高中数学平面向量知识点总结及常见题型范文
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结引言：平面向量是解决几何问题中常用的数学工具之一。
在高中数学课程中，平面向量的概念和性质被广泛学习和应用。
下面将对高中平面向量的知识点进行总结，以加深对该内容的理解和应用。
一、平面向量的定义和表示法平面向量是有大小和方向的量，通常表示为带箭头的有向线段。
向量的大小称为模，表示为|v|，方向可以用角度或者与坐标轴的夹角表示。
在坐标系中，我们可以使用有序数对(x, y)来表示向量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法和减法：向量的加法和减法可以分别用三角形法则和平行四边形法则进行计算。
具体来说，向量A + 向量B等于以向量A和向量B为边的三角形的第三边，而向量A - 向量B等于以向量A和向量B为对角线的平行四边形的对角线。
2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法指的是将向量的大小与一个实数相乘。
具体来说，给定向量A和实数k，kA等于以向量A的起点为端点，且长度为|k|倍的向量。
3. 向量的点积和叉积：向量的点积和叉积是向量运算中的两种重要形式。
向量的点积表示为A·B，计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中θ为A和B之间的夹角。
向量的点积满足交换律和分配律。
向量的叉积表示为A×B，计算公式为A×B = |A||B|sinθn，其中θ为A和B之间的夹角，n为单位法向量。
向量的叉积具有反交换律和分配律。
三、向量的共线性和垂直性1. 向量的共线性：给定两个非零向量A和B，如果存在一个实数k，使得A=kB，那么向量A和向量B共线。
2. 向量的垂直性：给定两个非零向量A和B，如果A·B=0，那么向量A和向量B垂直。
该性质可以用来解决垂直向量的判断和运算问题。
四、向量在平面几何中的应用1. 平面向量与平移：平面向量的加法和减法可以用于描述平移过程。
给定向量a表示原点O到点A的位移向量，那么点B的坐标可以表示为B = A + a。
同样地，如果我们知道点A和点B的坐标，那么向量AB的坐标可以表示为AB = B - A。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。
3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。
e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。
4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。
6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。
b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。
7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。
b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。
c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。
这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。
高中数学《平面向量》知识点总结
高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。
以下是对平面向量知识点的总结。
1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。
可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。
2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。
3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。
设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。
4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高一平面向量知识点及典例
高一平面向量知识点及典例平面向量是高一数学学习中的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理、工程等领域发挥着重要作用。
本文将介绍高一平面向量的基本概念、性质和典型例题，希望能帮助同学们更好地理解和应用平面向量。
一、平面向量的概念平面向量是由大小和方向共同确定的有向线段，通常用大写字母表示。
平面向量AB可以记作→AB，其中A称为起点，B称为终点。
平面向量还可以用坐标表示，例如向量→AB可以表示为AB的坐标 (x, y)。
二、平面向量的性质1. 平面向量的加法与减法给定两个平面向量→AB和→CD，可以进行向量的加法和减法运算。
向量加法的结果是一个新的向量→EF，满足→EF = →AB +→CD；向量减法的结果是一个新的向量→GH，满足→GH =→AB - →CD。
2. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积记作→AB·→CD，表示两个向量的数量积等于向量→AB的模长乘以向量→CD在→AB上的投影长度。
若→AB·→CD = 0，则称向量→AB与→CD垂直。
3. 平面向量的数量积性质平面向量的数量积具有以下性质：交换律（→AB·→CD =→CD·→AB）、分配律（→AB·(→CD +→EF) = →AB·→CD +→AB·→EF）以及数量积与平移无关等。
三、平面向量的典型例题1. 例题一已知向量→AB = (3, 4)，→CD = (5, -2)，求→AB +→CD的坐标。
解：向量→AB +→CD的坐标为(3+5, 4+(-2)) = (8, 2)。
2. 例题二设向量→AB = (2, -3)，→CD = (4, 1)，求→AB·→CD的值。
解：→AB·→CD = (2*4)+(-3*1) = 5。
3. 例题三如图所示，在△ABC中，向量→AB = (2, 3)，向量→BC = (4, 1)，求向量→AC的坐标。
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）
高中数学有关平面向量的公式的知识点总结（共五篇）第一篇：高中数学有关平面向量的公式的知识点总结定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。
则存在一个实数λ，使向量P1P=λ•向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。
（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0。
a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
高三平面向量的知识点总结
高三平面向量的知识点总结在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的内容，它不仅是数学学科的基本工具，也常常涉及到物理学、几何学等其他学科中的问题。
在高三这个关键时期，平面向量的知识点更是需要我们熟练掌握。
本文将对高三平面向量的知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和运用。
一、平面向量的概念与表示1. 平面向量的定义：平面上的向量是有方向和大小的有序对。
2. 平面向量的表示：用有向线段来表示向量，向量的起点和终点分别代表向量的起点和终点位置。
二、平面向量的运算1. 平面向量的加法：- 几何法：将两个向量的起点放在一起，并在第一个向量的终点处画出第二个向量，连接起点和终点得到所求的向量。
- 代数法：向量的加法可以通过其坐标分量进行运算。
设向量a =a1a +a2a，向量a =a1a +a2a，则向量a+a = (a1+a1)a +(a2+a2)a。
2. 平面向量的数乘：- 几何法：数乘可以改变向量的大小，并保持其方向不变。
数乘为正时，向量与原向量同向；数乘为负时，向量与原向量反向。
- 代数法：向量的数乘可以通过其坐标分量进行运算。
设向量a =a1a +a2a，数a，则a =a1a +a2a。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的共线性：三个向量共线的充分必要条件是其中两个向量的比例相等。
2. 平面向量的共面性：三个非零向量a，a，a共面的必要条件是a，a，a三个向量线性相关。
四、平面向量的数量关系1. 两个向量的夹角：利用向量的数量积可求得两个向量的夹角a，a满足0°≤a≤180°。
2. 两个向量的垂直关系：两个非零向量a，a垂直的充分必要条件是a，a的数量积为0。
即，a•a=0。
五、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积定义：设向量a = (a1, a2)，向量a = (a1, a2)，则a•a = a1a1 + a2a2。
2. 平面向量数量积的性质：- 交换律：a•a = a•a。
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平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a＝⇔｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a+b =AB BC +=AC（1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a --=a； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± (2)若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3)若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)(4)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= (5)若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定0a ⋅=2向量的投影：︱b ︱cos θ=||a ba ⋅∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a ·b 等于a 的长度与b 在a4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-；6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅（3）a b ⋅=0不能得到a =0或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =121x x y y +8向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ（001800≤≤θ）叫做向量a 与b 的夹角cos θ=cos ,a b a b a b•<>=•=当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔2121=+y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的. （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =.（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线. （8）若ma mb =，则a b =. （9）若ma na =，则m n =.（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量. （11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b . （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥. 题型2.向量的加减运算1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += .2.化简()()AB MB BO BC OM ++++= .3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD 为与的和向量，且,AC a BD b ==，则AB = ，AD = .5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB =,则AC = BC ，AB = BC . 题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和322a b -.题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD . 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和. 题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB =，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -.5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值.6.已知(2,3)AB =，(,)BC m n =，(1,4)CD =-，则DA = .7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标. 题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和2.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ）A.34(,)55B.43(,)55C.34(,)55--D.4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标.2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =，60xOA ∠=，求OA 的坐标. 题型9.求数量积1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，（3）1()2a b b -⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（2）a b ⋅，（3）(2)a a b ⋅+， （4）(2)(3)a b a b -⋅+. 题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b ==，12a b ⋅=，求a 与b 的夹角.2.已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角.3.已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠. 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）||a b +，（2）|23|a b -.2.已知(2,6),(8,10)a b =-=-，求（1）||,||a b ，（5）||a b +，（6）1||2a b -.3.已知||1||2a b ==，，|32|3a b -=，求|3|a b +. 题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量：||ae a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 .2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 .题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）//a b ？（2）a b ⊥？2.已知(1,2)a =，(3,2)b =-，（1）k 为何值时，向量ka b +与3a b -垂直？ （2）k 为何值时，向量ka b +与3a b -平行？3.已知a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-. 题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线.2.设2(5),28,3()2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线. 3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 . 4.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值. 5.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？ 题型15.判断多边形的形状1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ∆是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a =，(2,1)b =，当k 为何值时，向量ka b -与3a b +平行？2.已知(3,5)a =，且a b ⊥，||2b =，求b 的坐标.3.已知a b 与同向，(1,2)b =，则10a b ⋅=，求a 的坐标. 3.已知(1,2)a =，(3,1)b =，(5,4)c =，则c = a + b .4.已知(5,10)a =，(3,4)b =--，(5,0)c =，请将用向量,a b 表示向量c .5.已知(,3)a m =，(2,1)b =-，（1）若a 与b 的夹角为钝角，求m 的范围； （2）若a 与b 的夹角为锐角，求m 的范围.6.已知(6,2)a =，(3,)b m =-，当m 为何值时，（1）a 与b 的夹角为钝角？（2）a 与b 的夹角为锐角？7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A -，(3,4)B ，(2,1)D ，且//AB DC ，2AB CD =，求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ，(1,3)B -，(3,4)C ，求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(3,4)A ，(0,0)B ，(,0)C c ， （1）若0AB AC ⋅=，求c 的值；（2）若5c =，求sin A 的值. 【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b ==+=，求||a b -和向量,a b 的夹角.2.已知x a b =+，2y a b =+，且||||1a b ==，a b ⊥，求,x y 的夹角的余弦. 1.已知(1,3),(2,1)a b ==--，则(32)(25)a b a b +⋅-= .4.已知两向量(3,4),(2,1)a b ==-，求当a xb a b +-与垂直时的x 的值.5.已知两向量(1,3),(2,)a b λ==，a b 与的夹角θ为锐角，求λ的范围. 变式：若(,2),(3,5)a b λ==-，a b 与的夹角θ为钝角，求λ的取值范围.选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法例：已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=--，则c =（ ）A.1322a b --B.1322a b -+C.3122a b -D.3122a b -+2.排除法例：已知M 是ABC ∆的重心，则下列向量与AB 共线的是（ ）A.AM MB BC ++B.3AM AC +C.AB BC AC ++D.AM BM CM ++。