北师大版高考数学总复习平面向量-平面向量数量积的坐标表示课时练习20

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高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示课后导练北师大版必修420170825358

2.6 平面向量数量积的坐标表示课后导练基础达标1.设向量a=（-1，2），b=（2，-1），则(a·b)(a+b)等于( )A.（1，1）B.（-4，-4）C.-4D.（-2，-2）解析:a·b=-2-2=-4,a+b=(1,1),∴(a·b)(a+b)=(-4,-4).答案：B2.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是( )A.（3，-4）B.（-3，4）C.（3，4）D.（-3，-4）解析：依向量的坐标运算解答此题.2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.答案：D3.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为（）33A.43B.4C.42D.8+21解析：a在e方向上的投影为|a|·cos=8×=4.3 2答案：B4.以A（-1，2），B（3，1），C（2，-3）为顶点的三角形一定是( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析：由已知可得AB=（4，-1），AC=（3，-5），BC=（-1，-4），∴|AB|=|BC|= 17，且由AB·BC=-4+4=0得AB⊥BC，故△ABC为等腰直角三角形.答案：B5.设向量a=（3，m）,b=(2,-1)，且a-3b与a-b垂直，则实数m的值是（）A.m=0B.m=-4C.m=0或m=-4D.m=0或m=4解析：a-3b=(3,m)-3(2,-1)=(-3,m+3),a-b=(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),∴(a-3b)·（a-b）=(-3,m+3)·（1,m+1）=-3+(m+3)(m+1)=m2+4m=0,解得m=0或m=-4.答案：C16.在△ABC 中，∠A=90°， AB =(k,1),AC =(2,3)，则 k 的值是________. 解析:由 AB 与 AC 垂直，列出关于 k 的方程，解方程即可得到答案. ∵∠A=90°，∴ AB ⊥ AC . ∴ AB ·AC =2k+3=0. 3 ∴k=- .2 3答案：-27.已知|a |=2 13 ,b =(-2,3)且 a ⊥b ，则 a 的坐标为_______. 解析:设 a =(x,y)，则 x 2+y 2=52,① 由 a⊥b,得-2x+3y=0.② 由①②得x y6, x 或 4 y6, 4.答案：（6，4）或（-6，-4） 8.判断 a 与 b 是否垂直：（1）a =(0,-2),b =(-1,3); (2)a =(-1,3),b =(-3,-1)解析:(1)a ·b =0·（-1）+（-2）·3=-6≠0, ∴a 与 b 不垂直.（2）a ·b =（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0, ∴a ⊥b .9.已知四点：A （-1，3），B （1，1），C （4，4），D （3，5），求证：四边形 ABCD 为直角梯形. 证明： AB =（2，-2）， DC =（1，-1）， BC =（3，3）， ∴ AB =2DC .∴ AB ∥ DC . 又 AB ·BC =2×3+（-2）×3=0， ∴ AB ⊥ BC .又|AB |=8，|DC |= 2 ，|AB |≠| DC |, ∴四边形 ABCD 为直角梯形.10.Rt△ABC 中， AB =（2，3）， AC =（1，k ），求实数 k 的值. 解析：（1）当∠A=90°时，易知 AB ·AC =0，22 即 2+3k=0，k=- .311（2）当∠B=90°时， BC =AC -AB =（-1，k-3），易知 AB ·BC =0，即 k=.33 13（3）当∠C=90°时， AC ·BC =-1+k 2-3k=0，k=.2综上可知，k 的值为- 2 311 或或33 132.综合运用11.(2004天津高考，理 3) 若平面向量 b 与向量 a =(1,-2)的夹角是 180°，且|b |=3 5 ,则 b 等于( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3)D.(-6,3)解析：a 与 b 共线且方向相反， ∴b =λa (λ＜0).x 设 b =(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得y, 2.由|b |=3 5 得,x 2+y 2=45, 即 λ2+4λ2=45,解得 λ=-3. ∴b =(-3,6). 答案：A4 312.已知平面上直线 l 的方向向量 e =(1、, )，点 O(0,0)和 A(1,-2)在 l 上的射影分别是 O 5 5A 1，则O 1 A 1 =λe ，其中 λ 等于()11 5A.B. 11C.2D.-25解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知 λ=|OA |cos 〈e ,OA 〉= 5| e OA e || OA|=4 3( , ) (1,2) 5 54 6 5=-2.555方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故O1A与e方向相反.排除A、C，1检验B、D可知D正确.答案：D313.若将向量OA=（3，1）绕原点按逆时针方向旋转为___________.6，得到向量OB，则向量OB的坐标解析：欲求向量OB的坐标，可设出OB的坐标，然后用|OA|=|OB|和OA、OB的夹角为6OA OB，即cos6OA OB||||建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到OA与x轴的正方向所成的角为6，再逆时针旋转6，故OB与x轴正方向所成的角为3，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标.由分析易知OB的坐标为（1，3）.答案：（1，3）14.平面上有两个向量e1=(1,0),e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为| e1+ e2|;另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3 e1+2 e2 相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3 e1+2 e2|.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当PQ⊥P时，t=_________秒.0Q解析：∵P0(-1,2)，Q0(-2,-1)，∴P=(-1，-3).0Q又∵e1+ e2=(1，1),∴|e1+ e2|= 2.∵3e1+2 e2=(3，2)，∴|3e1+2 e2|= 13.∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t)，点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).∴PQ=(-1+2t,-3+t).∵PQ⊥P0Q，∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.∴t=2.答案：215.已知：a、b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.解析：∵a=（1，2），∴|a|= 5.又|b|=52，故|a||b|=52.又∵（a+2b）⊥（2a-b），4∴（a +2b ）·（2a -b ）=0， 2a 2+3a ·b -2b 2=0.55 ∴2×5+3a·b -2× =0，a ·b=. 425ab2 ∴cosθ==-1.| a || b |5 2又 θ∈［0，π］，∴θ=π，即 a 与 b 的夹角为 π. 拓展探究16.平面内有向量OA =(1,7),OB =(5,1),OP =(2,1)，点 X 为直线 OP 上的一动点. (1)当 XA ·XB 取最小值时，求OX 的坐标；(2)当点 X 满足(1)的条件和结论时，求 co s∠AXB 的值.解析：(1)设OX =(x,y)，因为点 X 在直线 OP 上，所以向量OX 与OP 共线. 又OP =(2,1)，所以 x·1-y·2=0，x=2y.所以OX =（2y ，y ）. 又 XA =OA -OX 且OA =（1，7），所以 XA =（1-2y ，7-y ）. 同理， XB =OB -OX =（5-2y ，1-y ）.于是有 XA ·XB （1-2y ）（5-2y ）+（7-y ）（1-y ）=5（y-2）2-8.所以当 y=2时， XA ·XB =5（y-2）2-8有最小值-8，此时OX =（4，2）. (2)当OX =（4，2），即 y=2时，有 XA =（-3，5）， XB =（1，-1），|XA |= 34 ，|XB |= 2 ,XA ·XB =-3×1+5×（-1）=-8,所以 cos∠AXB= | X AXA || X B XB |8 3424 1717 .5。

北师大版高中数学必修4第二章向量数量积的坐标表示同步习题

北师大版高一数学向量数量积的坐标表示例1、已知与同向，()10,2,1=⋅=（1）求向量的坐标；（2）若()()a cbc ⋅⋅=求,1,-2例2、已知()()2,1-,3,4==若向量k -与+垂直，则k 的值是多少？例3、设()()1,2,3,-4==，若︒+45的夹角为与b b t a ，求实数t 的值例4、已知()()1,1,0,1==当λ为何值时，与λ+垂直？例5、求通过点()2,1-A ，且平行于向量()2,3=a 的直线方程例6、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量()()(),,,0,8,2,1-t n B A 又点=()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20,sin πθθt k C（1）若OB a AB ,=⊥；（2）若向量与向量共线，当4>k 时，且θsin t 取最大值为4时，求OC OA ⋅基础习题()()与若、已知n n ,,1-,,11==_____________()()的值等于平行，则与若、已知λλ++==32,2,1,,312___________()()等于共线，则与若、已知nm n m 2-,2,1-,3,23+==________________的夹角为与则向量且,,-,214⊥===________________的夹角，与为其中的“向量积”，它的长与是、定义b a b a b a θθ,5=⋅()()()=+=+=,3,-1,0,2若6、过点()3,6P 的直线l 与x 轴，y 轴分别交于B A 、两点，若21=，求直线l 的方程7、已知()()2,3-,2,1==，当k 为何值时，（1）k 3-与+垂直？（2）b a b a k 3-与+平行？平行时，它们是同向还是反向？8、已知向量()()b a m x mx b mx a 与，若向量为常数⎪⎭⎫ ⎝⎛==,1-1,,-12为锐角，则实数x 的取值范围9、已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∈x 1,1,,1-,2m b m x a R m ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m x x m ,-（1）当1-=m 1<成立的x 的取值范围；（2）求使不等式0>⋅成立的x 的取值范围10、已知()()()上的一点是直线设OP C OB OA OP ,1,5,7,1,1,2===（其中O 为坐标原点),(1)求使⋅取到最小值时的；（2）对（1）中求出的点C ，求cos ∠ACB11、在平面直角坐标系中，()()()1,2,3,-2,9,7A B C 若,E F BC 为线段的三等分点，则AE AF ⋅=______.12、设向量()()1,2,b 2,3a ==，若向量+a b λ与向量()=-4,-7c 共线，则λ为多少？13、已知平面向量()()2,4,b -1,2a ==，若()=-c a a b b c ⋅，则为多少？。

高中数学必修四北师大版平面向量数量积的坐标表示课时提升作业含答案

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课时提升作业二十一平面向量数量积的坐标表示一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2016·西安高一检测)已知向量a=(，1)，b=(m，1).若向量a，b的夹角为，则实数m=( )A.-B.C.-或0D.2【解析】选A.因为向量a=(，1)，b=(m，1)，且向量a，b的夹角为，所以a·b=m+1=··cos=-，解得m=0或m=-，代入验证当m=0时，方程可化为1=-1，矛盾，应舍去，所以m=-.2.已知向量a=(λ，1)，b=(λ+2，1)，若|a+b|=|a-b|，则实数λ=( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选B.因为|a+b|=|a-b|，所以a⊥b，所以a·b=λ(λ+2)+1=0，解得λ=-1.3.(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cos<m，n>=.若n⊥(t m+n)，则实数t的值为( )A.4B.-4C.D.-【解析】选B.设=4，则=3，因为n⊥(t m+n)，所以t m·n+|n|2=0，即t·3〓4〓+16=0，所以t=-4.4.与向量a=(-1，+1)的夹角为的单位向量是( )A.或B.或C.或D.或【解题指导】设出单位向量b=(x，y)，列出方程组求出解即可.【解析】选A.设b=(x，y)，则即化简得解得或所以b=，或b=.5.(2016·宝鸡高一检测)若向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，则下列说法中错误的是( )A.a⊥bB.b∥cC.向量a与向量c的夹角为90°D.对同一平面内的任意向量d，都存在一对实数k1，k2，使得d=k1b+k2c 【解析】选D.因为向量a=(1，-2)，b=(2，1)，c=(-4，-2)，所以a·b=1〓2-2〓1=0，所以a⊥b，A正确；因为c=-2b，所以b∥c，B正确；同理可得a·c=1〓(-4)-2〓(-2)=0，所以a⊥c，C正确；因为b∥c，所以b和c不能作基底，D错误.【误区警示】共线向量不能作为基底.二、填空题(每小题5分，共15分)6.平面向量a=(1，2)，b=(4，2)，c=m a+b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=________.【解析】因为向量a=(1，2)，b=(4，2)，所以c=m a+b=(m+4，2m+2)，又因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所以所以=，解得m=2.答案：27.(2016·抚州高一检测)直线l的一个方向向量d=(1，2)，则l与直线x+y+2=0的夹角的余弦值为________.【解析】因为直线x+y+2=0的方向向量是(1，1)，又因为直线l的一个方向向量d=(1，2)，所以直线l与x+y+2=0的夹角的余弦值是=.答案：8.(2016·芜湖高一检测)设x∈R，向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且|a+b|=，则向量a，b夹角的所有可能的余弦值之积为________. 【解题指南】设向量a，b夹角为θ，则cosθ=.再根据|a+b|=，求得x的值，可得cosθ的值，从而求得向量a，b夹角的所有可能的余弦值之积.【解析】设向量a，b夹角为θ，则cosθ==，由|a+b|=，得x2+1+5+2·cosθ=5，得=-2cosθ，即=-2·，化简可得，x2+2x-3=0，求得x=-3或x=1，所以cosθ=-，或cosθ=-，。

高中数学2.6平面向量数量积的坐标表示课时作业北师大必修4

平面向量数量积的坐标暗示一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2021·宝鸡高一检测)设a=(5,y),b=(-6,-4),且a·b=-2,则y= ( )A.-5B.-7C.5D.7【解析】选B.5×(-6)+y×(-4)=-2,得y=-7.2.已知a=(2,1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为a·b=2×1+1×(-2)=0,所以a⊥b,故夹角为.3.(2021·阜阳高一检测)若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论中,正确的是( )A.|a|=|b|B.a·b=C.a∥bD.(a-b)⊥b【解析】选D.因为a=(2,0),b=(1,1),所以|a|==2,|b|==,A错误;a·b=(2,0)·(1,1)=2×1+0×1=2,B错误;因为2×1-0×1≠0,所以a与b不平行,C错误;因为a-b=(2,0)-(1,1)=(1,-1),所以(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=1×1+(-1)×1=0,所以(a-b)⊥b,D正确.4.(2021·宜春高一检测)已知向量=(cos120°,sin120°),=(cos30°,sin45°),则△ABC的形状为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】选D.||=1,||=,cos<,>==>0,即与所成角为锐角,故∠ABC为钝角.【变式训练】已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC的形状是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【解析】选A.=(-3,3),=(1,1),·=0,所以⊥,故∠CAB=90°,△ABC为直角三角形.5.(2021·纲目版全国卷)已知向量m=,n=,若(m+n)⊥(m-n),则λ= ( )A.-4B.-3C.-2D.-1【解题指南】利用(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0化简求解.【解析】选B.因为(m+n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m-n)=|m|2-|n|2=0,即(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0,解得λ=-3.6.已知a=(1,-2),b=(1,λ),且a与b的夹角θ为锐角,则实数λ的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪B.C.∪D.【解析】选A.因为a与b的夹角θ为锐角,所以cosθ>0且cosθ≠1,即a·b>0且a与b标的目的分歧,即a·b=1-2λ>0,且λ≠-2,解得λ∈(-∞,-2)∪,故选A.【误区警示】本题易因思考不全面,转化不等价而误选D,当a与b同向时,即a与b的夹角θ=0°时cos θ=1>0,此时λ=-2,显然是不合理的.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知a=(1,),b=(-2,0),则|a+b|= .【解析】因为a+b=(-1,),所以|a+b|==2.答案:28.(2021·亳州高一检测)若平面向量a=(-1,2)与b的夹角是180°,且|b|=3,则b= .【解析】设b=(x,y),则所以x2=9.所以x=±3,又a=(-1,2)与b标的目的相反,所以b=(3,-6).答案:(3,-6)9.(2021·渭南高一检测)△ABO三顶点坐标为A(1,0),B(0,2),O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足·≤0,·≥0,则·的最小值为.【解题指南】按照已知条件确定x,y的范围,再把·用x,y暗示,求得最小值.【解析】因为·=(x-1,y)·(1,0)=x-1≤0,所以x≤1,所以-x≥-1.因为·=(x,y-2)·(0,2)=2(y-2)≥0,所以y≥2,所以·=(x,y)·(-1,2)=2y-x≥3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)10.已知a=(3,-4),b=(2,x),c=(2,y),且a∥b,a⊥c,求b·c及b和c的夹角.【解析】因为a∥b,所以3x+8=0,所以x=-,因为a⊥c,所以6-4y=0,所以y=.所以b·c=·=4-4=0,所以b⊥c,所以b与c的夹角为90°.【变式训练】已知点A(-1,1),点B(1,2),若点C在直线y=3x上,且⊥,求点C的坐标.【解析】设C(x,3x),则=(2,1),=(x-1,3x-2),因为⊥,所以2(x-1)+3x-2=0,所以x=,所以C.11.(2021·黄山高一检测)设=(3,1),=(-1,2),C,D两点满足∥,⊥,-+=0,求C,D两点的坐标.(其中O是坐标原点)【解析】设=(x,y),因为=(-1,2),所以=-=(x,y)-(-1,2)=(x+1,y-2),由=(3,1),∥,可得3(y-2)-(x+1)=0,即x-3y+7=0. ①又⊥,所以-x+2y=0. ②由①②可得x=14,y=7,所以C(14,7).又因为-+=0,所以=-=(14,7)-(3,1)=(11,6),所以D(11,6).一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2021·宜春高一检测)已知三点A(1,1),B(-1,0),C(3,-1),则·等于( )A.-2B.-6C.2D.3【解析】选A.=(-1-1,0-1)=(-2,-1),=(3-1,-1-1)=(2,-2),所以·=(-2,-1)·(2,-2)=-2×2+(-1)×(-2)=-2.2.(2021·合肥高一检测)若a=(3,4),b=(2,-1),且(a-x b)⊥(a-b),则x等于( )A.-23B.C.-D.-【解题指南】先计算a-x b与a-b的坐标,再利用垂直构建方程求解.【解析】选C.a-x b=(3-2x,4+x),a-b=(1,5),因为(a-x b)⊥(a-b),所以(a-x b)·(a-b)=0,所以(3-2x)×1+5×(4+x)=0,得x=-.3.(2021·咸阳高一检测)已知a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα= ( )A. B.- C. D.-【解析】选A.由已知得,3cosα-4sinα=0,所以tanα=.【变式训练】设a=,b=,且a∥b,则锐角α的值为( )A. B.C. D.以上都不对【解析】选B.因为a∥b,所以×-cosα·tanα=0,所以sinα=,又因为α为锐角,所以α=.4.已知A(-1,2),B(2,8),C(0,5),若⊥,∥,则点D的坐标是( )A. B.C. D.【解题指南】先设出点D的坐标,然后按照标题问题条件列出方程组,最后解方程组,求出点D的坐标. 【解析】选A.设D(x,y),则=(x+1,y-2),=(x-2,y-8),因为=(-2,-3),⊥,∥,所以解得所以D点坐标为.【拓展延伸】平面向量数量积坐标运算的关键和注意事项(1)涉及平面向量数量积的坐标运算的问题,关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相应的模长公式和夹角公式.(2)运用平面向量数量积的坐标运算解题时,一方面要注意函数、方程思想的熟练应用,另一方面要注意数量积几何意义的应用.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2021·南充高一检测)若b =(1,1),a ·b =2,(a -b )2=3,则|a |= .【解析】因为(a -b )2=|a |2-2a ·b +|b |2=3,且a ·b =2,所以|a |2=7-|b |2.又因为b =(1,1),所以|b |==, 所以|a |=27|| b ==. 答案:6.(2021·湖北高考)若向量=(1,-3),||=||,·=0,则||= . 【解析】设B(x,y),依题意解得或所以=(2,4)或=(-4,2),所以=2.答案:2 三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知向量a =(-3,2),b =(2,1),c =(3,-1),t ∈R.(1)求|a +t b |的最小值及相应的t 值.(2)若a -t b 与c 共线,求实数t.【解析】(1)因为a =(-3,2),b =(2,1),c =(3,-1),所以a +t b =(-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t).所以|a+t b|===≥=,当且仅当t=时取等号,即|a+t b|的最小值为,此时t=.(2)因为a-t b=(-3,2)-t(2,1)=(-3-2t,2-t),又a-t b与c共线,c=(3,-1),所以(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0.解得t=.8.(2021·西安高一检测)如图所示,点P是以AB为直径的圆O上的动点,P′是点P关于AB的对称点,AB=2a(a>0).(1)当点P是上靠近B的三等分点时,求·的值.(2)求·的最大值和最小值.【解析】(1)以直径AB所在直线为x轴,以O为坐标原点建立平面直角坐标系.因为P是靠近点B的三等分点,连接OP,则∠BOP=,点P坐标为.又点A坐标是(-a,0),点B坐标是(a,0),所以=,=(2a,0),所以·=3a2.(2)设∠POB=θ,θ∈[0,2π),则P(acosθ,asinθ),P′(acosθ,-asinθ),所以=(acosθ+a,asinθ),OP′=(acosθ,-asinθ).所以·=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ=a2(2cos2θ+cosθ-1)=2a2-a2=2a2-a2.当cosθ=-时,·有最小值-a2,。

高中数学第二章平面向量 2.6 平面向量数量积的坐标表示练习北师大版必修4

§6 平面向量数量积的坐标表示A组1.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a·b)(a+b)=()A.20B.54C.(-10,30)D.(-8,24)解析:∵a·b=-3+8=5,a+b=(-2,6),∴(a·b)(a+b)=(-10,30).答案:C2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则向量a与向量c=(,-1)的夹角的余弦值是()A. B.C. D.解析:a+b=(3,k+2),又a+b与a共线,所以k+2=3k,解得k=1,于是a=(1,1),设a与c夹角为θ,则cos θ=.答案:B3.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=()A.4B.3C.D.4解析:由已知得=(1,k-1),而由题意得,即=-3+k-1=0,故k=4.答案:D4.已知a=(2,4),则与a垂直的单位向量的坐标是()A.B.C.D.解析:由已知得与a=(2,4)垂直的向量为b=λ(4,-2),即b=(4λ,-2λ),又|b|=1,所以λ=±,于是所求单位向量为.答案:D5l1的一个方向向量为a=(-1,3),直线l2的一个方向向量为b=(1,k),且l2过点(0,5),l1⊥l2,则l2的直线方程为()A.x-3y+15=0B.x-3y+5=0C.x+3y-5=0D.x-3y-15=0解析:由l1⊥l2知a⊥b,因此,由-1+3k=0,得k=,所以直线l2的斜率即为,又l2过点(0,5),所以l2方程为y-5=x,即x-3y+15=0.答案:A6.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b=.解析:由题意知b=λ(1,-2)=(λ,-2λ)(λ<0).又|b|=3,∴=3.∴5λ2=45,∴λ2=9.∵λ<0,∴λ=-3.∴b=(-3,6).答案:(-3,6)7.直线y=2x-1与直线x+y=1的夹角的余弦值为.解析:由已知得两直线的方向向量分别是m=(1,2),n=(1,-1),于是cos θ==-,于是两直线的夹角的余弦值是.答案:8.在直角三角形ABC中,∠C=90°,E,F是斜边AB的两个三等分点,且AC=6,BC=8,那么=.解析:以C为原点,CB,CA分别为x轴、y轴建立坐标系,由已知可得,C(0,0),E,F,于是,于是.答案:9.已知a=(1,2),b=(-3,2).(1)求a-b及|a-b|;(2)求k a+b与a-b垂直,求实数k的值.解:(1)a-b=(4,0),|a-b|==4.(2)k a+b=(k-3,2k+2),a-b=(4,0).∵(k a+b)⊥(a-b),∴(k a+b)·(a-b)=4(k-3)+(2k+2)·0=0,解得k=3.10.导学号03070108已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),∵|c|=2,∴=2,即x2+y2=20.由c∥a和|c|=2,可得解得故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,∴cos θ==-1.又θ∈[0,π],∴θ=π.B组1.已知向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b夹角的余弦值为()A.B.-C.±D.解析:由a+b=(2,-8),a-b=(-8,16)得a=(-3,4),b=(5,-12),所以cos<a,b>==-,故选B.答案:B2.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量方向上的射影为()A. B.C.-D.-解析:=(2,1),=(5,5),向量方向上的射影为||cos<>=|.答案:A3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是()A.(-2,+∞)B.C.(-∞,-2)D.(-2,2)解析:由a·b=2+k>0得k>-2,又当a∥b时,2k=1,k=,所以a与b夹角为锐角时,k的范围是.答案:B4.(2016江西吉安高三月考)△ABC中,∠A=90°,AB=2,AC=1,设点P,Q满足=λ=(1-λ),λ∈R,若=-2,则λ=()A.B.C.D.2解析:以点A为坐标原点,为x轴的正方向,为y轴的正方向,建立平面直角坐标系,由题意知B(2,0),C(0,1),P(2λ,0),Q(0,1-λ),则=(-2,1-λ),=(2λ,-1),∵=-2,∴-2×2λ+(1-λ)×(-1)=-2,解得λ=,故选A.答案:A5.设a=(4,-3),b=(2,1),若a+t b与b的夹角为45°,则t的值为.解析:∵a=(4,-3),b=(2,1),∴a+t b=(4+2t,-3+t).∵a+t b与b的夹角为45°,∴(a+t b)·b=|a+t b||b|cos 45°,∴2(4+2t)+(-3+t)×1=,∴5t+5=.∴(t+1).①将①式两边平方得t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3.而t=-3时,①式无意义,∴t=-3舍去,故t=1.答案:16.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;(2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.解:(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则=(2,6),=(4,4),所以||=2,||=4.故所求的两条对角线的长分别为2,4.(2)由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-.7.导学号03070109在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,试问四边形ABCD是什么图形?解:因为a+b+c+d=0,所以a+b=-(c+d).所以(a+b)2=(c+d)2,即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.由于a·b=c·d,所以|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理,有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②由①②可得|a|=|c|,且|b|=|d|,即四边形ABCD的两组对边分别相等.所以四边形ABCD是平行四边形.又由a·b=b·c得b·(a-c)=0.而由平行四边形ABCD的性质得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0.所以a⊥b,亦即AB⊥BC.综上所述,四边形ABCD是矩形.8.导学号03070110如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.(1)求的值;(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.解:(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,此时=(-10,0),所以=-×(-10)+×0=14.(2)设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,所以=-×(-10)+×0=14,为常数, 故的值是一个常数.。

高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示例题与探究含解析北师大版必修

2.6 平面向量数量积的坐标表示典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a =（3,1），b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b =3，则b 等于（）A.（23,21）B.（21, 23）C.（433,41） D.(1,0) 思路解析：方法一（待定系数法）：设b =(x,y)(x≠y)，则依题意有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,33,122y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.23,21y x 方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B 符合题意.答案：B绿色通道：已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题. 变式训练1已知|a |=132,b =(-2,3),且a ⊥b ，则a 的坐标为_______________.思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列出关于向量ab 的坐标的方程，然后求解.设a =(x,y)，则x 2+y 2=52.由a ⊥b 得-2x+3y=0.由以上两个条件得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==.4,64,6y x y x 或答案：(6，4)或(-6，-4)变式训练2已知向量a 与b 同向，b =(1,2),a ·b =10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c =(2,-1)，求(b ·c )a .思路分析：由向量a 与b 同向可得a =λb ，且λ＞0.解：(1)∵向量a 与b 同向，b =（1，2），∴a =λb =（λ，2λ）.又∵a ·b =10， ∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a 与b 同向的条件,∴a =（2，4）.(2)∵b ·c =1×2+2×(-1)=0,∴(b ·c )a =0.例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在Rt△ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值.图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.解法一（基向量法）： ∵⊥，∴·=0. ∵=-,=-,=-, ∴·=(-)·(-) =AP ·-AP ·AC -AB ·+AB ·AC =-a 2-AP ·AC +AB ·AP=-a 2+·(-)=-a 2+21PQ ·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1即θ=0(与方向相同)时, ·最大,其最大值为0.解法二（坐标法）：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c ,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P 的坐标为（x,y ）,则Q （-x,-y ）.图2-6-3 ∴BP =(x-c ,y), =(-x,-y-b ), BC =(-c ,b ), =(-2x,-2y). ∴BP ·CQ =(x-c )(-x)+y(-y-b )=-(x 2+y 2)+c x-b y.∵cos θ,||||2a bycxBC PQ -=∙∴cx -by=a 2cos θ.∴·=-a 2+a 2cos θ.故当cos θ=1,即θ=0,(与BC 方向相同)时,BP ·最大,其最大值为0.绿色通道解决向量问题的两种方法：①基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；②坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练1如图2-6-4，正方形OABC 的边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，试求cos 〈,〉的值.思路分析：最优解法坐标法.解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2-6-4以OA 和OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)， ∴OD =（1，21），OE=（21，1），故cos∠542525121211||||=⨯⨯+⨯=OE OD .解法二(基向量法)：以和为基向量建立平面向量基底.设=a ,=b ，则有|a |=|b |=1，〈a ,b 〉=2π，a ·b =0. ∴=+=+21=+21=a +21b ，=+=+21=+21=21a +b . ∴||=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a ， ||2=2541)21(222=+∙+=+b b a a b a ,·=(a +21b )·(21a +b )=21a 2+45a ·b ＋21b 2=1. 54||||=OE OD . 变式训练2已知a ,b 是两个非零向量，同时满足|a |=|b |=|a -b |，求a 与a +b 的夹角. 思路分析：可以由条件求出a ·(a +b )及|a +b |代入夹角公式.也可以运用向量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a |=|b |，有|a |2=|b |2，又由|b |=|a -b |，得|b |2=|a |2-2a ·b +|b |2，∴a ·b =21|a |2. 而|a +b |2=|a |2+2a ·b +|b |2=3|a |2,∴|a +b |=3|a |.设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=23||3||||21||||||)(22=∙+=++∙a a a a b a a b a a ，∴θ=30°. 解法二：设向量a =(x 1,y 1)，b =(x 2,y 2)，∵|a |=|b |，∴x 12+y 12=x 22+y 22.由|b |=|a -b |，得x 1x 2+y 1y 2=21(x 12+y 12)，即a ·b =21(x 12+y 12). 由|a +b |2=2(x 12+y 12)+2×21 (x 12+y 12)=3(x 12+y 12)得 |a +b |=3(x 12+y 12). 设a 与a +b 的夹角为θ，则cos θ=233)(21)(||||)(2121212121212121=+∙++++=++∙y x y x y x y x b a a b a a ， ∴θ=30°.解法三：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，以，为邻边作平行四边形. ∵|a |=|b |，即||=||.∴OACB 为菱形，OC 平分∠A OB ，这时=a +b ，=a -b .而|a |=|b |=|a -b |，即||=||=||.∴△A OB 为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，即a 与a +b 的夹角为30°.问题探究问题在直角坐标系中，将单位向量OA 旋转90°到向量OB 的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系. 探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设=(a 1,a 2)，=(x,y)，图2-6-5 ∵OA ⊥OB ，且|OA |=|OB |=1，∴有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,1,1,022222121y x a a y a x a整理得⎩⎨⎧=-=12,a y a x 或⎩⎨⎧-==,,12a y a x 即当按逆时针方向旋转90°时，=(-a 2,a 1)，当按顺时针方向旋转90°时，=(a 2,-a 1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.例如：求证：cos(α+90°)=-sin α,sin(α+90°)=cos α.证明：设α的终边与单位圆交于点A ，则A(cos α,sin α)，所以=(cos α,sin α). ∴|OA |=1，即OA 是单位向量. 当OA 按逆时针方向旋转90°后到OB ，则点B(cos(α+90°),sin(α+90°))，由结论可得B(-sin α,cos α).∴(cos(α+90°),sin(α+90°))=(-sin α,cos α).∴cos(α+90°)=-sin α，sin(α+90°)=cos α.。

高考数学一轮总复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版

课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，且(a +b )⊥a ，则实数m=( ) A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-1B.1C.√2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a ，b 满足|a |=2，a ·b =-1，且(a +b )·(a -b )=3，则|a -b |=( ) A.3B.√3C.7D.√74.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45°D.30°5.已知向量a =(1，x-1)，b =(x ，2)，则下列说法错误的是 ( )A.a ≠bB.若a ∥b ，则x=2C.若a ⊥b ，则x=23D.|a -b |≥√26.已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则( ) A.|b |=2B.(2a+b )∥(a+2b )C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π4 D.向量a 在向量b 上的投影数量为√557.(2021全国乙，理14)已知向量a =(1，3)，b =(3，4)，若(a -λb )⊥b ，则λ= . 8.已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;(2)设α=π4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.综合提升组9.若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90°B.∠AOB=90°C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45D .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1510.设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值不可能为( ) A.1B.12C.13D.1411.(2021山东滨州二模)已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则|c -a -b |的最大值为 .12.已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .创新应用组13.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图).在直角三角形CGD 中，已知GC=4，GD=3，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.25B.27C.29D.3114.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|PA||PB|=√3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 解析:由题意，向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，可得a +b =(m+1，1). 因为(a +b )⊥a ，所以(a +b )·a =m+1+2=0，解得m=-3. 故选A .2.D 解析:由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2，由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2=2，故选D .3.D 解析:由(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=3，可得|b |=1，因为|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=4+2+1=7，所以|a -b |=√7. 故选D .4.A 解析:∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=35时，y min =165，此时BC 最小， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,-65),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,45，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×45=0， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 5.B 解析:显然a ≠b ，故A 正确;由a ∥b 得1×2=(x-1)x ，解得x=2或x=-1，故B 错误; 由a ⊥b 得x+2(x-1)=0，解得x=23，故C 正确;|a -b |2=(1-x )2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2，则|a -b |≥√2，故D 正确.故选B .6.C 解析:将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 错误;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22，所以θ=π4，故C 正确;向量a 在向量b 上的投影数量为a ·b |b|=1√2=√22，故D 错误.故选C .7.35解析:由已知得，a -λb =(1-3λ，3-4λ)，由(a -λb )⊥b ，得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0，即15-25λ=0，解得λ=35.8.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)，则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1，所以0≤|b+c|2≤4，即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时，有|b+c|=2，所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π4，则a =√22,√22.又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=√22,√22·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√22.因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0，即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β，平方后化简得cos β(cos β-1)=0，解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.9.B 解析:由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45--35=-15，故D 错误.故选B . 10.D 解析:设P (x ，y )，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，得(x-1，y )=λ(-1，1)=(-λ，λ)，所以{x -1=-λ,y =λ,得P (1-λ，λ).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)，即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)，2λ-1≥2λ2-2λ，2λ2-4λ+1≤0，解得1-√22≤λ≤1+√22，又因为0≤λ≤1，所以1-√22≤λ≤1. 故选D .11.√2+1 解析:由|a |=|b |=1，且a ·b =0，建立如图所示平面直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a =(1，0)，b =(0，1)，再设c =(x ，y )，则c -a -b =(x-1，y-1)，故|c -a -b |=√(x -1)2+(y -1)2，其几何意义为以O 为圆心的单位圆上的动点与定点P (1，1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=√12+12+1=√2+1.12.14 [0，1] 解析:△ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14.当P 为线段OC 上的动点时，设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×√22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3).设P (4，a )(3≤a ≤4)，Q 4+t ，43t (0≤t ≤3)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，a-3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+t ，43t-3，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4+t )+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.-3≤43t-3≤1，3≤a ≤4，所以当43t-3=1，a=4时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为25+1×4=29. 故选C .14.12π 24+16√3 解析:以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (-2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，因为|PA||PB|=√3，所以√(x+2)2+y 2√(x -2)2+y 2=√3，化简整理可得(x-4)2+y 2=12，所以点P 的轨迹为圆，圆心为C (4，0)，半径r=2√3，故其面积为12π.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-4+y 2=|OP|2-4，OP 即为圆C 上的点到坐标原点的距离. 因为OC=4，所以OP 的最大值为OC+r=4+2√3，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(4+2√3)2-4=24+16√3.。

2020-2021学年数学北师大版必修4课时作业：2-6 平面向量数量积的坐标表示

课时作业20 平面向量数量积的坐标表示时间：45分钟满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x )，且3a ·b ＝4，则x 等于( C ) A ．3 B.13 C ．－13D ．－3解析：3a ·b ＝3(2x －6x )＝－12x ＝4，∴x ＝－13.2．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影为( C ) A.13 B.135 C.655D.65解析：|a |cos θ＝a ·b |b |＝－8＋2165＝655.3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( C )A.865 B ．－865 C.1665D ．－1665解析：设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.4．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( C ) A. 5B.10C ．5D ．25解析：|a |＝5，∵a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50，即a 2＋2a ·b＋b 2＝50，即5＋2×10＋b 2＝50，∴|b |＝5.5．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( D )A ．4 2B ．2 5C ．8D ．8 2解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝82＋(－8)2＝8 2.6．已知i 、j 是互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 、b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( D )A ．(－∞，12)B ．[12，＋∞)C ．[－2，23)∪(23，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(－2，12)解析：a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，a 、b 的夹角为锐角，则cos 〈a·b 〉＝a ·b |a ||b |＝1－2λ51＋λ2>0，∴λ<12，∴λ<12且λ≠－2. 7．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( C )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10 解析：本题考查了平面向量的运算．∵AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，∴AC ⊥BD ，又|AC →|＝5，|BD →|＝25，∴S ＝12×5×25＝5.8．直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝2i ＋j ，AC →＝3i ＋k j ，则k 的可能值个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：不妨取A (0,0)，则B (2,1)，C (3，k )．当AB ⊥BC 时，AB →·BC →＝2＋k －1＝0， ∴k ＝－1；当AB ⊥AC 时，AB →·AC →＝6＋k ＝0， ∴k ＝－6；当AC ⊥BC 时，AC →·BC →＝3＋k 2－k ＝0，无解；所以满足要求的k 的值可能有2个，故选B. 二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝10.解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b |＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝210×10×12＝10.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为5.解析：本题考查了向量的坐标运算及垂直的条件．易知AB →⊥OB →，而AB →＝OB →－OA →＝(3,2－t )，OB →＝(2,2)， ∴AB →·OB →＝0，即3×2＋2(2－t )＝0，∴t ＝5.11．设a ＝(4,3)，a 在b 上的射影为522，b 在x 轴上的射影为2，且|b |≤4，则b 为(2，－27)．解析：设b ＝(m ，n )，则⎩⎨⎧a ·b |b |＝522，m ＝2⇒⎩⎨⎧m ＝2n ＝－27或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝14. ∵|b |≤4，∴b ＝(2，－27)．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，即x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4.故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.13．(13分)四边形ABCD 中，AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)．(1)若BC →∥DA →，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC →⊥BD →，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AD →，∴AD →＝(4＋x ，y －2)，∴DA →＝(－4－x ，－y ＋2)． ∵BC →∥DA →，∴x (y －2)－y (4＋x )＝0，即x ＋2y ＝0， ∴x 与y 的关系式为x ＋2y ＝0.① (2)AB →＋BC →＝AC →，∴AC →＝(6＋x,1＋y )． BC →＋CD →＝BD →，∴BD →＝(x －2，y －3)．若AC →⊥BD →，∴AC →·BD →＝0，即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0.② 由①②列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－6y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧AC →＝(0，4)BD →＝(－8，0)或⎩⎪⎨⎪⎧AC →＝(8，0)BD →＝(0，－4).∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×4×8＝16.——能力提升类——14．(5分)已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)，定义运算“*”为a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，则下列命题：①若a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a *b ＝(6,4)；②a *b ＝b *a ；③(a *b )*c ＝a *(b *c )；④(a ＋b )*c ＝(a *c )＋(b *c )，其中正确的是④(只填序号)．解析：对于①，已知a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，若a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，则a *b ＝(1×4,2×3)＝(4,6)，故①不正确；对于②， a *b ＝(x 1y 2，x 2y 1)，b *a ＝(x 2y 1，x 1y 2)，而(x 1y 2，x 2y 1)与(x 2y 1，x 1y 2)不一定相等，故②不正确；对于③，可举反例说明，若a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，c ＝(2,5)，则(a *b )*c ＝(4,6)*(2,5)＝(20,12)，a *(b *c )＝(1,2)*(15,8)＝(8,30)，故③不正确；对于④，设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，c ＝(x 3，y 3)，∴(a ＋b )*c ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)*(x 3，y 3)＝((x 1＋x 2)y 3，(y 1＋y 2)x 3)＝(x 1y 3＋x 2y 3，y 1x 3＋y 2x 3)．而(a *c )＋(b *c )＝(x 1y 3，x 3y 1)＋(x 2y 3，x 3y 2)＝(x 1y 3＋x 2y 3，y 1x 3＋y 2x 3)，∴(a ＋b )*c ＝(a *c )＋(b *c )，故④正确．15．(15分)如图，已知A (1,1)，B (5,4)，C (2,5)，设向量a 是与向量AB →垂直的单位向量．(1)求单位向量a 的坐标； (2)求向量AC →在向量a 上的射影； (3)求△ABC 的面积S △ABC . 解：(1)设a ＝(x ，y )，依题意有AB →＝(4,3)，|a |＝1，且a ⊥AB →，即a ·AB →＝0，有⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x 2＋y 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝－45.所以a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－35，45或a ＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)设向量AC →与单位向量a 的夹角为θ，AC →在a 上的射影为h ，则h ＝|AC →|cos θ＝AC →·a |a |＝AC →·a ，又AC →＝(1,4)，当a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45时，h ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋4×45＝135；当a ＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45时，h ＝1×35＋4×⎝⎛⎭⎪⎫－45＝－135.(3)S △ABC ＝12|AB →||h |＝12×5×135＝132.感谢您的下载! 快乐分享，知识无限！。

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课时作业(二十)
一、选择题
1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( )
A ．(－15,12)
B ．0
C ．－3
D ．－11
解析：∵a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，
∴a ＋2b ＝(－5,6)．
(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝3×(－5)＋2×6＝－3.
答案：C
2．在平面直角坐标系中，已知向量AB →
＝(2，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，则n ·BC →
＝( )
A ．－4
B ．3
C ．4
D ．7
解析：由数量积的运算性质得
n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →
＝7－3＝4..
答案：C
3．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝( )
A ．4 2
B ．2 5
C ．8
D ．8 2
解析：∵c ＝a －(a ·b )b ＝a －6b ＝(8，－8)，
∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.
答案：D
4．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于
( )
A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4
解析：2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)
cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝(3，3)·(0，3)32·3＝992＝22
∴夹角为π4.
答案：C
5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c ＝( ) A ．(2,1)
B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 D ．(0，－1)
解析：设c ＝(x ，y )．∵a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，
∴c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)．
∵(c ＋b )⊥a ，∴(x ＋1)×1＋(y ＋2)×(－1)＝0，
即x －y －1＝0.①
∵(c －a )∥b ，∴(x －1)×2－(y ＋1)×1＝0，
即2x －y －3＝0.②
由①②，得x ＝2，y ＝1，∴c ＝(2,1)．
答案：A
6．已知向量AB →＝(cos 120°，sin 120°)，BC →
＝(cos 30°，sin 45°)，
则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形
解析：AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32
，22， ∴AB →·BC →＝－34＋64＝6－34>0，
∴AB →与BC →的夹角是锐角，∴在△ABC 中∠B 是钝角．
故选D. 答案：D
二、填空题
7．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.
解析：(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝3－2＝1.
答案：1
8．设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.
解析：(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.
答案：±3
9．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.
解析：解法一：由已知得c ＝(m ＋4,2m ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a |c |·|a |，cos 〈c ，b 〉＝c ·b |c |·|b |，所以c ·a |c |·|a |＝c ·b |c |·|b |
，又由已知得|b |＝2|a |，
所以2c ·a ＝c ·b ，即2[(m ＋4)＋2(2m ＋2)]＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2.
解法二：易知c 是以m a ，b 为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b |＝2|a |，故m ＝2.
答案：2
三、解答题
10．已知a ＝(3，－4)，b ＝(2，x )，c ＝(2，y )，且a ∥b ，a ⊥c ，求b ·c 及b 和c 的夹角．
解：因为a ∥b ，所以3x ＋8＝0，所以x ＝－83，因为a ⊥c ，所以
6－4y ＝0，所以y ＝32.
所以b ·c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－83·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，32＝4－4＝0，所以b ⊥c ，所以b 与c 的夹角为90°.
11．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，当k 为何值时，
(1)k a －b 与a ＋b 共线；
(2)k a －b 的模等于10.
解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，
k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2)．
a ＋
b ＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵k a －b 与a ＋b 共线，
∴k ＋2－(－k )＝0.∴k ＝－1.
(2)|k a －b |＝10⇒ k 2＋k ＋22＝10，化简，得k 2＋2k －3＝0，解得k ＝1或－3，即当k ＝1或－3时，k a －b 的模等于10.
12．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．
(1)求a 与b 的夹角的余弦；
(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．解：(1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525
. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，
∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝529.。