完全平方式

方差公式的特点，可先用平方差公式分解，
然后再用完全平方式进行分解。 解：(x2+y2)2-4x2y2 =[(x2+y2)+2xy][(x2+y2)-2xy] =(x+y)2(x-y)2
3、能力提升
(1) 已知:a2+b2+2a-4b+5=0,求2a2+4b-3的值。
温馨提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a-4b+5
(2) (a+b)2-12(a+b)+36 分析：只要把a+b看成一个整体,(a+b)2-
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2.(a+b).6+62 m2 - 2 . m . 6+62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 = (a+b)2-2.(a+b).6+62 =(a+b-6)2
2 -36mn+___=(___ 81m ____ 4n2 9m - 2n)2
三、引领示范
例5 分解因式 (1) 16x2+24x+9 分析：16x2=(4x)2,9=32,24x=2×4x.3 符合完全平方式的特点，是一个完全平方式。 即 16x2+24x+9= (4x)2+2.4x.3+32 a2 +2.a .b +b2
2、分解因式
（1）xy-8xy2+16xy3 解:原式=xy(1-8y+16y2)=xy(1-4y)2 （2）(a+2b)2-6(a2+2ab)+9a2 解:原式=(a+2b-3a)2=(2b-a)2
(3) 分解因式 (x2+y2)2-4x2y2 温馨提示：从整体看，(x2+y2)2-4x2y2符合平
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2
这样的式子叫做完全平方式。
2、辨析 完全平方式结构特点
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
解： ∵ a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 ∴ a2+2b2+c2-2ab-2bc=0 (a2+b2-2ab)+(b2+c2-2bc)=0 即 (a-b)2+(b-c)2=0 ∴ a-b=0，b-c=0
∴ a=b=c
所以 △ABC是等边等边三角形
解： 16x2+24x+9
= (4x)2+2.4x.3+32
=(4x+3)2 (2) -x2+4xy-4y2 分析：-x2+4xy-4y2中有两个平方项，且平 方项同为“-”，乘积项4xy正好是x与2y的积 的2倍，符合完全平方式的结构特点。
解： -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2） =- [x2-2.x.2y+(2y)2] =-(x-2y)2
五、作业
1、课堂练习 119页第1-2题 2、课外作业 119页复习巩固第3题、第5题
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其凑成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)
，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将
已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而 利用非负数的性质来求解。
解由已知可得(a2&;4)=0
即(a+1)2+(b-2)2=0
a 1 0 b 2 0 a 1 b 2
问题3：如何用符号表示完全平方公式？
把整式乘法的完全平方公式
(a b) 2 a 2 2ab b2 (a b) 2 a 2 2ab b2
的等号两边互换位置，就得到
a 2 2ab b2 （a b)2 a 2 2ab b2 （a - b)2
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ （1） x2-4x+4 （2） x2+16 （3）9m2+3mn+n2 （4）-y2-12xy+36x2 （5） -m2+10mn-5n2 （6）9x2+6x 是 不是，缺乘积项 不是，缺乘积项的2倍 不是，平方项异号 是
问题：1、根据学习用平方差公式分解因式的经验和 方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解 因式？ 将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因 式的平方差公式．同样道理，把整式乘法的完全平 方公式反过来写即分解因式的完全平方公式．
2、能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么 特点？
两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．
1、分解因式
（1）a2+8a+16
解:原式=(a+4)2
（2）-1-a2+2a
解:原式=-(1+a2-2a)=-(1-a)2
例6 分解因式
(1) 3ax2+6axy+3ay2 分析：3ax2+6axy+3ay2中，都有公因 式3a，应先提出公因式，再进一步分 解。 解：3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3 =7 lj
1：如何用符号表示完全平方公式？ a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2． 2：完全平方公式的结构特点是什么？ 分解因式的完全平方公式，左边是一个二次三项 式，其中有两个数的平方和还有这两个数的积的 2倍或这两个数的积的2倍的相反数，符合这些特 征，就可以化成右边的两数和（或差）的平 方．从而达到因式分解的目的．
今天我们就来研究用完全平方公式分解因式
学习目标
• 1.会用完全平方公式进行因式分解 • 2.提高综合运用提取公因式法与公 式法能力。
二 、 思考
1、 多项式 a2+2ab+b2与a2-2ab+b2 有什么特点？ 你能将它们分解因式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上（或减去） 这两个数的积的2倍，这恰是两个数和或差的平方。
不是，只有一个平方项
4、填空
2 =(___ y 2 25x2 5x +__) _____+10xy+y
这些等式只给了两 个已知项，你能完 成这些填空吗？
9y2 __-3y x 6xy x2-_____+ ____=( )2
2= (3x +____ 9x2 24xy 4y ) 2 ___+____+16y