2018年秋高中数学专题强化训练2新人教A版必修4

专题强化训练(二)(建议用时：45分钟)[学业达标练]一、选择题1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )【导学号：84352154】A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.]2．设a ＝sin 24π5，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－39π10，c ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π12，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bC [a ＝sin 24π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋4π5＝sin π5，b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－39π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π10＝cos π10＝sin 2π5，0＜π5＜2π5＜π2，所以sin π5＜sin 2π5＜sin π2，即a ＜b ＜1，c ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋5π12＝tan 5π12＞1，所以a ＜b ＜c ，即c ＞b ＞a .]3．函数f (x )＝sin x1－sin 2x，x ∈[－π，π]的大致图象是如图中的( )A B C DB [因为f (x )＝sin x|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－tan x ，－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤πtan x ，－π2＜x ＜π2所以B 选项正确．]4．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图1­7所示，则f (x )的单调递减区间为( )【导学号：84352155】图1­7A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D [由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.]5．如图1­8，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )图1­8C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4.此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]二、填空题6．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .]7．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图1­9所示，则ω＝________.【导学号：84352156】图1­94 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4，所以2πω＝π2，ω＝4.]8．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2，对任意实数x 都有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的单调增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) [由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于函数f (x )的最大值或最小值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，所以2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以φ＝π6，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值；(2)求函数f (x )的单调递增区间. 【导学号：84352157】 [解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，取x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3.(2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数． 故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．10．如图1­10是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象．图1­10(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【导学号：84352158】[解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．[冲A 挑战练]1．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12 B ．32C ．0D ．－12A [∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ，∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6.f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－12. ∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.故选A.]2．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )【导学号：84352159】A.⎝⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16 D.⎝⎛⎭⎪⎫π16，5π16A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π， 所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8，令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z . 可得f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]3．函数y ＝2＋cos x2－cos x (x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x －1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为3.]4．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22.其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上).【导学号：84352160】③④ [作出函数f (x )的图象如图所示由图象可知f (x )为周期函数，T ＝2π，①错误；当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2时，取最小值－1，故②错误；x ＝π4＋2k π(k ∈Z )和x ＝5π4＋2k π(k ∈Z ) 都是该图象的对称轴，故③正确； 当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )图象在x 轴上方且f (x )max ＝22. 故0＜f (x )≤22.故④正确．] 5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.【导学号：84352161】[解] (1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.由题意易知T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， 所以ω＝2πT ＝13，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6. (2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象． 列表：。