概率论与数理统计期末试卷及答案(最新11)

湖北汽车工业学院
概率论与数理统计考试试卷
一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C 】1．已知A 与B 相互独立，且0)(>A P ，0)(>B P ．则下列命题不正确的是 )(A )()|(A P B A P =． )(B )()|(B P A B P =． )(C )(1)(B P A P -=． )(D )()()(B P A P AB P =． 【B 】2．已知随机变量X 的分布律为
则)35(+X E 等于
)(A 8． )(B 2． )(C 5-． )(D 1-．
【A 】3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ，2~(,5)Y N μ，而
}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则
)(A 对任何实数μ，都有21p p =． )(B 对任何实数μ，都有21p p <． )(C 只对μ的个别值，才有21p p =． )(D 对任何实数μ，都有21p p >．
【C 】4．在总体X 中抽取样本,,,321X X X 则下列统计量为总体均值μ的无偏估计量的是
)(A 3213211X X X ++=
μ． )(B 2223212X X X ++=μ． )(C 3333213X X X ++=μ． )(D 4
443214X
X X ++=μ．
【D 】5. 设)(~n t X ，则~2
X
)(A )(2n χ． )(B )1(2χ． )(C )1,(n F ． )(D ),1(n F ．
【B 】6．随机变量)1,0(~N X ，对于给定的()10<<αα，数αu 满足αα=>)(u u P ， 若α=<)(c X P ，则c 等于
)(A 2αu ． )(B )1(α-u ． )(C α-1u ． )(D 21α-u ．
二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）：
1. 设样本空间{},2,3,4,5,6
1=Ω，{},21=A ,{},32=B ,{},54=C ,则=)(C B A {},3,4,5,61. 2. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。

已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是
5
1
. 3. 设离散型随机变量X 的分布列为{}k
a k X P ⎪⎭
⎫
⎝⎛==31， ,3,2,1=k ，则=a 2.
4. 已知2)(-=X E ，5)(2
=X E ，那么=-)32015(X D 9.
5. 设随机变量X 与Y 独立且都服从[]3,0上的均匀分布，则()[]=
≥2,min Y X P 9
1. 6. 设某种电子管的使用寿命服从正态分布)300,(2μN ，μ未知，从中随机抽取16个进行检
验，测得平均使用寿命为1950小时，则未知参数μ的置信水平为95.0的置信区间为
[]2097,1803.
【特别提醒】（1）以下各题的求解过程必须按题号写在答题卡上指定的方框内，题号对应错误以及超出方框部分的解答均无效.（2）答题卡上的任何位置不得用胶带粘贴，不得用涂改液涂改，否则将不被阅卷系统识别.
三、（本题满分10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分
别占总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%，从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？ 解：设事件321,,A A A 分别表示抽出的螺钉来自甲、乙、丙三个车间，D 表示抽出的螺
钉为次品，
25.0)(1=A P ， ()35.02=A P ， 4.0)(3=A P ；
05.0)|(1=A D P 04.0)|(2=A D P 02.0)|(3=A D P 由全概率公式，得 )|()()(3
1
i
i i
A D P A P D P ∑==
0345.002.04.004.035.005.025.0=⨯+⨯+⨯=
故从全厂产品中任意抽出一个螺钉，它是次品的概率是0345.0.
四、（本题满分10分）设连续型随机变量X 的概率密度为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤<=.3,
0,30,6
1
,
0,)(x x x ke x f x
求(1)常数k 的值；(2) ()25.0<<-X P .
解：（1）
30
11
()162
x
f x dx ke dx dx k ∞-∞
-∞
=+=+=⎰
⎰⎰
解得2
1
=
k (2) ()20
20.50.5
0.501151
0.52()2662
x P X f x dx e dx dx e ----<<=
=+=-⎰
⎰⎰
五、（本题满分12分）设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨
⎧≤≤≤≤-=其它
0,10)1(24)(x y x y
x y x f
(1) 求随机变量X 与Y 的边缘概率密度；
(2) 若Y X ,分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望.
解：（1）当0<x 或1>x 时，0)(=x f X ；
当10≤≤x 时，=)(x f X 20
()(,)24(1)12(1)x
X
p x p x y dy x ydy x x ∞-∞
==-=-⎰
⎰；
故⎩
⎨⎧≤≤-=其它010)1(12)(2x x x x f X
当0<y 或1>y 时，0)(=y f Y ；
当10≤≤y 时，)(y f Y 0
2()(,)24(1)12(2)Y
y
p y p x y dx x ydx y y ∞-∞
==-=-⎰
⎰ ；
故⎩⎨
⎧≤≤-=其它
10)2(12)(2y y y y f Y
（2） ⎰⎰=D dxdy y x xyp XY E ),()( }0,10|),{(x y x y x D ≤≤≤≤=
1
24(1)x dx xy x ydy =-⎰⎰
15
4
=
六、（本题满分10分）设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,
00,1);(2x x e
x x f x θ
θθ
其中参数θ)0(>θ未知，如果取得样本观测值n x x x ,,,21 , 求θ的最大似然估计值．
解：似然函数为 ∏∏∏=-
=-
=∑=
==
=n
i i x n
n
i x i n i i
x e
e
x x f L n
i i
i
1
1
21
2
1
1
1
1
),)(θ
θ
θ
θ
θθ（
取对数，得∑==+∑-
-=n
i i n
i i x x n L 1
1
ln 1
ln 2)(ln θ
θθ
令=θ
θd L d )(ln 01212=∑+-=n
i i x n θθ，
得参数θ的最大似然估计值为： 2
2ˆ1
x
n
x
n
i i
=
=∑=θ
七、（本题满分10分）设某厂生产的灯泡寿命(单位：h )X 服从正态分布),1000(2
σN ，现随
机抽取其中16只，测得样本均值x =946，样本标准差s =120，则在显著性水平05
.0=α下可否认为这批灯泡的平均寿命为1000小时？ 解：待验假设H 0：μ =1000，H 1：μ ≠1000
由于题设方差2σ未知，故检验用统计量为)1(~0
--=n t n
S X t μ
由α =0.0513.2)15(025.02/==⇒t t α
又由946=x 、s =120，可算得统计量观测值t 为 8.116
/1201000
946/0-=-=-=
n s x t μ
因13.2)15(8.1||025.0=<=t t ，故考虑接受H 0，从而认为这批灯泡的平均寿命为1000小时.
附：公式与数据
一、单正态总体常用统计量及其分布,对应临界值（即分位数）的性质 （1） )1,0(~/N n
X u σμ
-=，)10(1)(2/<<-=<αααu u P （2） )1(~/--=
n t n
S X t μ
，)10(1))1((2/<<-=-<αααn t t P 二、单正态总体均值μ的置信水平为α-1的置信区间 （1）已知0σσ=： ),(2/0
2/0
αασσμu n
u n
+
-
∈
（2）未知σ： ))1(,)1((2/2/-+--
∈n t n
S X n t n S X ααμ 三、单正态总体关于均值的假设检验 四、备用数据
645.105.0=u 96.1025.0=u 753.1)15(05.0=t 746.1)16(05.0=t 13.2)15(025.0=t 12.2)16(025.0=t。