平面向量题型及方法

平面向量方法、题型、及应试技巧总结一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如：已知A （1,2），B （4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是ABa _____（答：（3,0））2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；03．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是AB)；||AB AB ±4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，a b 记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

a b 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；A B C 、、⇔ AB AC、6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

如a a 下列命题：（1）若，则。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点ab = a b =相同，终点相同。

（3）若，则是平行四边形。

（4）若是平行四边AB DC =ABCD ABCD 形，则。

（5）若，则。

（6）若，则。

其中正确的是AB DC = ,a b b c == a c = //,//a b b c //a c_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；a b c 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，x y i 为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的j a (),a xi y j x y =+=(),x y a 坐标，＝叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标a (),x y a 与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数、，使a =e 1＋e 2。

如1λ2λ1λ2λ（1）若，则______(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=-c = （答：）；1322a b - （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. B. 12(0,0),(1,2)e e ==- 12(1,2),(5,7)e e =-=C.D. 12(3,5),(6,10)e e ==1213(2,3),(,)24e e =-=-（答：B ）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向,AD BE ABC ∆,BC AC ,AD a BE b == BC量表示为_____,a b（答：）；2433a b + （4）已知中，点在边上，且，，则ABC ∆D BC −→−−→−=DB CD 2−→−−→−−→−+=AC s AB r CD 的值是___s r +（答：0）四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规λa λa 定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，()()1,2a a λλ=λλa a λλ的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。

a a λ0a λ=λa 五．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，a b ,OA a OB b ==AOB θ∠=称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，()0θπ≤≤a b θa b θπa b 当＝时，，垂直。

θ2πa b 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。

||||cos a b θ a b a ∙b a ∙b cos a b θ规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

如（1）△ABC 中，，，，则_________3||=−→−AB 4||=−→−AC 5||=−→−BC =⋅BC AB （答：－9）；（2）已知，与的夹角为，则等于____11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=- c d 4πk （答：1）；（3）已知，则等于____2,5,3a b a b ===- A a b +）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____,a b a b a b ==-与a a b + （答：）30 3．在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。

如b a ||cos b θ已知，，且，则向量在向量上的投影为______3||=→a 5||=→b 12=⋅→→b a →a →b （答：）5124．的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。

a ∙b a ∙b a ||ab a 5．向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：a b θ①；0a b a b ⊥⇔∙=②当，同向时，＝，特别地，；当与反向a b a ∙b a b 22,a a a a a =∙== a b 时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的a ∙b a bθa ∙b a b 、0a b ⋅> θ必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要θa ∙b a b 、0a b ⋅<θ非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。

如a b θcos a ba bθ∙=||||||a b a b ∙≤ （1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是)2,(λλ=→a )2,3(λ=→b →a →b λ______（答：或且）；43λ<-0λ>13λ≠（2）已知的面积为，且，若，则夹角的OFQ ∆S 1=⋅−→−−→−FQ OF 2321<<S −→−−→−FQ OF ,θ取值范围是_________（答：）；(,43ππ（3）已知与之间有关系式(cos ,sin ),(cos ,sin ),a x x b y y == a b，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹,0ka b kb k +=> 且且k a b ⋅ a b ⋅ a b角的大小θ（答：①；②最小值为，）21(0)4k a b k k +⋅=> 1260θ= 六．向量的运算：1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向,AB a BC b ==量叫做与的和，即；AC a ba b AB BC AC +=+= ②向量的减法：用“三角形法则”：设，,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么由减向量的终点指向被减向量的终点。

注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①___；②____；③AB BC CD ++= AB AD DC --=_____()()AB CD AC BD ---=（答：①；②；③）；AD CB 0（2）若正方形的边长为1，，则＝_____ABCD ,,AB a BC b AC c === ||a b c ++（答：；（3）若O 是所在平面内一点，且满足，则ABC A 2OB OC OB OC OA -=+-的形状为____ABC A （答：直角三角形）；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足D ABC ∆BC ABC ∆P ，设，则的值为___0PA BP CP ++= ||||AP PD λ=λ（答：2）；（5）若点是的外心，且，则的内角为____O ABC △0OA OB CO ++=ABC △C （答：）；120 2．坐标运算：设，则：1122(,),(,)a x y b x y ==①向量的加减法运算：，。

如12(a b x x ±=±12)y y ±（1）已知点，，若，则当＝____时，点(2,3),(5,4)A B (7,10)C ()AP AB AC R λλ=+∈λP 在第一、三象限的角平分线上（答：）；12（2）已知，，则 1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y = 且,(,22x y ππ∈-x y +=（答：或）；6π2π-（3）已知作用在点的三个力，则合力(1,1)A 123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=的终点坐标是123F F F F =++（答：（9,1））②实数与向量的积：。

()()1111,,a x y x y λλλλ==③若，则，即一个向量的坐标等于表示这个1122(,),(,)A x y B x y ()2121,AB x x y y =--向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如设，且，，则C 、D 的坐标分别是__________(2,3),(1,5)A B -13AC AB = 3AD AB =（答：）；11(1,7,9)3-④平面向量数量积：。

如1212a b x x y y ∙=+已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－1，0）。

（1）若x ＝，a b c 3π求向量、的夹角；（2）若x ∈，函数的最大值为，求的a c ]4,83[ππ-b a x f ⋅=λ)(21λ值（答：或）；1(1)150;(2)21-⑤向量的模：。

如2222||||a a a x y ===+ 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____,a b 60|3|a b + ；⑥两点间的距离：若，则。

如()()1122,,,A x y B x y ||AB =如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点PxOy 60xOy ∠= 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中12OP xe ye =+分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为。

12,e e(,)x y （1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。

xOy （答：（1）2；（2））；2210x y xy ++-=七．向量的运算律：1．交换律：，，；a b b a +=+ ()()a a λμλμ= a b b a ∙=∙2．结合律：，；()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+ ()()()a b a b a b λλλ∙=∙=∙3．分配律：，。