二次曲面的轨迹定义
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二次曲面介绍
第九节 二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
(相应地平面被称为一次曲面)
研究的方法是采用截痕法. 即用坐标面和 平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线 (即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面 的全貌.
一、椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O
x
它与三个坐标平面的交线：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为 x2 y2 z 旋转抛物面 2p 2p
例如 与
z 2 x2 y2 z 1 x2 y2
z
O
y
x
p 0, q 0
分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.
2. x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
设 p 0, q 0
图形如下：
z
o y
x 方程z xy也表示马鞍面.
设 p 0, q 0 图形如下：
z
O
y
x
三、双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
o
y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
o
y
x
y
x2
a
2
y2 b2
1,
x2 z2
a
2
c2
1,
z
z 0
y 0
o
y2
b
2
z2 c2
1,
x
y
x 0
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
(相应地平面被称为一次曲面)
研究的方法是采用截痕法. 即用坐标面和 平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线 (即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面 的全貌.
一、椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O
x
它与三个坐标平面的交线：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
特殊地：当 p q时，方程变为 x2 y2 z 旋转抛物面 2p 2p
例如 与
z 2 x2 y2 z 1 x2 y2
z
O
y
x
p 0, q 0
分别表示开口朝上与朝下的旋转抛物面.
2. x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
设 p 0, q 0
图形如下：
z
o y
x 方程z xy也表示马鞍面.
设 p 0, q 0 图形如下：
z
O
y
x
三、双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
o
y
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面
o
y
x
y
x2
a
2
y2 b2
1,
x2 z2
a
2
c2
1,
z
z 0
y 0
o
y2
b
2
z2 c2
1,
x
y
x 0
椭球面与平面 z z1 的交线为椭圆
二次曲线的一般式-概述说明以及解释
二次曲线的一般式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次曲线是数学中重要的曲线类型之一。
它由二次方程所表示，是平面上的曲线。
在二次曲线上，点到定点的距离与点到定直线的距离的比值恒定，这是二次曲线独特的性质之一。
二次曲线广泛应用于几何学、物理学、工程学和计算机图形学等领域。
在几何学中，二次曲线的性质和特点被用于解决许多关于曲线的问题，如焦点、直径、切线和法线等。
在物理学中，二次曲线的运动方程被用于描述抛物线运动或者椭圆轨道等运动问题。
在工程学中，二次曲线常用于设计道路、桥梁和建筑物的曲线部分，以达到美观和结构稳定的目的。
在计算机图形学中，二次曲线被广泛应用于绘制曲线和曲面，用于创建平滑的图形效果。
本文将深入探讨二次曲线的一般式，包括其定义、性质和特点。
我们将介绍二次曲线的一般形式，并重点讨论其中的关键概念和公式。
通过学习二次曲线的一般式，读者能够更好地理解二次曲线的特性，并能够应用这些知识解决相关问题。
接下来的章节将按照以下结构展开：首先，我们将介绍二次曲线的定义和一般形式，包括其方程和基本图形。
然后，我们将深入研究二次曲线的性质和特点，例如焦点、直径和切线等。
最后，我们将总结二次曲线的一般式，并探讨其应用和意义。
在本文的剩余部分，读者将逐步了解二次曲线的复杂性和多样性，以及它们在数学和实际应用中的作用。
无论读者是初学者还是对二次曲线较为熟悉的人，本文都将为他们提供全面而深入的知识，帮助他们更好地理解和运用二次曲线的一般式。
文章1.2文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构是指文章的整体组织和布局方式，在本文中分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分是文章的开端，概述了二次曲线的一般式的主题和背景，引起读者的兴趣。
其中，1.1小节对二次曲线的概念和定义进行解释，确保读者了解文章所涉及的数学概念。
1.2小节则介绍了本文的文章结构，提供了整篇文章的脉络，为读者理解文章内容奠定基础。
最后，1.3小节明确了本文的目的，即探究二次曲线的一般式，并说明了相关探究的意义。
二次曲面【高等数学PPT课件】
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(
x
a,
y
b,
z
c)
椭球面与三个坐标面的交线：
x
2
a
2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
y
0
z2 c2
1,
z
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
z
o
o
y
y
y
x
x
x
（二）双曲面
第八节 二 次 曲 面
二次曲面的定义：
a11 x2 a22 y2 a33 z2 2a12 xy 2a23 yz
2a13 xz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面．
相应地平面被称为一次曲面．
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线的形状，然后加以综合， 从而了解曲面的全貌．
z
z
z
o
y
o
x oy x
y x
z x2 y2 y x2 z2
x y2 z2
(2)
双曲抛物面 （马鞍面）
x2 y2
z（ p 与 q 同号）
pq
z
o x
z o x
y
z x>0x<0
o y
y x
x2 y2 z
pq
y>0
y<0
x2 y2 z
第四章_二次曲线与二次曲面
如图4.1,因为 因为 如图
e2
M
o′
e1
o
′ e2
图4.1
OM = OO ' + O ' M
' ' = ( x0 e1 + y0 e2 ) + ( x 'e1 + y 'e2 )
= x0 e1 + y0 e2 + x ′(a11e1 + a21e2 ) + y′(a12 e1 + a22 e2 )
l1 : 2 x − y + 3 = 0 在新坐标系中的方程为
x′ − 2 y′ + 4 = 0 . 即 从σ 2 到 σ 1 的点的坐标变换公式为 4 3 x ′ 5 5 x − 1 y′ = . 4 y − 1 − 3 5 5
′ ′ ′ ( e1 , e 2 , e 3 ) = ( e1 , e 2 , e 3 ) a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
其中矩阵A=( σ 1 )称为从 到 的过渡矩阵,，且是可逆的。 的过渡矩阵，且是可逆的。 其中矩阵 称为从 σ2 ( x, y z ), x ' , y ' , z ' 设点M在 σ1 , 设点 在 和 ( x0 , y0 , z0 ) 下的坐标分别为 σ 1 σ 2 a O’在(a1 , a 2 , a 3 ), (a1 , a′ , a′ ), 在 下的坐标为 2 3 ，向量 在 和 下的坐标分 ′ 别为 那么使用平面的坐标变换公式 的推导方法可以得到
因此
u = a11 u′ + a 21v ′ v = a12 u′ + a 22 v ′
e2
M
o′
e1
o
′ e2
图4.1
OM = OO ' + O ' M
' ' = ( x0 e1 + y0 e2 ) + ( x 'e1 + y 'e2 )
= x0 e1 + y0 e2 + x ′(a11e1 + a21e2 ) + y′(a12 e1 + a22 e2 )
l1 : 2 x − y + 3 = 0 在新坐标系中的方程为
x′ − 2 y′ + 4 = 0 . 即 从σ 2 到 σ 1 的点的坐标变换公式为 4 3 x ′ 5 5 x − 1 y′ = . 4 y − 1 − 3 5 5
′ ′ ′ ( e1 , e 2 , e 3 ) = ( e1 , e 2 , e 3 ) a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
其中矩阵A=( σ 1 )称为从 到 的过渡矩阵,，且是可逆的。 的过渡矩阵，且是可逆的。 其中矩阵 称为从 σ2 ( x, y z ), x ' , y ' , z ' 设点M在 σ1 , 设点 在 和 ( x0 , y0 , z0 ) 下的坐标分别为 σ 1 σ 2 a O’在(a1 , a 2 , a 3 ), (a1 , a′ , a′ ), 在 下的坐标为 2 3 ，向量 在 和 下的坐标分 ′ 别为 那么使用平面的坐标变换公式 的推导方法可以得到
因此
u = a11 u′ + a 21v ′ v = a12 u′ + a 22 v ′
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
曲面及其方程、二次曲面-PPT
8
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
•大家有疑问的，可以询问和交流
•可以互相讨论下，但要小声点
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
2
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
解 设M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
21
例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
f ( y, z) 0
C:
x
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为： f ( x2 y2 , z) 0
11
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
12
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲线 绕其平面上的一条直线 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。这条曲线 和定直线一次称为旋转 曲面的母线和旋转轴。
13
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
播放
8-5-二次曲面
同理： 同理 ： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程为
f y , ± x 2 + z 2 = 0.
(
)
第23页
e.g.6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程． 求生成的旋转曲面的方程．
第26页
8.5.4 锥面
给定空间一曲线C , 给定空间一点 A ， 过C 上每一点引过 A 的直线 l ， 这些直线组成的曲面称为锥面 这些直线组成的曲面称为锥面 最简单且最常用 最简单且最常用的例子 且最常用的例子： 的例子：正圆锥面
z 2 = x2 + y2 , x = 1 − y2 + z 2
( x − t )2 + ( y − t )2 + ( z − t )2 = t 2
思考： 思考：如果球面过M(-1,2,-5), 应该如何？ 应该如何？ 修改圆方程的形式， 修改圆方程的形式，也就是圆心的 三个坐标的正负号
第4页
8.5.2 柱面
准 线 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 母 线
8-5 二次曲面
第1页
一、基本内容 二次曲面的定义： 二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面 实际上我们主要讨论没有交叉项的情形 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
二次曲面
x2 a2
y2 a2
z2
x2 y2 a2 z2 圆锥面
二、小结 椭球面、抛物面、双曲面、截痕法.
（熟知这几个常见曲面的特性）
思考题
方程
x2 4y2 z2
25
表示怎样的曲线？
x 3
思考题解答
x2 4y2 z2 x 3
25
4 y2 z2 x 3
16 .
表示平面 x = -3上的一条双曲线.
(2)
a b c,
x2 a2
y2 a2
z2 a2
1
球面
方程可写为 x2 y2 z2 a2.
（二）抛物面
1. 椭圆抛物面
x2 y2 z （ p 与 q 同号） 2 p 2q
椭圆抛物面
用截痕法讨论：设 p 0, q 0 （1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
截得抛物线
x2
2
pz
y 0
x2 y2 z （ p 与 q 同号）
2 p 2q
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于z 轴
顶点
0,
y1 ,
y12 2q
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，x x1与曲面相截
均可得抛物线.
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
x2 a2