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平面向量的数量积PPT课件

运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。

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【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】考查平面向量的基本定理及向量数量积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B，又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10；若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.

数学公开课平面向量数量积的各种求法ppt课件

向量 $vec{a}$ 与单位向量 $hat{u}$ 的数量积等于 $vec{a}$ 在 $hat{u}$ 方向上的投影，即 $vec{a} cdot hat{u} = |vec{a}| cos theta$。
几何意义及应用
01 夹角计算
02 投影计算
03 判断垂直关系
04 判断共线关系
05 在力学中的应用
物理意义
在物理中，数量积可以表示两个力的合力在某一方向上的分量，或者表示一个力在另一个力的方向上的投影。
运算律与性质
交换律
分配律
$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$
$(vec{a} + vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} + vec{b} cdot vec{c}$
2. 已知向量$vec{a} = (1,2)$，向量$vec{b} = (2,-1)$，且$vec{a}$与$vec{b}$的夹角为锐角，求$vec{a} cdot vec{b}$。
解：首先计算夹角$theta$的余弦值，由于$costheta > 0$且夹角为锐角，因此可以直接计算$costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| cdot |vec{b}|} = frac{1 times 2 + 2 times (-1)}{sqrt{1^2 + 2^2} times sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 0$。
$\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = (1, 2) \cdot (5, 0) = 1 \times 5 + 2 \times 0 = 5$。 • 例题 2：已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 4$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^\circ$，求

第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT

(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝（ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D，所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D，所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标；坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2

2.4.1平面向量的数量积：课件一(15张PPT)

⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ· ) · ａ·ｂ · ｂ c= ( c)
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
小结：
• 1. a b | a || b | cos
• 2. a b a b 0
2 2 a | a |
可用来求向量的模
3.投影
a b | a || b |
5 |ab| ≤ |a||b|
返回
三、讲解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
作业：
1、若 | a || b | 1, a b 且2a 3b 与ka 4b 也互相垂直，求的值。 k 2、设a是非零向量，且 c , 求证： b a b a c a (b c )
返回
4．向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab ab = 0 3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或 | a | a a 4 cos =

平面向量的数量积PPT课件

|b|＝ (2n－3m )2＝ 4n2－12m ·n＋9m 2＝ 7. 而a·b＝(2m ＋n)·(2n－3m )＝m ·n－6m 2＋2n2＝－72，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝|aa|··|bb|＝－772＝－12. 又θ∈[0°，180°]，故a与b的夹角为120°.
20
题型四平面向量的垂直问题例4 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．
＝2×((－－44))＋2＋37×2 7＝
13 ＝ 65
65 5.
6
4．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量 a 在向量 b 方
向上的投影是
(A )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
解析 a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上
的投影的乘积，而 cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝－23， ∴|a|·cos〈a，b〉＝6×－23＝－4，故选 A.
23
变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上， OA
＝(－2，m)，O→B＝(n,1)， OC ＝(5，－1)，且O→A⊥ O→B ，
求实数m，n的值．
解由于A、B、C三点在同一条直线上，则 AC ∥A→B， AC ＝OC OA ＝(7，－1－m)， A→B＝O→B－O→A＝(n＋2,1－m)，
4
基础自测 1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，
|b|＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a·b ＝___3_____. 解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2× 3× 23＝3.
5
3
2.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC= 10 ,则 AB·AC ＝___2 ___.

平面向量的数量积课件课件

并完成下表：
a夹角b的的范正围负0 90
90
90 180
３、研究数量积的几何意义
（1）给出向量投影的概念
（2）问题６：数量积的几何意义是什么？
4.研究数量积的物理意义
问题７:（1）功的数学本质是什么？
（2）尝试练习
一物体质量是10千克, 分别做以下运动, 求重力做功的大小。
5.已知a2
2
1, b
2, (a
b)
a
0, 求a与b的夹角.
6.已知a+b c 0，| a | 3,| b | 5,| c | 7,
求a与b的夹角.
1.已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60 , 求|a 3b | 2.已知a,b满足：| a | 1，| b | 2,| a b | 2, 求|a b | 3.已知平面上三点A, B,C满足：| AB | 2，
ab
|
a
||
b
|
cos
其中θ是 a 与 b 的夹角，| b | cos(| a | cos) 叫做向量 b 在 a
方向上（在方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量
的数量积为a 零，b 即
。
a0 0
0时 b 在 a 方向上的射影| b | .是为锐角时，
b
θ O
B
| OB1 || b | • cos , b 在 a 方向上的射影是正数
①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米；； ③、竖直向上提升10米 ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；
S
①、在水平面上位移为10米；
G
W 0
②、竖直下降10米；
S G
WGS
③、竖直向上提升10米；

《平面向量数量积》课件2[1][1].ppt1

2
或 AD BC AD 9
2
120
AB CD AB CD cos180 4 4 1 16
或 AB CD AB 16
3. AB与AD的夹角是60 , AB与DA的夹角是120
1 AB DA AB DA cos120 4 3 6 2
返回
B
b
O
θ
a
A B1
当θ为锐角时，它是正值；
返回
B
b
θ
B1
O
a
A
当θ为钝角时，它是负值；
返回
2、已知△ABC中，a =5，b =8，C=600，求 BC CA
A
3、已知 | a | =8，e是单位向量，当它们之间的夹角为 3 , 则 a在e方向上的投影为
B
C
4、如图, 在平行四边形ABCD中,已知 AB 4, AD 3, DAB 60 ,
பைடு நூலகம்
基础练习
1、判断下列命题的真假: （1）平面向量的数量积可以比较大小（2）若a 0 则与的夹角为钝角 b ,a b . （3）已知b为非零向量因为0×a =0， a · = 0,所以a = 0 b (4 ) 对于任意向量a、 b、 c，都有a · · = a· · b c （b c）
求 : 1. AD BC
2.AB CD
3.AB DA
D
C
解: 1因为AD与BC平行且方向相同 ,
AD与BC的夹角为 . 0 A AD BC AD BC cos0 3 3 1 9
60
B
2. AB与CD平行, 且方向相反

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3.设两个向量e1、e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2 的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
(-7,1- 4)∪ (- 14,-1).
2
22
4.点O是△ABC所在平面上一点,且满足 O•O A B O•O B C O•O A,C 则点O是△ABC的( B ) (A)重心 (B)垂心 (C)内心 (D)外心
为何值时，向量 a kb 与 a kb 垂直
解：已知akb与 akb 互相垂直的充要条件是
(akb) •(akb)0
a2k2b20
即a 2 3 2 9 ,b 2 4 2 1,6
91k620.
k 3 4
也就是说，当且仅当 k 3 时，akb与akb
互相垂直.
4
用数量积解决垂直问题【例 3】设平面内两向量 a与 b互相垂直,且|a|=2,|b|=1,又 k与 t是两个不同时为零的实数. (1)若 x=a+(t-3)b与 y=-ka+tb垂直,求 k关于 t的函数关系式 k=f(t); (2)求函数 k=f(t)的最小值. 解:(1)∵a⊥b,∴a·b=0.又 x⊥y,∴x·y=0, 即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, -ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0.
法二:如 C ,
则 =a+b, =a-b, ∵|a|=|b|, ∴| |=| |, 故▱ AO B C 为菱形, ∴O C 平分∠AO B , 由于|a|=|b|=|a-b|, 即| |=| |=| |, ∴△AO B 为正三角形,
则∠AO B = ,
(A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数
2.(2010年高考浙江卷)
已知平面向量α、β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是
10
数量积的综合应用
类型三：向量的夹角问题
用数量积解决夹角问题【例 4】已知 a,b是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a与 a+b的夹角.
(1)arcco3s(2) 1 (3) 19
4
2
8
2.在ABC中，若 B Ca,C A b,A Bc，且 a • b b • c c • a . 则 ABC的形状为等边三角形
2.变式题：O为ABC所在平面内任意一点，且满足
(O O B )•( C O O B 2 C O ) A 0则 ABC的形状为等腰三角形
平面向量数量积习题课
基本知识回顾
1，平面向量数量积的定义 2，数量积的几何意义 3，数量积的性质 4，数量积的运算律 5，数量积的坐标表示
数量积的综合应用
类型一：向量的模
例1：已知向量
a与
b的夹角为 120 ，且
a 4,b 2
r r
求：（1）a b
rr （2） 3a 4b
（3）
304 4 19
总结：求向量长度的方法,即一个向量的长度为它与自身数
量积的算术平方根.即
2
a a
1.已知向量|a|=,a·b=10,|a+b|=5,求|b|.
.
2.已知向量 a , b 满足 a1,3 b1,9 ab2,4
求 ab .
3.已知 a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
若向量满足c， (ac)•(bc)，0则求的c最大
数量积的综合应用
综合题型
1.已知a+b+c=0,|a|=1,|b|=2,|c|= 2 ,则a·b+b·c+c·a的
值为( D )(A)7 (B) 7 (C)- 7 (D)- 7
2
2
1.变式题：（1）求 a与 b的夹角 .
（2）是否存在实数使 ab与
a2b共线.
（3）是否存在实数
使
ab
与
a2b垂直.
思路点拨:利用夹角公式 cos θ= 计算或根据向量加减法的几何意义求解.
解:法一:∵|a|=|a-b|, ∴|a|2=|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2, 又|a|=|b|,∴a·b= |a|2,
又|a+b|=
=
设 a与 a+b的夹角为 θ,
= |a|.
则 cos θ=
=
=
=,
又θ∈[0,π],∴θ= , 即 a与 a+b的夹角为 .
∵|a|=2,|b|=1,∴-4k+t2-3t=0,即 k= (t2-3t).
(2)由(1)知,k= (t2-3t)= (t- )2- ,
即函数 k=f(t)的最小值为- .
1.(2010年高考北京卷) 若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|b|,
A 则函数f(x)=(xa+b)·(xb-a)是( )
故∠AO C = ,即 a与 a+b的夹角为 .
求两向量夹角的方法主要是应用公式 cosθ= 来解决,为此应求出 a·b与|a||b|的大小,或在 a·b已知的情况下直接代入运算.
变式训练 4 1:向量 a、b满足(a-b)·(2a+b)=-4,且|a|=2,|b|=4,求 a与 b的夹角.
解:设 a,b的夹角为θ, ∵(a-b)·(2a+b)=2a2+a·b-2a·b-b2 =2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=8-8cosθ-16 =-8cosθ-8=-4. ∴cosθ=- , 又∵0°≤θ≤180°,∴θ=120°.
值. 变式题（09高考）:设 a,b, c是单位向量，且a•b0
则 (ac)•(bc)的最小值.
数量积的综合应用
类型二：向量的垂直问题
若要证明某两个非零向量垂直,只需判断它们的数量积是否为零;两个非零向量的数量积为零, 则它们互相垂直.
已知| a | 3,| b | 4.( a 与 b 不共线)，当且仅当 k
rr r r ab•a2b
((13 ())2a( )a 3 a a b b 2 ) 4 b • a ( (a a • a 2 b ( b2 3 c )b a 2 2) a 1 o 4 • b a b a )2 2 2 s 2 c 2 a 2 b 1 0 o a • 9 2 b • a b 2 2 s 1 2 b 2b 2 b 0 2 2 2 a • b 4 1 21 b 2 2 36