2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第8章 平面解析几何 第2节
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第8章 平面解析几何 第1节
[课堂练通考点]1．(2014·云南检测)直线x ＝π3的倾斜角等于 ( )A ．0 B.π3 C.π2D ．π解析：选C 直线x ＝π3，知倾斜角为π2.2．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．4．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －1a ＋2.∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1.答案：(－2,1)5．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( ) A ．(－2,8) B ．(2,8) C ．(－2，－8)D ．(2，－8)解析：选D a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1解析：选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ，即－x －54＝2， 解得x ＝－3. 答案：－37．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8. 即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为135°.2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小． 答案：12。
2015届高考数学一轮总复习 阶段性测试题8(平面解析几何)
阶段性测试题八(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·山东省博兴二中质检)“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若两直线垂直，则3m ＋m (2m －1)＝0，∴m ＝0或－1，故选A.2．(文)(2014·三峡名校联盟联考)直线x －y ＋1＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心[答案] B[解析] 圆心C (1,0)到直线的距离d ＝|1－0＋1|2＝2，∴选B.(理)(2014·天津市六校联考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 由条件知，|a －0＋1|2≤2，∴－3≤a ≤1，故选C.3．(2014·韶关市曲江一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43[答案] C[解析] 由条件知，a 2＋5＝9，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.4．(2014·山西曲沃中学期中)对于常数m 、n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆，则m >0，n >0，从而mn >0，但当mn >0时，可能有m ＝n >0，也可能有m <0，n <0，这时方程mx 2＋ny 2＝1不表示椭圆，故选B.5．(文)(2014·云南景洪市一中期末)点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内一条弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝0 [答案] C[解析] 圆心C (1,0)，由条件知PC ⊥AB ，∴k AB ＝－1k PC＝1，∴直线AB 的方程为y －(－1)＝1×(x－2)，即x －y －3＝0.(理)(2014·银川九中一模)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 [答案] B[解析] 设圆心C (x 0，－x 0)，则 |x 0－(－x 0)|2＝|x 0－(－x 0)－4|2， ∴x 0＝1，∴圆心C (1，－1)，半径r ＝2， 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.6．(2014·广东执信中学期中)已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为12，则椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1或x 2128＋y 2144＝1 B.x 26＋y 24＝1 C.x 236＋y 232＝1或x 232＋y 236＝1 D.x 24＋y 26＝1或x 26＋y 24＝1 [答案] C[解析] 由条件知a ＝6，e ＝c a ＝13，∴c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝32，故选C.7．(2014·云南景洪市一中期末)从抛物线y 2＝4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.8．(文)(2014·河南淇县一中模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2[答案] B[解析] 由条件知，|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 由条件知，(2c )2＝(a －c )·(a ＋c )，∴a 2＝5c 2，∴e ＝55. (理)(2014·抚顺二中期中)在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝( )A.34B.37C.38D.318[答案] C[解析] 设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ， AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝x 2＋x 2－2x 2·(－718)＝259x 2，∴|AC |＝53x ，由条件知，|CA |＋|CB |＝2a ，AB ＝2c ， ∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ，∴c ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38. 9．(2014·威海期中)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，2x －y ≤4，则z ＝yx的最大值为( )A.32 B.23 C.52 D.25 [答案] B[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，x ＋y ≥1，2x －y ≤4表示的平面区域为图中阴影部分，z ＝yx表示平面区域内的点P (x ，y )与原点连线的斜率，∴k OA ≤yx≤k OB ，∵k OA ＝－2353＝－25，k OB ＝23，故－25≤y x ≤23，选B.10．(文)(2014·山东省博兴二中质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 3[答案] B[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba＝2，结合a 2－b 2＝c 2，得e ＝3，故选B. (理)(2014·浙北名校联盟联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，作与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，若PM →·PN →＝2b 2，则该双曲线的离心率为( )A.63 B. 3 C.62D. 2 [答案] C[解析] 由条件知，双曲线两渐近线方程为y ＝±b a x ，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2－y 20b 2＝1，∴x 20－a 2y 20b2＝a 2，由y ＝y 0与y ＝±b a x 得M (－ay 0b ，y 0)，N (ay 0b ，y 0)，∵PM →·PN →＝(－ay 0b －x 0,0)·(ay 0b －x 0,0)＝x 20－a 2y 20b2＝a 2＝2b 2，又b 2＝c 2－a 2，∴3a 2＝2c 2，∴e ＝c a ＝62.11．(2014·山西曲沃中学期中)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 [答案] A[解析] ⊙C 1的圆心C 1(2,3)，半径r ＝1，⊙C 2的圆心C 2(3,4)，半径R ＝3，设E 为x 轴上任一点，EC 1交⊙C 1于A ，EC 2交⊙C 2于B ，则|EA |＋|EB |＝|EC 1|＋|EC 2|－4为E 到⊙C 1与⊙C 2上的点的距离之和的最小值，而|EC 1|＋|EC 2|的最小值为|C 1′C 2|(其中C 1′为C 1关于x 轴的对称点)，∴当P 为直线C 1′C 2：7x －y －17＝0与x 轴的交点(177，0)时，|PM |＋|PN |取到最小值，|PC 1|＋|PC 2|－4＝(177－2)2＋9＋(177－3)2＋16－4＝1527＋2027－4＝52－4，故选A. 12．(2014·海南省文昌市检测)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．4 2B ．8 3C ．24D ．48[答案] C[解析] 由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆x 2＋ky 2＝3k (k >0)的一个焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该椭圆的离心率是________．[答案]32[解析] 抛物线的焦点为F (3,0)，椭圆的方程为：x 23k ＋y 23＝1，∴3k －3＝9，∴k ＝4，∴离心率e＝323＝32. 14．(2014·浙北名校联盟联考)已知直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1在第一象限内相切于点C ，并且分别与x ，y 轴相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．[答案] 2[解析] 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0，l ：x a ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0， ∵l 与⊙O 相切，∴ab a 2＋b2＝1，∴a 2＋b 2＝a 2b 2， ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴(a 2＋b 2)2≥4a 2b 2＝4(a 2＋b 2)， ∴a 2＋b 2≥4，∴a 2＋b 2≥2，即|AB |的最小值为2.15．(文)(2013·泗阳县模拟)两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________． [答案]415[解析] ∵两个正数a ，b 的等差中项是92，等比中项是25，且a ＞b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 2＝92，ab ＝25，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴双曲线方程为x 225－y 216＝1，∴c ＝25＋16＝41，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝c a ＝415.(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1,1＋2)[解析] ∵双曲线关于x 轴对称，∴A 、B 两点关于x 轴对称，∴|F 2A |＝|F 2B |，△ABF 2为锐角三角形⇔∠AF 2B 为锐角⇔∠AF 2F 1<45°⇔|AF 1|<|F 1F 2|，∵F 1(－c,0)，∴A (－c ，b 2a )，即|AF 1|＝b 2a ，又|F 1F 2|＝2c ，∴b 2a <2c ，∴c 2－2ac －a 2<0，∴e 2－2e －1<0， ∴1－2<e <1＋2， ∵e >1，∴1<e <1＋ 2.16．(2014·山西曲沃中学期中)在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W .(1)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y ＝x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(2)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________． [答案] (1)②③ (2)2－ 2[解析] 由条件知：|x |＋|y |＝(x －1)2＋(y －1)2， 两边平方得，|xy |＝－x －y ＋1，当xy ≥0时，xy ＝－x －y ＋1，∴y ＝1－x 1＋x ＝21＋x －1，当xy <0时，－xy ＝－x －y ＋1，∴(x －1)(y －1)＝0，∴x ＝1(y <0)或y ＝1(x <0)， ∴曲线W 如图所示．由图易知：W 的图象关于直线y ＝x 对称，关于原点不对称，W 与x 轴、y 轴非负半轴围成图形的面积S <12×1×1＝12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝1－x1＋x ，x >0，得x ＝y ＝2－1，∴A (2－1，2－1)到原点距离d ＝(2－1)2＋(2－1)2为W 上点到原点距离的最小值．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2014·广东执信中学期中)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点A (t,4)是动点P 的轨迹上的一点，K (m,0)是x 轴上的一动点，试讨论直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4的位置关系．[解析] (1)设P (x ，y )，则MN →＝(2,0)，NP →＝(x －1，y )，MP →＝(x ＋1，y )．∵|MN →|·|NP →|＝MN →·MP →，∴2(x －1)2＋y 2＝2(x ＋1)，化简得y 2＝4x . 所以动点P 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由A (t,4)在轨迹y 2＝4x 上，则42＝4t ，解得t ＝4，即A (4,4)．当m ＝4时，直线AK 的方程为x ＝4，此时直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．当m ≠4时，直线AK 的方程为y ＝44－m(x －m )，即4x ＋(m －4)y －4m ＝0.圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2，令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2<2，解得m <1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2＝2，解得m ＝1；令d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2>2，解得m >1.综上所述，当m <1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相交； 当m ＝1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相切； 当m >1时，直线AK 与圆x 2＋(y －2)2＝4相离．18．(本小题满分12分)(文)(2014·山东省博兴二中质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为3.∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0. 从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.(理)(2014·北京西城区期末)已知A ，B 是抛物线W ：y ＝x 2上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ，O 为坐标原点．(1)若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；(2)设C 为W 上一点，且AB ⊥AC ，过B ，C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求|OD |的最小值．[解析] (1)抛物线y ＝x 2的焦点为(0，14)．由题意得直线AB 的方程为y －1＝k (x －1)，令x ＝0，得y ＝1－k ，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1－k )． 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以1－k >14，解得k <34.(2)由题意，设B (x 1，x 21)，C (x 2，x 22)，D (x 3，y 3)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，y ＝x 2，消去y 得x 2－kx ＋k －1＝0，由韦达定理得1＋x 1＝k ，所以x 1＝k －1.同理，得AC 的方程为y －1＝－1k (x －1)，x 2＝－1k －1.对函数y ＝x 2求导，得y ′＝2x ，所以抛物线y ＝x 2在点B 处的切线斜率为2x 1，所以切线BD 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y＝2x 1x －x 21.同理，抛物线y ＝x 2在点C 处的切线CD 的方程为y ＝2x 2x －x 22.联立两条切线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22，解得x 3＝x 1＋x 22＝12(k －1k －2)，y 3＝x 1x 2＝1k －k ， 所以点D 的坐标为(12(k －1k －2)，1k －k )．因此点D 在定直线2x ＋y ＋2＝0上．因为点O 到直线2x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2×0＋0＋2|22＋12＝255，所以|OD |≥255，当且仅当点D (－45，－25)时等号成立．由y 3＝1k －k ＝－25，得k ＝1±265，验证知符合题意．所以当k ＝1±265时，|OD |有最小值255.19．(本小题满分12分)(文)(2014·韶关市曲江一中月考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．[解析] (1)将点(0,4)代入椭圆C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4，又e ＝c a ＝35，则a 2－b 2a 2＝925，∴1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与椭圆C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入椭圆方程得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝3，所以线段AB 中点的横坐标为x 1＋x 22＝32，纵坐标为45(32－3)＝－65，即所截线段的中点坐标为(32，－65)． (理)(2014·康杰中学、临汾一中、忻州一中、长治二中四校联考)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程． [解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，∵c ＝1，c a ＝12，∴a ＝2，b ＝3，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1.消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k3＋4k2，x 1·x 2＝－83＋4k2，由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k2，消去x 2得(8k 3＋4k 2)2＝43＋4k 2，解得k 2＝14，∴k ＝±12，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.20．(本小题满分12分)(文)(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形AMBF 2为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵c ＝1，b 2a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在符合条件的点M (x 0，y 0)， 设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 得：(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， 由条件知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，∴AB 的中点为(－43m 2＋4，3m3m 2＋4)，∵四边形AMBF 2为平行四边形， ∴AB 的中点与MF 2的中点重合， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋12＝－43m 2＋4，y 02＝3m3m 2＋4.∴M (－3m 2＋123m 2＋4，6m3m 2＋4)，把点M 的坐标代入椭圆C 的方程得：27m 4－24m 2－80＝0，解得m 2＝209，∴存在符合条件的直线l ，其方程为：y ＝±3510(x ＋1)．(理)(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过右焦点F 作斜率为－22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，且OM →＋ON →＋OH →＝0，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．[解析] (1)由题意可得圆的方程为x 2＋y 2＝b 2， ∵直线x －y ＋2＝0与圆相切，∴d ＝22＝b ，即b ＝1， 又e ＝c a ＝22，及a 2＝b 2＋c 2，得a ＝2，所以椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵直线l 过点F (1,0)，且斜率为k ＝－22， ∴l 的方程为y ＝－22(x －1)． 联立方程组⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－22(x －1)，消去y 得2x 2－2x －1＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－12，于是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝22.又OM →＋ON →＋OH →＝0，得OH →＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)， 即H (－1，－22)， 而点G 与点H 关于原点对称，于是可得点G (1，22)． ∴k GH ＝22. 若线段MN 、GH 的中垂线分别为l 1和l 2，则有l 1：y －24＝2(x －12)，l 2：y ＝－2x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －24＝2(x －12)，y ＝－2x .解得l 1和l 2的交点为O 1(18，－28)．因此，可求得|O 1H |＝(98)2＋(328)2＝3118， |O 1M |＝(x 1－18)2＋(y 1＋28)2＝3118.所以M 、G 、N 、H 四点共圆，且圆心坐标为O 1(18，－28)，半径为3118.21．(本小题满分12分)(文)(2014·绵阳市南山中学检测)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过(1,1)与(62，32)两点．(1)求椭圆C的方程；(2)过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|＝|MB|.求证：1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值．[解析](1)将(1,1)与(62，32)两点坐标代入椭圆C的方程得，⎩⎨⎧1a2＋1b2＝1，32a2＋34b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝3，b2＝32.∴椭圆C的方程为x23＋2y23＝1.(2)由|MA|＝|MB|知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b2＋1b2＋2a2＝2(1a2＋1b2)＝2.同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M是椭圆的一个短轴顶点，此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1a2＋1a2＋2b2＝2(1a2＋1b2)＝2.②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OM的方程为y＝－1k x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx，x23＋2y23＝1，解得x21＝31＋2k2，y21＝3k21＋2k2，∴|OA|2＝|OB|2＝x21＋y21＝3(1＋k2)1＋2k2，同理|OM|2＝3(1＋k2)2＋k2，所以1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2×1＋2k23(1＋k2)＋2(2＋k2)3(1＋k2)＝2，故1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2为定值．(理)(2014·浙江台州中学期中)已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1经过点A (1,0)，且离心率为32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上P 点的切线与椭圆C 1交于两点M 、N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G 、H ，当GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．[解析] (1)由题意可得⎩⎨⎧1b 2＝1，ca ＝32，a 2＝b 2＋c 2.解得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 1的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x 知，抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ，所以MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0， 又MN 与椭圆C 1有两个交点， ∴Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点G 的横坐标为x 0，则 x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 的中点H 横坐标为x 3＝1＋t 2，∵GH 与y 轴平行，∴x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，②显然t ≠0，∴h ＝－(t ＋1t＋1)，③当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t )≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.22．(本小题满分14分)(文)(2014·长沙市重点中学月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当直线l 的斜率为1时，坐标原点O 到直线l 的距离为22. (1)求椭圆C 的方程；(2)C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．[解析] (1)设F (c,0)，当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0， ∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知得，c 2＝22，∴c ＝1. 由e ＝c a ＝33，得a ＝3，∴b ＝a 2－c 2＝ 2.∴所求椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP →＝OA →＋OB →成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 由(1)，知C 的方程为x 23＋y 22＝1.由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 23＋y 22＝1.消去x 并化简整理得，(2t 2＋3)y 2＋4ty －4＝0. 由韦达定理，得y 1＋y 2＝－4t2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t (y 1＋y 2)＋2 ＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3，∴P (62t 2＋3，－4t2t 2＋3)．∵点P 在C 上，∴(62t 2＋3)23＋(－4t2t 2＋3)22＝1，化简整理得，4t 4＋4t 2－3＝0，即(2t 2＋3)(2t 2－1)＝0，解得t 2＝12.当t ＝22时，P (32，－22)，l 的方程为2x －y －2＝0； 当t ＝－22时，P (32，22)，l 的方程为2x ＋y －2＝0. 故C 上存在点P (32，±22)，使OP →＝OA →＋OB →成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0.(理)(2014·西安市长安中学期中)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．[解析] (1)由条件知e ＝c a ＝12，b ＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1，消去y 得：(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得：k 2<14，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3，∵0≤k 2<14，∴－873≤－874k 2＋3<－874，∴－4≤OA →·OB →<134，∴OA →·OB →的取值范围是[－4，134)．。
高考数学(理)一轮复习教师用书： 第八章 平面解析几何 Word版含解析
第1课时直线及其方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，π)．2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)(3)倾斜角越大，斜率越大．(×)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k·(x－x0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(×)(7)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn ＝1.(×)(8)直线Ax ＋By ＋C ＝0表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB 的直线．(×) (9)直线y ＝kx ＋3表示过定点(0,3)的所有直线．(×) (10)直线y ＝3x ＋b 表示斜率为3的所有直线．(√)考点一 直线的倾斜角与斜率例1] (1)若直线l PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B ．－13 C ．－32D.23解析：设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：B(2)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 第八章 平面解析几何大一轮复习 数学(理)解析：由直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0， 得直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈－1,0)，设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ＜0. 因此3π4≤θ＜π.答案：B(3)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图，k P A＝1＋31－2＝－4，k PB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：k≤－4或k≥3 4方法引航] 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.1．若将本例(1)改为：直线y＝1，x＝7与坐标轴的交点分别为P、Q，求直线PQ 的斜率．解：由题意可知P(0,1)，Q(7,0)，∴k PQ＝1－00－7＝－17.2．若将本例(2)的直线改为(a2＋1)x＋y＋1＝0，其倾斜角的范围如何？解：因直线的斜率k＝－a2－1≤－1设直线的倾斜角为α，∴tan α≤－1，α∈(0，π)， ∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，34π.3．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3. 答案：A考点二 求直线方程例2] 求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A (3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________． 解析：设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)， ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0. 答案：4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0(2)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________． 解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°， 斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝0(3)过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________． 解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 答案：4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0(4)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)， 则直线方程为y －2＝k (x ＋2)， 由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k . 由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 解得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 方法引航] 求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.1．将本例(1)改为：求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－1 2，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－2 5，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.2．将本例(2)改为：经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．求该直线方程．解：由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，∴直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.3．将本例(4)改为：直线l 的斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.求l 的方程．解：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.考点三 直线方程的应用例3] (1)已知曲线y ＝x 4－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， ∵y ′＝12x －3x ，∴k ＝12x 0－3x 0＝－12，∴x 0＝2.答案：B(2)若ab ＞0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16(3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系， 则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝|PQ |·|PR | ＝(100－m )(80－n )． 又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．方法引航]在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.1．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析：由f′(x)＝1－4x，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.答案：3x＋y－4＝02．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24易错警示]直线的委屈——被遗忘的特殊情况典例](2017·浙江杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为________．正解]①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1.由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－1 3.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.答案] x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0易误] 本题容易忽视直线过原点时的情况．警示] 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否为0；注意区分截距与距离．高考真题体验]1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．(2016·高考北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8解析：选C.依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，∴线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈2,4]，即y＝－2x ＋9，x ∈2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈2,4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D.法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合(图略)可知： θmin ＝0，θmax ＝2×π6＝π3.法二：因为直线l 与x 2＋y 2＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，得k 2－3k ≤0，即0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.课时规范训练 A 组 基础演练1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析：选C.∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D.直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D.由题意得a ＋2＝a ＋2a ，∴a ＝－2或a ＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC 即－x －54＝2， 解得x ＝－3.答案：－37．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．则直线l 的倾斜角的取值范围为________． 解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.10．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)． 又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.B 组 能力突破1．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－A B ＝－13，即直线l 的斜率为－13，故选A.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求； 当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0. 综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)5．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标； (2)若方程组无解，则l 1与l 2无交点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 3．三种距离4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．(√)(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．(×) (6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (8)直线l 关于点P 对称的直线l ′，则l ∥l ′.(×) (9)A 、B 两点到直线l 的距离相等，则AB ∥l .(×) (10)直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0恒过定点(－2,0)．(√)考点一 两条直线的平行与垂直例1] (1)设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直． 答案：C(2)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由1＋m＝0得m＝－1，所以直线方程为x －2y－1＝0.答案：A(3)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a ＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.答案：A(4)已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：①l1∥l2；②l1⊥l2.解：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin α≠0时，k1＝－1sin α，k2＝－2sin α.要使l1∥l2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±2 2.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±2 2.又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 所以α＝k π±π4，k ∈Z . 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.②因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.方法引航] 两直线垂直时，一般先将直线方程化成一般式，l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，然后利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解，这样避免出现漏解.如果利用斜截式方程，则需要根据其斜率是否存在分情况讨论，往往容易忽视斜率不存在的情况，导致漏解.对l 1∥l 2，用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2时，有可能漏解.1．将本例(1)的两直线改为：l 1：bx ＋ay ＋c ＝0，l 2：x sin B ＋y sin A －sin C ＝0，其位置关系如何？ 解：由b sin B ＝asin A ≠c－sin C ，∴l 1∥l 2.2．将本例(2)改为过点(1,0)与x －2y －2＝0垂直，其直线方程怎样． 解：∵x －2y －2＝0的斜率为12， ∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.3．将本例(3)变为“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件解析：选A.由直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，得a ＝－1或1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的充分不必要条件． 4．将本例(4)变为l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值．解：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－b ×1＝0－3a ＋b ＋4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －b ＝0－b ＝－3a ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.法二：由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.考点二 两条直线的交点和距离例2] (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线的点斜式方程l ：y －2＝－53(x ＋1)， 即5x ＋3y －1＝0.法二：设直线l 的方程为：3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0， 将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0， 其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)求过点P (2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程． 解：若l 的斜率不存在，则直线x ＝2满足条件． 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0. ∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，∴解得c ＝2或c ＝－6.∴c ＋2a ＝1或c ＋2a ＝－1. 答案：±1方法引航] (1)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有： ①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系：Bx －Ay ＋m ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. (2)y ＝kx ＋b .①当b 为定值，k 变为参数时，表示过定点(0，b )的直线系(除x ＝0外)； ②当k 为定值，b 为参数时，表示斜率为k 的平行直线系．1．已知经过点P (2,2)的直线l 与直线ax －y ＋1＝0垂直，若点M (1,0)到直线l 的距离等于5，则a 的值是( ) A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.依题意，设直线l 的方程为x ＋ay ＋c ＝0， ∵点P (2,2)在l 上，且点M (1,0)到l 的距离等于 5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋c ＝0，|1＋c |1＋a2＝ 5.消去c ，得a ＝2.2．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到所求直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝03．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大， 由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0考点三 对称问题例3] (1)(2017·江西南昌二中月考)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________． 解析：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ， 即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与l 1交于A (x 1，y 1)与l 2交于B (x 2，y 2) 且x 1＋x 2＝0，∴x 2＝－x 1. y 1＋y 2＝2，y 2＝2－y 1∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0－2x 1＋2－y 1－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4y 1＝2.即A (－4,2) 故过M 和A 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0(2)A (－1，－2)关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413(3)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0方法引航](1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直., 3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23， 又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813， 代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.方法探究]有关点与直线的最值问题典例] (2017·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3关系探究] 一、从m 2＋n 2表示的几何意义分析，得出原点到直线的距离．二、从函数角度分析：题意隐含了m 与n 的约束关系，从而m 2＋n 2可转化为关于m (n )的函数求最值．解析] 法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点， 直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，在直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根， ∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ， ∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4. 法二：函数法因点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， ∴4m ＋3n －10＝0，∴m ＝10－3n4，∴m 2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3n42＋n 2＝100－60n ＋25n 216＝2516⎝ ⎛⎭⎪⎫n －652＋4. 当n ＝65时，m 2＋n 2的最小值为4. 答案] C回顾反思] 有关点与直线的最值问题，一般有两种方法：一是利用几何意义，采用数形结合法．如(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2表示点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；再者利用函数求最值．高考真题体验]1．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C.2．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选D.依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.3．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5. 答案：5课时规范训练 A 组 基础演练1．直线l 过点(－1,2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意可得直线l 的斜率k ＝－32， ∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．3或－1解析：选C.由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.故选C.3．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.∵直线l 的斜率为－1，∴直线l 1的斜率为1，∴k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.∵l 1∥l 2，∴－2b ＝1，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－2.4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D.设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A 正确． 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程是________． 解析：由题意知，所求直线与OA 垂直， 因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．过点(3,1)，且过直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3交点的直线方程为________． 解析：法一：由⎩⎨⎧ y ＝2x x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0.法二：设所求直线方程为x ＋y －3＋λ(2x －y )＝0. 把点(3,1)代入得λ＝－15，故所求直线方程为 x ＋y －3－15(2x －y )＝0，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．解析：设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.答案：y ＝2x ＋29．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程． 解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.B 组1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．2．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.3．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.4．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，则点C 的坐标为________．解析：把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x ，可知A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线所在的直线，设点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 由⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 的平分线所在的直线， ∴点A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)． 答案：(2,4)5．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)． 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52， 解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.第3课时 圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点在圆内．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.(√)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√)(5)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) (6)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．(×) (7)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．(×)(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√)(9)方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝0表示圆心为(－1,1)的圆．(×) (10)圆x 2－4x ＋y 2＋2y ＋1＝0上的点到(2,1)的最长距离为4.(√)考点一 求圆的方程例1] 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 解：(1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )，则 AB 的垂直平分线为y ＝－12(x －4)由⎩⎨⎧ y ＝－12(x －4)2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1即C (2,1)为圆心． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4， F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2009~2013年高考真题备选题库第8章 平面解析几何第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程考点 直线方程1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎤1－22，13D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：本题考查直线与方程、三角形面积的求解等基础知识和方法，考查一般与特殊的思想，考查考生分析问题、解决问题的能力．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b. ∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12. 考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B. 答案：B2．（2012山东，5分）过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 解析：本题考查直线与圆的位置关系、直线方程等基础知识和基本方法，考查数形结合思想、一般与特殊思想、等价转化思想等数学思想方法，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2. 答案：A3．（2012辽宁，5分）将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A ，B ，C ，D 四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．答案：C4．（2010安徽，5分）过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0解析：与直线x－2y－2＝0平行的直线方程可设为：x－2y＋c＝0，将点(1,0)代入x－2y ＋c＝0，解得c＝－1，故直线方程为x－2y－1＝0.答案：A。
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第2讲作业课件理
12/11/2021
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答案
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于点A对称的点 P′(x′，y′)必在直线l上．由xy′ ′＋ ＋xy＝ ＝22， ， 得P′(2－x,2－y)，所以4(2－x) ＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
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2x＋y＋1＝0， x＋y－1＝0，
得xy＝ ＝3－，2，
所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝43－＋32＝15，
所以直线l的斜率kl＝－5.
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12/11所/2021以1＋2c＝±2，解得c＝2或－6.
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答案 解析
10．以A(1,1)，B(3,2)，C(5,4)为顶点的△ABC，其边AB上的高所在的 直线方程是________．
答案 2x＋y－14＝0
解析
由A，B两点得kAB＝
1 2
，则边AB上的高所在直线的斜率为－2，故
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答案 解析
2．若直线l1：(m－2)x－y－1＝0与直线l2：3x－my＝0互相平行，则m 的值等于( )
A．0或－1或3 B．0或3 C．0或－1 D．－1或3
答案 D
解析 当m＝0时，两条直线方程分别化为－2x－y－1＝0,3x＝0，此时
两条直线不平行；当m≠0时，由于l1∥l2，则
A组 基础关
1．已知过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套文档】 第八章 立体几何 第2课
§8.2平面的基本性质与推论1．平面的基本性质及推论(1)平面的基本性质：基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．(2)平面基本性质的推论：推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．直线与直线的位置关系(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A. (×)(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC. (×)(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√) 2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b ()A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线答案 C解析 由已知得直线c 与b 可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b ∥c ，则a ∥b ，与已知a 、b 为异面直线相矛盾． 3． 下列命题正确的个数为( )①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确； 两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确； 命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．4. 如图，α∩β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M答案 D解析 ∵AB ⊂γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上．5． 已知空间四边形ABCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC＋BD )；②MN >12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN <12(AC ＋BD )．其中正确的是________． 答案 ④解析 如图，取BC 的中点O ， 连接MO 、NO ，则OM ＝12AC ，ON ＝12BD ，在△MON 中，MN <OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确.题型一 平面基本性质的应用例1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证： (1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维启迪 (1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面； (2)可以先证CE 与D 1F 交于一点，然后再证该点在直线DA 上． 证明 (1)连接EF ，CD 1，A 1B . ∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1， ∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ， ∴P ∈直线DA .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．思维升华 基本性质1是判断一条直线是否在某个平面的依据；基本性质2及推论是判断或证明点、线共面的依据；基本性质3是证明三线共点或三点共线的依据．(1)以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则点A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定________个平面．答案(1)B(2)9解析(1)①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．(2)∵a、b是异面直线，∴a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个．题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．思维启迪第(1)问，连接MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法．解(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．思维升华(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)(3)下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．答案(1)D(2)②④(3)①②解析(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．(3)没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故c b；命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由基本性质2可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．思维启迪找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．答案无数温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本性质3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．失误与防范1．正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的() A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案 A解析“两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共点”⇒“两直线异面或平行”．故选A.2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c () A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．平行、相交、是异面直线都有可能答案 D解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．3．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)答案 A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于 2.选A.4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案 C解析易知D∈β，D∈平面ABC，C∈β，C∈平面ABC.∴平面ABC∩平面β＝CD.5．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④答案 D解析当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．二、填空题6．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．7．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是________(只填序号)． 答案 ①解析 由公理4知①正确；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故③不正确．8. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 答案 ③④解析 直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 三、解答题9． 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H . (1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH 、FG 、BD 三线共点． (1)解 ∵AE EB ＝CFFB ＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH . ∴AH HD ＝CGGD＝3. ∴AH ∶HD ＝3∶1.(2)证明 ∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴EFGH 为梯形．令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH、FG、BD三线共点．10．在三棱锥P－ABC中，E是PC的中点．求证：AE与PB是异面直线．证明假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．B组专项能力提升(时间：30分钟)1．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面答案 B解析当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．2. 如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形形状是________边形．答案六解析延长PQ或(QP)分别交CB延长线于E，交CD延长线于F，取C 1D 1中点M ，连接RM ，连接RE 交BB 1于S ，连接MF 交DD 1于N ，连接NQ ，PS ，则六边形PQNMRS 即为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的过P 、Q 、R 三点的截面图形．4. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明 连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ，∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线．5． 定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外的一点，且P 不在α内，若直线AP 、BP 与α分别交于C 、D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点． 证明 设定线段AB 所在直线为l ，与平面α交于O 点，即l ∩α＝O .由题意可知，AP ∩α＝C ，BP ∩α＝D ，∴C ∈α，D ∈α.又∵AP ∩BP ＝P ，∴AP 、BP 可确定一平面β，且C ∈β，D ∈β.∴CD ＝α∩β.∵A ∈β，B ∈β，∴l ⊂β，∴O ∈β.∴O ∈α∩β.即O ∈CD .∴不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．。
2015年高考数学(理)核按钮：第八章《立体几何》(含解析)
第八章立体几何§8.1空间几何体的结构，三视图和直观图1．认识柱，锥，台，球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2．能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱，锥，台，球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线，线面，面面的关系是重点，三视图一般会在选择题，填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．1．棱柱，棱锥，棱台的概念(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．※2.棱柱，棱锥，棱台的性质(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面，对角面都是________．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高，侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影，斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．(3)正棱台的性质侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高，斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高，侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高，侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．3．圆柱，圆锥，圆台(1)圆柱，圆锥，圆台的概念分别以________的一边，__________的一直角边，________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱，圆锥，圆台．(2)圆柱，圆锥，圆台的性质圆柱，圆锥，圆台的轴截面分别是________，___________，___________；平行于底面的截面都是__________．4．球(1)球面与球的概念以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．5．平行投影在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图，直观图(1)三视图①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________，__________，__________．②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和侧(左)视图的宽度要相等．(2)直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使∠xOz ＝________且∠yOz ＝________．②画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′＝____________，∠x ′O ′z ′＝____________．x ′O ′y ′所确定的平面表示水平面．③已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成____________x ′轴，y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的__________．⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形．【自查自纠】1．(1)平行 四边形 平行 (2)多边形 三角形2．(1)平行四边形 全等 平行四边形 矩形 (2)等腰三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形 直角三角形(3)等腰梯形 直角梯形 直角梯形 直角梯形 3．(1)矩形 直角三角形 直角梯形 (2)矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆4．(1)直径 球心 (2)垂直于 d ＝R 2－r 2 5．平行投影 平行6．(1)①正(主)视图 侧(左)视图 俯视图 (2)①90° 90°②45°(或135°) 90° ③平行于 ④一半下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的底面一定是平行四边形B ．棱锥的底面一定是三角形C ．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D ．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱解：根据棱柱，棱锥的性质及截面性质判断，故选D.以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )A ．球的三视图总是三个全等的圆B ．正方体的三视图总是三个全等的正方形C ．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D ．水平放置的圆台的俯视图是一个圆解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.(2012·陕西)将正方体(如图a 所示)截去两个三棱锥，得到图b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD 1为实线，B1C 的正投影为A 1D ，且B 1C 被遮挡为虚线．故选B.用一张4cm×8cm 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱轴截面的面积为________cm 2(接头忽略不计)．解：以4cm 或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截面面积均为32πcm 2，故填32π．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解：如图所示是实际图形和直观图．由图可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图中作C ′D ′⊥A ′B ′，垂足为D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′×C ′D ′＝12×a×68a ＝616a 2.故填616a 2.类型一 空间几何体的结构特征(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是()解：D 选项的正视图应为如图所示的图形． 故选D.【评析】本题主要考查空间想象能力，是近年高考中的热点题型．本题可用排除法一一验证：A ，B ，C 都有可能，而D 的正视图与侧视图不可能相同．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解：从俯视图看，B ，D 符合，从正视图看，B 不符合，D 符合，而从侧视图看D 也是符合的．故选D.类型二 空间几何体的三视图如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()A ．6 3B ．93C ．12 3D ．18 3解：由三视图可知该几何体是一个斜四棱柱，高h＝22－1＝3，底面积为9，所以体积V ＝9×3＝9 3.故选B.【评析】通过三视图考查几何体的体积运算是较为常规的考题，考生对此并不陌生．对于空间几何体的考查，从内容上看，柱，锥的定义和相关性质是基础，以它们为载体考查三视图，体积是重点．本题给出了几何体的三视图，只要掌握三视图的画法“长对正，高平齐，宽相等”，不难将其还原得到斜四棱柱．如图所示的三个直角三角形是 一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.解：由三视图可知，该几何体为三棱锥，此三棱锥的底面为直角三角形，直角边长分别为5cm ，6cm ，三棱锥的高为h cm ，则三棱锥的体积为V＝13×12×5×6×h＝20，解得h ＝4cm.故填4.类型三 空间多面体的直观图如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥．画法：(1)画轴．如图1，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.图1(2)画底面．利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取O ′使OO ′等于三视图中相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′.(3)画正四棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于三视图中相应的高度．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图2所示．图2【评析】根据三视图可以确定一个几何体的长，宽，高，再按照斜二测画法，建立x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°，确定几何体在x 轴，y 轴，z 轴方向上的长度，最后连线画出直观图．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( )A . 2B ．6 2C .13D ．2 2解：因为四棱锥的底面直观图是一个边长为1的正方形，该正方形的对角线长为2，根据斜二测画法的规则，原图底面的底边长为1，高为直观图中正方形的对角线长的两倍，即22，则原图底面积为S ＝2 2.因此该四棱锥的体积为V ＝13Sh ＝13×22×3＝2 2.故选D.类型四 空间旋转体的直观图用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上，下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台的母线长．解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上，下底面半径分别为r ，4r .根据相似三角形的性质得， 33＋l ＝r4r ，解得 l ＝9. 所以，圆台的母线长为9cm.【评析】用平行于底面的平面去截柱，锥，台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，设相关几何变量列方程求解．圆锥底面半径为1cm ，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.解：过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF ，正方体对角面CDD 1C 1如图所示. 设正方体棱长为x ，则CC 1＝x ，C 1D 1＝2x .作SO ⊥EF 于O ，则SO ＝2，OE ＝1.∵△ECC 1∽△ESO ，∴CC 1SO ＝EC 1EO ，即x2＝1－22x1， 解得x ＝22(cm)．故内接正方体的棱长为22cm.1．在研究圆柱，圆锥，圆台的相关问题时，主要方法就是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中容易找到这些几何体的有关元素之间的位置关系以及数量关系．2．正多面体(1)正四面体就是棱长都相等的三棱锥，正六面体就是正方体，连接正方体六个面的中心，可得到一个正八面体，正八面体可以看作是由两个棱长都相等的正四棱锥拼接而成．(2)如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，连接A 1B ，BC 1，A 1C 1，DC 1，DA 1，DB ，可以得到一个棱长为2a 的正四面体A 1-BDC 1，其体积为正方体体积的13.(3)正方体与球有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a ，球的半径为R )．3．长方体的外接球(1)长，宽，高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a ＝2R .4．棱长为a 的正四面体(1)斜高为32a ；(2)高为63a ；(3)对棱中点连线长为22a ； (4)外接球的半径为64a ，内切球的半径为612a ；(5)正四面体的表面积为3a 2，体积为212a 3.5．三视图的正(主)视图，侧(左)视图，俯视图分别是从几何体的正前方，正左方，正上方观察几何体画出的轮廓线，对于能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．6．一个平面图形在斜二测画法下的直观图与原图形相比发生了变化，注意原图与直观图中的“三变，三不变”．三变：坐标轴的夹角改变，与y 轴平行线段的长度改变(减半)，图形改变．三不变：平行性不变，与x 轴平行的线段长度不变，相对位置不变．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S 直观图＝24S 原图形，S 原图形＝22S 直观图．1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是( )A ．六棱锥B ．六棱台C ．六棱柱D ．非棱柱，棱锥，棱台的一个几何体解：平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体符合棱柱的定义，故选C .2．下列说法中，正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其它侧面也是矩形C ．正方体的所有棱长都相等D ．棱柱的所有棱长都相等解：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A 错误；其它侧面可能是平行四边形，选项B 错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D 错误；易知选项C 正确．故选C.3．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )A ．一个圆台，两个圆锥B ．两个圆台，一个圆柱C ．两个圆台，一个圆锥D ．一个圆柱，两个圆锥解：把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱，两个圆锥．故选D.4．将正三棱柱截去三个角(如图1所示A ，B ，C 分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )A B C D解：观察图形，易知图2所示几何体的侧视图为直角梯形，且EB 为直角梯形的对角线．故选A.5．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是()A ．棱柱B ．棱台C ．圆柱D ．圆台 解：由俯视图可知该几何体的上，下两底面为半径不等的圆，又∵正视图和侧视图相同，∴可判断其为旋转体．故选D.6．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为()A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 解：由三视图可知，此多面体是四棱锥，底面是边长为2的正方形，并且有一条长为2的侧棱垂直于底面，所以最长棱长为22＋22＋22＝2 3.故选C.7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于________．解：由正视图知，三棱柱是底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为2×12×2×2×32＝23，侧面积为3×2×1＝6，所以其表面积为6＋2 3.故填6＋23.8．如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为________，圆锥母线长为________．解：由三视图可知，圆锥顶点在底面的射影是底面圆的中心，根据图中的数据，底面圆的半径为10，则俯视图中圆的面积为100π，母线长为302＋102 ＝1010，故填100π；1010.9．如图a 是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图．解：图a 中几何体三视图如图b 所示：10．如图1是某几何体的三视图，试说明该几何体的结构特征，并用斜二测画法画出它的直观图．解：图1中几何体是由上部为正六棱柱，下部为倒立的正六棱锥堆砌而成的组合体．斜二测画法：(1)画轴．如图2，画x 轴，y 轴，z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝∠yOz ＝90°.(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z 轴上截取O ′，使OO ′等于正六棱柱的高，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)画正六棱锥顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于正六棱锥的高．(4)成图．连接P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，PE ′，PF ′，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE ′，FF ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图3所示．注意：图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．11．某长方体的一条对角线长为7，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为6，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a 和b ，求ab的最大值．解：如图，则有AC 1＝7，DC 1＝6， BC 1＝a ，AC ＝b ，设AB ＝x ，AD ＝y ，AA 1＝z ，有 x 2＋y 2＋z 2＝7，x 2＋z 2＝6，∴y 2＝1.∵a 2＝y 2＋z 2＝z 2＋1，b 2＝x 2＋y 2＝x 2＋1， ∴a ＝z 2＋1，b ＝x 2＋1. ∴ab ＝（z 2＋1）（x 2＋1）≤z 2＋1＋x 2＋12＝4，当且仅当z 2＋1＝x 2＋1，即x ＝z ＝3时，ab 的最大值为4.水以匀速注入某容器中，容器的三视图如图所示，其中与题中容器对应的水的高度h 与时间t的函数关系图象是( )解：由三视图知其直观图为两个圆台的组合体，水是匀速注入的，所以水面高度随时间变化的变化率先逐渐减小后逐渐增大，又因为容器的对称性，所以函数图象关于一点中心对称．故选C.§8.2空间几何体的表面积与体积1．了解棱柱，棱锥，台，球的表面积和体积的计算公式．2．会利用公式求一些简单几何体的表面积与体积．高考主要考查空间几何体的侧面积，表面积，体积以及相关元素的关系与计算，这些内容常与三视图相结合，以选择题，填空题的形式出现，也可能以空间几何体为载体，考查线面关系，侧面积，表面积以及体积．1．柱体，锥体，台体的表面积(1)直棱柱，正棱锥，正棱台的侧面积S直棱柱侧＝__________，S正棱锥侧＝__________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体，锥体，台体的体积(1)棱柱，棱锥，棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱，圆锥，圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝________.【自查自纠】1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)解：分两种情况：①以边长为6π的边为高时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π，r＝2，∴S底＝πr2＝4π，S侧＝6π×4π＝24π2，S表＝2S底＋S侧＝8π＋24π2＝8π(3π＋1)；②以边长为4π的边为高时，6π为圆柱底面周长，则2πr＝6π，r＝3.∴S底＝πr2＝9π，S表＝2S底＋S侧＝18π＋24π2＝6π(4π＋3)．故选C.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为()A.23 2 B. 2 C.23 D.43 2解：∵正三棱锥的侧面均为直角三角形，故侧面为等腰直角三角形，且直角顶点为棱锥的顶点，∴侧棱长为2，V＝13×12×(2)2×2＝23.故选C.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则圆柱的体积与球体积之比为()A．1∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．3∶2解：设球半径为R，圆柱底面半径为R，高为2R.∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V圆柱∶V球＝3∶2.故选D.长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB＝2，AD＝3，AA1＝1，则球面面积为________．解：∵长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，则外接球的直径是长方体的体对角线，而长方体的体对角线的长为AB2＋AD2＋AA21＝22，∴半径R＝ 2.∴S球＝4πR2＝8π.故填8π.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为____________．解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则⎩⎪⎨⎪⎧πr2＝π，πrl＝2π，有⎩⎪⎨⎪⎧r＝1，l＝2，从而可知圆锥的高h＝l2－r2＝4－1＝ 3.∴V＝13×π×3＝33π.故填33π.类型一空间几何体的面积问题如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.(1)证明：平面ADB⊥平面BDC；(2)若BD＝1，求三棱锥D-ABC的表面积．解：(1)证明：∵折起前AD是BC边上的高，∴沿AD把△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥BD.又DB∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又∵AD⊂平面ADB，∴平面ADB⊥平面BDC.(2)由(1)知，DA⊥BD，BD⊥DC，DC⊥DA，DB＝DA＝DC＝1，∴AB＝BC＝CA＝ 2.从而S△DAB＝S△DBC＝S△DCA＝12×1×1＝12，S△ABC＝12×2×2×sin60°＝32.∴三棱锥D-ABC的表面积S＝12×3＋32＝3＋32.【评析】充分运用图形在翻折前后的不变性，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变等，再由面面垂直的判定定理进行推理证明，然后再计算．(2013·福建)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图，侧视图，俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是____________．解：由三视图可知该组合体为球内接一个棱长为2的正方体，∴正方体的体对角线为球的直径2r＝22＋22＋22＝23，S球＝4πr2＝12π.故填12π.类型二空间旋转体的面积问题如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是______．解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的夹角为α，圆柱侧面积S＝2π×4sinα×2×4cosα＝32πsin2α，当α＝π4时，S取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π.故填32π.【评析】根据球的性质，内接圆柱上，下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上，下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上，下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．(2012·辽宁)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为____________．解：由三视图知该几何体为长4宽3高1的长方体的中间挖去一个半径为1高为1的圆柱所成几何体，所以表面积为2×(4×3＋4×1＋3×1)－2×π×12＋2π×1×1＝38.故填38.类型三空间多面体的体积问题一个正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．解：如图所示为正三棱锥S-ABC，设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33，AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ×AE ＝12×6×33＝93，在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.∴V 正三棱锥＝13×S △ABC ×SH ＝13×93×3＝9.【评析】(1)求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh进行计算．(2)求空间几何体体积的常用方法为割补法和等积变换法：①割补法：将这个几何体分割成几个柱体，锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积；②等积变换法：特别的，对于三棱锥，由于其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积性”还可求“点到面的距离”．如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23 B.33 C.43 D.32 解：如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于EF ，垂足分别为M ，N ，连接DM ，CN ，可证得DM ⊥EF ，CN ⊥EF ，则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积V ABCDEF ＝V AMD -BNC ＋V E -AMD ＋V F -BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．易知Rt △DME Rt △CNF ，∴EM ＝NF ＝12.又BF ＝1，∴BN ＝32.作NH 垂直于BC ，则H 为BC 的中点，∴NH ＝22. ∴S △BNC ＝12·BC ·NH ＝24.∴V F -BNC ＝13·S △BNC ·NF ＝224， V E -AMD ＝V F -BNC ＝224，V AMD -BNC ＝S △BNC·MN＝24. ∴V ABCDEF ＝23，故选A .类型四 空间旋转体的体积问题某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．8－2π3B ．8－π3C ．8－2πD ．2π3解：由三视图知几何体为一个正方体中间去掉一个圆锥，所以它的体积是V ＝23－13×π×12×2＝8－23π.故选A.【评析】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式进行计算．(2012·河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与其内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A.2π3＋12 B.4π3＋16 C.2π6＋16 D.2π3＋12解：由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V ＝12×43π×⎝⎛⎭⎫223＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.1．几何体的展开与折叠(1)几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的，利用空间问题平面化的思想，把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法．(2)多面体的展开图①直棱柱的侧面展开图是矩形；②正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形；③正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形．(3)旋转体的展开图①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长；②圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长；③圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上，下弧长分别为圆台的上，下底面周长．注：①圆锥中母线长l 与底面半径r 和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆，同学们应多动手推导，加深理解．②圆锥和圆台的侧面积公式S 圆锥侧＝12cl 和S 圆台侧＝12(c ′＋c )l 与三角形和梯形的面积公式在形式上相同，可将二者联系起来记忆．2．空间几何体的表面积的计算方法有关空间几何体的表面积的计算通常是将空间图形问题转化为平面图形问题，这是解决立体几何问题常用的基本方法．(1)棱柱，棱锥，棱台等多面体的表面积可以分别求各面面积，再求和，对于直棱柱，正棱锥，正棱台也可直接利用公式；(2)圆柱，圆锥，圆台的侧面是曲面，计算其侧面积时需将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和；(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理． 3．空间几何体的体积的计算方法(1)计算柱，锥，台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法，补体法，还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握．(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高，通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题．4．由几何体的三视图求几何体的表面积与体积问题，一般按如下三个步骤求解：(1)由三视图想象出原几何体的形状；(2)由三视图给出的数量关系确定原几何体的数量关系；(3)如果是规则几何体，直接代入公式求解，如果不是规则几何体，通过“割补”后，转化为规则几何体求解．1．已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A .2π2B .2πC .3π3D .3π 解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22－12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C. 2．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( ) A ．2 3 B ．3 2 C ．6 D . 6 解：设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，则有ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，解得a ＝1，b ＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l ＝a 2＋b 2＋c 2＝ 6.故选D.3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋2 3B ．4π＋2 3C ．2π＋233D ．4π＋233解：该空间几何体由一圆柱和一正四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，正四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为13×(2)2×3＝233.所以该几何体的体积为2π＋233.故选C . 4．将长，宽分别为4和3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，得到四面体A -BCD ，则四面体A -BCD 的外接球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．5πD ．10π解：由题设知AC 为外接球的直径，∴2R ＝32＋42＝5，S 表＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫522＝25π.故选A.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第八章 平面解析几何
第八章 平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2x 1－x 2.3．直线方程1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B.[试一试]1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12D ．2或－12解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－32时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，故m ＝2或m ＝－12.2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4－2－m ＝1，∴m ＝1.答案：13．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝01．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．2．求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5， 解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0直线的倾斜角与斜率1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫33，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1.答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1[类题通法]1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.直线方程[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又因为直线过点(－3,4)，所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. [类题通法]1．在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． 2．对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用． [针对训练]经过点P (－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是( ) A ．8x ＋5y ＋20＝0或2x －5y －12＝0 B ．8x －5y －20＝0或2x －5y ＋10＝0 C ．8x ＋5y ＋10＝0或2x ＋5y －10＝0 D ．8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：选D 由题意设所求方程为y ＋4＝k (x ＋5)，即kx －y ＋5k －4＝0.由12·|5k －4|·|4k －5|＝5得，k ＝85或k ＝25.直线方程的综合应用角度一 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程． 解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋ba≥2＋2a b ·ba＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. (2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.角度二 直线方程与平面向量的综合2．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求当MA ·MB 取得最小值时，直线l 的方程．解：设A (a,0)，B (0，b )则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b ＝1.故MA ·MB ＝－MA ·MB ＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. [类题通法]1．含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”．2．求解与直线方程有关的最值问题，选设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.第二节两直线的位置关系1．两直线的位置关系2．两直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．3．几种距离 (1)两点间的距离：平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式 d (A ，B )＝|AB |(2)点到直线的距离：点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d(3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax ＋By ＋C1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d1．在判断两直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[试一试]1．(2013·长春调研)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175 C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.2．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的 ( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0； (2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0. 2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法． [练一练]1．点(2,3)关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(a ，b )，则⎩⎨⎧b －3a －2＝1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. 答案：(－4，－3)2．(2014·张家口质检)已知直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________．解析：由直线l 与直线2x －3y ＋4＝0垂直，可知直线l 的斜率是－32，由点斜式可得直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.答案：3x ＋2y －1＝0两直线平行与垂直1．已知过点A (－2，m )和点B (m,4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A ∵l 1∥l 2， ∴k AB ＝4－mm ＋2＝－2.解得m ＝－8. 又∵l 2⊥l 3，∴－1n ×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.2．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选C 当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0即x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行；当直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行时，－a2＝－1，a ＝2.综上所述，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行”的充要条件，故选C.3．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二 ∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， ∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 [类题通法]充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．距离问题[典例] 已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1， ∴线段AB 的垂直平分线方程为 y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， ∴a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|5＝2， 即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [类题通法]1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． 2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|P A |＝|PB |这一条件的转化处理．[针对训练]与直线7x ＋24y －5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．解析：设所求直线方程为7x ＋24y ＋m ＝0， 由3＝|m ＋5|72＋242，∴m ＝70或－80.答案：7x ＋4y －80＝0或7x ＋24y ＋70＝0对称问题角度一 点关于点的对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二 点关于线对称2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：设A ′(x ，y )，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 角度三 线关于线对称3．在[角度二]的条件下，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解：在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用4．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.[类题通法]解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y . ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．第三节圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [试一试]方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14＜m ＜1 B ．m ＜14或m ＞1C ．m ＜14D ．m ＞1解析：选B 由(4m )2＋4－4×5m ＞0知m ＜14或m ＞1.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算． (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． [练一练]1．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得：b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.2．以直线3x －4y ＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________． 解析：法一：直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A (－4,0)，B (0,3)，所以线段AB 的中点为C ⎝⎛⎭⎫－2，32，|AB |＝5. 故所求圆的方程为(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 法二：易得圆的直径的两端点为A (－4,0)，B (0,3)， 设P (x ，y )为圆上任一点，则P A ⊥PB.∴k P A ·k PB ＝－1得y x ＋4·y －3x ＝－1(x ≠－4，x ≠0)，即x (x ＋4)＋y (y －3)＝0. 化简得(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝⎝⎛⎭⎫522. 答案：(x ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝254圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.3. 过直线2x ＋y ＋4＝0和圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的交点，并且面积最小的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0B ．x 2＋y 2＋265x －125y －375＝0C ．x 2＋y 2－265x －125y ＋375＝0D ．x 2＋y 2－265x －125y －375＝0解析：选A 设所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2－4＋k (2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(k ＋1)x ＋(k －4)y ＋1＋4k ＝0，化为圆的标准方程得[x ＋(k ＋1)]2＋⎣⎡⎦⎤y ＋12(k －4)2＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(4k ＋1)，由(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＞0，得5k 2－16k ＋16＞0，此时，所求圆的半径r＝(k ＋1)2＋14(k －4)2－(1＋4k )＝125k 2－16k ＋16.显然，当k ＝－－1610，即k ＝85时，5k 2－16k ＋16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小．故所求的圆的方程为x 2＋y 2＋265x －125y ＋375＝0.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组． 2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．与圆有关的最值问题角度一 斜率型最值问题1．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求yx 的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3.(如图)所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二 截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝ 3，解得b ＝－2±6.(如图)所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. 角度三 距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．(如图)又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是()2－32＝7－4 3. 角度四 利用对称性求最值4．(2013·重庆高考)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)形如t ＝y －b x －a 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．与圆有关的轨迹问题[典例] xOy 中，已知圆为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解] (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. [类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． [针对训练]已知OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量OQ 满足OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径r 1、r 2，d ＝|O 1O 2|)1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [试一试]1．(2014·石家庄模拟)过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．(2013·北京东城模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0, 则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k |1＋k 2＝1, 解得k ＝±24，根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －241．圆的切线问题(1)过圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引切线，有两条，求方程的方法是待定系数法，切点为T 的切线长公式为|MT |＝ x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＝|MC |2－r 2(其中C 为圆C 的圆心，r 为其半径)．2．求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． [练一练]1．(2014·泉州模拟)过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＝0或x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选C 圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0的圆心为(2,0)，半径为2，易知过原点与该圆相切时，直线必有斜率．设斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ，则|2k |k 2＋1＝2， ∴k 2＝1，∴k ＝±1， ∴直线方程为y ＝±x .2．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68 C ．5或－34D ．－68解析：选B ∵弦长为8，圆的半径为5， ∴弦心距为52－42＝3，∵圆心坐标为(1，－2)， ∴|5×1－12×(－2)＋c |13＝3，∴c ＝10或c ＝－68.直线与圆的位置关系1．(2013·陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 由点M 在圆外，得a 2＋b 2＞1，∴圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，则直线与圆O 相交．2．(2014·江南十校联考)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜1解析：选C 根据直线与圆有两个不同的交点，可知圆心到直线的距离d 小于半径． ∵圆x 2＋y 2－2x －1＝0可化为(x －1)2＋y 2＝2，即圆心是(1,0)，半径是2， ∴d ＝|1－0＋m |2＜2，∴|m ＋1|＜2，∴－3＜m ＜1，由题意知m 的取值范围应是(－3,1)的一个真子集，故选C. [类题通法]判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．切线、弦长问题[典例] ＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0[解析] 根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是－2，只有选项A 中直线的斜率为－2.[答案] A(2)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－(2)2＝2 2. [答案] 2 2 [类题通法]1．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 2．圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． [针对训练](2014·济南模拟)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝ 3，则OA ·OB 的值是( ) A ．－12B.12 C ．－34D ．0解析：选A 在△OAB 中，|OA |＝|OB |＝1，|AB |＝ 3，可得∠AOB ＝120°，所以OA ·OB ＝1×1×cos 120°＝－12.圆与圆的位置关系[典例] 12：(x ＋m )2＋∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[解析] 由两圆在点A 处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO 1⊥AO 2，在直角三角形AO 1O 2中，(25)2＋(5)2＝m 2，∴m ＝±5，|AB |＝2×25×55＝4. [答案] 4在本例条件下求AB 所在的直线方程.解：由本例可知m ＝±5.当m＝5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2＋10x＋5＝0.②②－①得，x＝－1，即AB所在直线方程为x＝－1.当m＝－5时，⊙O1：x2＋y2＝5，①⊙O2：x2＋y2－10x＋5＝0.②②－①得，x＝1，即AB所在直线方程为x＝1.∴AB所在的直线方程为x＝1或x＝－1.[类题通法]1．两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[针对训练]与圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选C由题意知，两圆圆心分别为(－2,2)与(2,5)，半径分别为1和4，圆心距为(－2－2)2＋(2－5)2＝5，显然两圆外切，故公切线的条数为3.第五节椭圆1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆：①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．2．椭圆的标准方程和几何性质1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．[试一试]若直线x －2y ＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A.x 25＋y 2＝1 B.x 24＋y 25＝1 C.x 25＋y 2＝1或x 24＋y 25＝1 D ．以上答案都不对解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x 轴上时，c ＝2，b ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆的标准方程为x 25＋y 2＝1.当焦点在y 轴上时，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5，所求椭圆标准方程为y 25＋x 24＝1.故选C.1．求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出椭圆的标准方程．2．椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .3．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0＜e ＜1)．[练一练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12解析：选D 在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1椭圆的定义及标准方程1.(2014·三明模拟)设F 1，F 2是椭圆x 49＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3，则△PF 1F 2的面积为( )A ．30B ．25C ．24D ．40解析：选C ∵|PF 1|＋|PF 2|＝14， 又|PF 1|∶|PF 2|＝4∶3， ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6. ∵|F 1F 2|＝10，∴PF 1⊥PF 2.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×8×6＝24.2．(2014·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1 D.x 216＋y 24＝1解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点P (2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.3．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：选D 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.[类题通法]1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．2．利用定义和余弦定理可求得|PF 1|·|PF 2|，再结合|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2| 进行转化，可求焦点三角形的周长和面积．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．椭圆的几何性质[典例] (2013·福建高考)椭圆Γ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．[解析] 直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.[答案] 3－1本例条件变为“过F1，F2的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在椭圆的内部”求离心率的取值范围.解：作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部，所以c＜b，从而c2＜b2，即c2＜a2－c2，⎝⎛⎭⎫ca2＜12，0＜ca＜22，故e∈⎝⎛⎭⎫0，22.[类题通法]椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．[针对训练]1．椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21 D.1925或21解析：选C若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，由ca＝45，即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.2．若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是()A．[14，13] B．[13，12]C．(13，1) D．[13，1)解析：选D设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k＝2a，又结合椭圆的性质可知．椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k≤2c，∴2a≤6c，即e≥13.又∵0＜e＜1，∴13≤e＜1.直线与椭圆的位置关系[典例] (2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB ＋AD ·CB ＝8，求k 的值．[解] (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3，于是26b 3＝433，解得b ＝2，又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)所以AC ·DB ＋AD ·CB ＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.[类题通法]1．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝ (1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|AB |＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].[针对训练](2013·全国新课标Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1， 由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3， 设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.。
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[课堂练通考点]
1. (2013·银川模拟)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( )
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．3或－1
解析：选C 由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a
， 即a ＝－1.
2．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，则实数a ＝( ) A.23
B ．－1
C ．2
D ．－1或2
解析：选A 由a ×1＋(a －1)×2＝0
∴a ＝23
. 3．(2014·广州模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )
A ．x ＋2y －1＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．2x ＋y －3＝0
D ．x ＋2y －3＝0 解析：选D 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．
又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的
两点式，得y －01－0＝x －31－3
，即x ＋2y －3＝0. 4. 已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．
解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5
. 又|15－3a |5
≤3， 即|15－3a |≤15，
解之得，0≤a ≤10，
所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
5．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．
(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；
(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等．
解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，
即a 2－a －b ＝0.①
又点(－3，－1)在l 1上，
∴－3a ＋b ＋4＝0②
由①②得a ＝2，b ＝2.
(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，b ＝a 1－a
， 故l 1和l 2的方程可分别表示为：
(a －1)x ＋y ＋4(a －1)a
＝0， (a －1)x ＋y ＋a 1－a
＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等．
∴4⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪a 1－a ，
∴a ＝2或a ＝23
， ∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23
，b ＝2. [课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1. (2014·成都模拟)若直线(a ＋1)x ＋2y ＝0与直线x －ay ＝1互相垂直，则实数a 的值等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
解析：选C 由⎝
⎛⎭⎫－a ＋12×1a ＝－1，得a ＋1＝2a ，故a ＝1. 2．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．
3. 已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( )
A.12
B ．－12
C ．2
D ．－2
解析：选A ∵l 2，l 1关于y ＝－x 对称，
∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3.即y ＝12x ＋32
. ∴l 2的斜率为12
. 4. 已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
解析：选C 由已知k AB ＝2，即4m －1
＝2，解得m ＝3. 5. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )
A ．x ＋y －5＝0
B ．2x －y －1＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x ＋y －7＝0
解析：选D 由|P A |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且P A 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线P A ，PB 关于直线x ＝3对称，直线P A 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，
∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.
6. 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在直线的斜率为k (k ≠0)，则折痕所在直线的方程为________．
解析：设将矩形折叠后A 点落在线段CD 上对应的点为G (a,1)(0≤a ≤2)，所以A 与G
关于折痕所在的直线对称，设所求直线的斜率为k ，则有k AG ·k ＝－1，即1a
·k ＝－1，得a ＝－k ，故G 点的坐标为(－k,1)(－2≤k <0)，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标为⎝⎛⎭
⎫－k 2，12 ，折痕所在直线的方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12
(－2≤k <0)． 答案：y ＝kx ＋12k 2＋12
(－2≤k <0) 7．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．
解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1
，解得a ＝－13或－79.
答案：－13或－79
8. (创新题)若实数x ，y 满足x |x |－y |y |＝1，则点(x ，y )到直线y ＝x 的距离的取值范围是________．
解析：①当x ≥0且y ≥0时，x |x |－y |y |＝x 2－y 2＝1；
②当x ＞0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝x 2＋y 2＝1；
③当x ＜0且y ＞0时，无意义；
④当x ＜0且y ＜0时，x |x |－y |y |＝y 2－x 2＝1.作出图象如图所示，因
为直线y ＝x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到
直线y ＝x 的距离的最大值为1.
∴取值范围为(0,1]．
答案：(0,1]
9．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )．
(1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围；
(2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．
解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，
即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝
⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.
又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.
故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．
(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，
显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a
，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.
10. 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：
(1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－y x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，
∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎨⎧
x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35
. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7，
∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95
－3x ＋4y ＋35
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
第Ⅱ组：重点选做题
1. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )
A ．(－2,4)
B ．(－2，－4)
C ．(2,4)
D ．(2，－4)
解析：选C 点A 关于直线y ＝2x 对称的点为(4，－2)，且点A 关于y ＝2x 对称的点在
BC 上，于是BC 所在的直线方程为3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得点C 的坐标为(2,4)． 2．若点(1,1)到直线x cos α＋y sin α＝2的距离为d ，则d 的最大值是________． 解析：依题意有d ＝|cos α＋sin α－2|
＝⎪⎪⎪
⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2. 于是当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1时，d 取得最大值2＋ 2. 答案：2＋ 2。