概率论与数理统计第11讲

因 . P{Xk}k e, k0,1,2,,
k!Leabharlann 所以 ，E(X) kke
k
k
e.
k0 k!
k1 k!
k1 e
k1
e
k1 (k 1)!
k1 (k 1)!
m k 1 m e 1. m0 m!
4.1.2 连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，密度函数 f(x) 在
数轴上取很密的点 x0< x1< x2<…, 则X 落在小 区间 [xi , xi+1) 的概率是
一般来说, 若统计了n天, (假定每天至多出三件废品)
n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.
可以得到这n天中，每天的平均废品数为
0n01n12n23n3 nn n n
0n01n12n23n3 nn n n
由频率与概率的关系，
不难想到：求废品数X的平 均值时，用概率替代频率， 得平均值为：
33 P{X2}
23
；
43
P { X 3 }2 3 4 31 3, P { X4 }1 4 3 3.
于是，
E(X)14343332334323323431341 433 25 . 16
常用离散型随机变量的数学期望 1.两点分布：X ∼ B(1, p), 0 < p < 1，则
E(X)= 1p + 0(1-p) = p .
若X 服从参数为 λ 的指数分布，则
E(X) ； 若X 服从 N(,2)，则
E(X).
已知某地区成年男子身高X~N(1.68,2),
E(X)1.6.8
这意味着：若从该地区抽查很多成年男 子，分别测量他们的身高。则这些身高的平 均值近似地为1.68。
xi1 f (x)dx xi
阴影面积≈
f (xi)xi
f(xi)x (i1xi)
f(xi)xi
在小区间[xi, xi+1)上
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值
可用 xi 来近似地替代。
因此, X与以概率 f(xi)xi 取值 xi 的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的 数学期望是
解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的 值是1, 2, 3, 4。{X=i} 表示i号盒中至少有一 个球，i=1, 2, 3, 4。
为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件： {1号盒中没有球}，其概率为 (3/4)3，因此
P{X1}14333434333；
{X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少 有一个球}，类似地得到：
每次检验后需要调整设备的概率为
p P{X 1}1P{X 1} 1P{X 0}P{X 1} 10.910 100.10.99 0.2639.
用 Y 表示一天中调整设备的次数，则 Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望
E (Y)n p40.263 19 .0.556
3. 泊松分布: X ∼ P()，其中 > 0 ，则 E(X)=
2.二项分布：X ∼ B(n, p)，其中 0 < p < 1， 则
E(X)np.
例2：某种产品次品率为 0.1。检验员每天检验 4次, 每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大 于 1, 就调整设备。 若各件产品是否为次品相互独 立, 求一天中调整设备次数的期望。
解：用X 表示10件产品中的次品数，则 X~B(10, 0.1)，
k1
为X 的数学期望(或均值)。
也就是说：离散型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的级数和。
在 X 取可列无穷个值时，级数绝对收敛 可以保证“级数之值不因级数各项次序的改 排而发生变化”，这样E(X)与X取值的认为 与排列次序无关。
例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个 球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。 用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号 码，E(X)。
例3：设随机变量X 的概率密度为
f(x)1e|x|，x， 2
求 E(X) 。
解：
E(X) 1 xe|x| d x 2
0 1 xex d x 1 xex d x
2
02
0.
由随机变量数学期望的定义，不难计算出：
若X ~ U[a, b], 即X服从[a, b]上的均匀分布, 则 E(X) ab； 2
概率论与数理统计 第十一讲
主讲教师：柴中林副教授 中国计量学院理学院
前面讨论了随机变量及其分布。 如果我 们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关 于 X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布是较难 确定的。且有时在实际应用中，我们并不需 要知道随机变量的所有性质，只要知道其一 些数字特征就够了。
因此，在对随机变量的研究中，确定随 机变量的某些数字特征是非常重要的。
最常用的数字特征是：期望和方差。
第四章 数字特征
§4.1 数学期望
4.1.1 离散型随机变量的数学期望 概念引入：
某车间对工人生产情况进行考察，车工 小张每天生产的废品数 X 是一个随机变量。 如何定义 X 的平均值？
若统计了100天小张生产产品的情况，发现：
0 p 0 1 p 1 2 p 2 3 p 3
这是以频率为 权的加权平均
这是以概率为 权的加权平均
这样，就得到一个确定的数 ——随机变量X的期望(均值) 。
定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为
P{X=xk}=pk , k=1,2, …。
如果 | xk | pk 有限, 则称
k 1
E(X) xk pk
32天没有出废品；30天每天出一件废品； 17天每天出两件废品；21天每天出三件废品。 可以得到这100天中每天的平均废品数为
03 213 021 732 11 .2.7 100 100 100 100
可以想象：若另外再统计100天，其中不出废 品，出一件、二件、三件废品的天数与前面 的100天一般不会完全相同，即另外100天每 天的平均废品数也不一定就是1.27。
阴影面积≈
f (xi )xi
xi f(xi)xi
i
这正是
x f(x)dx
的渐近和式。
小区间[Xi, Xi+1)
从该启示出发，我们给出如下定义。
定义2：设X是连续型随机变量，概率密度为
f (x), 如果 | x|f(x)dx有限，则称 E(X) xf(x)dx
为X的数学期望。
也就是说：连续型随机变量的数学期望 是一个绝对收敛的积分值.