层合壳体结构分析的有限单元法_张吉萍

( 西南交通大学 应用力学与工程系 , 成都 610031) ZHANG JiPing CHEN Qiu ( Department of Applied Mechanics and Engineering , Southwest Jiaotong University , Chengdu 610031 , China )
图 1 8 结点壳体曲面单元模型 Fig. 1 The element model with 8 node
[ ki j ] =
p =1
[B] ∑∫ ∫ ∫1 1 1 iq11
1
T p
[ D] p [ B j ] p × ( 6)
J
J′ d ξ dη dζ ′
δ i =[ ui v i w i α ( i = 1 , 2 , … , 8) i βi ]
( 1) 其中 α 和 β 为法线绕中面内互相垂直的两个方向上 i i 的转角 。 单元内任意点的位移表示为 u 8 v =
i= 1
ζ ) ] ∑[ N (
i
δ i
( 2)
tp -1 ～ t p 之间 , 假设各层之间相连接的界面对于结构受 力没有任何影响 。 整体坐标系中的厚度 t p -1 ～ tp , 在局部坐标系 ξ 、 η 、ζ 中对应的厚度位置为 tp -1 ×2 t0
摘要 研究层合壳体结构的有限单元解法 。 在单层壳体单元 的基础上 , 提出用 于分析层合 壳体结 构的一 种新的 高 阶单元 — — —8 结点壳体曲面单元 , 并推导该单元的刚度矩阵 。 新单元的计算方 法不改变壳 体结构的 一般假设条 件 , 利 用 厚度方向分段积分来完成问题的求解 , 并对层合 截锥壳进行计算 。 算例 证明该方 法是有效 的 , 而 且可以 减小计 算量 , 在 理论上也更简洁 , 很适用于工程计算 。 关键词 层合壳体 刚度矩阵 高阶单元 中图分类号 TB115 TB121 Abstract A new method of the finite element is determined about the laminated shell structure.Based on the element of shell with a single layer, a new element with high order to solve the laminated shell structure and its stiff-matrix are constructed.The common hypotheses of the shell structure aren' t alterative in the new finite element method , and it finishes the solution through the integral of the different laminas.In the end , the examples certify that the new method is reasonable , it can reduce the quantity of the calculation and it is brief in the theory , so it can be used widely in the engineering. Key words Laminated shell structure ; Stiff matrix ; Element with high orders Corresponding author : ZHANG JiPing , E-mail : coolwgw @ , Fax : +86-28-86467135 The project supported by the federal Foundation of National Nature Science of China and China Academy of Engineering Physics ( No. 10076014)and the school foundation of the Southwest Jiaotong University( No. 2002B08) . Manuscript received 20031219 , in revised form 20040329.
第 27 卷 第 6 期
张吉萍等 : 层合壳体结构分析的有限单 元法
841
阵的时候 , ζ 从1 到 1 的积分过程中 , 不同的 ζ 存在不 同的应变矩阵和弹性矩阵 , 所以可以利用 ζ的分段积 分来求解单元的刚度矩阵 。 为求解方便 , 在分段积分的 时候采用新的局部坐标系 ξ 、η 、ζ ′ , 仍然采用高斯积分 方法进行计算 。 单元的刚度矩阵进一步可以转换为
20031219 收到初稿 , 20040329 收到修改稿 。 国家自然科学和中国工物院联合基金( 10076014) 及西南交通大学校基金( 2002B08 ) 资助项目 。 张吉萍 , 女 , 1978 年 3 月生 , 浙江金华人 , 汉族 。 西南交通大学应用力学与工程系博士研究生 , 研究方向为计算智能及其应用 。
提出了用
于解决强厚度叠层板的高阶单元 , 徐兴 等提出了用 16 ～ 20 结点三维退化层合板壳单元等 。 下面在不改变壳体结构一般假设的条件下 , 提出 一种新的 8 结点层合板壳单元 , 它从单层壳有限元分 析出发 , 利用不同材料层在厚度上的积分来求解层合 壳体问题 , 从而极大地简化了层合壳体问题的计算 , 节
2 2 5 5 7 5 5
[ B i] [ D ] [ B j ] d xd yd z =
1 1 T 1 1 1 i
T
[ B] ∫ ∫ ∫
[ D ] [ Bj ] J dξ dη dζ ( 5)
其中应变矩阵和弹性矩阵分别为等参元 ζ方向的函 数。 从上述公式的推导中可以发现 , 在层合板壳结构 中 , 区别于单层板壳结构的是其中的材料参数沿中厚 度方向的不同 , 也就是在计算层合板壳结构的刚度矩
842
机 械 强 度
2005 年
层合方板的中点挠度为 11. 95 m , 参考文献[ 6] 的挠度 计算值为 11. 97 m 。 结果显示用本文提出的层合壳单元计算的结果精 度较高 , 而且方法更加简洁 。
0. 3。 ( 2) 三层结构 , 弹性模量为 E 1 = E 2 = E 3 = 71 GPa , 泊松比 μ . 3 , 厚度 t1 =2 , t2 =4 , 1 =μ 2 = μ 3 =0 t3 = 4 。 ( 3) 二层结构 , 弹性模量为 E 1 = 60 GPa , E 2 = 80 GPa , 泊松比 μ . 25 , μ . 35 , t 1 = 3 , t 2 = 7 。 1 =0 2 =0
其中 t i 为 i 结点处的厚度 , Ni ( ξ ,η ) 为 8 结点等参元的 形函数 , l 、m 、n 分别为中 面法线方 向的单位 矢量元 素。 将式( 2) 代入三维 几何方程 , 得到应变分量的计 算公式为
8
d ζ=
所以式 ( 6)中 的应变 矩阵和 弹性矩 阵分别 由式 ( 5)的各项完成 ζ 到ζ ′ 的坐标变换以后得到 , 其中 J′ = ζ p -ζ p1 2
[ 4] [ 3] [ 2] [ 1]
省了计算工作量 , 而且理论上简单明了 。 文中完成了 对层合截锥壳的结构分析 。 研究工作显示 , 本文构造 的新单元十分适合于一般工程人员的计算需要 , 具有 较大的应用前景 。
2 层合壳体的单元刚度矩阵计算
在板壳结构分析中 , 文献[ 5] 曾提出一种 8 结点壳 体曲面单元 , 本文在此基础上发展一种适合层合板壳 结构分析的 8 结点层合壳体曲面单元( 如图 1 所示 ) 。 该单元不但适用于厚壳结构 , 采用降阶的高斯积分以 后还可用于薄壳结构 。 从一般的板壳类结构的刚度矩阵出发 , 推导层合 板壳类结构的刚度矩阵 , 单元采用等参单元 , 采用局 部坐标系 ξ 、η 、ζ 。 由于是利用不同材料层在厚度上的 积分来实现刚度矩阵的计算 , 所以必须注意厚度在不 同矩阵中的出现情况 。 单元的位移列阵表示为
1
3 四边形层合方板计算
四边形正交各向异性层合方板 , 边界条件为四边 简支 , 在厚度方向承受均布载荷 。 材料参数为 E 1 =3 × 10 Pa , E 2 = 7. 5 ×10 Pa , ν=0. 25 , G 12 =4. 5 ×10 Pa , G 13 =4. 5 ×10 Pa , G 23 =3. 75 ×10 Pa , q =1 000Pa 。 铺 层顺序为[ 0 ° 90° 0° 90 °0 ° 90° 0° 90 °0 ° ]。 模型一 : 方板边长为 2 m , 厚度为 0. 2 m , 计算得该 层合方板的中点挠度为 1. 49 ×10 m , 参考文献[ 6] 的 挠度计算值为 1. 56 ×10 m 。 模型二 : 方板边长为 2 m , 厚度为 0. 02 m , 计算得该
ε ( ζ )=
ζ ) ] δ i ∑[ Bi (
i =1
( 3)
其中单元的应变矩阵 B 是厚度方向 ζ 的函数 。 应力分量的计算公式为 σ ( ζ ) =[ D ( ζ ) ] [ B( ζ ) ] δ
e
( 4)
其中单元的弹性矩阵 D 也是厚度方向 ζ 的函数 。 由虚功原理可以得到单元刚度矩阵子矩阵的计算 式为 [ k i j] =
4 圆柱壳计算
如图 2 所示的圆柱壳 , 壳体长度 L = 50 m , 总厚度 t = 0. 25 m , 中面半径 R = 25 m , 弹性模量 E = 4. 32 GPa , 泊松比 μ=0 , 密度 ρ=360 kg m 。 壳体承受自重 的作用 , 在曲线边界由横隔板支承 。 取壳体的四分之一 进行分析计算 。
1 引言