用WWZ加权小波分析方法计算S5 0716+714的周期研究

用WWZ加权小波分析方法计算S5 0716+714的周期研究摘要:本文采用的研究方法是加权小波Z变换(Weighted wavelet Z-transform ，WWZ)，它是一种基于小波分析原理处理非等间隔数据的方法。

通过收集BL Lac天体S5 0716+714光学B、V、R、I四个波段较为完备的观测数据，得到了其一定时期内的光变曲线。

利用WWZ对S5 0716+714以上四个波段的光变数据进行计算分析研究，发现S5 0716+714存在的光变周期为3.4±0.1年。

关键词: 小波分析；WWZ变换；BL Lac 天体1 引言活动星系核是现代天体物理学中的一个热门研究领域，活动星系核简称AGNs(Active Galactic Nucleus)。

在有关活动星系核的研究中，涉及到很多有关天体物理的基础性问题，如能量的产生、辐射机制等。

类星体是活动星系核的一个重要子类，在研究中发现，类星体具有许多的极端特性。

而BL Lac天体又是类星体中的一个重要代表，因为其在观测上表现出高光度，高偏振，快速光变以及非热辐射等特征[1]。

S5 0716+714是BL Lac天体之一，备受各界科学研究者的关注。

对于活动星系而言，光变周期的研究是了解其重要特性和本质的一个非常重要的方法。

通过对光变周期等特性的研究，我们可以了解天体辐射区域内部物理条件和结构的变化，辐射介质以及辐射区域外物理环境的变化和辐射过程的改变等[2]。

周期光变是类星体的一个普遍的特征，在近几年来也有不少研究组提出了多种研究类星体长周期光变的方法，如解释长周期光变的理论模型，双黑洞喷流模型，进动吸积盘模型等。

用来寻找计算天体周期光变的方法有很多，经常用到的有时间序列的功率分析方法[3]，Jurkevich方法[4]，相位分析法，自相关函数分析法等[5]。

虽然以上这些方法在研究天体周期光变中比较广泛，但是也存在许多的条件限制和局限性，在天体光变周期的研究中将会有所困难。

因此，本文中将使用一种较为新颖的方法加权小波Z变换对BL Lac天体S5 0716+714的光变周期进行计算和研究。

WWZ是一种基于小波分析原理产生的能够用于非规则数据处理的新方法[6]。

小波分析方法是一种非平稳信号分析方法，它和功率谱分析方法都为傅立叶变换的周期分析方法。

但是小波分析方法是将信号表示为时间尺度-频率尺度的域解析。

因此在整个频率域中，具有多频率分辨的特点。

由于小波分析的主要核心部分是多分辨率分析，因此较为适合分析非平稳信号，所以用WWZ来分析非平稳信号是一种较好的方法。

本文将采用WWZ变换，对S5 0716+714的四个光学波段周期数据进行计算研究，最后得出S5 0716+714的光变周期的部分变化特性。

2 加权小波Z 变换(WWZ) 2.1 小波分析原理传统的信号理论，是建立在傅立叶分析基础上的，而傅立叶变换作为一种全局性的变化，其有一定的局限性。

小波变换与傅立叶变换相比，是一个时间和频域的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis ），解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题。

小波变换是一种时间与尺度分析的方法，它具有时频局部化的功能，在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，非常适合用于探测夹带瞬间反常现象的信号。

小波变换的定义[7]为: 设2()()f t L R ∈，则它的连续小波变换为：(,)()()f t b W a b f t dt a ψ+∞*-=⎰ （1） 其中a 为伸缩尺度，b 为平移参数。

将其离散化形式为：1(,)()()N k f kk t b W a b f t a ψ*=-= （2）,()()a b t bt a ψ-=称为小波函数，它是由小波母函数()t ψ经过平移b 和伸缩a得到。

()t ψ是一种长度有限，平均值为0的波形。

它具有快速衰减的特性。

通常所用的小波母函数为Morlet 小波，它的形式为[8] ：2200/2/2()()i t tt e e e ωωψ--=- （3）0ω是衰减因子，当0ω取较大值时上式第二项可以省略，因此有简化的Morlet 小波：2/2()i t t t e e ωψ-= （4）Torrence et al 指出对于Morlet 小波伸缩尺度a 和傅立叶变换的频率之间有关系[9]：1a ω=（5）2.2 WWZ 原理小波分析方法能够较好的处理非平稳信号，但是在处理不规则的非等间距数据时，有一定的缺陷。

因为在（2）式和（1）式较为近似，在实际的应用中一定会出现一定的偏差，尤其是在处理非等间距数据的时候。

同时，小波变换的结果还会受到边界效应的影响。

又由于对于天文观测信号，会受到观测季节、天气、月相等因素的影响，观测到的数据往往是非等间距的，有时间距还会很大，然而间距还可能周期性的出现。

这些因素，不论是对于傅立叶变换还是小波变换，都会给分析研究带来相当大的困难。

而实际处理不等间距数据问题中，在使用傅立叶变换或者小波变换时，我们通常采用的方法是插值方法，而对于插值法所得到的数据是否真实可靠又是一个很大的影响。

在处理非等间距数据，使用傅立叶处理时，变换谱中会出现周期。

有不少的研究者在研究过程中提出了不同的方法处理其中的周期问题。

如Foster G 提出了CLEANEST 算法[10]，能较好的处理研究过程中的多周期信号问题，还能有效的消除其中的伪周期。

在小波变换处理非等间距数据的过程中，Foster G 又提出了向量投影的思想，即假如把小波变换看做是向量的投影，那么分析研究的结果将会在很大程度上得到改善，不但可以从中更准确的得到所求周期，并且还能够揭示出周期的稳定性[11]。

相应的过程为：使用（4）式的Morlet 小波作为小波母函数进行变换。

在平移b 和伸缩a 之后相应的形式为：Ψ（错误！未找到引用源。

）=错误！未找到引用源。

（6）再对上式进行变形得:22()()()m m i t b c t b t e ωωφ---= （7）其中：0m aωω=,2012c ω=。

基于（7）式中重新定义的Morlet 小波，应用向量投影的思想，将其看做是一种加权的映射，而()()m i t b t eωφ-=作为基函数，则22()mc t b w e αωα--=即为它的统计权重。

此时，引入一个常数函数1()t =1，就可以得到向量空间的三个基函数。

φ1 （t ）=1（t ） （8）φ2（t ）=cos [ωm （t-b ）] （9） φ3（t ）=sin [ωm （t-b ）] （10）再把数据向量x （t ）投影到以上三个基函数上便可以得到一个模型函数：31()()a a a y t y t φ==∑ （11）而相应的映射，可以通过计算系数a y 的值来拟合数据。

311a ab b b y S x φ-==∑ （12）其中ab a b S φ=. 内积公式为:11()()nn w f t g t f gw ααααββ===∑∑ （13）基于以上过程，Foster 定义了加权小波变换（WWT ）：(1)2eff yxN V WWT V -=（14）其中：2222()222()()mm c t b eff c t b e w N w e αωααωαα----==∑∑∑∑被称为有效数据个数。

22()()x w x t w x t V w w ααααααββββ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ (15) 22()()y w y t w y t V w w ααααααββββ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ (16)分别被称为数据的加权偏差和模型函数的加权偏差。

但WWT 非常容易受到有效数据个数eff N 影响，由于低频时小波形状的变换，相对于高频部分数据个数会更大，将会使得WWT 的值会向高频部分偏移，结果将出现偏差。

基于此，Foster 根据他的Z 统计量定义了加权小波Z 变换为：(3)2()eff y x y N V Z V V -=- （17）其满足F 分布，自由度是3eff N -和2，期望值是1。

2.3 模拟信号的检验分析使用模拟信号对WWZ 是否可靠进行分析，图1是所使用的三角函数图形，周期是2s ，使用之前所述的WWZ 方法，可以得到三角波函数WWZ 图形，如图2。

从W W Ztime t(s)ytime t(s)f r e q u e n c y (/s )图2中我们可以看出相应的峰值在0.4-0.5/s 的频率上，而在时间轴上函数峰值是连续的。

所以，利用峰值的位置便可以确定信号的周期。

由图3可以看出，所有峰值都是对应同一频率0.5/s ，由此频率可以算出该函数周期为2s 。

该结果与三角函数的周期吻合。

图1 三角波函数相应图形 图2 三角波函数的WWZ 图形 Fig.1 The diagram of triangle wave function Fig.2 The WWZ diagram of triangle wave function图3 WWZ 相应峰值所确定的周期图Fig.3 Periodogram determined by local maximums in Fig.2基于以上内容，可以说明WWZ 用来计算信号周期，是一种非常准确的方法。

3 BL Lac 天体S5 0716+714的光变数据的WWZ 分析 3.1 S5 0716+714的光变性质光变是指天体的辐射流量随时间的变化，通常包括连续谱的光变和发射线的光变。

对于BL Lac 天体，其不但具有短时标光变，而且还具有中等时标和长周期光变。

首先，短时标光变，光变时标较短，大约有几小时到几天的数据级，光变曲线没有周期性显现，至今确定BL Lac 天体中具有短时标光变周期的天体很少。

而S5 0716+714中已经发现了许多几小时到几天的短时标和中等时标的周期性规律光变[12]。

其次，是长周期光变现象，光变时标较长，通常为几年到几十年量级。

要研究长周期的光变，首先数据的样本必须要有足够长的连续观测时间，曲线中需要能够直接看出可能存在大幅度周期。

而BL Lac 天体S5 0716+714有近50多年的观测数据(1953年至2006年)，光变幅度又明显大于6次，满足寻找长周期的条件。

BL Lac 天体S5 0716+714是一个非常活跃的天体，在整个电磁波段上都存在着激烈的变化。

许多天体研究者对它的光变都做了详细的研究，如张皓晶等人收集了其大量光学波段的数据，经过分析发现可能存在1.1年的周期光变[13]。

Raiteri 等人分析1994至 2002 年间的观测资料发现其在光学 R 波段的光变周期为 3.3年[14]。