大学物理k-041

M J
M J
----转动定律
二.转动惯量
质点：
分立的质点系： 刚体：
J mr
J
2
2
i i 2
J r dm

m r
i
r为dm距转轴的距离


r dl2ຫໍສະໝຸດ 2 r dV r ds
2
面分布， 为面密度 为体密度 体分布，
线分布， 为线密度
第四章 刚体定轴转动
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4
刚体的定轴转动 力矩 转动 转动惯量 角动量及角动量守恒 力矩的功 动能定理
§4-1 刚体的运动
一.刚体模型
刚体：大小和形状都不变的物体,(即使有外力的作
用,其大小和形状也不变)
判断 --- 物体上任意两点间的距离保持不变
刚体与质点的关系：刚体可视为无数个质点的集合
h y
dy
o
x
p p0 g (h y) dF p0 Ldy g (h y) Ldy
作用在坝面上力的方向均相同，积分可得垂直作用 在大坝坝面上的合力
F

h
0
p0 Ldy

h
0
g (h y ) Ldy
第四章 刚体定轴转动
F
p Ldy g (h y) Ldy
r2 o r 1 1
M r2 F2 sin 2 r1F1 sin 1
（3）力矩的数值关系式可写成
M rF sin rFt
上式表明在转动平面 上的力，只有切向分力才 对力矩有贡献，而法向分 力（通过转轴）对力矩无 贡献；
z
o r
F Ft Fn
（4） 若作用在刚体上的力不 在垂直于转轴的转动平 面内，可将力分解为
dy
解：首先求力：设水
深h，坝长L，在坝面 上取一面积元dA=Ldy 若在面积元上的压 强为p，则作用在 面积元上的压力为
y
Q
h y
dF pdA pLdy
o
x
y
dF pdA pLdy dF 方向垂直于坝面，
在xoy平面内为 设大气压为 p 0 则面积元上的压强为
第四章 刚体定轴转动
解：由题意知，转子绕定轴转动的角加速度为
ct
由角加速度的定义，有
d dt
d dt ctdt
积分


0
d ctdt
0

t
得
1 2 ct 2
第四章 刚体定轴转动
将t=300s时的角速度值代入，可得
c

由角速度的定义，有
75
rad s
3


150
t rad s
球体
1 2 J ml 3
2 2 J mr 5
三.平行轴定理
以质心C为坐标原点 Cz：质心轴. 转动惯量为 J c MN轴//Cz轴，两轴相距为d
z
C
N
d
y
M
刚体对MN轴的转动惯量为
x
J J C md
2
----平行轴定理
[例3] 求半经为R质量为m的均匀圆环,对于沿直径转轴
的转动惯量
解：细杆均匀，重力作用于杆的重心 以铰链O为转轴，约束力 FN 始终通
过转轴，不产生力矩当杆与竖直线 成 角时，重力矩为
l/2 l

P FN
1 M g mgl sin 2
O
第四章 刚体定轴转动
1 M g mgl sin 2
由转动定律
由角加速度定义
1 1 2 mgl sin J ml 2 3 解出 3g l/2 sin 2l l
1 2 F p0 Lh gLh 2
0 0 0
h
h
再求力矩： 各 dF 对Q点力臂不同，产生的力矩不同
的力矩为（仍在高度y处考虑）
dF通过对坝基点Q与x轴平行的轴
dM y dF pLydy
dF
dy y
p0 g (h y)Lydy
o
Q
第四章 刚体定轴转动
并与棒垂直的轴的转动惯量;(2)求通过棒端点并与棒垂 直的轴的转动惯量
解：细棒质量密度为
在棒上r处取长为dr的线元，含质量元
m l
dm dr
Jo
o
r dr

m
r dm
2

l 2 r 2 dr l 2
1 2 ml 12
在棒上r处取长为dr的线元，含质量元
dm dr
0 v r r sin 90 r
v r
O
d dr dv d r a ( r ) dt dt dt dt
或
2 a r et r en
d r ( r ) dt r ( r ) at et an en
x
对定轴转动，刚体绕定轴作逆时针转动，角速度为正
0
对定轴转动，刚体绕定轴作顺时针转动，角速度为负
0
角速度矢量 方向由右手螺旋法则
确定




P
----角速度方向在转轴上
角加速度矢量
方向亦在转轴上

O' r
v
四. 线量与角量的关系
速度矢量 v 方向也由右手法则确定
二.刚体的运动
平动：刚体运动时,其内部任何一条直线,在运动中
方向始终不变
转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆
周运动
平动特点：各点位移、速度、加速度均相同 ----可视为质点

刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动
转动 特点：刚体的各个质点都绕同一 直线(转动轴)圆周运动
质心轴：通过质心的转动轴 定轴转动:
刚体内质点间的作用力总是成对出现，并遵守牛顿第 三运动定律，每一对内力矩之和为零，故总内力矩为
M

M ij 0
例2 有一大型水坝高110m
，水深100m，水面与大坝 表面垂直，求水作用在大 坝上的力，以及这个力对 通过大坝基点 Q与x轴平行 的轴的力矩。
y
第四章 刚体定轴转动
x o
dA
it ri
对整个刚体求和
i
F r f
it i i

m r
i
i i
2

F r f
it i i i
it ri

因为内力矩之和为零
M Fit ri
i
m r f r 0
i i 2 i
it i
i
----外力对转轴z的力矩
令 J
m r
i
i i
2
刚体对转轴z的转动惯量
z
ri P i
f i Fi
再设它受合外力 Fi ，合内力 f i F f m a i i i i
轴，其力矩为零 切向： F f
Fi 的法向分力作用线通过转
it
it 两边同乘以ri
mi ait mi ri 2 Fit ri f it ri mi ri
z
o
r P

x
(逆时针为正，顺时针为负） 当刚体绕固定轴转动时要随时间t改变，运动方程为

称为角坐标
(t )
在dt时间内，刚体（亦即P点）转过角度
z
d P
d
称为刚体在dt时间内的角位移

o d 角速度 lim t 0 t dt 2 d d 角加速度 lim 2 dt t 0 t dt

d d d d dt d dt d
P FN
O
d d d d 3g sin dt d dt d 2l
变形得
第四章 刚体定轴转动
3g d sin d 2l

积分求解

0
d


0
3g sin d 2l
l/2 l
转动惯量的物理意义:J表示刚体转动时惯性的大小
讨论：转动惯量J的大小决定于
刚体的质量：同形状的刚体，ρ
越大，J就越大
质量的分布：质量相同，dm分布在r越大的地方，则
J越大
刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同
的J
常见刚体的转动惯量
薄圆盘
细棒
1 2 J mr 2
细棒
r
1 2 J ml 12
dM p0 g (h y)Lydy
积分得合力矩：
M dM

p g ( h y ) Lydy 0
0
h
1 1 2 3 M p0 Lh gLh 2 6 dF
dy y
o
Q
二. 定轴转动定律
先在刚体中取第i个质点Pi，设它 的质量mi ，矢径 ri
z
O d
F// 平行于转轴的分力 F 垂直于转轴的分力
r
F//
P
F F
在定轴转动中，只有F 产生力矩
在定轴转动中，F// 平行于转轴，不产生力矩
M z r F M z F d rF sin
（5）关于刚体内各质点间的内力矩

P FN
3g (1 cos ) l
O
[例5] 在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向
绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑 轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求滑 轮的角加速度β及各绳中的张力T1、T2