均值，记2n1i i21)X X(1n 1S --=∑=,2n1i i22)X X(n1S -=∑= ,2n1i i23)X(1n 1S µ--=∑=,2n1i i24)X(n1S µ-=∑=,则服从⾃由度为1-n 的t 分布的随机变量是 . 【 b 】（a ）1n S X T 1-µ-=；（b ）1n S X T 2-µ-=；（c ）nS X T 3µ-=；（d ）nS X T 4µ-=.⼆、填空题（将答案写在该题横线上。
河北农业大学《概率论与数理统计》2016-2017学年第二学期(本科)A卷
河北农业大学课程考试试卷2016–2017学年第 2 学期考试科目： 概率论与数理统计（本科） 姓名： 学号： 学院： 专业班级: 卷别：A 考核方式：闭卷 （注：考生务必将答案写在答题纸上，标清楚大小题号，写在本试卷上无效） 本试卷共（4）页一、填空（每空2分，共20分）1.设()0.5P A =，()0.3P AB =，则(|)P B A = .2.设一批种子发芽率为0.6，则三个种子中恰好有一个发芽的概率为 .3.随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，则(2)P X ≥= .4.设随机变量~(16,0.5)X B ，~(2)Y P ，且,X Y 相互独立，则()E X Y -= ；()D X Y -= .5.设随机变量X 的分布函数为000.501()0.71212x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的分布律为 .6.设某种保险丝熔化时间2~(,0.4)X N μ（单位：秒），取16=n 的样本，得样本均值为15x =，则μ的置信度为95%的置信区间为 .7. 设12,X X 是取自总体(,1)N μ的一个样本，且μ的估计量有112ˆ0.60.5X X μ=+，21ˆX μ=，312ˆ0.50.5X X μ=+，无偏估计量为 ；最有效的估计量为 .8.已知随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为1的指数分布，写出二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数 .二、选择（每题2分，共10分）1. 袋中有5个乒乓球，其中2个黄的，3个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。
则第二人取到白球的概率是（ ）（A ）1/5； （B ）2/5； （C ）3/5； （D ）4/5.2.要使函数x x f cos )(=是随机变量X 的密度函数，则X 的取值区间为( )（A ）]4,4[ππ-； （B ） ],2[ππ； （C ） ],0[π； （D ）]0,2[π-. 3.设2~(,)X N μσ，则随着σ的增大，概率(||)P X μσ-<的值( )（A ）单调减少； （B ）单调增大； （C ）保持不变； （D ）增减不定.4.随机变量X ,Y 的数学期望与方差都存在，则下列一定成立的是)(（A ）()()()E X Y E X E Y +=+； （B ）()()()E XY E X E Y =⋅；（C ）()()()D X Y D X D Y +=+；（D ）()()()D XY D X D Y =. 5.设随机变量(0,1)X U ,下列说法错误的是（ ）.（A ）(0.6)0P X ==； （B ）(())0D E X =；（C ）1(())12E D X =； （D ）21Y X =+不服从均匀分布. 三、(10分) 设8支枪中有4支未经试射校正，4支已经试射校正。
概率论与数理统计16A(答案)
哈尔滨理工大学2015－2016学年第二学期考试试题答案 A 卷考试科目：概率论与数理统计 考试时间:100分钟 试卷总分:100分 1、(10分)解：设=A “所取出的一件产品是废品”，=1B “产品系甲车间生产”，=2B “产品系乙车间生产”，=3B “产品系丙车间生产”已知25.0)(1=B P35.0)(2=B P4.0)(3=B P05.0)|(1=B A P04.0)|(2=B A P 02.0)|(3=B A P(1)由全概率公式：∑==⨯+⨯+⨯==310345.002.04.004.035.005.025.0)()|()(i i i B P B A P A P…………………………（5分） (2)由贝叶斯公式：3451250345.005.025.0)()()|()|(111=⨯==A P B P B A P A B P …………………………（1分）3451400345.004.035.0)()()|()|(222=⨯==A P B P B A P A B P …………………………（1分）34580345.04.002.0)()()|()|(333=⨯==A PB P B A P A B P …………………………（1分）所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.…………………………（2分）2、(10分)解：由 条 件 {}{}21232<<=<<X P X P 即()()⎰⎰+=+32212dx B Ax dx B Ax 知 有 02=+B A …………（4分）又由()⎰+∞∞-=1dx x f ，即 ()⎰=+=+31124B A dx B Ax …………（4分）解 ⎩⎨⎧=+=+12402B A B A 得 A = 13 ，B = -16.………………（2分） 3、(10分)解: 随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他00,1)(ax a x f ，………………（2分）2016年 6月23 日 体积3X Y =, 由分布函数法，)()()()(333y X y P y X P y Y P y F ≤≤-=≤=≤=………………（2分）当a x <<0时，⎰=≤≤=33)()0()(ydx x f y X P y F 30113y a dx a y==⎰………（2分）当0≤≥x a x 或时，0)(=y F………………（2分）所以，Y 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧<<==- a y y a y F y 0)0(31)(332'，其他，ψ………………（2分）4. (10分)解: X 为连续型随机变量，所以)(x F 为连续函数. 从而，0 ),1()1(2=-⇒-=--b a F F π ………………（2分）1 ),1()1(2=+⇒=+b a F F π ………………（2分）可解得：21=a ,1=b .………………（2分）故X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<-='=其它,01,11)()(2x x x F x f π………………（2分）所以， ⎰⎰-+∞∞--==112d 1d )()(x xxx x xf X E π=0………………（2分）5、(10分)解：)()()|(C P C AB P C AB P =………………（3分）)()()(ABC P AB P C AB P -=………………（3分）0)(=ABC P………………（2分）所以，4332021)(1)()()|(=-=--=C P ABC P AB P C AB P .………………（2分）哈尔滨理工大学2015－2016学年第二学期考试试题答案 A 卷6. (10分)解：⎰⎰⎰⎰≥+-+==≥+110212)3(),(}1{y x xdyxyx dx dxdy y x f Y X P ………（5分）⎰=++=10327265)65342(dx x x x ………………（5分）7. (8分)解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数， 则250)(,500)(==X D X E………………（4分）}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P9.02500250150)(1}50|)({|2=-=-≥≤-=X D X E X P ………………（4分）8．(8分) 总体均值E(X )==-⎰dx x x )(22θθθθθθθ31)(222=-⎰dx x x ,…………（4分）即)(3X E =θ,故参数θ的矩估计为.3ˆx =θ……………（4分）9.(8分)解：似然函数为11(,,nn L x x θ= （）,其对数似然函数为()2l nl n nL θθ=+11)()l n l n n x x ++ ……………（4分）将()ln L θ关于θ求导，得到0)ln (ln 212)(ln 1=++=n x x n d L d θθθθ……………（2分）解得θ 的最大似然估计21ln ˆ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=n i i x n θ ……………（2分） 10. (8分)解：因为n Y X T /=，其中)1,0(~N X ，)(~2n x Y ，……………（4分）nY X n Y X T /1//222==)1(~22x X ),1(~2n F T ∴……………（4分）2016年 6月23 日 11.(8分)解：11221111122111122222122[()][()][2][2]12(1)2(1)n n i i i i i i n i i i i i n i E C X X C E X X C EX EX EX EX C n C C n μσμσμσσ--++==-++=-=⋅-=-=+-=+++-=-=⇒=-∑∑∑∑……………（4分）……………（4分）。
概率论与数理统计试卷及答案
华东理工高校2022 - 2022学年其次学期《概率论与数理统计》课程考试试卷A 卷200开课学院：理学院，专业：大而积，考试形式：闭卷，所需时间：120分钟考生姓名：学号：班级：任课老师：一、（共12分）设二维随机变量（X ,y ）的概率密度函数为（1）求常数Z （3分）；（2） 求 P{X ＞丫} （3 分）；（3）证明：X 与y 相互独立（6分）。
解：(1) f f ∕(x, y)dxdy = 1, .......................................................................... 2'J-OC J-8£1 ke-χ-2ydxdy=↑t k = 2； .................................................................... Γ(2) P{X>Y} = ^ dx^2e-χ-2y dxdy由于/（再y ） = f x （χ）f γ（y ），所以x 与y 相互独立。
二、（10分）某公司经销某种原料，依据历史资料表明：这种原料的市场需求量X （单位：吨）听从（300, 500）上的匀称分布。
每售出1吨该原料，公 司可获利1万5千元；若积压1吨，则公司损失5千元。
问公司应当组织多 少货源，可使平均收益最大？解：设公司组织货源。
吨，此时的收益额为y （单位：千元），则y = g （x ）,且ke χ-2∖ 0, x > 0, y > 0其他 2'1 1 2=1 --- =—3 3s 、 F (、 ∖y2e-x ~2ydy, 1'0,x > 0 x≤0 e-∖ x>00, x≤0,2'Λ(y)0,y>0 = y≤Q6>-2∙V , y>00, y≤02'................................................... 2'4 二 450 (唯一驻点)，又峪一‹0da 2 100所以，当α = 450吨时，可以使平均收益石丫最大，即公司应当组织货源450吨。
郑州大学2017年第二学期《概率统计》试卷(A卷)
郑州大学软件与应用科技学院《概率论与数理统计》2016-2017学年第二学期期末试题（A 卷）（适用专业：16级本科 考试时间：120分钟）合分人： 复查人：注：(一)答卷时请用钢笔或圆珠笔,要求书写清楚,卷面整洁.(二)解题应有完整的过程,只有结果而无过程者,不予计分.1.总经理的六位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的四位，设事件A 为{其中恰有一位精通英语}，则()=A P8/15 .2.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，则)(B A P = 0.3 .3.设随机变量X 的密度函数为()x Ae x f -=，()+∞∞-∈,x ，则{}21<<X P = 1/2（e -1-e -2） .4.设离散型随机变量X 的分布律为{}k Ck X P 2==()4,3,2,1,0=k ，题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分数一.填空题（每空3分，共30分）分数 评卷人则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521X P 12/31 c=16/31 .5.设随机变量()λP X ~（泊松分布），且已知()()[]232=--X X E ，则参数=λ .6已知随机变量X 与Y 相互独立，且()4,1~N X ；{}211=-=Y P ，{}211==Y P ，则{}=≤-1Y X P . 7.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式估计{}≤≥+62Y X P .8.设样本n X X X ,,,21 取自总体X ，()2,~σμN X ，X ，2S 分别为样本均值 和样本方差，则~n X σμ- N(0,1) （分布），则~nS X μ-t(0,1) （分布），()~122σS n - x 2(n-1)（分布）.分数评卷人二、计算题．（12分）仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为%3；丙厂生2；乙厂生产的为2000支，次品率为%产的为3000支，次品率为%4.如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂产品的概率为多少？1/10三、计算题.（13分）假设随机测量误差()210,0~N X ，求在100次独立重复测量中，至少两次测量的绝对误差大于6.19的概率a 的近似值【参考数据：()975.096.1=Φ；0067.05≈-e 】.分数 评卷人四、计算题．（15分）设二维离散型随机变量()Y X ,的 联合分布律如下表（1）求{}122=+Y X P ；（2）求Y X ,的相关系数XY ρ;（3）Y X ,是否不线性相关？是否独立？为什么？分数 评卷人Xξ Y -1 01-1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/81/8五、计算题．（15分）在人寿保险公司里有1000个同龄的人参加人寿保险.在1年内每人的死亡率为%15.0，参加保险的人在1年的第一天交付保险费40元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元.试用中心极限定理求保险公司亏本的概率【参考数据：()9032.030.1=Φ，844.3775.14≈】.分数 评卷人六、综合题．（15分）设样本（n X X X ,,,21 ）取自总体X ，X 的分布密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,2222其余x ex x f x θθ其中02>θ是分布参数.（1）求2θ的极大似然估计∧2θ；（2）试证：∧2θ是2θ的一个无偏估计.分数 评卷人。
南方科技大学《概率论与数理统计》2016-2017学年第二学期期末试卷A卷
南 方 科 技 大 学2016~2017学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）参 考 答 案一．（本题满分10分）一航空公司根据以往的资料统计知预定该公司航班的人中有%5最终不来搭乘航班．因此，他们的政策是对于一个能容纳50位乘客的航班出售52张机票．求每位登机的乘客都有位置的概率是多少？ 解：设X 表示该航班机票的乘客的最终登机人数，则()95.0,52~B X ． 所求概率为()50≤X P ． ()()50150>-=≤X P X P ()()52511=-=-=X P X P0525252151515205.095.005.095.01⨯⨯-⨯⨯-=C C 7405030709.0=．二．（本题满分10分）装有()3≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中失去一个球，但不知是什么颜色．为了猜测它是什么颜色，随机地从罐中摸出2个球，发现都是白球，问失去的球是白球的概率是多少？ 解：设{}失去的球是白球=A ，{}摸出的两个球都是白球=B ，则所求的概率为()B A P ． 由Beyes 公式，得()()()()()()()21221212121-+-+--+-⋅++⋅+⋅+=+=n m m n m m n m mC C n m n C C n m m C C n m m A B P A P A B P A P A B P A P B A P()()()()()()()()()()()21121212121-+-+-⋅++-+-+--⋅+-+-+--⋅+=n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m 22-+-=n m m ．三．（本题满分10分）设随机变量()1,0~N X ，X Y =．试求随机变量Y 的密度函数()y f Y ． 解：随机变量X 的密度函数为()2221x X ex f -=π()+∞<<∞-x ．设随机变量X Y =的分布函数为()y F Y ，则 (){}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=．⑴ 当0≤y 时，(){}{}0=≤=≤=y X P y Y P y F Y ． ⑵ 当0>y 时，(){}{}{}y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤= ()⎰⎰⎰----===yx yyx yyXdx edx edx x f 022222221ππ所以，()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-00022022y y dxe y F y x Y π．所以，()()⎪⎩⎪⎨⎧≤>='=-0002222y y e y F y f yY Y π． 四．（本题满分10分）设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=其它010421,22y x y x y x f ．⑴ 求随机变量Y 的边际密度函数()y f Y ；⑵ 求随机变量X 关于Y 的条件密度函数()y x f Y X ． 解：当0≤y ，或者1≥y 时，()0=y f Y ； 当10<<y 时， ()()⎰⎰⎰--+∞∞-===yy y yY dx x y ydx x dx y x p y f 22421421,2503022731221221y x y dx x y yy=⋅==⎰ 所以，随机变量Y 的边际密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它102725y y y f Y ． 当10<<y 时，()02725>=y y f Y ，因此当10<<y 时，X 关于Y 的条件密度函数为()()()y f y x f y x f Y Y X ,=2322522327421-==y x y y x 即当10<<y 时，()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤=-其它10232232y x y x y x f Y X ． 五．（本题满分10分）一商店经销某种商品，假设该商品每周的进货量X 以及顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量，而且都服从区间[]20,10上的均匀分布．商店每销售一个单位这种商品可得利润1000元，如果需求量超过了进货量，则可从其它商店调剂供应，这时该商店每销售一个单位这种商品可得利润500元．试求此商店每周销售该商品所得的平均利润()()()Y X g E Z E ,=． 解：随机变量X 的分布列为 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02010101x x f X ，随机变量Y 的分布列为 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它02010101y y f Y ．由于随机变量X 与Y 相互独立，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤==其它02010,20101001,y x y f x f y x f Y X ．设Z 表示该商店每周销售该商品所得的利润，则有()()⎩⎨⎧>-+≤==X Y X Y X X Y YY X g Z 50010001000,()⎩⎨⎧>+≤=X Y Y X X Y Y5001000．所以有()()()()()⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dxdy y x f y x g Y X g E Z E ,,,()()()⎰⎰⎰⎰>≤++=xy xy dxdy y x p y x dxdy y x yp ,500,1000()⎰⎰⎰⎰++=yydx y x dy ydx dy 102010202010510()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=20102201010210052010dy y y y dy y y 67.14166=（元）．六．（本题满分10分）设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在区域G 内服从均匀分布．求：⑴ X 与Y 各自的数学期望()X E 与()Y E ；⑵ X 与Y 各自的方差()X D 与()Y D ；⑶ X 与Y 的相关系数YX ,ρ．解：由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为()()()⎩⎨⎧∉∈=Gy x G y x y x f ,,1,．当10<<x 时，()()()x dy dy y x f x f xX -===⎰⎰-+∞∞-12,220，所以，()()⎩⎨⎧<<-=其它01012x x x f X ．当20<<y 时，()()21,210ydy dx y x f y f yY -===⎰⎰-∞+∞-， 所以，()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它2021y y y f Y ．()()()3131212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6141312121222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅==⎰⎰+∞∞-dx x x dx x f x XE X，()()32212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅==⎰⎰+∞∞-dy y ydy y f y Y E Y，所以，()()()()1813161222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D ， ()()()()923232222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D ， ()()⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-⋅===12202220102,dx yx xydy dxdxdy y x xyf XY E xx，()()6121324122212123102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x ，所以，()()()()181323161,cov -=⨯-=-=Y E X E XY E Y X ．()()()2192181181,cov ,-=-==Y D X D Y X YX ρ． 七．（本题满分10分）一家有800间客房的宾馆的每间客房内装有一台kW 2的空调机．若该宾馆夏季的开房率为70 %，试用中心极限定理计算，至少应供应多少千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机（假设该宾馆各个房间是否开房是相互独立的）？（已知()9901.033.2=Φ，其中()x Φ是正态分布()10，N 的分布函数．） 解：设该宾馆至少供应s 千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机．再设X 为该宾馆中开房的数目，则()7.0800~，B X ． 所以，()5607.0800=⨯=X E ，()1683.07.0800=⨯⨯=X D ． 因此，s 需满足下面的不等式： {}99.02≥≤s X P 由中心极限定理计算，可知{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤168560216856022s X P s X P s X P因此，有 99.01685602168560≥⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-s X P查表，得33.21685602≥-s． 因此，()4005.1180216833.2560=⨯⨯+≥s ，因此，由中心极限定理计算，可知该宾馆至少要供应1180.4005千瓦的电力，才能使该宾馆至少以99 %的概率保证有充足的电力开动空调机．八．（本题满分10分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（7分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（3分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =． 所以似然函数为 (){}nni i i N x X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 九．（本题满分10分） 设总体()2~σμ，N X ，其中μ与2σ都是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，∑==ni i X X 1是样本均值，2≥n ．求常数C ，使得∑=-=ni i X X n C T 1是总体标准差σ的无偏估计量．解：令∑≠-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=i j j i i i X n X n X X Y 111，则()()()()0=-=-=-=μμX E X E X X E Y E i i i ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠ij j i i X n X n Y 111var var ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑≠i j j i X n X n var 1var 1122222221111σσσn n n n n -=-+⎪⎭⎫⎝⎛-=．所以，⎪⎭⎫⎝⎛-21,0~σn n N Y i ． 为此，我们假设()2,0~σN Y ，我们求⎰⎰+∞-+∞∞--=⋅=2222222221dy yedy e y Y E y y σσσπσπ，令222σy u =，则2σydydu =，代入上式，得 σππσ2220==⎰+∞-du e Y E u．所以，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==ni i ni i X X E n C XX n C E T E 11()()σπσπnn C n n n n C X X E n C n i i 12211-⋅=-⋅=-=∑= 所以，令()12-=n nC π，则∑=-=ni i X X n C T 1是总体标准差σ的无偏估计量．十．（本题满分10分）某超市出售一批大米，假设每袋重量X 服从正态分布，规定每袋重量为kg 25．现从中随机抽取6袋，测得其重量分别为：26.123.623.125.423.724.5试在显著性水平05.0=α下检验，这批大米的每袋重量与规定是否有显著性差异？ 解：建立假设0H ：25=μ， （1H ：25≠μ）．取检验统计量 n SX T 25-=．当原假设0H 成立时，()1~-n t T ． 因此检验的拒绝域为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=-125,,2111n tn s x x x W n α：． 对于给定的显著性水平05.0=α，以及6=n ，查表得 ()()5706.251975.021==--t n t α，因此拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=5706.225,,11n s x x x W n ： ．由观测值得4.24=x ，88.3578612=∑=i i x ，因此有()344.14.24688.35785111226122=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=x n x n s i i ，因此有267731382.16344.1254.24252=-=-n sx ，并且 5706.2267731382.1<．所以，不拒绝0H ，可以认为这批大米每袋重量与规定没有显著性差异．。
15-16学年第二学期概率论与数理统计A卷-标准答案
解： 的概率密度为
的分布函数 ,......5分
故当 时,
当 时, ,
因此 ......5分
2.(本题12分)
解：(1)
本科课程考试试题参考答案及评分标准
开课单位：数学学院学生所在学院910411050
学分/总学时
3/48
课程名称
概率论与数理统计
课程类别
√公共课□专业课
专业/年级
修读方式
√必修 □选修
出题教师
张静
是否主干基础课
是
考试方式
√闭卷 □开卷
一．单项选择题(每小题4分,共32分)
......5分
(2)当 时,条件概率密度
......5分
(3)
......5分
1．D 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．A 8．C
二．(每小题8分,共16分)
1.解： 的概率密度为 ......2分
由题意 其中
从而 ......6分
2.解： 的置信度为 的置信区间为
,......4分
故置信区间的长度为 ,
由题意
从而解得 至少取97.......4分
三．(共52分)
1．(本题10分)
解得 ,
因此 的矩估计为 ......6分
(2)似然函数为
从而
令 ,
得 的极大似然估计为 .......6分
3.(本题15分)
解：（1）由规一性知
解得 ......5分
（2）由
概率论与数理统计 期末试卷及答案 A
第 1 页 共 5 页班级 姓名 准考证号‥‥‥‥‥‥密‥‥‥‥‥‥封 ‥‥‥‥‥ 线 ‥‥‥‥内 ‥‥‥‥‥不 ‥‥‥‥‥准 ‥‥‥‥‥答 ‥‥‥‥‥题 ‥‥‥‥‥‥期末考试试卷 参考答案学年学期： 课程名称： 《概率论与数理统计》 适用专业：（满分：100分 时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的备选项中选择符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡上相应的位置，错涂、多涂或未涂均无分。
1．设二项分布的随机变量，其数学期望与方差之比为4：3，则该分布的参数p =（ ）.A ．0.5B ．0.25C ．0.75D ．不能确定2．设随机变量X 与Y 的关系为21Y X =+，如果()D X =2,则()D Y =（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．103．若X 服从区间[]2,6上的均匀分布，则{23}P x <<=（ ）.A ．0．2B ．0．75C ．0．5D ．0．254．若随机变量X 的期望EX 存在，则()E aX b +=（ ）.A ．aEXB ．2a EXC ．aEX b +D ．2a EX b +5．当随机变量X 的可能值充满（ ）时，则()cos f x x =可以成为随机变量X 的密度函数.A ．π[0,]2B ．π[,π]2C ．[0,π]D ．3π7π[,]226．矿砂中铜含量服从正态分布),(~2σμN X ，2μσ，未知，现从总体中抽取样本521,,,X X X ，5115i i X X ==∑，52211()5i i S X X ==-∑，在显著水平α下检验00:μμ=H ，则所取的统计量为（ ）.A ．5/0σμ-X B ．5/0S X μ- C ．4/0σμ-X D ．4/0S X μ-7．事件表达式A B +的表示（ ）.A ．事件A 与事件B 同时发生 B ．事件A 发生但事件B 不发生C ．事件B 发生但事件A 不发生D ．事件A 与事件B 至少有一个发生8．样本空间S 中的事件A 与B 相互独立的充要条件是（ ）. A ．A B S += B ．()()()P AB P A P B =C ．AB =∅D ．()()()P A B P A P B +=+9．设1X 、2X 是总体X 的样本，则下列统计量不是总体X 的期望的无偏估计量的是（ ）.A ．1XB ．121233X X + C ．121()2X X + D ．121()3X X +10．任何一个连续型随机变量X 的密度函数()f x 一定满足（ ）.A 卷第 2 页 共 5 页‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 密 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 封 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥ 线‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥A ．0()1f x ≤≤B ．() d 1f x x +∞-∞=⎰C ．在定义域内单调不减D ．lim ()1x f x →+∞= 11．袋中有5球，3新2旧，从中任取一球，无返回的取两次，A =第一次取新球，B =第二次取新球．求P （B|A ）=（ ）.A ．12B ．23C ．35D ．1312．已知事件A 和B 互不相容，()0,()0P A P B >>，下式成立的是（ ）. A ．()()()P A B P A P B =+ B ．()()()P AB P A P B =C ．()1P A B =D ．()0P AB >13．若随机变量2(,),3,1,X N EX DX μσ==则11}P X ≤≤={-（ ）.A ．2(1)1A Φ-、 B ．(4)(2)B Φ-Φ、C ．(4)(2)Φ--Φ-C 、 D ．(2)(4)Φ-ΦD 、 14．参数为λ的指数分布的方差是（ ）.A ．1λB ．2λC ．λD ．21λ15．设X 为连续型随机变量，则{1}P X ==（ ）. A ．1B ．0C ．不能确定D ．以上都不对二、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）判断正误，正确代码为A ，错误代码为B ，请将正确的答案代码涂在答题卡相应的题号下。
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内蒙古大学2016－2017学年第二学期
概率论与数理统计 期末考试试卷（A 卷）
（闭卷 120 分钟）
姓名 学号 专业 年级 重修标记 □
一．选择题（本题满分32分,每小题4分）
选择题答题栏
1. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ C ）. （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；
（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；
（C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”；
（D ）“甲种产品滞销”.
2. 设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（ ）.
（A ）44610(1)C p p -； （B ）3469(1)C p p -；
（C ）4459(1)C p p -； （D ）3369(1).C p p -
3. 设连续型随机变量X 的概率密度和分布函数分别为()f x 和()F x ,则下列结论正确的是( D )
(A)0()1f x ≤≤ (B)()()P X x f x ==
(C)()()P X x F x == (D)()()P X x F x =≤
4.设12,X X 是随机变量，其分布函数分别为12(),()F x F x ，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）.
（A ）32,55a b =
=-； （B ）22,33
a b ==； （C ）13,22a b =-=； （D ）13,22
a b ==. 5. 设随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则35-=X Y 的分布函数 )(y F Y 为（ C ）.
（A ）)35(-y F X ； （B ）3)(5-y F X ；
（C ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+53y F X ； （D ）.3)(51+y F X 6. 已知44.1,4.2),,(~==DX EX p n B X ，则二项分布的参数为（ B ）.
（A ）6.0,4==p n ； （B ）4.0,6==p n ；
（C ）3.0,8==p n ； （D ）1.0,24==p n .
7. 设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P （ C ）. （A ）25.0≤； （B ）75.0≤； （C ）75.0≥； （D ）25.0≥.
8. 设总体X 的数学期望为n X X X ,,,,21 μ是来自X 的样本，则下列结论中正确
的是（ D ）.
（A ）1X 是μ的无偏估计量； （B ）1X 是μ的极大似然估计量；
（C ）1X 是μ的一致（相合）估计量； （D ）1X 不是μ的估计量.
二．（本题满分32分,每小题8分）
1.设随机变量X 服从均匀分布即~[a,b]X U ，试求X 的数
学期望及方差。
2.证明若随机变量1X 与2X 相互独立，则1212()D X X DX DX +=+
3.电报发射台发出“•”和“-”的比例为5:3，由于干扰，传送“•”时失真率为2/5，传送“-” 时失真率为1/3，求接收台收到“•”时发出的信号恰好是“•”的概率
4. 有一批糖果.现从中随机地取16袋，称得重量（以克计）如下：506，508 ，499 ，503 ，504 ，510 ，497 ，512， 514 ，505 ，493 ，496 ，506 ，502 ，509 ，496，设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间。
（其中，经过计算.2022.6,7
5.503==s x ，0.025(15) 2.1315,t =）
三．（本题满分36分,每小题12分）
1. 设从某地前往火车站，可以乘公共汽车，也可以乘地铁，
若乘汽车所需时间（单位：分）2~(50,10)X N ，若乘地铁所需时间2~(60,4)Y N ，那么若有70分钟可用，问乘公共汽车好还是乘地铁好？若有65分钟可用，答案又如何？（其中(2)0.9772Φ=，(2.5)0.9938Φ=，(1.5)0.9332Φ=，(1.25)0.8944Φ=）
2. 设随机变量X 与Y 相互独立，且X 与Y 均服从参数为1的指数分布，试求：
（1）二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y ；
（2）()1P X Y +≤；
（3）Z X Y =+的概率密度()Z f z 。
3. 设总体X 的概率密度为(1), 01,
(;)
10, ,x x f x θθθθ⎧+<<=>-⎨⎩其他，试用样本12,,n x x x 求参数θ的矩估计与极大似然估计.。