甘肃省兰州一中高三诊断考试数学试题(文科)
2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（文科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数( )A. B. 0 C. 1 D. 0或12.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知，，与的夹角为，则( )A. 6B.C.D.4.圆的圆心到直线的距离是( )A. B. C. 1 D.5.已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则( )A. 0B.C. 2D.6.已知是奇函数，当时，，若，则( )A. B. C. 2 D. 17.2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为( )A. B. C. D.8.已知l、m、n为空间中的三条直线，为平面．现有以下三个命题：①若l、m、n两两相交，则l、m、n共面；②若，，则；③若，，则其中的真命题是( )A. ①②③B. ①③C. ①②D. ③9.已知在上单调，且值域为，则( )A. 1B.C.D.10.如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，若此多面体的所有顶点均可以放置在一个正方体的各面内，则此正方体的对角线长为( )A.B.C.D.11.已知定义在R上的奇函数满足当时，，则( )A. 7B. 10C.D.12.已知椭圆与双曲线在公共的焦点、，A为曲线、在第一象限的交点，且的面积为2，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则( )A. B. 2 C. 1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若实数x、y满足，则的最大值是______.14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源．2020年9月我国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标．如图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，根据图中数据可以得到y关于年份序号x的回归直线方程：，由回归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为______15.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，在方向上的投影是的的面积为，则______.16.函数有三个零点，，，且，则的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共82分。
2021兰州一诊文科数学及答案
2021年兰州市高三诊断考试数学（文科）参考答案及评分标准1．A 2．B 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．C 9．D 10．D 11．D 12．B12．【解析】反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则过(4,5)P 另一条椭圆的切线斜率不存在，则4=a，所以离心率为413．3 14．31015．4 16．23 16．【解析】如图所示虚线即为截面图形，根据边长可得周长为2317．【解析】（Ⅰ）等差数列}{n a 的前n 项和2)(1n n a a n S +=，得9321226311322116312163==++=a a a a a a S S ）（）（ 由题2111=a 可得6332=a ，等差数列}{n a 的公差2=d ,11=a ,所以通项公式12−=n a n ..............................6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知()()()())121121(2112121+−−=+−=n n n n b n 的前n 项和)]121121(......)5131()311[(21+−−++−+−=n n T n ， 则..12)1211(21+=+−=n n n T n ..............................12分18．【解析】（Ⅰ）由题可知A 是CD 的中点，AC AB =，BCD ∆中AD AC AB ==所以CBD ∆为直角三角形，︒=∠90CBD 即BD BC ⊥36=，12=PC ,6=BC ,则有222BC PB PC +=,PB BC ⊥,B BD PB =则⊥BC 平面PBD .......................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知⊥BC 平面PBD ，设点D 到平面PBC 的距离为d ，由PBD C PBC D V V −−=可得63131⋅⋅=⋅⋅∆∆PBD PBC S d S ， 因为PBD S ∆为等边三角形，所以327=∆PBD S ，PBC S ∆为直角三角形，所以318=∆PBC S代入上式可知9=d ，因为A 是CD 的中点，所以点A 到平面PBC 的距离29............12分 19．【解析】（Ⅰ）乙同学模型的相关指数2R 更接近1.......................4分（Ⅱ）根据（1）的结论，应选择zdx c 做为回归方程，根据公式，812221757826 3.30.225722826i i i n i i x z nxz d x nx ， 3.30.2226 2.42c z d x0.22 2.42z x ，故y 关于x 的回归方程为0.22 2.42xy e ....................8分 （Ⅲ）当25x 时， 3.084y e e ，因此，近期当地不会发生虫害........12分 20．【解析】（Ⅰ）由已知得(1,0)F ，所以圆F 的方程为22(1)9x y由222(1)94x y y x得2280x x 解得：2x 或4x ，由于0x ，所以2x ..........................5分（Ⅱ）设弦AB 的中点为M ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，00(,)M x y 则221208y y x ， 2202y y y ，设中垂线的方程为00(4)(0)y k x k ，则直线AB 的斜率12221212042144AB y y k y y y y y k02y k 00(4)(0)y k x k 02x 则直线AB 的方程为0()2k y y x由02()24k y y x y x得2024y ky ky ，即224880y ky k 22216323216320k k k202k 124y y k 21288y y k221212(1)(1)44y y FA FB yy 2221212121()()144y y y y y y222234(1)4(88)12k k k 447k FA FB 的范围是(7,9).........................12分 21．【解析】（Ⅰ）当1a 时，21()2ln 2f x x x x ，2121()2x x f x x x x3(1),(1)02f f 函数图象在点(1,(1))f 处的切线方程为32y ..........................5分 （Ⅱ）可知0x , 2321()(2)(2)f x x a a a a x 2232(2)(2)x a a x a a x2()[((2)]x a x a x 令()0f x ，得2x a 或2x a ＝，由22(2)20a a a a 得，2a 或1a 因此当2a 时，220a a ，由于(0,2)x a 和2(,)x a 时()0f x ，2(2,)x a a 时()0f x ,因此，函数在(0,)内有两个极值点，不满足条件； 当2a时，()0f x ，函数为(0,)上的增函数，无极值，不满足条件； 当20a 或01a 时，220a a ，可知函数在(0,)内有两个极值点，不满足条件； 当12a时，220a a ，可知函数在(0,)内有两个极值点，不满足条件； 当2a 时，202a a ，可知函数在(0,)内有且只有一个极值2()f a 24223222211()(2)(2)ln [22(2)ln ]22f a a a a a a a a a a a a a 22122()2a a g a a 212422a a a 1(22)22a a 14[2(2)2]322a a当且仅当4a 时“＝”成立因此，000()()2ln (2)f x g x a a x 的最大值是3...........................12分22．【解析】 （Ⅰ）若3=r ，曲线2C 的直角坐标方程为：9)4(22=+−y x ，双曲线1C ：422=−x y ，一条渐近线方程为:0=−y x ,圆心()04，到直线的距离22204=−=d ，189)2(2=−=AB ，则2=AB ...............5分 另解：可知双曲线1C ：422=−x y ，一条渐近线方程为:0=−y x ，其极坐标方程为()4R 由28cos 704得24270，故1242，127 2121212||||()42AB（Ⅱ）若1=r ，曲线2C 的直角坐标方程为：1)4(22=+−y x ，圆心()04，，半径1=R ，设双曲线1C 上任取点),(00y x P ，则20824)4()4(020*********+−=++−=+−=x x x x y x PC ， 当20=x 时，2min 23PC ，2min min 231PQ PC R ...........................10分23．【解析】（Ⅰ）当1a 时，函数的解析式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧<++−≥+−=,2,32,2,32)(22x x x x x x x f 故函数图象如图..........................5分 （Ⅱ）①当0a时，()23f x x x 在0x 时显然成立； ②当0a 时，由于0x ，20ax ，故2()23f x ax x 2()30f x xax x ，此式显然在0x 时成立； ③当0a 时，当20x a 时，2()23f x ax x ，当1(0,)x a 时函数增，当12(,x a a ］时函数减， 当2x a时，2()23f x ax x ，函数为增函数 因此，当0x 时，2()()(0)3f x f fa令()g x x ，若要()f x x 恒成立，只需22()3g a a，所以23a 综上可知，当0a 或23a 时，满足条件............................10分。
甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试文科数学试题
一、单选题1. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平个单位长度，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（ ）A．B．C．D．2. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 下列关于命题的说法错误的是A ．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B ．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C．若命题：，，则，D ．命题“，”是真命题4.已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）A ．256B ．252C ．128D ．1325.任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“ 为偶数”是“复数为纯虚数的是（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（ ）A．B．C．D．7. 设数列满足，且对任意正整数，总有成立，则数列的前2019项的和为（ ）A．B ．589C．D．8.函数的定义域为，且对任意，都有，若在区间上则( )A ．0B ．1C ．2D ．20189. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．右图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的体积为（ ）甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试文科数学试题二、多选题A．B．C．D．10.把函数的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ）A．B．C．D．11.数列是等差数列，若，，则（ ）A．B ．4C．D．12.已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）A．B．C．D．13. 设集合，集合，则（ ）A．B．C．D．14. 从五件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是（ ）．A．B．C．D．15. 设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．16. 已知向量，且，则（ ）A．B ．2C．D．17. 已知数据①：，，，…，的平均数为10，方差为5，数据②：，，，…，，则下列说法正确的有（ ）A ．数据①与数据②的极差相同B．数据②的平均数为C ．数据①与数据②的中位数不同D．数据②的标准差为18. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则（ ）三、填空题A ．点的横坐标为2B．当时，C ．当时，内切圆的半径为D．19. 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（ ）A．B．C．D．20. 已知抛物线的焦点为，点为的准线与轴的交点，若直线与交于，两点，则下列结论正确的为（ ）A．B．存在唯一实数，使得直线与相切C ．恰有2个实数，使得成立D ．恰有2个实数，使得成立21. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（）A．高为B．体积为C．表面积为D ．上底面积､下底面积和侧面积之比为22. 小明用某款手机性能测试APP 对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y ，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ）A．B ．该组数据的均值一定为90C ．该组数据的众数一定为84和96D．若要使该总体的标准差最小，则23.设函数且，下列关于该函数的说法正确的是（ ）A ．若，则B．若为R上的增函数，则C ．若，则D ．函数为R 上奇函数24. 若函数（）的最小正周期为，则（ ）A．B ．在上单调递减C ．在内有5个零点D ．在上的值域为25. 已知，，，则的最小值为__________．四、解答题26.若，则______.27. 钝角中，若，，则的最大值为_______.28.若，则=______.29. 已知曲线：，焦点是F ，P 是抛物线上任意一点，则点P 到焦点F和到点的距离之和的最小值是___________.30. 已知，，，则的最小值为_______31.圆与圆的公共弦长为______．32. 直线a 、b 确定一个平面，则a 、b 的位置关系为 __．33.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求34. 已知角的顶点与原点O 重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点.(1)求的值；(2)求值：.35. 已知F 是抛物线C ：（）的焦点，过点F 作斜率为k 的直线交C 于M ，N两点，且.(1)求C 的标准方程；(2)若P 为C 上一点（与点M 位于y 轴的同侧），直线与直线的斜率之和为0，的面积为4，求直线的方程.36. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.37. 化简，并求函数的值域和最小正周期．38. 某同学解答一道解析几何题：“已知圆：与直线和分别相切，点的坐标为．两点分别在直线和上，且，，试推断线段的中点是否在圆上．”该同学解答过程如下：五、解答题解答：因为圆：与直线和分别相切，所以所以由题意可设，因为，点的坐标为，所以，即． ①因为，所以 ．化简得②由①②可得所以 ．因式分解得所以或解得或所以线段的中点坐标为或．所以线段的中点不在圆上．请指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．39. 某高级中学为了解学生体质情况，随机抽取高二、高三男生各50人进行引体向上体能检测，下图是根据100名学生检测结果绘制的学生一次能做引体向上个数的频率分布直方图．所做引体向上个数的分组区间为，，，，．(1)求这100名学生中一次能做引体向上5个以下的人数．并完善频率分布直方图（即作出“引体向上个数为0~5”所对应的矩形）；(2)若男生一次能做引体向上10个或以上为及格，完成下面2×2列联表．并判断能否有99%的把握认为该学校男生“引体向上是否及格”与“所在年级”有关？引体向上及格引体向上不及格总计高三男生50高二男生2050合计100附：，其中．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82840. 设某幼苗从观察之日起，第x 天的高度为y cm ，测得的一些数据如下表所示：第x 天14916253649高度y cm479111213作出这组数据的散点图发现：y （cm ）与x （天）之间近似满足关系式，其中a ，b 均为大于0的常数．(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于x的经验回归方程；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的2个点，求这2个点中幼苗的高度大于的点的个数恰为1的概率．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．41. 在工程技术和科学实验中，经常利用最小二乘法原理求曲线的函数关系式：设有一组实验数据，它们大体分布在某条曲线上，通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法，当该曲线为一条直线时，由方程组来确定，的值，此时偏差平方和表示为．为了测定某种刀具的磨损速度，每隔1小时测一次刀具的厚度，得到一组实验数据，如下表：顺序编号i01234567时间01234567刀具厚度作出刀具厚度关于时间散点图，发现这些点分布在一条直线附近．(1)求实数，的值，并估计时刀具厚度（所有结果均精确到）；(2)求偏差平方和．（参考数据：，）42. 已知函数(1)若在时取得极小值，求实数k的值；(2)若过点可以作出函数的两条切线，求证：43. 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：人数参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数性别男生3515女生4010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望．参考公式与临界值表：，．0.100.050.0102.7063.841 6.63544. 为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有名学生参加，随机抽取了名学生，记录他们的分数，将六、解答题其整理后分成组，各组区间为，，，，并画出如图所示的频率分布直方图(1)估计所有参赛学生的平均成绩各组的数据以该组区间的中间值作代表；(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线45. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F 在SE上，且.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.46. 已知函数，其中是自然对数的底数．(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若，求证：．47. 已知双曲线E：（，）一个顶点为，直线l过点交双曲线右支于M ，N两点，记，，的面积分别为S ，，.当l 与x 轴垂直时，的值为.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点P，，，求证：为定值；(3)在（2）的条件下，若，当时，求实数m 的取值范围.48. 已知椭圆的离心率为，且椭圆过点，直线过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)已知点，求证：若圆与直线相切，则圆与直线也相切.49. 如图，在几何体ABCDE 中，面，，，．(1)求证：平面平面DAE ；(2)AB =1，，，求CE 与平面DAE 所成角的正弦值．七、解答题50.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与抛物线交于、两点，分别过、两点作抛物线的切线，两条切线分别与轴交于、两点，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，为线段的中点，为线段的中点．(1)证明：为定值；(2)设直线的斜率为，证明：为定值．51. 袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．52. 一个经销鲜花产品的微店，为保障售出的百合花品质，每天从云南鲜花基地空运固定数量的百合花，如有剩余则免费分赠给第二天购花顾客，如果不足，则从本地鲜花供应商处进货.今年四月前10天，微店百合花的售价为每支2元，云南空运来的百合花每支进价1.6元，本地供应商处百合花每支进价1.8元，微店这10天的订单中百合花的需求量（单位：支）依次为：251，255，231，243，263，241，265，255，244，252.（Ⅰ）求今年四月前10天订单中百合花需求量的平均数和众数，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）预计四月的后20天，订单中百合花需求量的频率分布与四月前10天相同，百合花进货价格与售价均不变，请根据（Ⅰ）中频率分布直方图判断（同一组中的需求量数据用该组区间的中点值作代表，位于各区间的频率代替位于该区间的概率），微店每天从云南固定空运250支，还是255支百合花，四月后20天百合花销售总利润会更大？53. 一汽车厂生产A,B,C 三类轿车，某月的产量如表（单位:辆):类型A B C数量400600按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A 类轿车10辆.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在A ，B 类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆A 类轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从A ，B 两类轿车中各抽取4辆，进行综合指标评分，经检测它们的得分如图，比较哪类轿车综合评分比较稳定.54. 甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过千米时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元.(1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？55. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人拟参加2023年5月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见表）：八、解答题月份2022.122023.12023.22023.32023.4月份编号12345竞拍人数（万人）1.72.12.52.83.4(1)由收集数据的散点图发现可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程：，并预测2023年5月份参与竞拍的人数.(2)某市场调研机构对200位拟参加2023年5月份车牌竞拍人员的报价进行抽样调查，得到如下一份频数表：报价区间（万元）频数206060302010（i ）求这200位竞拍人员报价的平均数和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布，且与可分别由（i ）中所求的样本平均数及方差估值.若2023年5月份实际发放车牌数是5000，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价.附：，若，则，.56. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．57. 阳光体育运动是教育部、国家体育总局、共青团中央决定于2007年4月29日在全国范围内全面启动的一项有利于学生健康的运动.学校开展阳光体育运动，是为切实推动全国亿万学生阳光体育运动的广泛开展，吸引广大青少年学生积极参加体育锻炼，走向操场，走进大自然，走到阳光下，掀起群众性体育锻炼热潮.某中学有2000名学生，其中男生1200人，女生800人.为了解全校学生每天进行阳光体育的时间，学校采用分层抽样的方法，从中抽取男女生共100人进行问卷调查.将样本中的“男生”和“女生”按每天阳光体育运动时间（单位：分钟）各分为5组：经统计得下表：男生人数3624243女生人数2141662(1)用样本估计总体，试估计全校学生中每天阳光体育运动时间在分钟内的总人数是多少？(2)（ⅰ）从阳光体育运动时间不足40分钟的样本学生中随机抽取2人，求至少有1名女生的概率;（ⅱ）若阳光体育运动时间不少于一小时，则被认定为“爱好体育运动”，否则被认定为“不爱好体育运动”.试根据以上数据运用统计学知识分析，爱好体育运动与性别有关的把握性的范围.附参考数据：0.0500.0250.0100.0050.0013，841 5.024 6.6357.87910.82858. 已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围.59. 记，分别为等比数列的前项和与公比，已知，，.（I）求的通项公式；（II）求的前项的和.60. 如图，在三棱锥中，.若，，，且（1）证明：平面平面ABC；（2）若，，，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为.若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由.61. 在数列中，若且则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中总有一项为或.62. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，．(1)若，求b；(2)若，求角A．。
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0,1,2,3},B={x|−1≤x<3}则A∩B=()A. {1,2}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. ⌀2.已知z=1−i，则|z|等于()A. 2B. √2C. 1D. 03.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(2,m)，则“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的()A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sin(α−π3)=−3cos(α−π6)，则tan2α=()A. −4√3B. −√32C. 4√3 D. √325.若双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(√3,1)，则该双曲线的离心率为()A. √5B. 2C. √3D. √26.已知函数f(x)=cosπx4，集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，则f(m)⋅f(n)≠0的概率为()A. 310B. 715C. 35D. 7107.如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是()A. DB. EC. FD. A8. 已知函数，若f(a)=12，则a 的值为( )A. −1B. √2C. −1或√2D. −1或129. 如图，圆锥的底面直径AB =4，高OC =2√2，D 为底面圆周上的一点，且∠AOD =2π3，则直线AD 与BC 所成的角为( )A. π6B. π3C. 5π12D. π210. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx 的最小正周期为π.则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是( )A. [−2,2]B. [−2,√3]C. [−√3,2]D. [−√3,√3]11. 过焦点为F 的抛物线y 2=12x 上一点M 向其准线作垂线，垂足为N ，若直线NF 的斜率为−√33，则|MF|=( )A. 2B. 2√3C. 4D. 4√312. 函数f(x)=xe −x ，x ∈[0,4]的最小值为( )A. 0B. 1eC. 4e 4D. 2e 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，则f(f(ln2))=________．14. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则|2a ⃗ +b ⃗ |=______．15. 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2+b 2−c 2=√3ab ，则∠C = ． 16. 如图所示，在△ABC 中，C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ， DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE =2√2，则cos A =________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等差数列{a n}中，a4+a5=4a2,2a3−a6=1.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PC=2√7，E，F分别是棱PC，AB的中点．(1)证明：直线EF//平面PAD；(2)求三棱锥P−AEF的体积．19.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．(1)估计该校学生每周平均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.10.050.0100.005k0 2.7063.8416.6357.87920.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0)，离心率为e．(1)若e=√22，求椭圆的方程；(2)设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上．①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若k≥√3，求e的取值范围．21.已知函数．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性与极值点．22. 已知过点P (0,−1)的直线的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点OI 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23. 设函数f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，求不等式f(x)>8的解集；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题，利用交集定义直接求解．解：∵集合A={0,1，2，3}，B={x|−1≤x<3}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：∵z=1−i，∴|z|=√12+(−1)2=√2故选：B由条件代入复数的模长公式可得．本题考查复数的模长公式，属基础题．3.答案：B解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，可得b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m，即可判断出结论．解：a⃗+b⃗ =(1,3+m)，∵b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )，∴b⃗ ⋅(a⃗+b⃗ )=2+m(3+m)=0，解得m=−1或−2，∴“m=−1”是“b⃗ ⊥(a⃗+b⃗ )”的充分不必要条件．故选：B．4.答案：A解析：本题考查同角三角函数的基本关系，是基础题．利用同角三角函数的基本关系式，求出sinα，然后得到tanα，即可求解，解：由有sinαcosπ3−cosαsinπ3=−3(cosαcosπ6+sinαsinπ6)，故12sinα−√32cosα=−3√32cosα−32sinα，则有2sinα=−√3cosα，显然cosα≠0，所以tanα=−√32，故tan2α=2tanα1−tan2α=−√31−34=−4√3，故选A．5.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．由条件求得b=√3a，进一步即可求离心率．解：双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线：by−ax=0，渐近线经过点(√3,1)，可得b=√3a，即b2=3a2，可得c2−a2=3a2，所以：c2=4a2，c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2．故选：B．6.答案：A解析：解：∵集合A={2,3，4，5，6}，现从集合A中任取两数m，n，且m≠n，∴基本事件总数N=A52=20，∵函数f(x)=cosπx 4，∴f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件有： (3,4)，(4,3)，(3,5)，(5,3)，(4,5)，(5,4)， 共有M =6个，∴f(m)⋅f(n)≠0的概率为p =M N=620=310．故选：A ．先求出基本事件总数，再用列举法求出f(m)⋅f(n)≠0包含的基本事件的个数，由此能求出f(m)⋅f(n)≠0的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．7.答案：B解析：本题主要考查回归直线和相关系数，属于基础题． 根据散点图分析即可得解．解：因为点E 到回归直线的距离最远，所以去掉点E ，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大． 故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数，已知函数值求解自变量的值，属于基础题． 根据分段函数讨论计算f(a)=12可得结论． 解：当a >0时，f(a)=12，即，解得a =√2，当a ⩽0时，f(a)=12，即2a =12，解得a =−1， 综上，a =√2或a =−1． 故选C ．9.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解两条直线AD 与BC 所成的角．解：如图，取AB 弧的中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴建立空间直角坐标系．∵AB =4，OC =2√2，∠AOD =2π3，∴A(0,−2,0)，B(0,2，0)，C(0,0，2√2)， D(√3,1，0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,3,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2√2)，∴cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= 62√3×2√3= 12， ∴空间中两条直线AD 与BC 所成的角为π3， 故选：B.10.答案：C解析：解：∵函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)的最小正周期为2πω=π， ∴ω=2，函数f(x)=2sin(2x +π6). ∵x ∈[−π4,π4]，∴2x +π6∈[−π3,2π3]，∴2sin(2x +π6)∈[−√3,2]．即函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围是[−√3,2]，故选：C．根据函数的最小正周期为π求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f(x)在区间[−π4,π4]上的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．11.答案：C解析：解：抛物线y2=12x的焦点坐标(3,0)，则DF=6，直线NF的斜率为−√33，可得DN=2√3，则抛物线y2=12x可得：12=12x，解得x=1，所以M(1,2√3)，|MF|=|MN|=3+1=4．故选：C．利用抛物线的方程求出焦点坐标，利用已知条件转化求解|MF|即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．12.答案：A解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．解：因为f′(x)=1−xe x，当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(0)=0，f(4)=4e4>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．13.答案：3解析：本题考查分段函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．判断ln2的范围，求出，即可求出结果．解：∵f(x)={−e x ,x >0x 2−1,x ≤0，， ，∴f(f(ln2))=f(−2)=4−1=3．故答案为3．14.答案：13解析：解：∵向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(m,−6)，a ⃗ ⊥b ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b⃗ =2m −18=0， 解得m =9，∴2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)|2a ⃗ +b ⃗ |=√132+02=13．故答案为：13．由a ⃗ ⊥b ⃗ ，求出m =9，从而2a ⃗ +b ⃗ =(13,0)，由此能求出|2a ⃗ +b ⃗ |的值．本题考查向量的模的求法，考查平面向量坐标运算法则，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.答案：π6解析：本题考查余弦定理，属于基础题．由余弦定理即可求解．解： 因为a 2+b 2−c 2=√3ab ，所以由余弦定理有cosC =a 2+b 2−c 22ab =√3ab 2ab =√32，又0<C <π，所以C =π6．故答案为π6．16.答案：√64解析：由已知可得∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，由正弦定理在△BCD 中4sin2A =x sin60°，在△AED 中，可得2√2sinA =x 1，联立即可解得cos A 的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．解：∵C =π3，BC =4，点D 在边AC 上，AD =DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，DE =2√2， ∴∠A =∠ABD ，∠BDC =2∠A ，设AD =BD =x ，∴在△BCD 中，BC sin∠CDB =BD sinC ，可得：4sin2A =x sin60°，①在△AED 中，ED sinA =AD sin∠AED =，可得：2√2sinA =x 1，② ∴联立可得：42sinAcosA=2√2sinA √32，解得：cosA =√64． 故答案为√64．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵由{a 4+a 5=4a 22a 3−a 6=1, ∴得{2a 1−3d =0a 1−d =1, ∴解得a 1=3,d =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n +1;(2)∵b n =1a n a n+1 =1(2n +1)(2n +3)=12(12n+1−12n+3)，∴{b n }的前n 项和：S n =12(13−15+15−17+⋯+12n +1−12n +3) =12(13−12n+3)=n 6n+9， ∴S n =n 6n+9．解析：本题考查了等差数列的通项公式，以及利用裂项相消法求数列的和，属于中档题．(1)由条件，得到{2a 1−3d =0a 1−d =1，解得a 1=3,d =2，从而得到通项公式； (2)由题意得到b n =1a n a n+1=12(12n+1−12n+3)，利用裂项相消法，得到数列的和．18.答案：(1)证明：如图，取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，则EG//CD,EG =12CD,AF//CD,AF =12CD ，所以EG 与AF 平行与且相等，所以四边形AGEF 是平行四边形，所以EF//AG ，AG ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，因为E 为PC 的中点，所以EO 为△PAC 的中位线，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EO ⊥平面ABCD ，即EO 为三棱锥E −AFC 的高．在菱形ABCD 中可求得AC =2√3，在Rt △PAC 中，PC =2√7，所以PA =√PC 2−AC 2=4,EO =2所以S △ACF =12S △ABC2=12×12×AB ×BCsin∠ABC =√32， 所以V C−AEF =V E−ACF =13S △ACF ×EO =13×√32×2=√33．解析：【试题解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查计算能力．(1)取PD 中点为G ，连结EG ，AG ，证明四边形AGEF 是平行四边形，得到EF//AG ，然后证明EF//平面PAD ．(2)连结AC ，BD ，交于点O ，连结EO ，说明EO 为三棱锥E −AFC 的高．通过V C−AEF =V E−ACF .转化求解即可．19.答案：解：(1)根据频率分布直方图，计算 x =1×0.025×2+3×0.100×2+5×0.150×2+7×0.125×2+9×0.075×2+11×0.025×2=5.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；(2)由频率分布直方图得1−2×(0.100+0.025)=0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；(3)根据题意填写2×2列联表如下，由表中数据，计算K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(65×15−10×10)275×25×75×25≈21.78>3.841， ∴有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．解析：(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值； (3)根据题意填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．20.答案：解：(1)由e =√22=c a，c =2，得a =2√2，b =√a 2−c 2=2． 故所求椭圆方程为x 28+y 24=1．(2)设A(x 1,y 1)，则B(−x 1,−y 1)，故M(x 1+22,y 12)，N(2−x 12,−y12)． ①由题意，得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.化简，得x 12+y 12=4，∴点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上． ②设A(x 1,y 1)，则{y 1=kx 1x 12a 2+y 12b 2=1x 12+y 12=4得到1a 2+k 2b 2=14(1+k 2)．将e=ca =2a，b2=a2−c2=4e2−4，代入上式整理，得k2(2e2−1)=e4−2e2+1；∵e4−2e2+1>0，k2>0，∴2e2−1>0，∴e>√22．∴k2=e4−2e2+12e2−1≥3，化简得{e4−8e2+4≥02e2−1>0，解之得12<e2≤4−2√3，√22<e≤√3−1．故离心率的取值范围是(√22,√3−1]．解析：(1)利用离心率的计算公式e=ca及b2=a2−c2即可得出椭圆的标准方程；(2)利用①的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出．熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、参数a、b、c的关系、中点坐标公式、直线方程、离心率的计算公式、不等式的基本性质是解题的关键．21.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=x+1x ，f′(x)=1−1x2，则f(2)=2+12=52，f′(2)=1−14=34，∴切线方程为y−52=34(x−2)，整理得：3x−4y+4=0；(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a−1x +1−ax2=(x+a)(x−1)x2，当a≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当a<0时，令f′(x)=0，x=−a或x=1，(i)若−1<a<0，则−a<1，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a；(ii)若a =−1，f′(x)≥0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；(iii)若a <−1，则−a >1，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．综上可得，当a ≥0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，此时f(x)的极小值点为1，无极大值点；当−1<a <0时，f(x)在(0,−a)和(1,+∞)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，此时f(x)的极小值点为1，极大值点为−a ；当a =−1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值；当a <−1时，f(x)在(0,1)和(−a,+∞)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，此时f(x)的极小值点为−a ，极大值点为1．解析：本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查利用导数研究函数单调性、极值，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)当a =1时，直接求出f ′(x)从而确定f(2)和f ′(2)，利用点斜式方程即可求出切线方程；(2)分类讨论，当a ≥0时，当a <0时，再分情况讨论−1<a <0，a =−1，a <−1三种情况下，确定f(x)的单调性和极值点.22.答案：解：(1)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0．即x 2=2ay(a >0)．(2)将{x =12t y =−1+√32t代入x 2=2ay ， 得t 2−4√3at +8a =0，得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a.①． ∵a >0，∴解①得a >23．∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM|⋅|PN|，即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0，解得a =0或a =56．∵a >23， ∴a =56.解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程及其应用，一元二次方程根与系数的关系的应用．(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(2)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果． 23.答案：解：(1)f(x)>8即|x +1|+|x −2|>8，当x ≥2时，x +1+x −2>8，解得x >92；当−1<x <2时，x +1+2−x >8，解得x ∈⌀；当x ≤−1时，−x −1+2−x >8，可得x <−72．综上可得，原不等式的解集为{x|x >92或x <−72}；(2)若∃x ∈R ，使得f(x)≤32成立，可得f(x)min ≤32，由f(x)=|x +1|+|x −a|(a >0)≥|x +1−x +a|=|1+a|=a +1，当−1≤x ≤a 时，f(x)取得最小值a +1，由a+1≤3，2，可得0<a≤12].即a的范围是(0,12解析：本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．(1)去绝对值，讨论x的范围，解不等式求并集，即可得到所求解集；(2)由题意可得f(x)min≤3，运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值，解不等式可得a的范围．2。
甘肃省兰州市高三第一次诊断性考试文数试题 Word版含解析
甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试文数试题第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
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（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A2. 设复数错误！未找到引用源。
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为虚数单位），错误！未找到引用源。
的共轭复数为错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 1B. 错误！未找到引用源。
C. 2D. 错误！未找到引用源。
【答案】C【解析】因为错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选C.3. 已知等差数列错误！未找到引用源。
的前错误！未找到引用源。
项和为错误！未找到引用源。
，若错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A. 45 B. 90 C. 120 D. 75【答案】B【解析】因为错误！未找到引用源。
是等差数列，设公差为错误！未找到引用源。
，在错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，故选B.4. 已知某种商品的广告费支出错误！未找到引用源。
（单位：万元）与销售额错误！未找到引用源。
（单位：万元）之间有如下对应数据：根据表中的全部数据，用最小二乘法得出错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
的线性回归方程为错误！未找到引用源。
，则表中错误！未找到引用源。
的值为（）A. 45 B. 50 C. 55 D. 60【答案】D【解析】错误！未找到引用源。
，因为回归线必过样本中心点错误！未找到引用源。
，将此点代入错误！未找到引用源。
，可解的错误！未找到引用源。
故D正确.5. 下列命题中，真命题为（）A. 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
C. 已知错误！未找到引用源。
为实数，则错误！未找到引用源。
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2022年甘肃省高考数学一诊试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则( )A. B. C. D.3.2021年7月下甸某省遭遇特大洪涝灾害，某品牌服饰公司第一时间向该省捐款5000万元物资以援助抗灾，该品牌随后受到消费者的青睐．如图为该品牌服饰某分店月的销量单位：件情况．以下描述不正确的是( )A. 这8个月销量的极差为4132B. 这8个月销量的中位数2499C. 这8个月中2月份的销量最低D. 这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份4.若角的终边经过点，则( )A. B. C. D.5.向量，满足，，，则向量，的夹角是( )A. B. C. D.6.已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则7.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. 的最小正周期是B. 直线是图象的一条对称轴C. 点是图象的一个对称中心D. 的单调递减区间是8.曲线在点处的切线方程为，则实数( )A. B. 16 C. D. 209.定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则( )A. 8B. 2C.D.10.在直角中，，，，且，分别以BC，AC，AB所在直线为轴，将旋转一周，形成三个几何体，其表面积和体积分别记为，，和，，，则它们的关系为( )A. ，B. ，C.， D. ，11.已知以圆C：的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线：上任意一点，BM与直线垂直，垂足为M，则的最大值为 ( )A. 1B. 2C.D. 812.下列命题正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，则D. 若，则13.若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为______.14.已知等差数列满足，，则______.15.如图，阴影部分由四个全等的直角三角形组成的图形是三国时代吴国赵爽创制的“勾股弦方图”，也称“赵爽弦图”．若直角三角形中较大锐角的正弦值为，则在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为______.16.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则______.17.已知数列满足，，数列满足，，，求数列及的通项公式；求数列的前n项和18.2021年国庆节过后我省多地突发新冠疫情，某行业主管部门为了了解本行业中的小企业在疫情后的恢复生产情况，随机调查了150个企业，得到这些企业第四季度相对于去年同期产值增长率的频数分布表如下：增长率分组企业数1530503817根据上述增长率的频数分布表，估计这些企业中产值负增长的企业比例用百分数表示；估计这150个企业同期产值增长率的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值代表；现从同期产值增长率的上述5个分组中各选1个对应企业，进行后疫情时期复工复产与防疫情况调研，并在选出的5个企业中再随机选取其中2个企业对后疫情时期生产数据进行重点分析，求选取的这2个企业恰有一家企业同期产值负增长的概率．19.如图，是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将折到DEF的位置，使证明：平面EFCB；若平面EFCB内的直线平面DOC，且与边BC交于点N，R是线段DM的中点，求三棱锥的体积．20.已知动点P到点的距离与它到直线l：的距离之比为求动点P的轨迹所形成曲线C的方程；，分别过，作斜率为的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形的面积为，求k的值．21.已知函数，判断函数的单调性；当时，关于x的不等式恒成立，求实数b的取值范围．22.如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为为参数若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．23.已知函数求不等式的解集；若，，且，求证：答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合，，，故选：由对数函数的性质解出集合A，再求出本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.【答案】A【解析】解：，故选：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A，由销量折线图得极差为：，故A正确；对于B，销量由小到大排列为：712，1433，1533，1952，2822，3046，4532，4844，中位数为：，故B错误；对于C，由折线图得2月份销量最低，故C正确；对于D，由折线图知7月份销量比6月份销量增长件，最大，这8个月中销量比前一个月增长最多的是7月份，故D正确．故选：根据销量折线图，结合极差、中位数的定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：角的终边经过点，，，故选：由题意，利用任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：，，，，，，向量，的夹角是故选：根据已知条件，对平方，再结合向量的夹角公式，即可求解．本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，知：对于A，由，，得到：若，过n的平面，则，又，则，，则，若，又，则综上，，故A正确；对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则n与相交、平行或，故C错误；对于D，若，，，则n与相交或，故D错误．故选：根据线线、线面、面面的位置关系，结合平面的基本性质判断面面、线面的位置关系，从而求出结果．本题考查命题真假的判断，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：由图象可知，即，故A错误；由可得，又因为函数图象过点，所以，由五点法作图可知，，即，又，故，所以，当时，，故B错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，故C正确；令，解得，即函数的单调递减区间为，故D错误．故选：根据函数图象求出周期T，，，判断A，再由正弦型函数的对称轴、对称中心、单调区间判断BCD即可．本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由，得，，又，故选：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，可得k，再由时的函数值相等求解本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，函数，满足，则有，则函数是周期为8的周期函数，则，当时，，则，则，故选：根据题意，分析函数的周期，由此可得，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性和周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，采用特例法，不妨令、、，当绕边旋转时，其表面展开后是两个扇形，其表面积为；体积；当绕边旋转时，，体积；当绕边旋转时，，体积；故选：由选项可知，，，和，，的关系唯一，故采用特例法，不妨令、、，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的表面积和体积，进行比较可得答案．本题考查旋转体的表面积与体积的求法，采用特例法求解是关键，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题．求得圆心，可得抛物线方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值．【解答】解：圆C：的圆心为焦点的抛物线方程为，由，解得，抛物线：的焦点为，准线方程为，即有，当且仅当A，B，在B，F之间三点共线，可得最大值1，故选：12.【答案】C【解析】解：对于A，构造函数，当时，，则在上单调递减，所以，即，故A错误；对于B，函数与函数的图象关于直线对称，则，即，故B错误；对于C，不等式整理为，构造函数，则为增函数，由，得，故C正确：对于D，不等式整理为，构造函数，在上单调递增，则，故D错误．故选：分别构造函数，利用导数研究函数的单调性，再进行大小比较，即可得到答案．本题考查了利用函数的单调性比较大小的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意得，且，解得，则渐近线方程为故答案是：利用双曲线的离心率求出a，然后可求渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.【答案】6【解析】解：设等差数列的公差为d，由，得，解得，所以故答案为：设等差数列的公差为d，利用可求出d值，进一步根据即可求解．本题考查等差数列的通项公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：设直角三角形中较大锐角为，则，所以，设大正方形边长为1，则直角三角形两直角边长分别为故小正方形边长为，面积为而大正方形的面积为1，故所求概率为故答案为：利用几何概型的定义，分别求出面积，即可求概率．本题考查几何概型，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，由正弦定理，可得，，，，即，，，由余弦定，即，解得，由正弦定理，得，即，故故答案为：由，及正弦定理可得，再运用余弦定理，以及正弦定理，即可求解．本题主要有考查正弦定理，以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为，所以数列是等差数列，又，，所以公差，所以，所以【解析】根据等比数列的概念与通项公式可得数列的通项公式，由等差中项的性质与等差数列的通项公式可得数列的通项公式；根据分组求和法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：估计这些企业中产值负增长的企业比例为这150个企业同期产值增长率的平均数为将欲调研的这5个企业按分组区间从左至右依次记为：a ，b ，c ，d ，e ，则从5个调研企业中任选2个企业的基本事件有：，，，，，，，，，共10种，事件“这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长”包含的基本事件有：，，，，，共6种，所以这2个企业中恰有一家企业同期产值负增长的概率：【解析】根据已知条件，结合平均数公式，即可求解．根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查列举法和古典概型的概率公式，以及平均数公式，属于基础题．19.【答案】解：证明：在中，，，，所以，即，又，，所以平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，则由平面DOC ，平面DOC ，得面DOC ，即存在点N ，且，使得平面则，所以三棱锥的体积为【解析】推导出，，由此能证明平面连接OC ，过E 在平面EBCF 上作，交BC 于点N ，推导出面DOC ，从而存在点N ，且，使得平面DOC ，由此能求出三棱锥的体积．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．20.【答案】解：设，由题意得，整理得，即为曲线C 的方程．由题意知，延长交椭圆C于点，由椭圆的对称性知，所以，设，与联立消得：，设，，则，，所以，因为点到直线的距离，所以，平方化简得，解得或舍，所以【解析】设，利用直接法即可求解；延长交椭圆C于点，根据椭圆的对称性，设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而表示出，解方程即可．本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中等题．21.【答案】解：，，，当时，，恒成立，在上单调递增，当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，，即恒成立，所以，所以，即恒成立，令，，，令，，因为，所以，，，所以恒成立，所以在上单调递增，时，，，所以，而，所以，使得，即，所以，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，而，令，，则，，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以b的取值范围为【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的正负，的单调性．根据题意可得当时，恒成立，即恒成立，令，，只需，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线是著名的笛卡尔心形曲线．它的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，与方程联立代入得，，解得或，曲线和曲线交点的极坐标分别为，曲线为过原点倾斜角为的直线，其极坐标方程为和，联立两曲线和的方程，解得两交点的极坐标分别为，，【解析】根据圆的极坐标方程方程求出，联立曲线和曲线的方程，求出交点即可．写出的极坐标方程，求出M，N的极坐标，由极坐标的意义求出线段MN的长度．本题考查极坐标方程、线段长度的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：解法一：，由，得或或，解得或或，故所求不等式的解集为证明：要证成立，只需证成立，即证，由，，，故只需证，由基本不等式可知，成立当且仅当时“=”成立，故命题得证．解法二：因为，作函数图象与直线，如图所示：其交点为，，所以不等式的解集为证明：，又，，，，成立当且仅当时“=”成立【解析】法一求出的分段函数形式，通过讨论x的范围，去掉绝对值解不等式求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可；法二：画出函数的图象，结合图象求出交点坐标，求出不等式的解集即可；结合基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，不等式的证明以及转化思想，是中档题．。
甘肃兰州市高考数学一诊试题(文科)
甘肃兰州市高考数学一诊试题(文科)一. 选择题（共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}{}A x x x RB y y x x =-≤∈==--≤≤||||22122，，，，则A B 等于（ ） A. RB. {}x x R x |∈≠，0C. {}0D. φ2. 在等差数列{}a n 中，已知a a a 123213=+=，，则a a a 456++等于（ ） A. 40B. 42C. 43D. 453. 已知直线l ：310x y ++=，则直线l 的倾斜角为（ ） A.π3B.π4C.34π D.23π 4. 已知向量a b a b →=-→=→→-⎛⎝ ⎫⎭⎪(cos )(sin )//tan αααπ，，，，且，则214等于（ ）A. 3B.13C. -3D. -135. 设f x xxf x f x ()lg()()=+-++-2211，则的定义域为（ ） A. ()-11，B. ()-31，C. ()-33，D. ()-13，6. 对于不重合的两直线m ，n 和平面α，下列命题中的真命题是（ ） A. 如果m n m n ⊂⊄αα，，，是异面直线，那么n//α B. 如果m n m n ⊂αα，，，//共面，那么m//nC. 如果m n m n ⊂⊄αα，，，是异面直线，那么n 与α相交D. 如果m//α，n//α，m ，n 共面，那么m//n7. 已知加密规则为：明文x ，y ，z 对应密文x y y z z ++223，，，例如，明文1，2，3对应密文5，7，9。
当接收方收到密文8，9，21时，则解密得到的明文为（ ） A. 4，6，1 B. 7，6，1 C. 6，1，7 D. 1，6，48. 已知()OM ON →=⎛⎝ ⎫⎭⎪→=11201，，，，则满足条件01≤→→≤OP OM ·，01≤→→≤OP ON ·的动点P 的变动范围是（图中的阴影部分，含边界）9. 若双曲线x m y 221-=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m=（ ）A. 12B. 32C. 18D. 9810. 已知函数f x ()的导数为f x x x '()=-443，当函数f x ()取得极大值时，则对应的x 值为（ ） A. -1B. 0C. 1D. ±111. 将函数y x =>sin ()ωω0的图象按向量a →=-⎛⎝ ⎫⎭⎪π60，平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A. y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin π6B. y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin π6C. y x =-⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 23πD. y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪sin 23π12. 已知集合{}{}{}A B C ===512134，，，，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）A. 35B. 34C. 33D. 36二. 填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13. 若函数[]y x x x =-+∈2404()，，则反函数f x -1()的定义域是_____________。
甘肃省兰州一中高三数学诊断考试试题(文科)
甘肃省兰州一中2008年高三数学诊断考试试题（文科）本试卷满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)，如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公24R S π=，R 表示球的半径。
球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．已知集合=<+=<+-=等于则N M x x N x x x M },512|{},034|{2（ ）A ．}31|{<<x xB ．}21|{<<x xC ．}3|{<x xD ．}32|{<<x x 2．“a>0,b>0”是“ab>0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．将函数)2,2(2sin π==a x y 的图象按向量平移后得到的图象对应的函数解析式是（ ） A ．22cos +=x y B ．22cos +-=x yC ．22sin +=x yD ．22sin +-=x y4．已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且抛物线12-+=x x y 的顶点坐标为（b,c ），则a ·d 等于（ ）A ．85B ．－85 C ．47 D ．－47 5．已知二面角βα--l 的大小为30°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 6．过点A （4，a ）和B （5，b ）的直线与直线m x y +-=平行，则|AB|的值为（ ）A ．6B ．2C ．2D ．不能确定7．已知函数27)1(,13)0(,)(24-=-'-='++=f f bx ax x x f 且，则a+b=（ ）A ．18B ．－18C ．8D ．－88．若平面内共线的A 、B 、P 三点满足条件，}{,40151n a OB a OA a AP 其中+=为等差数列，则a 2008等于（ ）A ．1B ．－1C ．21D ．－21 9．一双曲线以椭圆192522=+y x 长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐近线的斜率是（ ）A ．±2B ．±21 C ．±34 D ．±43 10．已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,),0,0(1212222=⋅>>=+PF PF b a by a y 若上一点tan ,2121=∠F PF 则椭圆的离心率是 （ ）A ．31 B ．21 C ．32 D ．35 11．由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（ ） A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，,1||2||4,022=+=⋅BD AB BD AB 且沿BD 折成直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积是 （ ）A ．π242 B ．π481 C ．4π D ．2π第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。
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甘肃省兰州一中2008年高三诊断考试数学试题（文科）本试卷满分150分，考试用时120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)，如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公24R S π=，R 表示球的半径。
球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．已知集合=<+=<+-=等于则N M x x N x x x M },512|{},034|{2 （ ）A ．}31|{<<x xB ．}21|{<<x xC ．}3|{<x xD ．}32|{<<x x2．“a>0,b>0”是“ab>0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．将函数)2,2(2sin π==x y 的图象按向量平移后得到的图象对应的函数解析式是（ ） A ．22cos +=x y B ．22cos +-=x yC ．22sin +=x yD ．22sin +-=x y4．已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且抛物线12-+=x x y 的顶点坐标为（b,c ），则a ·d 等于（ ）A ．85B ．－85 C ．47 D ．－47 5．已知二面角βα--l 的大小为30°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为（ ）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°6．过点A （4，a ）和B （5，b ）的直线与直线m x y +-=平行，则|AB|的值为 （ ）A ．6B ．2C ．2D ．不能确定7．已知函数27)1(,13)0(,)(24-=-'-='++=f f bx ax x x f 且，则a+b= （ ）A ．18B ．－18C ．8D ．－88．若平面内共线的A 、B 、P 三点满足条件，}{,40151n a OB a OA a AP 其中+=为等差数列，则a 2008等于（ ）A ．1B ．－1C ．21D ．－21 9．一双曲线以椭圆192522=+y x 长轴两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线渐近线的斜率是（ ）A ．±2B ．±21 C ．±34 D ．±43 10．已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆,0,),0,0(1212222=⋅>>=+PF PF b a by a y 若上一点tan ,2121=∠F PF 则椭圆的离心率是 （ ）A ．31 B ．21 C ．32 D ．35 11．由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（ ） A ．10个 B ．14个 C ．16个 D ．18个12．如图所示，在平行四边形ABCD 中，,1||2||4,022=+=⋅BD AB BD AB 且沿BD 折成直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的表面积是 （ ）A ．π242 B ．π481C ．4π D ．2π第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。
把答案填写在题中的横线上） 13．一个容量为n 的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为20和0.125，则n 的值为 。
14．25)1)(2(x x x 展开式中-+的系数是 。
（用数字作答） 15．若=-⎩⎨⎧>≤-=)]2([,)0(log )0(|1|)(3f f x xx x x f 则 。
16．设函数,8)(),1,0(log )(200821=≠>=x x x f a a x x f a 若)()()(220082221x f x f x f +++ 则的值为 。
三、解答题（本大题共6个小题，共计70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知向量)23,(cos ),1,(sin x x =-=. （1）当x x 2sin 3cos ,//2-求的值。
（2）求x f ⋅+=)()(的最小正周期和单调递增区间。
18．（12分）从甲地到乙地一天共有A 、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0.7，B 班车正点到达乙地的概率为0.75。
（1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。
（2）有两位游客分别乘坐A 、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1人正点到达的概率（答案用数字表示）。
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点。
（1）求证：CD ⊥平面A 1ABB 1； （2）求证：AC 1//平面CDB 1；（3）求直线B 1B 和平面CDB 1所成角的大小。
20．（12分）正项数列}{n a 是的前n 项和为S n ，满足2)1(41+=n n a S （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设.}{,11n n n n n T n b a a b 项和的前求数列+⋅=21．（12分）设函数)(6)12(23)(23R a x x a ax x f ∈--+= （1）当1=a 时，求曲线))1(,1()(--=f x f y 在点处的切线方程； （2）当31=a 时，求)(x f 的极大值和极小值； （3）若函数)(x f 在区间)3,(--∞上是增函数，求实数a 的取值范围。
22．（12分）已知抛物线)0(22>=p py x ，过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点，抛物线在A ，B 两点处的切线相交于点Q 。
（1）求OB OA ⋅的值； （2）求点Q 的纵坐标。
甘肃省兰州一中2008年高三诊断考试数学试题（文科）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分。
） 1—9 BADAD BDCB10．D （简析：由2121210F PF PF PF ∆⇒⊥⇒=⋅为直角三角形，设||2PF =m ，则由||2||21tan 21121F F m PF F PF ⇒=⇒=∠=m 5 35||||||2121=+==∴PF PF F F a c e ） 11．B （简析：分两类。
若末位数字为5，则倒数第二位为6，前两位数字排法有623=A 种；若末位数字为3，将5，6视为一个元素，排法有2×22A ×2=8种，故5，6相邻的奇数的个数共有6+8=14个）12．D （简析：根据题意可知折叠后的三棱锥如图所示。
易知AC 的中点即为外接球的球心 （放在长方体中可证）。
又易知,42,22,21,21||||2222====+球即即r AC AC 从而 2)42(42ππ=⋅=球s ） 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题5分，共计20分）13．160 14．－15 15． 1 16．16三、解答题（本题共6个小题，共计 70分。
） 17．解：（1）,// ∴0cos sin 23=+x x …………………………………………（2分） ∴32tan -=x …………………………………………（3分）xxx x x x x x x 22222tan 1tan 61cos sin cos sin 6cos 2sin 3cos +-=+-=-1345913594141)32(1)32(612==++=-+-⨯-=………………（5分） （2）∵)23,(cos ),1,(sin x x =-=∴)21,cos (sin x x +=+……………………（6分）43cos )cos (sin )()(++=⋅+=x x x x f45)2cos 2(sin 21++=x x 45)42sin(22++=πx ………………（8分） 最小正周期为π……………………（9分） 由222222πππππ+≤+≤-k x k得883ππππ+≤≤-k x k故)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈+-]8,83[ππππ…………（10分）18．解：（1）坐A 班车的三人中恰有2人正点到达的概率为441.03.07.0)2(12233=⨯=C P ………………（6分）（2）记“A 班车正点到达”为事件m ，“B 班车正点到达”为事件n 则两人中至少有一人正点到达的概率为)()()(n m p n m p n m P P ⋅=⋅+⋅==0.7×0.75+0.7×0.25+0.3×0.75=0.525+0.175+0.225=0.925………………（12分） 19．解法一：（1）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，∴平面ABC ⊥面A 1ABB 1，∵AC=BC ，点D 是AB 的中点， ∴CD ⊥AB ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1………………（3分）（2）证明：连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ， 连结DE 。
∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点， ∴DE//AC 1……………………（5分） ∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1//平面CDB 1…………………………（7分） （3）解：由（1）CD ⊥平面A 1ABB 1，∴平面CDB 1⊥平面A 1ABB 1，且平面CDB 1 平面A 1ABB 1=DB 1， ∴直线B 1B 和平面CDB 1所成的角就是B 1B 和DB 1所成的角， 即∠BB 1D 是直线B 1B 和平面CDB 1所成的角 在Rt △DBB 1中， ∵22tan 11==B B DB D BB 故，直线B 1B 和平面CDB 1所成的角大小是22arctan………………（12分） 解法二∵在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=CC 1，AC ⊥BC ， ∵AC 、BC 、CC 1两两垂直如图，以C 为原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，设AC=BC=CC 1=2，则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，2），B 1（0，2，2），D （1，1，0）。