漳州一中2012自主招生数学试卷

2008年漳州市高中自主招生四校联考数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！ 答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分） 1．下列计算正确的是（ ）A ．325()a a a -⋅-=B ．235(2)8a a =C ．326a a a ⋅= D ．236()a a --=2．已知2101 x x x x<<，则，，的大小关系是（ ） A ．21x x x << B ．21x x<< C．21x x x<< D．21x x x<< 3若输入2x =- ）A ．1B ．2C ．3D ．44．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、平行四边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的机会是（ ） A ．43 B ．41 C ．21D ．1 5．已知1x 、2x 是方程210x x --=的两根，则2212x x +的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．右图是由一些边长为1的小正方形构成的几何体 的三视图，则这个几何体的体积是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列命题中，是真命题的为（ ） A ．三个点确定一个圆B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧D ．如果顺次连接梯形四条边中点所得的图形是菱形，那么这个梯形是等腰梯形8．小亮从A 点出发前进10m ，向右转︒60，再前进10m ，又向右转︒60，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了（ ）A ．m 30B ．m 60C ．80mD ．100m9．先作半径为1的圆，再作它的内接正三角形，接着作上述内接正三角形的内切圆，再作上述内切圆的内接正三角形，…，则按以上规律作出的第2008个圆的半径为（ ） A ．20061()2B ．20071()2C ．20081()2D ．20091()2平方 x - 2÷ 答案 左视图 俯视图 主视图 （第6题图）CAEBOD （第16题图）10．如图，把Rt ABC ∆依次绕顶点沿水平线翻转两次，若90C ∠=，AC =1BC =，那么AC 边从开始到结束所扫过的图形的面积为（ ） A ．74π B ．712π C ．94π D ．2512π 二、填空题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上） 11．计算：2cos30tan60-= ．12．某单位4月份随机抽查了该单位5天的用电量（单位：度），结果分别是：110，101，121，119，114，请你估计该单位4月份平均每天的用电量约为 度．13．一个几何体是由边长为3、4、5的三角形绕其最短边所在直线旋转一周而成的，则这个几何体的表面积为 ．14．反比例函数23(1)my m x -=+，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的值是 ．15．从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是 ． 16．如图，ABC △中，B C ∠∠，的平分线相交于点O ， 过O 作DE BC ∥交,AB AC 于点,D E ，若2AD =,3AE =,4DE =，则BC 等于 ．17．定义一种运算*“”：当a b ≥时，22a b a b *=+；当a b <时，22a b a b *=-，则方程212x *=的解是 ．18．往杯子里注水（单位时间内的注水量保持不变），杯中水的高度h 与注水时间t 的关系如图所示，则杯子的形状可能是 （填上以下四种杯子所有可能的编号）．三、解答题（本大题共有6小题，共78分．其中第19题8分，第20、21题各12分，第22题14分，第23、24题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上） 19．化简求值：111()()11x x x x-⋅--+，其中x =第20题20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，O 是斜边AB 上的一点，圆O 过点A 并与边BC 相切于点D ，与边AC 相交于点E ． （1）求证：AD 平分BAC ∠；（2）若圆O 的半径为4，30B ∠=，求AC 长．21．已知关于x 的不等式组255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩ ．（1）当2a =时，求不等式组的解；（2）若不等式组有且只有5个整数解，求实数a 的取值范围．22．丹霞服饰店现有A 、B 、C 三种品牌的衣服和D 、E 两种品牌的裤子，温馨家现要从服饰店选购一种品牌的衣服和一种品牌的裤子．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 品牌衣服被选中的概率是多少？（3）现选购衣服和裤子共6件(价格如图所示，单位：元/件)，恰好花了1200元，其中衣服是A 品牌的，问购得的A 品牌衣服有几件？23．如图，二次函数2y ax bx =+的图象与一次函数2y x =+的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标是1-，点B 的横坐标是2． （1）求二次函数的表达式； （2）设点C 在二次函数图象的OB 段上，求四边形OABC 面积的最大值；（3）试确定以点A 为圆心，半径为75的圆与直线OB 的位置关系．24．如图，直线l ：434+=x y 交x 轴、y 轴于A 、B 点，四边形ABCD 为等腰梯形，BC AD ∥，12AD =.（1）写出点A 、B 、C 的坐标；（2）若直线l 沿x 轴正方向平移m (0)m >个单位长度，与BC 、AD 分别交于E 、F 点，当四边形ABEF 的面积为24时，求直线EF 的表达式以及点F 到腰CD 的距离；（3）若B 点沿BC 方向，从B 到C 运动，速度为每秒1个单位长度,A 点同时沿AD 方向，从A 到D 运动，速度为每秒2个单位长度,经过t 秒后，A 到达P 处，B 到达Q 处，问：是否存在t ，使得PQD∆为直角三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由.2008年漳州市高中自主招生四校联考数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共有10小题，每题4分，共40分）二、填空题（本大题共有8小题，每题4分，共32分） 11．0； 12.113； 13．36π； 14．2； 15．31； 16．536； 17.22=x 或4-=x ； 18.①或② （选择题、填空题没有中间分）三、解答题（本大题共有6小题，第19题8分；第20、21题每题12分；第22题14分；第23、24题每题16分；共78分） 19．解：111()()11x x x x-⋅--+ xx x x x x 1)1)(1()1()1(2-⋅+---+=……………………………………………2分 x x x x x )1)(1()1)(1(2-+⋅+-=…………………………………………4分x2=………………………………………………………………………6分 当2=x 时原式=222=…………………………………………………………8分 20．（1）证明：连结OD ，则BC OD ⊥……………2分90C ∠=，BC AC ⊥∴OD ∴//AC ………………………………………3分 CAD ODA ∠=∠∴……………………………4分又DAO ODA OD OA ∠=∠∴= …………………………………………5分CAD DAO ∠=∠∴即AD 平分BAC ∠…………………………………………………………6分（2）解法一：在Rt ABC ∆中，90C ∠=，30B ∠=︒=∠∴60BAC由（1）得，︒=∠=∠∴30CAD DAO ………………………………………8分 过点AK AD K AD OK O 2,=⊥，则垂足为作 在AOK Rt ∆中，DAO OAAK∠=cos 3430cos 22=︒⨯⨯==∴OA AK AD ……………………………………10分在ACD Rt ∆中，CAD ADAC∠=cos 630cos 34cos =︒⨯=∠⨯=∴CAD AD AC ……………………………12分解法二：在OBD Rt ∆中，30B ∠=,82==∴OD OB ………………………………………………………………8分 12=+=∴OB AO AB在ACB Rt ∆中，=AC 621=AB ………………………………………………12分 21. 解:由255332x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩得⎩⎨⎧-><a x x 2320………………………………………4分(1)当2=a 时,由上可得⎩⎨⎧-><120x x∴原不等式的解为201<<-x . ……………………………………………6分(2)依题意,得152314<-≤a ……………………………………………9分2116-≤<-∴a ………………………………………12分 说明:第(1)题,直接把2=a 代入求解,120-><x x 和 各得2分;第(2)小题不等式152314<-≤a 没写等号,后面的解答无错误,给3分.22．解：(1) 树状图或列表如下………3分有6种可能结果：(A ，D )，（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）．……4分 (注：用其它方式表达选购方案且正确给1分)(2) 因为选中A 品牌衣服有2种方案，即(A ，D )（A ，E ），………………………5分 所以A 品牌衣服被选中的概率是31…………………………………………………7分(3)当选用方案（A ，D ）时，设购买A 品牌衣服、D 品牌裤子分别为x ，y 件， 依题意，得⎩⎨⎧=+=+12001503006y x y x …………………………………………………9分解得⎩⎨⎧==42y x …………………………………………………………………………10分当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 品牌衣服、Ｅ品牌裤子分别为x ，y 件， 依题意，得⎩⎨⎧=+=+12001003006y x y x ………………………………………………12分解得⎩⎨⎧==33y x ………………………………………………………………………13分答：温馨家购得的A 品牌衣服为2件或3件．…………………………………14分 解法二：由(2)可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 品牌衣服x 件， 则D 品牌裤子为)6(x -件，依题意，得1200)6(150300=-+x x …………9分 解得2=x ，46=-∴x ……10分,以下略.23.解:(1)把1-=x 和2=x 代入2+=x y得A 的坐标为(-1,1),B 的坐标为(2,4).…………………………………1分B A , 在二次函数bx ax y +=2的图象上⎩⎨⎧=+=-∴4241a ab a ……………………………………………………………2分 解得⎩⎨⎧==01b a …………………………………………………………………3分∴二次函数的表达式为2x y =.……………………………………………4分(2)如图,设四边形OABC 的面积为S,点C 的坐标为),(2t t ,20<<t分别过点C B A ,,作x 轴的垂线,垂足依次为111,,C B A ,则4,4,,,1,111121111=-=====BB t C B t C C t OC AA OA ……………………5分于是,A O A B B CC C O C B B AA S S S S S 111111∆∆---=梯形梯形…………………………6分 =112124212121412122⨯⨯--⨯+⨯-⨯⨯-+⨯+⨯）（）（）（）（t t t t =322++-t t=412+--）（t ………………………9分∴当1=t 时,S 的最大值为4.即四边形OABC 的面积的最大值为4 ………10分. (3)可求得52,23,2===OB AB OA …………11分222OB AB OA =+∴︒=∠∴90OAB ……………………… ………12分过点A 作OB AD ⊥于D 由AB OA OB AD ⨯⨯=⨯⨯2121得…………13分 55352232=⨯=⨯=OB AB OA AD …………………………………………14分 57<AD ∴圆A 与直线OB 相交. …………………………………………………………16分24．解：（1）)4,0(),0,3(B A -,)4,6(C .…………………………………………3分 (2) BC AD ∥，EF //AB∴四边形ABEF 为平行四边形.m OB AF S ABEF 4=⨯=∴,又24=ABEF S6=∴m ………………………………………………………………………………5分)0,3(F ∴设直线EF 的表达式为b x y +=34,则b +⨯=3340,4-=b ∴直线EF 的表达式为434-=x y …………………………………………………6分过点C 作AD CG ⊥于G ，四边形ABCD 为等腰梯形，3==∴OA DG ，在CGD Rt ∆中，5342222=+=+=DG CG CD54sin ==∠CD CG CDG ……………8分 过点F 作CD FH ⊥于H ， 在FHD Rt ∆中，6612=-=-=AF AD FD 546sin =∠=FH HDF FD FH 即 524FH =∴， 即点F 到腰CD 的距离为524.……………………………………………………10分 证法二：利用相似可以求得.过点C 作AD CG ⊥于G ，过点F 作CD FH ⊥于H ，四边形ABCD 为等腰梯形，3==∴OA DG ，在CGD Rt ∆中，5342222=+=+=DG CG CD在FHD Rt ∆中，6612=-=-=AF AD FD …………………………………8分 由CGD Rt ∆∽FHD Rt ∆得FD CD FH CG =即654=FH 524=∴FH ，即点F 到腰CD 的距离为524.…………………………………10分 (3) 过点Q 作AD QK ⊥于K ，依题意,得60,9,3,212,2,<≤-=-=-===t t DK t PK t PD t AP t BQ于是256)3(42222+-=-+=t t t PQ ；9718)9(42222+-=-+=t t t DQ 144484)212(222+-=-=t t t PD ……12分①CDP QDP ∠≤∠ QDP ∠∴不可能为直角. …………………………………………13分 ②若︒=∠90DPQ ,则222DQ PD PQ =+,2562+-t t +1444842+-t t =97182+-t t整理得01892=+-t t解得3=t 或6=t (舍去)……………………………………………………14分③若︒=∠90PQD ,则222PD DQ PQ =+, 2562+-t t +97182+-t t =1444842+-t t整理得011122=+-t t解得1=t 或11=t (舍去) …………………………………………………15分 综上,当3=t 或1=t 时,PQD ∆为直角三角形.………………………………16分。