【精编】2015-2016年广东省梅州市兴宁一中高一(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年广东省梅州市兴宁一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={1，2}，则下列正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A2．（5分）集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个3．（5分）若集合A={x|log x≥2}，则∁R A=（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+45．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．y=x﹣2D．6．（5分）若函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的反函数恒过定点（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，2） D．（2，1）7．（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b9．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.510．（5分）函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．（5分）函数的递增区间为（）A．[1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[1，3）12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）函数f（x）=x﹣的值域为．15．（5分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（，2），则函数f（x）的解析式为．16．（5分）已知U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|a﹣1≤x≤2a﹣3}，若（∁U A）⊆（∁B），则实数a的取值范围为．U三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合U={x∈Z|﹣6＜x≤5}，A={0，2，4}，B={0，1，3，5}，求：（Ⅰ）A∪B（Ⅱ）（∁U A）∩B．18．（10分）求值：（1）（2）．19．（12分）已知函数f（x）=a﹣．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增；（3）在（1）的条件下，求f（x）的值域．20．（12分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．21．（12分）定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在区间（0，+∞）上为递增函数．（1）求f（1）、f（﹣1）的值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）解不等式．22．（14分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若k=2，求函数y=f（x）的零点；（2）．2015-2016学年广东省梅州市兴宁一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A={1，2}，则下列正确的是（）A．1∈A B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A【解答】解：设集合A={1，2}，1∈A，故A正确，B错误；对于C，集合和集合的关系应是包含关系，故C错误；对于D：元素和集合的关系应是属于关系，故D错误；故选：A．2．（5分）集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D．3．（5分）若集合A={x|log x≥2}，则∁R A=（）A．B．C．D．【解答】解：由得，，所以0＜x≤，则集合A=（0，]，所以C R A=（﹣∞，0]∪（，+∞），故选：B．4．（5分）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．3x﹣1 B．3x+1 C．3x+2 D．3x+4【解答】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴f（x）=3x﹣1故选：A．5．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（）A．B．C．y=x﹣2D．【解答】解：=，则函数为偶函数，在（0，+∞）上是增函数，满足条件．=，则函数的定义域为[0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．y=x﹣2=是偶函数，但在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．=，则函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的反函数恒过定点（）A．（0，2） B．（2，0） C．（1，2） D．（2，1）【解答】解：由x﹣1=0得：x=1时，f（1）=2恒成立，故函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（1，2）点，则函数f（x）=a x﹣1+1（a＞0且a≠1）的反函数恒过（2，1）点，故选：D．7．（5分）函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选：B．8．（5分）已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：D．9．（5分）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选：C．10．（5分）函数f（x）=2x﹣x2的零点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意可知：要研究函数f（x）=x2﹣2x的零点个数，只需研究函数y=2x，y=x2的图象交点个数即可．画出函数y=2x，y=x2的图象由图象可得有3个交点，如第一象限的A（2，4），B（4，16）及第二象限的点C．故选：C．11．（5分）函数的递增区间为（）A．[1，+∞）B．（﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[1，3）【解答】解：令t=3+2x﹣x2＞0，求得﹣1＜x＜3，可得函数的定义域为（﹣1，3），且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得t在定义域内的减区间[1，3），故选：D．12．（5分）已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6） C．（10，12）D．（20，24）【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）函数的定义域是[0，+∞）．【解答】解：由函数可得，1﹣≥0，即≤，解得x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．14．（5分）函数f（x）=x﹣的值域为[，+∝）．【解答】解：设，则x=t2+1，∴函数=．∴函数的值域为[）．答案：[）．15．（5分）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（，2），则函数f（x）的解析式为f（x）=x3．【解答】解：因为幂函数f（x）=x a的图象经过点（，2）所以2=（）a，解得：a=3，所以函数f（x）=x3．故答案为：f（x）=x3．16．（5分）已知U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|a﹣1≤x≤2a﹣3}，若（∁U A）⊆（∁B），则实数a的取值范围为（﹣∞，3] ．U【解答】解：已知U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|a﹣1≤x≤2a﹣3}，若（∁U A）⊆（∁U B），则A⊇B，B是空集时：a﹣1＞2a﹣3，解得：a＜2，B不是空集时：则，解得：a∈[2，3]综上：a≤3，故答案为：（﹣∞，3]．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合U={x∈Z|﹣6＜x≤5}，A={0，2，4}，B={0，1，3，5}，求：（Ⅰ）A∪B（Ⅱ）（∁U A）∩B．【解答】解：（Ⅰ）∵A={0，2，4}，B={0，1，3，5}，∴A∪B={0，1，2，3，4，5}；（Ⅱ）∵A={0，2，4}，U={x∈Z|﹣6＜x≤5}，∴∁U A={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，1，3，5}，又∵B={0，1，3，5}，∴（∁U A）∩B={1，3，5}．18．（10分）求值：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=…（5分）（2）解：原式=…（7分）=…（8分）=…（10分）19．（12分）已知函数f（x）=a﹣．（1）若f（x）为奇函数，求a的值；（2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增；（3）在（1）的条件下，求f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，…（1分）则f（0）=0，f（0）==0（2分）∴…（3分）经检验满足题意．…（4分）．（利用定义也可）（2）设x1＜x2，（…5分）则f（x1）﹣f（x2）==﹣=﹣，∵x1＜x2∴∴﹣＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），即不论a为何值f（x）在R上都单调递增．（3）由（1）知，∵2x+1＞1，0＜＜1，…（9分），∴，∴…（11分）则f（x）的值域为．…（12分）20．（12分）若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．【解答】解：y=lg（3﹣4x+x2），∴3﹣4x+x2＞0，解得x＜1或x＞3，∴M={x|x＜1，或x＞3}，f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2．令2x=t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2．∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．由二次函数性质可知：当0＜t＜2时，f（t）∈（﹣4，]，当t＞8时，f（t）∈（﹣∞，﹣160），当2x=t=，即x=log2时，f（x）max=．综上可知：当x=log2时，f（x）取到最大值为，无最小值．21．（12分）定义在非零实数集上的函数f（x）满足：f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）在区间（0，+∞）上为递增函数．（1）求f（1）、f（﹣1）的值；（2）求证：f（x）是偶函数；（3）解不等式．【解答】解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0…（2分）令x=y=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），∴f（﹣1）=0…（4分）（2）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），…（6分）∴f（﹣x）=f（x）…（7分）∴f（x）是偶函数…（8分）（3）根据题意可知，函数y=f（x）的图象大致如右图：∵，…（9分）∴﹣1≤2x﹣1＜0或0＜2x﹣1≤1，…（11分）∴或…（12分）22．（14分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若k=2，求函数y=f（x）的零点；（2）．【解答】解：（1）若k=2，则函数y=f（x）=|x2﹣1|+x2 +2x，①当x2﹣1≥0时，即x≥1或x≤﹣1时，方程化为2x2+2x﹣1=0，解得x=，因为0＜＜1，故舍去，所以x=．②当x2﹣1＜0时，﹣1＜x＜1时，方程化为2x+1=0，解得x=﹣．由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=，或x=﹣．（II）解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为f（x）=，所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解．若1＜x1＜x2＜2，则x1x2=﹣＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）=0得k=﹣，所以k≤﹣1．由f（x2）=0得，k=﹣2x2，所以，﹣＜k＜﹣1，故当﹣＜k＜﹣1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，故所求的k的范围是（﹣，﹣1）．由于当0＜x1≤1＜x2＜2时，k=﹣，2x22+kx2﹣1=0，消去k得，2x1x22﹣x1﹣x2=0，∴x1+x2=2x1x22，∴+==2x2．∵1＜x2＜2，∴2＜2x2＜4，∴2＜+＜4，故+的取值范围是（2，4）．综上可得，k的范围是（﹣，﹣1），+的取值范围是（2，4）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。