二叉树结点染色问题 实验报告

（一）需求和规格说明一棵二叉树可以按照如下规则表示成一个由0、1、2组成的字符序列，我们称之为“二叉树序列S”：例如，下图所表示的二叉树可以用二叉树序列S=21200110来表示。

任务是要对一棵二叉树的节点进行染色。

每个节点可以被染成红色、绿色或蓝色。

并且，一个节点与其子节点的颜色必须不同，如果该节点有两个子节点，那么这两个子节点的颜色也必须不相同。

给定一棵二叉树的二叉树序列，请求出这棵树中最多和最少有多少个点能够被染成绿色。

（二）设计分析过程：这是一道二叉树的染色问题，求染成绿色的最大最小情况，从本质上看，这是一道动态规划问题。

为了方便直观起见，代码开始时用先enum Color{nocolor = 0,green = 1,red = 2,blue = 3};定义了不同的颜色。

举个简单的例子，如下图所示：将整个二叉树划分成三个部分：根节点、左子树、右子树。

由于有约束条件，所以这三个部分存在着互相限制作用如下：1. 二叉树的根节点与左子树的根节点颜色不同；2.二叉树的根节点与右子树的根节点颜色不同；3.左子树根节点与右子树根节点颜色不同。

显然，上述的三个限制表示的是标号为1、2、3三个点之间的互相关系。

除此以外，左子树中的点与右子树中的点没有任何直接的限制关系！也就是说，如果我们事先确定了上述二叉树中标号为1、2、3的三个点的颜色，那么接下来，对左子树染色和对右子树染色将变成两个互不干扰的子问题，左子树最值与右子树最值不影响，可以分开求解。

【互不干扰，可以分开求解】如此一来，通过将三点染色，我们就可以把二叉树分成左右两个子树，整个问题被分解成两个较小规模的子问题。

算法设计：如图二所示，将二叉树划分成三部分，给标号为1、2、3三个点先染色后，将依次处理左子树，右子树。

在求解时，有以下2个问题：（1）染色的任意性标号为1、2、3的三个点的颜色并不一定固定依次是红、绿、蓝。

我们需要对所有染色情况进行枚举，并对每个染色情况进行左、右子树的分别处理。

同样，当根节点只有一个子节点时，我们也要枚举此时的染色方案。

（2）根节点的颜色已确定由于2号点已经染色，所以，在递归处理左子树时，问题就转化成“根节点颜色已确定，求满足约束条件的最多（最小）染色方案”。

这个转化后的子问题与原问题略有差异：原问题中根节点可以任意染色，而转化后的子问题中根节点的颜色是固定的。

为了便于递归调用相同的处理操作，我们必须保证所有问题的条件与求解目标的统一！于是，有必要将原问题稍做修改：事先求出整个二叉树根节点为红色、绿色或蓝色情况下问题的解（这就与子问题是同一类型了），然后取这三个解中的最大（或最小）值，即得到原问题的解。

分析至此，我们已经得出了解决问题的大致方法：将原问题转化成“根节点颜色确定，求染色最值方案”；枚举根节点的左节点与右节点（如果存在）的颜色，同时满足约束条件；对每种染色方案，递归处理求左、右两子树。

给二叉树上所有节点标号，从1~N；用son记录二叉树的构造关系， Son(i,0)和Son(i,1)分别表示编号是i的节点，其左右两个子节点的编号（如果不存在，则用-1表示）。

例如在上图中，我们有Son(1,0)=2，Son(1,1)=3。

用F(i,j)表示一个子问题一个子问题可以由两个参数来描述：根节点编号i，根节点颜色j。

F(i , j)表示：以编号是i、颜色是j的节点为根节点的子树，在满足约束条件的情况下染色，绿色节点最多（最少）有多少个。

按照先前所设计的算法，可以大致得出如下式：0 i == -1F(i,j) = F(son(i,0), j1)+F (son(i,1),j2） i<>-1 j<>green F(son(i,0),j1)+ F(son(i,1),j2+1 i<>-1 j == green根据我们的分析，算法会有重复操作，多次计算F(i,j)的值。

那么，我们不妨造一个表将F(i,j)保存起来，这样就能有效避免重复计算了。

类型成员名描述结构体名成员类别node 属性int ChildNum 存储当前结点拥有的孩子值，Color color 存储当前结点的颜色类名成员类别类型成员名描述employee 属性int length S的长度node的动态数组tree 存储tree的结点方法TREE() 构建treevoid Preorder(inti) 以第i结点为根结点进行先序遍历int Son(int i ,boolright)返回第i个结点的孩子，第二个参数表示返回是左孩子还是右孩子，若没有，返回-1int GreenMax() 求最多有多少个绿色结点并返回int GreenMin() 求最少有多少个绿色结点并返回int Max(inti,Color j,intmermory[]) 求以第i个结点在颜色j下为根结点时最多有多少个绿色结点并返回int Min(inti,Color j,intmermory[]) 求以第i个结点在颜色j下为根结点时最少有多少个绿色结点并返回时间复杂度从一棵树的根结点开始，依次求解结点的子树最多/少有多少的结点可以染成绿色，若树有n个结点，那么复杂度为O(n)。

（三）用户手册用户通过修改TREE.TRE文本文档中二叉序列S来构造不同的二叉树，-1表示S结束。

运行第一行表示读入的s的值。

第二行先序遍历来验证生成的树是否正确之后给出结果：绿色结点最多有多少个:绿色结点最少有多少个：（四）调试及测试运行实例：附录 源程序#include <iostream>#include"tree.h"using namespace std;int main(){Tree Tree;cout << endl << "先序遍历：" << endl;tree.preorder(tree.root);cout << endl;cout << "绿色结点最多有：";cout << tree.GreenMax() << endl;cout << "绿色结点最少有：";cout << tree.GreenMin() << endl;return 0;}tree.henum Color{nocolor = 0,green = 1,red = 2,blue = 3};struct node{int ChildNum;Color color;};class TREE{public:int length;node *tree = new node[length * 2 + 2];TREE();void preorder(int i); //先序遍历int son(int i, bool rigth);int GreenMax();int GreenMin();int Max(int i, Color j,int memory[]);int Min(int i, Color j,int memory[]);};tree.cpp#include <fstream>#include<iostream>#include"tree.h"using namespace std;TREE::TREE(){ifstream s;s.open("TREE.TRE"); //通过打开“TREE.TRE”文件来构造一个树if (!s){cout << "打开文件错误！";exit(0);}int ChildNum;int length = 0;node *tree = new node[length * 2 + 1];s >> ChildNum;cout << "读入的S=";while (ChildNum != -1){cout << ChildNum;length++;switch (ChildNum){case'0':tree[length].ChildNum = 0;tree[length * 2].ChildNum = -1; //-1表示该结点为空tree[length * 2 + 1].ChildNum = -1;break;case'1':tree[length].ChildNum = 1;tree[length * 2 + 1].ChildNum = -1;break;case '2':tree[length].ChildNum = 2;break;}s >> ChildNum;}}int TREE::son(int i, bool rigth){if (rigth){if (tree[i * 2 + 1].ChildNum == -1)return -1;else return i * 2 + 1;}else{if (tree[2 * i].ChildNum == -1)return -1;else return i * 2;}}int TREE::GreenMax(){int * temp = new int [3 * length + 1]; //temp来记录以及求过的结点，避免重复运算for (int i = 1; i < 3 * length + 1; i++)temp[i] = -1;int a = Max(1, green,temp);int b = Max(1, red,temp);int c = Max(1, blue,temp);return a >(b = b > c ? b : c) ? a : b;}int TREE::Max(int i, Color j,int memory[]){int t = 3 * (i - 1) + j;if (memory[t] == -1){if (i = -1)memory[t] = 0;else{if (j != green)memory[t] = Max(son(i, 0), Color((j + 1) % 3), memory) + Max(son(i, 1), Color((j + 1) % 3), memory);else memory[t] = Max(son(i, 0), Color((j + 1) % 3), memory) + Max(son(i, 1), Color((j + 1) % 3), memory) + 1;}}return memory[t];}int TREE::GreenMin(){int * temp = new int [3 * length + 1]; /for (int i = 1; i < 3 * length + 1; i++)temp[i] = -1;int a = Min(1, green,temp);int b = Min(1, red,temp);int c = Min(1, blue,temp);return a <(b = b < c ? b : c) ? a : b;}int TREE::Min(int i, Color j,int memory[])int t = 3 * (i - 1) + j;if (memory[t] == -1){if (i = -1)memory[t] = 0;else{if (j != green)memory[t] = Min(son(i, 0), Color((j + 1) % 3), memory) + Min(son(i, 1), Color((j + 1) % 3), memory);else memory[t] = Min(son(i, 0), Color((j + 1) % 3), memory) + Min(son(i, 1), Color((j + 1) % 3), memory) + 1;}}return memory[t];}void TREE::preorder(int i){if (i > 0 && i < 2 * length + 1){cout << tree[i].ChildNum << " ";preorder(i * 2);preorder(i * 2 + 1);}}。