合情推理与演绎推理(1)灵中学案
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》测试(1) 新人教B版选修2-2
合情推理与演绎推理一、归纳推理 例1．（1）观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？变式1.设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f ．（用n 表示）变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么 (1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?(2)猜想:圆内两两相交的n (n ≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?强化训练1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .2.由107＞85,119＞108,2513＞219,…若a ＞b ＞0,m ＞0，则m a m b ++与a b 之间的大小关系为 .3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.①A ，B 为定点，动点P 满足|PA |+|PB |=2a ＞|AB |，得P 的轨迹为椭圆 ②由a 1=1，a n =3n -1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 ③由圆x 2+y 2=r 2的面积πr 2，猜想出椭圆2222b y a x +=1的面积S =πab④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .二、类比推理（一）数列中的类比例1.在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式n a a a +⋅⋅⋅++21),19(1921+-∈<+⋅⋅⋅++=N n n a a a n 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{}n b 中，若19=b ，则有等式 成立.强化练习1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
2.1《合情推理与演绎证明》(第1课时)
1+3+„+(2n－1)=n2．
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
探索新知
火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它 们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇. 仿生学中许多发明的最初构想 都是类比生物机制得到的.
练习2：类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3 和 1个“斜面” S
思考：这个结论是正确的吗？
例如： 磨擦双手（S ）能产生热（P）， 敲击石头（S ）能产生热（P） ， 锤击铁块（S ）能产生热（P） ， 磨擦双手、敲击石头、锤击铁块都是物质运动； 所以，物质运动能产生热。
1
2 3
例:观察下图,可以发现 1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52 ， „„
等差数列 中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq
2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案
12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的 叫做归纳推理。
简言之：，归纳推理是 的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。
2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。
典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。
动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理一、 知识讲解推理：由一个或几个事实（或假设）得出一个判断的思维方式前提为真，结论可能为真的推理称为合情推理.⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩归纳推理合情推理推理类比推理演绎推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全 部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理 称为归纳推理(简称归纳).特征：从特殊现象到一般现象归纳推理的一般步骤：已知条件 观察归纳 大胆猜想 检验猜想（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已 知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 归纳推理和类比推理的过程：从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想 检验猜想（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 这种推理称为演绎推理．说明：１．演绎推理是由一般到特殊的推理；２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论可表示为：大前提：M 是P小前提：S 是M结 论：S 是P二、典型例题例 根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图形中 有 个点.例 根据给出的数塔猜测123456×9+7等于1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=11111234×9+5=11111……例 证明函数f (x )=-x 2+2x 在(-∞,1]上是增函数.三：小结思考 设(),(),22x x x xa a a a f x g x --+-== 其中 0,1a a >≠且 （1）5=2+3，请你推测(5)f 能否用(2),2(3),(3)f g f g （）,来表示 ；（2）如果（1）中获得一个结论，请你推测能否将其推广.。
合情推理与演绎推理
合情推理与演绎推理1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）∙证明2、类比推理由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。
3、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式，包括∙大前提---已知的一般原理；∙小前提---所研究的特殊情况；∙结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．题型一 用归纳推理发现规律例1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
23135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 题型二 用类比推理猜想新的命题例2：已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.题型三 利用“三段论”进行推理例3 某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a be d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）3.已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为?4.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a ．类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为5.已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.7.（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；（2） 已知数列n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．8. 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为。
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
教学设计1：章末复习与测试
章末复习与测试教学目标1．知识与技能目标(1)帮助学生进一步加深对合情推理和演绎推理的理解，力争使学生做到规范的应用这两种推理方法去解决相关问题；(2)掌握两种证明方法的思维过程和特点，并熟练掌握两种证明方法的操作流程；(3)进一步理解数学归纳法的基本原理、步骤，通过证明数学命题巩固对数学归纳法原理的再认识．2．过程与方法目标通过本章的学习，理解推理与证明的原理与方法，培养和提高学生的合情推理或演绎推理的能力，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，培养学生由具体到抽象的思维方法，提高学生的理性思维能力．3．情感、态度与价值观通过本章的学习，培养学生言之有理、论证有据的习惯，并能在今后的学习中有意识地使用这些推理与证明的方法．重点难点重点：(1)能利用归纳、类比、“三段论”进行简单推理；(2)了解综合法、分析法和反证法的思考过程与特点；(3)了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n有关的数学命题．难点：(1)根据归纳、类比、“三段论”推理的结构和特点，进行简单推理(2)根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用；(3)理解数学归纳法的思想实质，了解第二个步骤的作用，并且能够根据归纳假设作出证明．教学过程形成网络1．本章的知识结构图：2．本章基本知识点：(1)合情推理与演绎推理：①归纳推理的概念：根据一类事物的______对象具有某种性质，推出该类事物的____对象都具有这种性质的推理，或有____事实概括出________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由______到________，由______到______的推理．②类比推理的定义：这种由两个(两类)对象具有__________和其中一类对象的某些__________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由______到________的推理．③合情推理的定义：根据已有的事实，经过__________、__________、__________、__________，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它统称为合情推理．④演绎推理的定义：从____出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理是由______到______的推理．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括(ⅰ)大前提——____________；(ⅱ)小前提——____________；(ⅲ)结论——______________.(2)直接证明与间接证明：①综合法定义：一般地，利用____________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②分析法定义：一般地，从______出发，逐步寻求使它成立的__________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理)，这种证明方法叫做分析法．③反证法定义：假设__________不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这样的证明方法叫做反证法．④数学归纳法定义：一般地，证明一个与正整数n有关的命题P(n)，可按下列步骤进行：(ⅰ)(归纳奠基)证明当______时命题成立；(ⅱ)(归纳递推)假设________命题成立，证明当____也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．提出问题：1.请同学们独立完成知识填空．2．在完成知识填空的同时，回想一下本章主要有哪些基本题型，解决这些基本题型的方法和步骤分别是什么？活动设计：学生独立完成基本知识填空，然后让几位同学口答填空答案，教师借助多媒体投影出知识填空的答案，适当的规范学生的表述，回忆旧知识，并思考、讨论回答所提出的问题．学情预测：学生在前面几节学习的基础上，能够顺利的完成基本知识填空，但在准确、规范表达上会存在着一定的差距；题型和方法的总结更是五花八门．活动结果：知识填空答案：(1)合情推理与演绎推理：①部分全部个别一般结论部分整体个别一般②某些类似特征已知特征特殊特殊③观察分析比较联想归纳类比④一般性的原理一般特殊已知的一般原理所研究的特殊情况据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)直接证明与间接证明：①已知条件和某些数学定义、公理、定理②要证明的结论充分条件③原命题假设错误原命题正确④(ⅰ)n取第一个值n0(n0∈N*)(ⅱ)n＝k(k≥n0，k∈N*)时当n＝k＋1时命题设计意图全面系统地梳理基础知识，帮助学生巩固基础，加深对概念、公式、定理的理解，教师利用下一环节“典型示例”和同学们一块总结本章的重点题型和方法．典型示例类型一：归纳推理例1 观察圆周上n 个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？思路分析：归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质，(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．解：设f (n )为n 个点可连的弦的条数，则f (2)＝1，f (3)＝3，f (4)＝6，…，猜想：f (n )＝n (n －1)2. 点评：归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．巩固练习1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A 、B 为定点，若动点P 满足︱P A ︱＋︱PB ︱＝2a ＞︱AB ︱，则点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＋1＝3a n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的通项a n 和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，猜想出椭圆的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇2．如下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色的？( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大【答案】1.B 2.A类型二：类比推理例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立．思路分析：找出两类对象之间可以准确表述的相似特征；然后，由一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而做出一个猜想．解：在等差数列{a n}中，若a10＝0，则a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n＝2a10＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n.相似地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有等式b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b17－n(n＜17，n∈N*)成立．点评：本题主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法，由等差数列{a n}满足的一般结论，而得到等比数列{b n}所满足的一般结论．巩固练习平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行．类似地写出空间的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件．充要条件①________________.充要条件②________________.答案：①底面是平行四边形②两组相对侧面分别平行类型三：演绎推理例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为棱AB，BC的中点．证明：平面MNB1⊥平面BDD1B1.思路分析：本题所依据的大前提是面面垂直的判定定理，小前提是平面MNB1与平面BDD1B1之间所满足的证明面面垂直所需要的条件，这是证明本题的关键．证明：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵BB1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴BB1⊥MN.∵MN∥AC，AC⊥BD，∴MN⊥BD.又BD∩BB1＝B，∴MN⊥平面BDD1B1.∵MN⊂平面MNB1，∴平面MNB1⊥平面BDD1B1.点评：“三段论”中，第一个判断称为大前提，它提供了一个一般原理，第二判断叫小前提，指出了一个特殊情况，这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提和结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真的，推理的形式是正确的，那么结论必然是真的，但错误的前提可导致错误的结论．巩固练习如果函数f (x ＋1)是偶函数，那么函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴是直线…( )A ．x ＝－1B ．x ＝1C ．x ＝－12D ．x ＝12 【答案】D类型四：直接证明例4 已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1.求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 思路分析：这是一个条件不等式的证明问题，要注意观察不等式的结构特点和已知条件的合理应用，从而选择出适当的证明方法．证明：(法一)：a 2＋b 2＋c 2－13＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－1)＝13[3a 2＋3b 2＋3c 2－(a ＋b ＋c )2]＝13(3a 2＋3b 2＋3c 2－a 2－b 2－c 2－2ab －2ac －2bc )＝13[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法二)：(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. (法三)：设a ＝13＋α，b ＝13＋β，c ＝13＋γ.∵a ＋b ＋c ＝1，∴α＋β＋γ＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＝(13＋α)2＋(13＋β)2＋(13＋γ)2＝13＋23(α＋β＋γ)＋α2＋β2＋γ2＝13＋α2＋β2＋γ2≥13.∴a 2＋b 2＋c 2≥13. 点评：充分利用“1”的代换是本题化简证明的关键．巩固练习已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋2(n 为正整数)，令b n ＝2n a n ， 求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝－a n －(12)n －1＋2得a 1＝－a 1＋1a 1＝12，并且a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝－a n ＋1－(12)n ＋2－[－a n －(12)n －1＋2]＝a n －a n ＋1＋(12)n ， 得到a n ＋1＝12a n ＋12n ＋1.于是b n ＋1＝2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1＝b n ＋1. ∴数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．∵b n ＝b 1＋(n －1)d ，∴b n ＝n .又∵b n ＝2n a n ，∴a n ＝n 2n . 类型五：间接证明例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. 思路分析：这是否定性命题，条件比较简单，直接证明比较难入手，可考虑用反证法．解：假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14， 三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164.① 又(1－a )a ≤(1－a ＋a 2)2＝14，同理，(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164， 与①式矛盾，即假设前提不成立，故结论正确．点评：反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法．巩固练习已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明：假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型六：数学归纳法例6 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． 解：(1)因为对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r 的图象上，所以得S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1.又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1，b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ， 则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n . 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k 时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式对任意的n ∈N *都成立．巩固练习1．用数学归纳法证明对n 为正偶数时某命题成立，若已假设n ＝k (k ≥2偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立2．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【答案】1.B 2.D拓展实例 例 已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明f (x )＝0没有负数根．思路分析：(1)直接利用函数单调性的定义证明即可．(2)合理利用第(1)问提供的结论，当f (x )＝0有负数根时，利用函数与方程的关系，找到与已知矛盾的结论即可．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 2＋1)(x 1＋1)＝3(x 2－x 1)(x 2＋1)(x 1＋1)>0， 于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1， 即12<x 0<2与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负数根． 点评：掌握综合法、分析法和反证法的思考过程、特点；根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法综合使用．变练演编例用数学归纳法证明当n ∈N *时，1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋1)(n ＋2)． 思路分析：与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法进行证明，故只需严格按照数学归纳法的步骤证明即可．证明：(1)当n ＝1时，1＝16·1·2·3，结论成立． (2)假设n ＝k 时结论成立，即1·k ＋2·(k －1)＋3·(k －2)＋…＋(k －2)·3＋(k －1)·2＋k ·1＝16k (k ＋1)(k ＋2)． 当n ＝k ＋1时，则1·(k ＋1)＋2·k ＋3·(k －1)＋…＋(k －1)·3＋k ·2＋(k ＋1)·1＝1·k ＋2·(k －1)＋…＋(k －1)·2＋k ·1＋[1＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)]＝16k (k ＋1)(k ＋2)＋12(k ＋1)(k ＋2)＝16(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．综合上述，可知结论对一切n ∈N *都成立．点评：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，有如下步骤：(1)证明当n 取第一个值n 0时命题成立；(2)假设当n ＝k (k ≥n 0，k 为自然数)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立．提出问题：是否存在常数a ，b 使等式1·n ＋2·(n －1)＋3·(n －2)＋…＋(n －2)·3＋(n －1)·2＋n ·1＝16n (n ＋a )(n ＋b )对一切自然数n 都成立，并证明你的结论．活动设计：引导学生适当改变题目的条件和结论，进行一题多变，学生自己设计题目进行研究，对于数学归纳法不应只满足于证明现成的结论，更应当认真思考结论是如何得到的；归纳推理常起到重要的作用是：“归纳—猜想—证明”是由特殊到一般的重要思维方法．活动结果：令n ＝1，得1＝16(1＋a )(1＋b )，令n ＝2，得4＝26(2＋a )(2＋b )， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋a ＋b ＝5，ab ＋2(a ＋b )＝8.解得a ＝1，b ＝2. 数学归纳法证明过程见“变练演编”中的例题．设计意图通过本题发现，探索性命题的解题思路是：从给出的条件出发，通过观察、实验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳猜想的结论进行证明．达标检测1．下面说法正确的个数有( )①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般形式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式无关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若a ，b ，c 是不全相等的实数，求证：a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .证明过程如下：∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又∵a ，b ，c 不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ac )，∴a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .此证法是( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法与综合法并用D ．反证法3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2 D. 13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 【答案】1.B 2.B 3.B课堂小结1．知识收获：(1)合情推理与演绎推理；(2)直接证明与间接证明；(3)数学归纳法．2．方法收获：(1)推理的三种基本方法：归纳推理、类比推理、演绎推理；(2)证明问题的三种基本方法：综合法、分析法、反证法；(3)用数学归纳法证明与自然数有关的命题．3．思维收获：学会使用日常学习和生活中经常使用的思维方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，并养成言之有理，论证有据的好习惯．布置作业本章复习参考题A 组第5题、第7题．补充练习基础练习1．如果数列{a n }是等差数列，则( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 52．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x3．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于24．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝42x ＋2 B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1【答案】1.B 2.D 3.D 4.B拓展练习5．已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1，(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论．解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，猜测a n ＝2－12n . (2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ， 当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，且a 1＋a 2＋…＋a k ＝2k ＋1－a k ，∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3.∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．根据①②得n ∈N *，a n ＝2－12n 成立． 设计说明设计思想：通过基础知识填空，帮助学生回顾基本概念、定理和相关结论，通过典型示例总结本章的基本题型和方法；通过练习和作业加深对概念的理解和应用的熟练性．设计意图：由于本章概念多、理论性较强，通过基础知识填空，帮助学生准确记忆相关概念，并形成本章的知识网络；通过典型示例教学总结题型和方法，熟练相关题型的解题步骤和准确规范的表述；教学中不要急于求成，而应在后续的教学中经常借助这些概念表达、阐述和分析．设计特点：从学生的认知基础出发结合具体的题型和方法，加深概念理解的同时，熟练相关方法的应用，同时在应用新知的过程中，将所学的知识条理化，使自己的认知结构更趋合理．。
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案
高中数学选修《合情推理与演绎推理》教案第一章：合情推理概述1.1 推理的定义与分类引导学生理解推理的定义介绍合情推理与演绎推理的区别与联系举例说明合情推理在数学中的应用1.2 合情推理的方法介绍归纳推理、类比推理、归纳猜想等合情推理方法通过具体例子讲解各种合情推理方法的步骤与特点引导学生掌握合情推理的方法并能够运用到实际问题中第二章：演绎推理的基本形式2.1 演绎推理的定义与特点引导学生理解演绎推理的定义与特点强调演绎推理的逻辑严密性与结论的必然性2.2 演绎推理的基本形式介绍演绎推理的三段论形式及其结构引导学生理解假言推理、选言推理等演绎推理的基本形式通过例题讲解各种演绎推理形式的应用与解题步骤第三章：演绎推理的应用3.1 演绎推理在数学证明中的应用引导学生理解演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在证明题中的应用与步骤3.2 演绎推理在解决实际问题中的应用介绍演绎推理在解决实际问题中的应用范围与方法通过具体例子讲解演绎推理在实际问题解决中的步骤与技巧第四章：合情推理与演绎推理的综合应用4.1 合情推理与演绎推理的综合案例分析提供综合案例，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行分析与解答引导学生理解合情推理与演绎推理在不同情境下的作用与重要性4.2 合情推理与演绎推理的综合练习提供综合练习题目，要求学生运用合情推理与演绎推理的方法进行解答引导学生通过练习巩固合情推理与演绎推理的知识与技能第五章：推理能力培养5.1 推理能力的培养方法介绍推理能力的培养方法与技巧引导学生掌握推理能力的培养方法并能够运用到实际学习中5.2 推理能力的学习与应用提供推理能力的学习与应用题目，要求学生进行练习与解答引导学生通过练习与应用提高自己的推理能力并能够运用到实际问题中第六章：数学归纳法与合情推理6.1 数学归纳法的概念与步骤介绍数学归纳法的定义与基本步骤通过具体例子讲解数学归纳法的应用与解题技巧6.2 数学归纳法在合情推理中的应用引导学生理解数学归纳法在合情推理中的作用与重要性提供合情推理题目，要求学生运用数学归纳法进行解答与证明第七章：演绎推理与数学证明7.1 演绎推理在数学证明中的作用强调演绎推理在数学证明中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在数学证明中的应用与步骤7.2 演绎推理在证明题中的综合应用提供证明题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习巩固演绎推理在数学证明中的知识与技能第八章：逻辑推理与演绎推理8.1 逻辑推理的基本概念介绍逻辑推理的定义与基本概念强调逻辑推理在演绎推理中的重要性8.2 逻辑推理在演绎推理中的应用提供演绎推理题目，要求学生运用逻辑推理的方法进行解答与证明引导学生通过练习与应用提高逻辑推理在演绎推理中的能力第九章：演绎推理与问题解决9.1 演绎推理在问题解决中的作用强调演绎推理在问题解决中的重要性通过具体例子讲解演绎推理在问题解决中的应用与步骤9.2 演绎推理在实际问题解决中的综合应用提供实际问题题目，要求学生运用演绎推理的方法进行解答与解决引导学生通过练习与应用提高演绎推理在问题解决中的能力第十章：总结与提高10.1 合情推理与演绎推理的总结对本课程的合情推理与演绎推理进行总结与回顾强调合情推理与演绎推理在数学学习与问题解决中的重要性10.2 推理能力的进一步提高提供推理能力提高的练习与题目，要求学生进行解答与实践引导学生通过练习与实践不断提高自己的推理能力，并能够运用到实际学习中。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
能 力 检 测
2、.数列 {an } 满足 Sn 2n an ,先计算数列的前 4 项,再求 an
3
3、图（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京 奥运会吉祥物“福娃迎迎” ，按同样的方 式构造图形，设第 n 个图形包含 f ( n) 个 “福娃迎迎” ，则 f (5) ； .
f (n) f (n 1)
知 建 构
4
3
B.26
C.27
D.28
23 32 ， 13 23 33 62 ， 13 23 33 43 102 ，„，根据上述
。
规律，第五个等式 为 ．．．．． 4.察下列等式：
1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 „„„ 照此规律，第 n 个等式为：
1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
„„„„„„
题型三．三角函数中的归纳推理 观察下列等式，猜想一个一般性的结论
3 , 2 3 sin 2 600 sin 2 1200 sin 2 180 0 2 3 sin 2 450 sin 2 1050 sin 2 1650 , 2 3 2 0 2 0 2 0 sin 15 sin 75 sin 135 2 sin 2 300 sin 2 900 sin 2 1500
基础 层次 问题
C. 10n 1
D. 11n
3. 因 为 三 角 形 的 内 角 和 是 180 (3 2) ， 四 边 形 的 内 角 和 是
180 (4 2) ，五边形的内角和是 180 (5 2) „„所以 n 边形的内
角和是
题型一：与代数式有关的归纳推理 例1、 观察 1=1，1-4=-（1+2） ，1-4+9=（1+2+3） ，1-4+9-16= （1+2+3+4）„猜想第 n 个等式是：
灵石一中课前自主学习型学案
（高二）年级（数学）学科（李建芳）主编（数学组）审核
教材序列 班级 学习 目标
2.1.1 （1）
课题 小组
归纳推理
编号 姓名 学法 指导
1、结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的含义， 2、能利用归纳推理的思想，解决一些数学问题 3、体会并认识归纳推理在数学发展中的作用． 1．合情推理包括 和 ； 归纳推理：由某类事物的 具有某些特征，推出该类事物的 都具有这些特征的推理，或者由 概括出 的推 理，称为归纳推理，简称归纳．简言之，归纳推理是由 到 、由 到 的推理． 2.由数列 1,10,100,1000,，猜想该数列的第 n 项可能是（ ）. A. 10n B. 10n 1
1 3
1 ，则 a 2008 =（ a n 1
3 2
）
C．
D． 1
1
例 2 、在数列 {an } 中 , 已知 a1 2, an 1
an
an (n N * ) , 试归纳推理出 3an 1
.
例 3、将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 n 行（ n 3 ） 从左向右的第 3 个数为 4
．
3 5 7 5. ， 经 计 算 得 f (2) , f (4) 2, f (8) , f (16) 3, f (32) 猜 测 当 n 2 时 ， 有 2 2 2 __________________________.
1、一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆） ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○„„ 问：到 2006 个圆中有 个实心圆。
我的 问题
2
灵石一中课前自主学习型学案 2
（高二）年级（数学）学科（李建芳）主编（数学组）审核
教材 序列 班级
2.1.1（1）
课题
归纳推理
编号
小组
姓名
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2．数列 2，5，9，14，20， x ，35，„中的 x 等于（ ） A．25 3.下列等式： 1 自 主 检 测
a 2 b 2 a b a b ,
练习 1、观察 a b a b a ab b
3 3 2
a 4 b4
a b a
2
进而猜想
3
a 2b ab 2 b3
探究 层次 问题
a n bn
题型二．数列中的归归纳推理 例 1. 数列 {a n } 中， a 1 1 , a n 1 A． 2 B．