宁夏石嘴山市平罗中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷
宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
数 学
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知1、 、 、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则 （ ）
A. B. C.2D.
2.已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知命题p： ， ，下列 形式正确的是（ ）
A. ： ，使得 B. ： ，使得
C. ： ， D. ： ，
4.椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A. B.4C. D.
5.已知正实数x，y满足 ，则 的最小值（ ）
A.2B.3C.4D.
6.若变量x，y满足约束条件 ， 的最大值为m， 的最小值为n，则 （ ）
A. B.2C.1D.
7.已知a，b， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
12. 某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD的周长为4，沿AC将 翻折，使点B落到点 的位置， 交DC于点 研究发现当 的面积最大时最节能，若设 ， ，则最节能时 的面积S为( )
A. B.
C. D.2
第II卷
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.不等式 的解集为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 满分10分
已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列．
求数列 的通项；
令 ，若数列 前n项为 求证： .
18. 满分12分
（1）当 时，求函数 的最小值
（2）设 ，求函数 的最大值．
19. 满分12分
已知 ，p： ，q： ．
若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
宁夏石嘴山市平罗中学2020_2021学年高二数学上学期第三次月考试题含解析
|F1F2|=2c=10，
∴y=±4，把y=±4代入椭圆的方程 ，解得x=±3，
∴B点的坐标为（±3，±4），
∴直线AB的方程为y=±
考点：本题考查直线与椭圆位置关系
点评：本题考查椭圆中参数的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
【答案】
【解析】
【分析】
设椭圆的方程为 ，由 两点求出方程，再求离心率.
【详解】设椭圆的方程为
由题意可知 ，解得
故椭圆方程为
即 ， ，故
18.已知p： ，q： ，若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由 对应的不等式求得对应的解集，由p是q的充分不必要条件知 的解集为 的解集的真子集，列不等式求m范围即可.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆方程，先求得焦点 的坐标，根据两点间线段最短，求 关于直线l的对称点 ，根据两点间距离公式求得 ；再由 的关系求得b，即可求得椭圆的方程．
【详解】由 ，得
F1关于直线l的对称点 ，连 交l于一点，即为所求的点M
∴
故所求椭圆方程为
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，点关于直线对称点的求法，属于基础题．
由各项的原命题写出对应的否命题、逆命题、逆否命题，判断真假即可.
【详解】①否命题为“若x2+y2=0，则x，y全为零”为真命题.
②逆命题为“相似多边形都是正多边形”为假命题.
③逆否命题为“x2+x-m=0没有实根，则m≤0”为真命题.
④逆否命题为“x是不是无理数，则 是不是有理数”为真命题.
故选：B
【答案】B
2019-2020学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x ++=的倾斜角为 A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】设直线的倾斜角为α,由题意直线的斜率为即tan α=-所以α=56π故选D.2．若点(1,2)-在二元一次不等式10x my ++≤表示的区域中，则m 的取值范围为（ ） A ．1m > B ．m 1≥C ．1m <D ．1m £【答案】B【解析】把坐标(1,2)-直接代入不等式即可得解． 【详解】由题意1210m -+≤，m 1≥． 故选：B ． 【点睛】本题考查二元一次不等式表示的平面区域问题，解题时点在不等式表示的区域内，则点的坐标适合不等式．3．若直线1:220l ax y ++=与直线2:(1)10l x a y +-+=平行，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．1-或2C ．1-D ．0【答案】C【解析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合． 【详解】∵已知两直线平行，∴(1)20a a --=，解得1a =-或2a =，2a =时，两直线重合，舍去，1a =-时两直线平行．故选：C ． 【点睛】本题考查两直线平行的条件．注意对两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，12210A B A B -=是两直线平行的必要条件，不是充分条件，要注意区别重合这种情形．4．若点(,1)M m m -在圆22:2410C x y x y +-++=内，则m 的取值范围（ ） A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞U C ．[1,1]-D ．(,1][1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】把M 点坐标代入圆方程，等号改为小于号即可． 【详解】由题意22(1)24(1)10m m m m +--+-+<，解得11m -<<． 故选：A ． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．圆方程是220x y Dx Ey F ++++=，点00(,)M x y ，点在圆内⇔2200000x y Dx Ey F ++++<， 点在圆上⇔2200000x y Dx Ey F ++++=， 点在圆外⇔2200000x y Dx Ey F ++++>．5．若点()2,1P 为圆()22125x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）A ．10x y +-=B ．230x y +-=C ．30x y +-=D ．250x y --=【答案】C【解析】设圆心为O ，连接OP ，则OP AB ⊥．由此可求AB 的斜率，由点斜式可求直线AB 的方程. 【详解】设圆心为O ，连接OP ，则OP AB ⊥．因为圆心为()1,0，所以PO 的斜率为10121-=-，所以AB 的斜率为1-，故AB 的方程为()112y x -=--，即30x y +-=． 故选C. 【点睛】本题考查直线方程的求法，属基础题.6．若l m n 、、是互不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若αβ⊥，l α⊂，n β⊂，则l n ⊥B ．若l α⊥，l β//，则αβ⊥C ．若l n ⊥，m n ⊥，则//l mD ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥【答案】B【解析】根据直线、平面之间垂直关系判断各个命题． 【详解】若αβ⊥，l α⊂，n β⊂，设m αβ=I ，只要l ，n 与m 都不垂直，则,l n 不垂直， A 错；l β//，过l 的平面与β的交线为m ，则//l m ，又l α⊥，则m α⊥，∴βα⊥，B正确；l n ⊥，m n ⊥，l 与m 可相交，可能异面，也可能平行，C 错；αβ⊥，l α⊂时，l 与β可能垂直，也可能不垂直，甚至可能平行，D 错．故选：B ． 【点睛】本题考查空间直线与平面间的位置关系，对于错误的结论可举反例说明．掌握空间直线平面间的各种位置关系是解题基础．7．直线:(21)60l mx m y +--=与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m 的值为（ ） A ．2 B ．32-C ．3D ．2或32-【答案】D【解析】求出直线与坐标轴的交点坐标，然后计算三角形面积． 【详解】在(21)60mx m y +--=中令0x =，得621y m =-，令0y =，得6x m=，即交点分别为6(,0)m ，6(0,)21m -，据题意：1663221m m ⨯⨯=-，解得2m =或32m =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积，解题时需先求出直线与两坐标轴的交点坐标，注意坐标可正可负．因此求三角形面积时应加绝对值符号．8．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】圆()()221:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，圆()()222:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+Q∴两圆外切，有3条公切线.故选C. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.9．若直线22(0,0)mx ny m n -=->>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41m n+的最小值是（ ） A ．9 B ．4C ．12D ．14【答案】A【解析】圆方程配方后求出圆心坐标和半径，知圆心在已知直线上，代入圆心坐标得,m n 满足的关系，用“1”的代换结合基本不等式求得41m n+的最小值．圆标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径为2r =， 直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴222m n --=-，1m n +=， 又0,0m n >>，∴41414()()5n m m n m n m n m n +=++=++59≥+=，当且仅当4n m m n =，即21,33m n ==时等号成立． ∴41m n+的最小值是9． 故选：A ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题时需根据直线与圆的位置关系求得,m n 的关系1m n +=，然后用“1”的代换法把41m n+凑配出可用基本不等式的形式，从而可求得最值．10．直线(2)y k x =-与曲线2,(14)y x x =≤<恒有公共点，则k 的取值范围是 （ ） A ．[]1,8- B ．(,1](8,)-∞-⋃+∞C ．(,1][8,)-∞-⋃+∞D ．[1,8)-【答案】B【解析】直线(2)y k x =-过定点(2,0)P ，曲线2y x =中14x ≤<，求出两端点(1,1)A 和(4,16)B ，求,PA PB k k ，然后再计算直线(2)y k x =-与抛物线相切时的斜率k 值，可得解． 【详解】直线(2)y k x =-过定点(2,0)P ，曲线2y x =（14x ≤<）两端点为(1,1)A 和(4,16)B ，10112PA k -==--，160842PB k -==-， 由2(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得220x kx k -+=，280k k ∆=-=，0k =或8k =， ∵2[1,4)∈，∴过P 与x 轴垂直的直线也与曲线2,(14)y x x =≤<有公共点， ∴所求k 的取值范围是1k ≤-或8k >． 故选：B ．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意题中曲线只是抛物线的一部分，因此除去要求出抛物线弧的两端点与定点(2,0)P 连线斜率外，还需求出过P 与抛物线相切的直线的斜率，比较后才可能得出结论，解题时要注意过P 斜率不存在的直线与曲线是否有公共点．这样才能得出正确的范围．11．若直线0x y m +-=与曲线2(2)y x x =--+没有公共点，则实数m 所的取值范围是（ ） A ．[12,2]- B ．(,12)(2,)-∞-⋃+∞ C ．[12,12]-+ D ．(,12)(12,)-∞-⋃++∞【答案】B【解析】曲线2(2)y x x =--+是下半圆，先求出直线与曲线2(2)y x x =--+有公共点时m 的范围，然后可得题设结论． 【详解】如图，是曲线2(2)y x x =-+(1,2)-为圆心，1为半径的圆的下半部分， 当直线0x y m +-=过(0,2)A 时，2m =，当直线0x y m +-=与曲线2(2)y x x =-+相切时，1212m-+-=，12m =-（12m =，由直线方程知m 是直线0x y m +-=的纵截距，所以直线0x y m +-=与曲线2(2)y x x =-+12m <或2m >．【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题时注意曲线只是半圆，因此直线与半圆有公共点不仅要考虑切线，还要考虑直线过半圆弧的端点，然后结合图形得解．12．已知圆221:1C x y +=与圆222:(1)(3)1C x y -+-=，过动点(,)P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM ,PN ，(,M N 分别为切点)，若||||PM PN =，则226413a b a b +--+的最小值是（ ）A ．5B ．13C D ．85【答案】D【解析】由PM PN =求出P 点的轨迹方程，而226413a b a b +--+22(3)(2)a b =-+-表示(,)P a b 到定点(3,2)Q 的距离的平方．由点到直线的距离公式可得结论． 【详解】∵PM PN =，由切线长公式得22221(1)(3)1a b a y +-=-+--，化简得350a b +-=．两圆的圆心距为1211C C ==>+，两圆外离，因此直线350a b +-=上的所有点都可以作已知两圆的切线，符合题意．226413a b a b +--+22(3)(2)a b =-+-表示(,)P a b 到定点(3,2)Q 的距离的平方．点(3,2)Q 到直线350a b +-=的距离为d ==， ∴226413a b a b +--+的最小值为285=．故选：D ． 【点睛】本题考查求圆的切线长，考查点到直线的距离．解题关键是代数式226413a b a b +--+的几何意义，表示(,)P a b 到定点(3,2)Q 的距离的平方．因此只要求得点(3,2)Q 到直线350a b +-=的距离，就可求得最小值．二、填空题13．圆222210x y x y +--+=与圆224470x y x y +--+=的公共弦所在的直线方程为____.【答案】30x y +-=【解析】把两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】两圆方程分别为：222210x y x y +--+=，224470x y x y +--+=，相减得2260x y +-=，即30x y +-=．这就是两圆公共弦所在直线方程．故答案为：30x y +-=． 【点睛】本题考查两圆位置关系，考查两圆公共弦所在直线方程，把两圆方程相减所得直线方程表示的直线，如果两圆相离，则为公共弦所在直线，如果两圆外切，则为公切线（两圆之间的公切线），两圆内切，则为公切线，14．已知实数x ，y 满足约束条件30330x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是______.【答案】6【解析】根据线性约束条件画出可行域，再将2xy =-进行平移寻找最值点即可 【详解】如图，根据线性约束条件画出可行域，画出符合条件的可行域，将2xy =-进行平移，当移到最高点()0,3时，得到2z x y =+的最大值，max 236z =⨯=则2z x y =+的最大值是6 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 15．过圆222450x y x y +-+-=上的点(2,1)P 的切线方程为_______. 【答案】350x y +-=【解析】求出圆心与切点连线的斜率，而切线与这条直线垂直，由此可得切线斜率． 【详解】依题意，圆x 2+y 2﹣2x +4y ﹣5＝0的圆心O 坐标为（1，﹣2）， ∴直线OP 的斜率k OP 1221+==-3， ∴切线l 的斜率k 113OP k -==-， ∴圆O 过点P 的切线方程为：y ﹣113=-（x ﹣1），即x +3y ﹣5＝0. 故答案为：350x y +-=． 【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程，由过圆心与切点的半径和切线垂直可求得切线斜率，从而得切线方程．16．已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，ABC ∆是边长为PA ⊥平面ABC ，若三棱锥P ABC -的体积为O 的表面积为________. 【答案】20π【解析】由三棱锥体积公式可求得高PA 的长，然后把三棱锥补成正三棱柱，则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球，球心为正三棱柱的中心，即上下底连心线的中点，从而易求出球半径得表面积． 【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 的体积为∴213PA ⨯=， ∴P A ＝2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心， 球心到底面的距离d 等于三棱柱的高P A 的一半，∵△ABC 是边长为23的正三角形， ∴△ABC 外接圆的半径r ＝2， ∴球的半径为22215+=， ∴球O 的表面积为4π×5＝20π． 故答案为：20π 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定圆心位置，求出圆的半径，为此把三棱锥补成一个正三棱柱，则外接球的球心位置是正三棱柱的的中心，半径易求．补形法是立体几何中的一种重要方法，把不规则几何体补成规则的几何体，有利于问题的解决．三、解答题17．己知直线l 的方程为210x y -+=．（1）求过点()3,2A ，且与直线l 垂直的直线1l 方程；（2）求与直线l 平行，且到点()3,0P 的距离为5的直线2l 的方程 【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：()1直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；()2设所求直线方程为20x y c -+=，由于点()3,0P 5()226521c +=+-1c =-或11c =-，即可得出答案；解析：（1）∵直线l 的斜率为2，∴所求直线斜率为12-， 又∵过点()3,2A ，∴所求直线方程为()1232y x -=--， 即270x y +-=．（2）依题意设所求直线方程为20x y c -+=， ∵点P ()3,05()226521c+=+-1c =-或11c =-，所以，所求直线方程为210x y --=或2110x y --=．18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(2)cos cos b c A a C -=. （1）求角A 的大小；（2）若a =，5b c +=，求ABC ∆的面积. 【答案】(1)3A π=；【解析】（1）利用正弦定理边化角，求得2cos 1A =，则3A π=；（2）利用余弦定理，得4bc =，可得1sinA 2ABC S bc ==V . 【详解】（1）ABC △中，由条件及正弦定理得()2sin sin cos sin cosC B C A A -=， ∴2sin cos sin cos sin cos sin B A C A A C B =+=. ∵sin 0B ≠，2cos 1A ∴=， ∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵a =，5b c +=， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-()222cos3b c bc bc π=+--25313bc =-=，∴251343bc -==.∴11sinA 4sin 223ABC S bc π==⋅⋅=V 点睛：本题考查解三角形,解三角形的关键是正确应用正弦定理和余弦定理，本题中，条件是边角都有的复杂式子，同时边是左右齐次的关系，所以可以利用正弦定理进行边化角处理,若条件都是边的关系，则可以用余弦定理处理.19．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d >，首项11a =，且31a +是21a +与42a +的等比中项．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设12n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】(1)21n a n =-；(2) 221n nS n =+．【解析】（1）由等差数列的通项公式写出234,,a a a ，由等比中项的定义列式可求得d ，从而得n a ；（2）用裂项相消法计算数列{}n b 的前n 项和． 【详解】（1）由题意可知：a 2＝1+d ，a 3＝1+2d ，a 4＝1+3d ， ∵a 3+1是a 2+1与a 4+2的等比中项，∴（a 3+1）2＝（a 2+1）（a 4+2），即（2+2d ）2＝（2+d ）（3+3d ）， 化简得：d 2﹣d ﹣2＝0，解得：d ＝﹣1或2， 又公差d ＞0，所以d ＝2． 故a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1． （2）∵a n ＝2n ﹣1，a n +1＝2n +1，∴b n ()()21121212121n n n n ==--+-+， ∴123n n S b b b b =++++L＝（113-）+（1135-）+（1157-）+……+（112121n n --+）＝1121n -+ 221n n =+． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查等比中项的定义，属于中档题．数列求和时除等差数列和等比数列的和直接用公式外，有两种方法一定要注意：裂项相消法和错位相减法．20．已知直线:30l x y -+=被圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>截得的弦长为 (1)求a 的值；(2)求过点(3,5)并与圆C 相切的直线方程． 【答案】(1)1；(2) 512450x y -+=或3x =.【解析】（1）求出圆心到直线的距离，由勾股定理列出关于a 的方程，解之可得； （2）点在圆外，因此考虑斜率不存在的情形是否满足题意，在斜率存在时，设斜率为k ，写出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求得k ． 【详解】（1）依题意可得圆心C （a ，2），半径r ＝2，则圆心到直线l ：x ﹣y +3＝0的距离()22231211a a d -++==+-，由勾股定理可知22222()d r +=，代入化简得|a +1|＝2， 解得a ＝1或a ＝﹣3，又a ＞0， 所以a ＝1；（2）由（1）知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，又（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），由圆心到切线的距离d ＝r ＝2可解得512k =， ∴切线方程为5x ﹣12y +45＝0，②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x ＝3与圆相切， 综合①②可知切线方程为5x ﹣12y +45＝0或x ＝3. 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题和求圆的切线方程．弦长问题一般利用垂径定理求解．求切线方程要注意所过点是在圆上还是圆外，点在圆上为切点，则过切点的半径与切线垂直，所过点在圆外，分类讨论切线斜率不存在和存在两种，斜率不存在时直接考查是否是切线，与斜率存在时，设斜率为k ，得切线方程，由圆心到切线距离等于圆半径求出斜率k ．21．如图：在三棱锥P ABC -中，PB ABC ⊥平面，ABC ∆是直角三角形，902B AB BC ∠=︒==，，45PAB ∠=︒，点D E F 、、分别为AC AB BC 、、的中点.（1）求证：EF PD ⊥；（2）求直线PF 与平面PBD 所成角的大小； （3）求二面角E PF B --的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）10arcsin；（3）5. 【解析】试题分析：以,,BA BC BP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算0EF PD ⋅=u u u r u u u r，可得两直线垂直；（2）计算直线PF 的方向向量和平面PBD 的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面EPF ，平面BPF 的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值. 试题解析：解法一（1）连接BD 。
高二数学上学期期中试题 理 2(共15页)
级_________姓名____________学号_____________考场号_____________座位号________ _——————————装——————————订——————————线————————————平罗中学2021--2021学年度第一(dìyī)学期期中考试试卷高二数学〔理〕一、选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的．〕1．命题，那么〔〕A． B．C． D．2．双曲线的离心率为〔〕A． B． C． D．3．以下说法错误的选项是〔〕A．假设p：∃x∈R，x2－x＋1＝0，那么¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0B．命题“假设a＝0，那么ab＝0〞的否命题是“假设a≠0，那么ab≠0〞C．“sinθ＝〞是“θ＝30°〞的充分不必要条件D．p：∃x∈R，cosx＝1，q：∀x∈R，x2－x＋1>0，那么“p∧〔¬q〕〞为假命4．圆上的点到直线的间隔最大值是〔〕A． B． C． D．班5．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点(dìnɡ diǎn)Q〔3，0〕的连结线段PQ的中点的轨迹方程是〔〕A．〔x＋3〕2＋y2＝4 B．〔x－3〕2＋y2＝1C．〔2x－3〕2＋4y2＝1 D．〔2x＋3〕2＋4y2＝16．点，假设直线与线段相交，那么的取值范围是〔〕A． B． C． D．7．,“函数有零点〞是“函数在上为减函数〞的〔〕A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，假设，那么椭圆的离心率为〔〕A． B． C．12D．9．过抛物线的焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，那么△AOB的面积为〔〕A． B． C． D．10．椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A、B两点．假设AB的中点坐标为，那么E的方程为〔〕A ．B ．C ．D ．11．假设实数(shìshù)x 、y 满足不等式组，那么的取值范围是〔 〕A ．[－1，]B ．[－，31] C ．[－21，＋∞〕 D ．[－21，1〕12．分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，假设的最小值为8，那么双曲线的离心率的取值范围是〔 〕 A ．B ．C ．D ．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分．〕13．不等式组，那么 的最大值为 ．14．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ． 15．假设点的坐标为，为抛物线的焦点，点在该抛物线上挪动，为使得获得最小值，那么P 点坐标为 ．16．假设r(x)：，s(x)：x ＋mx ＋1>0，假如对∀x ∈R ，r(x)为假命题，s(x)为真命题，那么m 的取值范围 。
宁夏平罗中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题含解析
C.a=b=cD.a=b=c≠0
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由于此数列即是等差数列，又是等比数列，
所以
5.在三角形 中，已知 ，两边 ， 是方程 的两根，则 等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得 ，且 ，进而得到 ，再由余弦定理即可求出.
所以 表示直线 在 轴的截距，
由图象可得，当直线 过点 时，其在 轴 截距最大，由 解得 ，所 的最大值为 .故选：C
7.若 为实数，且 ，且 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本不等式可知 ，结合条件求解出 的最小值.
【详解】因为 ，取等号时 ，
所以 的最小值为 ，
A.8B.7C.6D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件求得公差 ，进而求得数列的通项公式，根据利用通项公式为非正数，求得符合题意的 的值.
【详解】由 得 ，解得 ，故 ，令 ，解得 ，故使数列前 项和 最小的 等于 ，故选C.
【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查等差数列前 项和最值有关的计算，属于中档题.
②取倒数法：这种方法适用于 （k、m、p为常数，m≠0），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于 的式子；
（7） （b、c为常数且不为零， ）型的数列求通项 ，方法是在等式的两边同时除以 ，得到一个 型的数列，再利用（6）中的方法求解即可.
10.为测量某塔 的高度，在一幢与塔 相距20 m的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔 的高度是（ ）
2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(重点班)上学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（重点班）上学期期中数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|1}A x x =≥，{|22}B x x =-≤≤，则()U A ∩B =（ ）A ．[2-，1]B ．(2-，1)C ．[2-，1)D ．[1，2] C【分析】直接根据交集和补集的概念计算即可.【详解】由已知{|1}U A x x =<，则()U A ∩B =[){|1}{|22}=2,1x x x x <-≤≤-故选：C.2．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②报告厅有32排，每排有40个座位. 有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了调查听众对报告会的意见，需要请32名听众进行座谈；③平罗中学共有360名教职工，其中专职教师300名，行政教辅人员36名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为60的样本．较为合理的抽样方法是（ ）A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样A【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样．【详解】观察所给的四组数据，①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，所以选用系统抽样，③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，故选：A ．3．一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色，且红色面和橙色对、蓝色面和绿色对，白色面和黄色对，将这个魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”（ ）A ．是对立事件B ．不是互斥事件C ．既不是互斥事件也不是对立事件D ．是互斥事件但不是对立事件D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断.【详解】将魔方随意扔到桌面上，则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生，但可以同时不发生，故“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥事件但不是对立事件.故选：D4．《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部应用数学著作，其完善了珠算口诀，确立了算盘用法，并完成了由筹算到珠算的彻底转变，该书清初又传入朝鲜、东南亚和欧洲，成为东方古代数学的名著.书中卷八有这样一个问题：“今有物靠壁，一面尖堆，底脚阔一十八个，问共若干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S 即为该物的总数S ，则总数S =（ ）A ．136B ．153C ．171D ．190C【分析】执行程序框图，计算S 【详解】由图可知，输出(118)181********S +⨯=++++== 故选：C5．关于直线m 、n 与平面α、β，有以下四个①若//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④若//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n .其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ D【分析】根据①②③④中的已知条件判断直线m 、n 的位置关系，可判断①②③④的正误.【详解】对于①，若//m α，//n β且//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，①错误；对于②，如下图所示：设a αβ⋂=，因为αβ⊥，在平面β内作直线l a ⊥，由面面垂直的性质定理可知l α⊥， m α⊥，//m l ∴，n β⊥，l β⊂，n l ∴⊥，因此，m n ⊥，②正确；对于③，若m α⊥，//αβ，则m β⊥，因为//n β，过直线n 作平面γ使得a βγ=，由线面平行的性质定理可得//n a ，m β⊥，a β⊂，则m a ⊥，因此m n ⊥，③正确；对于④，若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m 与n 平行、相交或异面，④错误.故选：D.方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是“推理论证加反例推断”，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．6．如图是甲、乙两名运动员在某赛季部分场次得分的茎叶图，据图可知（ ）A ．甲的平均成绩大于乙的平均成绩，且甲发挥的比乙稳定B ．甲的平均成绩大于乙的平均成绩，但乙发挥的比甲稳定C ．乙的平均成绩大于甲的平均成绩，但甲发挥的比乙稳定D ．乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙发挥的比甲稳定A【分析】分别计算甲乙的平均分和方差，比较大小得到答案. 【详解】122233435373844444936.29x ++++++++=≈， 2812141721292933365225.110x +++++++++==， ()()()222212236.22336.24936.274.69S -+-++-=≈， ()()()22222825.11225.15225.1160.4910S -+-++-==，12x x >且2212S S <. 故选：A7．若x 、y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．7C ．8D ．10C【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，找出使得该直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解. 【详解】作出不等式组50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩可得32x y =⎧⎨=⎩，即点()3,2A ， 平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大， 此时z 取最大值，即max 2328z =⨯+=.故选：C.8．某校举行运动会期间，将学校600名学生编号为001，002，003，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码为009.将这600名学生分别安排在看台的A ，B ，C 三个区，001号到130号在A 区，131号到385号在B 区，386号到600号在C 区，则样本中属于A ，B ，C 三个区的人数分别为（ ）A ．10，21，19B ．10，20，20C ．11，20，19D ．11，21，18D 【分析】系统抽样是等间隔抽样，所以抽样间隔为6001250=，且第一段中随机抽得的号码为009，所以所有抽到的号码为()1290,1,2,,49k k +=⋅⋅⋅，根据条件列出不等式即可解得A ，B ，C 三个区的人数. 【详解】由题意知抽样间隔为6001250=， 因为在第一段中随机抽得的号码为009，故所有抽到的号码为()1290,1,2,,49k k +=⋅⋅⋅，根据条件得：A 区：1129130k <+<， 即121812k -<<， 所以k 可以取：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共11人，同理，可得B 区抽中21人，C 区抽中18人.故选：D .9．设数据1x ，2x ，3x ，……，n x 的平均数为m ，方差为5，数据124x +，224x +，324x +，……，24n x +的平均数为8，方差为n ，则m 、n 的值分别是（ ）A ．4，14B ．4，20C ．2，36D ．2，20D 【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.【详解】因为数据1x ，2x ，3x ，……，n x 的平均数为m ，数据124x +，224x +，324x +，……，24n x +的平均数为8，248m ∴+=，解得2m =,数据1x ，2x ，3x ，……，n x 的方差为5，数据124x +，224x +，324x +，……，24n x +的方差为n ，22520n ∴=⨯=故选：D10．已知三棱锥-P ABC 的底面是正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA AB =，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为（ ）AB．7 CDB【分析】如图所示，连接各线段，证明⊥AE 平面PBC ，得到APD ∠即为直线PA 与平面PBC 所成角，再计算线段长度得到答案.【详解】如图所示：D 为BC 中点，连接AD ，PD ，作AE PD ⊥于E .PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故PA BC ⊥，BC AD ⊥，PA AD A ⋂=， 故BC ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，故AE BC ⊥，又AE PD ⊥，PDBC D =，故⊥AE 平面PBC ，即APD ∠即为直线PA 与平面PBC 所成角.设PA AB a ==，则AD =，PD ，故sin AD APD PD ∠===. 故选：B11．已知实数x ，y 满足：22(1)3x y -+=，则1y x +的取值范围为（ ） A ．[3-，3]B ．[23-，23]C ．3[3-，3]3D ．23[3-，23]3A【分析】确定圆心和半径，将题目转化为点(),x y 和点()1,0A -直线的斜率，画出图像，计算角度，计算斜率得到答案.【详解】22(1)3x y -+=表示圆心为()1,0M ，半径3R =的圆，1k y x =+表示点(),x y 和点()1,0A -直线的斜率， 如图所示：直角ADM △中2AM =，3DM R ==，故3sin 2DAM ∠=， π0,2DAM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故π3DAM ∠=，同理可得π3EAM ∠=，对应的斜率为3和3-. 故,313k y x ⎡⎤=∈-⎣+⎦， 故选：A12．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的外接球的半径为R ，若AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是等边三角形，则三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面积的最大值为（ ）A ．243RB ．26RC ．233RD ．23R C【分析】设三棱柱的高为h ，底面三角形的边长为a ，根据勾股定理结合均值不等式得到23ah R ≤，再计算侧面积即可.【详解】设三棱柱的高为h ，底面三角形的边长为a ，如图所示：易知122333323AO AD a a ==⨯=， 在直角1AOO 中：222323h R a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222223243433h a h a R ah =+≥⨯=， 即23ah R ≤，当2243h a =，即3622a h R ==时等号成立. 侧面积2333S ah R =≤.故选：C二、填空题13．过点(1,2)P 且与直线21y x =+平行的直线的方程是__________________.2y x =【分析】设与直线21y x =+平行的直线的方程为2y x b =+，代点P 计算即可.【详解】设与直线21y x =+平行的直线的方程为()21y x b b =+≠，代入点(1,2)P 得22b =+，解得0b =所以过点(1,2)P 且与直线21y x =+平行的直线的方程是2y x =故2y x =14．已知(1,3)a =-，(3,1)b =，则2a b +=__________．25 【分析】根据向量坐标运算求出()223132a b +=-+，，进而根据向量模的坐标公式计算得解. 【详解】因为()223132a b +=-+，， 所以()()2222313225a b +=-+=+，故答案为.2515．三棱锥中-P ABC ，底面ABC 是锐角三角形，PC 垂直平面ABC ，若其三视图中主视图和左视图如图所示，则棱PB 的长为______42【分析】根据三视图，求得,BC PC 的长度，再利用勾股定理即可求得PB .【详解】根据主视图可知，4,PC B =点在AC 的投影位于AC 的中点，不妨设其为H ，故可得2AH HC ==，根据左视图可知：23BH =224BC BH HC +=，又PC ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ，故可得PC BC ⊥，则2242PB PC BC +故答案为.4216．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 、N 在正方体的表面上运动，分别满足：2AM =，AN ∥平面1BDC ，设点M 、N 的运动轨迹的长度分别为m 、n ，则m n=_______________. 2π2 【分析】M 的轨迹为半径为2的球A 与正方体表面的交线，即3个半径为2的14圆弧，要满足AN ∥平面1BDC ，则N 在平行于平面1BDC 的平面与正方体表面的交线上，可证得为11AB D ，最后求值即可得m n 【详解】点M 、N 在正方体的表面上运动，由2AM =，则M 的轨迹为半径为2的球A 与正方体表面的交线，即3个半径为2的14圆弧，故132π23π4m =⨯⨯⨯=. 正方体中，11111111111,,,,AD BC AB DC AD AB A DC BC C AD AB ==⊂∥∥、平面11AB D ，11DC BC ⊂、平面1BDC ，故平面11AB D ∥平面1BDC ，当N 在11AB D 上时，即满足AN ∥平面1BDC 且N 在正方体的表面上，故32262n =⨯=，故3π2π462m n ==. 故2π4三、解答题17．学习了《高中数学必修3》的内容后，高二年级某学生认为：月考成绩与月考次数存在相关关系.于是他收集了自己进入高二以后的前5次月考成绩，列表如下：第x 次月考1 2 3 4 5 月考成绩y85 100 100 105 110经过进一步研究，他发现：月考成绩y 与月考的次数 x 具有线性相关关系.(1)求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；(2)判断变量y 与x 之间是正相关还是负相关（只写出结论即可）.(3)按计划，高二年级两学期共有8次月考，请你预测该同学高二最后一次月考的成绩（结果保留整数）．(1)ˆ 5.583.5yx =+ (2)正相关 (3)128【分析】（1）根据已知数据直接计算回归方程即可； （2）结合回归方程x 的系数判断即可；（3）根据（1）中的方程计算8x =时的值，估计即可. 【详解】（1）解：根据已知可得()11234535x =++++=，()1851001001051101005y =++++=， 所以，()5214101410i i x x=-=++++=∑，()()()512150052055iii x x y y =--=-⨯-++++=∑，所以，()()()5152155ˆ 5.510iii i i x x y y x bx===---==∑∑，ˆˆ100 5.5383.5a y bx=-=-⨯=， 所以，y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.583.5yx =+ （2）解：因为y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.583.5yx =+， 所以，变量y 与x 之间是正相关.（3）解：结合（1）得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.583.5y x =+， 所以，当8x =时，ˆ 5.5883.5127.5128y=⨯+=≈ 所以，高二最后一次月考的成绩大约为128分. 18．已知函数()2sin (cos )f x x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期； (2)求函数()f x 的单调区间和对称中心. (1)π(2)答案见解析【分析】（1）根据二倍角公式结合辅助角公式化简得()2sin(π2)3f x x =+，进而可得周期；（2）将π23x +代入sin y x =的单调增减区间，对称中心，求出x 即为所求. 【详解】（1）由已知()2sin (cos 3sin )3f x x x x =-+ sin 23(1cos 2)3x x =--+πsin 23cos22sin(2)3x x x =+=+则最小正周期2ππ2T ==； （2）令ππ3π2π22π,232k x k k Z +≤+≤+∈，得7πππ,1212πk x k k Z +≤≤+∈ 令πππ2π22π,232k x k k -+≤+≤+∈Z ，得5ππππ,1212k x k k -+≤≤+∈Z令π2π,3x k k +=∈Z ，得ππ,62k x k Z =-+∈，故函数()f x 的单调增区间为π5ππ,π,1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间7ππ,π,π1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 对称中心ππ,0,62k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.19．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻. 为进一步增强学生的防控意识，让全体学生充分了解新冠肺炎疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，平罗中学组织学生进行了新冠肺炎疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，制成如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值；(2)试估计这100人的问答成绩的中位数和平均数（结果保留整数）；(3)用分层抽样的方法从问答成绩在[70，100]内的学生中抽取24人参加疫情防控知识宣讲，那么在[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽取多少人？ (1)0.015a =(2)中位数为73，平均数为72 (3)12,10,2【分析】（1）直接利用频率和为1计算得到答案. （2）直接利用平均数和中位数的公式计算即可. （3）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】（1）()0.0050.0200.0300.0250.005101a +++++⨯=，解得0.015a =. （2）()0.0050.0150.020100.4++⨯=，故中位数为0.50.41070730.03010-⨯+=⨯.平均数为450.05550.15650.2750.3850.25950.0572⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）0.03:0.025:0.056:5:1=，[70，80)，[80，90)，[90，100]内应各抽人数分别为： 6241212⨯=，5241012⨯=，124212⨯=. 20．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，cos cos b C c B a c -=-. (1)求B ；(2)若b =△ABC 22)a c +，求△ABC 的周长． (1)π3(2)3【分析】（1）先利用余弦定理角化边，整理后直接用余弦定理求角；（2）利用面积公式和题中面积相等构造一个方程，再用余弦定理构造一个方程，解方程组即可. 【详解】（1）cos cos b C c B a c -=-，由余弦定理可得22222222a b c a c b b c a c ab ac+-+-⨯-⨯=-， 整理得222a c b ac +-=，2221cos 222a cb ac B ac ac +-∴===，又()0,πB ∈π3B ∴=；（2）由已知221π)=sin 23ABCS a c ac +， 整理得2223a c ac +=①又222π2cos33b ac ac =+-=， 整理得223a c ac +-=②由①②得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a c =⎧⎨=⎩=123++=+∴△ABC 的周长为321．数列{}n a 的各项均为正数，11a =，当2n ≥时，1n n a a --(1)证明：是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设141n n b a =-，数列{}n b 前n 项和为n S ，证明：12n S <． (1)证明见解析；2n a n =(2)证明见解析【分析】（1）将递推式变形为=再根据等差数列的通项公式求解即可；（2）变形得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法计算n S ，再观察即可得结果.【详解】（1）由1n n a a --=因为数列{}n a 0≠，1=1=所以是以1为首项，1为公差的等差数列.()1n n -=即2n a n =；（2）由（1）2n a n =得2141n b n =-，()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，1112111111111123355227211n S n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++=∴---++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1021n >+， 则11121n -<+，11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，即12n S <. 22．如图1，在直角梯形ABCD 中，ABCD ，AB BC ⊥，224AB BC CD ===，E 是AB 的中点. 沿DE 将ADE 折起，使得AE BE ⊥，如图2所示. 在图2中，M 是AB 的中点，点N 在线段BC 上运动（与点B ，C 不重合）．在图2中解答下列问题：(1)证明：平面EMN ⊥平面ABC ；(2)设二面角M EN B --的大小为θ，求tan θ的取值范围 (1)证明见解析 (2)()tan 2,θ∈+∞【分析】（1）证明⊥AE 平面BCDE ，BC ⊥平面AEB 得到EM ⊥平面ABC ，得到证明.（2）如图所示建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面EMN 的法向量为()1,2,n t t =--，平面EBN 的法向量为()20,0,1n =，根据向量的夹角公式得到224tan 1t θ=+，计算得到答案. 【详解】（1）AEB △中，AE EB =，M 时AB 中点，故EM AB ⊥， AE BE ⊥，AE DE ⊥，DE BE E ⋂=，故⊥AE 平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ，故AE BC ⊥，又BC BE ⊥，AE BE E =，故BC ⊥平面AEB ，EM ⊂平面AEB ，故EM BC ⊥，AB BC B ⋂=， 故EM ⊥平面ABC ，EM ⊂平面EMN ，故平面EMN ⊥平面ABC . （2）如图所示，分别以,,EB ED EA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则()0,0,0E ，()2,0,0B ，()0,0,2A ，()1,0,1M ，()2,,0N t ，()0,2t ∈，设平面EMN 的法向量为()1,,n a b c =，则()()()()11,,1,0,10,,2,,020n EM a b c a c n EN a b c t a bt ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，取a t =，则()1,2,n t t =--.取平面EBN 的法向量为()20,0,1n =，二面角M EN B --的平面角为锐角，大小为θ，则12212cos 24n n t n n t θ⋅==⋅+222221244tan 111cos t t tθθ+=-=-=+，()0,2t ∈， 故()2tan 2,θ∈+∞，故()tan 2,θ∈+∞.。
2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗中学高二(上)期中数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°2．不等式组，表示的平面区域为（）A．B．C．D．3．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．6B．1C．D．34．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（）6．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．B．1C．D．27．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最短弦为AB，则AB的长是（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，当点E在B1D1（与B1，D1不重合）上运动时，总有：①AE∥BC1；②平面AA1E⊥平面BB1D1D；③AE∥平面BC1D；④A1C⊥AE．以上四个推断中正确的是（）A．①②B．①④C．②④D．③④9．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线平行，则a＝（）A．2或﹣1B．2C．﹣1D．以上都不对10．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝011．点P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1＝0B．2x+y﹣3＝0C．x+y﹣3＝0D．2x﹣y﹣5＝0 12．已知直线：与圆：x2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，P为该圆上异于A、B的动点，则△ABP的面积的最大值为（）A．8B．16C．32D．64二．填空题（每题5分，共20分）13．已知圆与圆．求两圆公共弦所在直线的方程．14．已知长方体的长，宽，高，分别为2，1，1，则长方体的外接球的表面积是．15．若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值与最小值的和为．16．若直线y＝x+b与曲线有公共点，则b的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．18．已知圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，过原点的直线l与圆C有公共点．（1）求直线l斜率k的取值范围；（2）已知O为坐标原点，点P为圆C上的任意一点，求线段OP的中点M的轨迹方程．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面积．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）P A∥平面BDE；（Ⅱ）平面P AC⊥平面BDE．21．已知数列{a n}是等差数列，首项a1＝1，S n为其前n项和，且S3＝9，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．22．已知点M（3，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0（a∈R）与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值．2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．150°【解答】解：设直线x﹣y+3＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+3＝0化为y＝x+3，∴tanθ＝，∵θ∈[0，π），∴θ＝60°．故选：C．2．不等式组，表示的平面区域为（）A．B．C．D．【解答】解：因为不等式x＜2y，表示直线x＝2y的上半部分．y＜﹣3x+12，表示直线y ＝﹣3x+12的下半部分，根据二元一次不等式组表示平面区域，得到不等式组的对应区域的图象为：故选：B．3．直线l：2x+3y﹣6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．6B．1C．D．3【解答】解：直线l：2x+3y﹣6＝0与x，y轴的交点为（3，0），（0，2），则围成的三角形的面积为×3×2＝3．故选：D．4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：对于A．若l∥α，l∥β，则α∥β或α，β相交，故A错；对于B．若l∥α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α＝m，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；对于C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故C错；对于D．若α⊥β，l∥α，若l平行于α，β的交线，则l∥β，故D错．故选：B．5．若方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．（）【解答】解：根据题意，方程x2+y2﹣x+y﹣2m＝0表示一个圆，则有1+1﹣4×（﹣2m）＞0，解的m＞﹣，即m的取值范围为（﹣，+∞）；故选：C．6．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+5＝0垂直，则实数a的值是（）A．B．1C．D．2【解答】解：直线l1：ax+2y+6＝0与直线l2：x+（a﹣1）y+5＝0垂直，则a×1+2（a﹣1）＝0，解得a＝．故选：A．7．已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝9，P（2，2）是该圆内一点，过点P的最短弦为AB，则AB的长是（）A．B．C．D．【解答】解：由条件可知圆心M（1，1），则过点P的直径斜率为＝1，所以与该直径垂直的弦的斜率为﹣1，则该弦所在直线为y＝﹣（x﹣2）+2，即x+y﹣4＝0，则圆心到该直线的距离d＝＝，所以弦AB＝2，故选：D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，当点E在B1D1（与B1，D1不重合）上运动时，总有：①AE∥BC1；②平面AA1E⊥平面BB1D1D；③AE∥平面BC1D；④A1C⊥AE．以上四个推断中正确的是（）A．①②B．①④C．②④D．③④【解答】解：只有当E与D1重合时，AE∥BC1，故①错误；过E作EF∥B1B，只有当AF⊥BD时，才有AF⊥平面BB1D1D，可得平面AA1E⊥平面BB1D1D，故②错误；由AD1∥BC1，BD∥B1D1，可得平面AB1D1∥平面BDC1，又AE⊂平面AB1D1，可得AE∥平面BC1D，故③正确；AB1⊥A1B，BC⊥AB1，可得AB1⊥平面A1CB，即有AB1⊥A1C，同理可得AD1⊥A1C，即有A1C⊥平面AB1D1，AE⊂平面AB1D1，可得A1C⊥AE，故④正确．故选：D．9．若直线l1：ax+2y+6＝0与直线平行，则a＝（）A．2或﹣1B．2C．﹣1D．以上都不对【解答】解：∵直线l1：ax+2y+6＝0与直线平行，∴a（a﹣1）﹣2×1＝0，解得a＝2，或a＝﹣1当a＝2时，两直线重合．故选：C．10．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4＝0与圆C相切，则圆C 的方程为（）A．x2+y2﹣2x﹣3＝0B．x2+y2+4x＝0C．x2+y2+2x﹣3＝0D．x2+y2﹣4x＝0【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4＝0的距离d＝＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为（2，0）则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2＝4，化简得x2+y2﹣4x＝0故选：D．11．点P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2＝25内弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1＝0B．2x+y﹣3＝0C．x+y﹣3＝0D．2x﹣y﹣5＝0【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2＝25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC＝1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即x+y﹣3＝0．故选：C．12．已知直线：与圆：x2+（y﹣2）2＝25交于A、B两点，P为该圆上异于A、B的动点，则△ABP的面积的最大值为（）A．8B．16C．32D．64【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为＝3，∴AB＝2＝8∵AB为定长，∴△ABP的面积最大时，P到AB的距离最大∵P到AB的最大距离为5+3＝8∴△ABP的面积的最大值为＝32故选：C．二．填空题（每题5分，共20分）13．已知圆与圆．求两圆公共弦所在直线的方程x﹣y﹣1＝0．【解答】解：圆与圆；由（x2+y2﹣4x+2y）﹣（x2+y2﹣2y﹣4）＝0，得﹣4x+4y+4＝0，即x﹣y﹣1＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．14．已知长方体的长，宽，高，分别为2，1，1，则长方体的外接球的表面积是6π．【解答】解：长方体的长，宽，高分别为2，1，1，则长方体的对角线长为L＝＝，长方体外接球的直径为2R＝L＝，所以外接球的表面积是S＝4πR2＝π•（2R）2＝6π．故答案为：6π．15．若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值与最小值的和为4．【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y＝﹣x+z，即直线y＝﹣x+z经过点B时，截距最大，此时z最大，由，解得B（1，0），此时z＝1+0＝1．是最小值经过的交点A（3，0）时，截距最大，此时z最小，为z＝3，则z＝x+y最大值与最小值的和为4，故答案为：4．16．若直线y＝x+b与曲线有公共点，则b的取值范围[﹣3，]．【解答】解：由，得x2+y2＝9（y≥0），作出半圆与直线y＝x+b如图，由图可知，要使直线y＝x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是[﹣3，]．故答案为：[﹣3，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直线l的方程为2x﹣y+1＝0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．【解答】解：（Ⅰ）设与直线l：2x﹣y+1＝0垂直的直线l1的方程为：x+2y+m＝0，把点A（3，2）代入可得，3+2×2+m＝0，解得m＝﹣7．∴过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程为：x+2y﹣7＝0；（Ⅱ）设与直线l：2x﹣y+1＝0平行的直线l2的方程为：2x﹣y+c＝0，∵点P（3，0）到直线l2的距离为．∴＝，解得c＝﹣1或﹣11．∴直线l2方程为：2x﹣y﹣1＝0或2x﹣y﹣11＝0．18．已知圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，过原点的直线l与圆C有公共点．（1）求直线l斜率k的取值范围；（2）已知O为坐标原点，点P为圆C上的任意一点，求线段OP的中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）由x2+y2﹣4x+3＝0，得（x﹣2）2+y2＝1，直线l过原点，可设其方程为y＝kx，∵直线l与圆C有公共点，∴≤1，解得﹣≤k；（2）设M（x，y），P（x1，y1），∵M为OP的中点，∴x1＝2x，y1＝2y，代入圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，得（2x）2+（2y）2﹣4×2x+3＝0，即4x2+4y2﹣8x+3＝0．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（2b﹣c）cos A＝a cos C．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在三角形ABC中，∵（2b﹣c）cos A＝a cos C，由正弦定理得：（2sin B﹣sin C）cos A＝sin A cos C，化为：2sin B cos A＝sin C cos A+sin A cos C＝sin（A+C）＝sin B，sin B≠0，解得cos A＝．A∈（0，π）．∴A＝．（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∵a＝，b+c＝5，∴13＝（b+c）2﹣3cb＝52﹣3bc，化为bc＝4，所以三角形ABC的面积S＝bc sin A＝×4×＝．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（Ⅰ）P A∥平面BDE；（Ⅱ）平面P AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE．∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴OE∥AP，又∵OE⊂平面BDE，P A⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．（Ⅱ）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，∴BD⊥平面P AC．∵BD⊂平面BDE，∴平面P AC⊥平面BDE．21．已知数列{a n}是等差数列，首项a1＝1，S n为其前n项和，且S3＝9，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，首项a1＝1，S n为其前n项和，且S3＝9，可得3a1+3d＝9，解得d＝2，则{a n}的通项公式为a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）＝＝﹣，前n项和T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．22．已知点M（3，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）若直线ax﹣y+4＝0（a∈R）与圆C相交于A，B两点，且弦AB的长为，求实数a的值．【解答】解：（1）由圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，得圆心坐标为（1，2），半径r＝2．当直线斜率不存在时，直线x＝3与圆C显然相切；当直线斜率存在时，设所求直线方程为y﹣3＝k（x﹣3），即kx﹣y+3﹣3k＝0，由题意得：，解得k＝﹣，∴方程为y﹣3＝，即3x+4y﹣21＝0．故过点M且与圆C相切的直线方程为x＝3或3x+4y﹣21＝0；（2）∵弦长AB为，半径为2．圆心到直线ax﹣y+4＝0的距离d＝，∴，解得a＝﹣．。
宁夏平罗中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
第一学期高二期中考试数学试题考试时间120分钟 试卷总分150分第I 卷（选择题 ,共 60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．在ΔABC 中，已知a=1，b=3, A=30°，则B 等于 （ ） A ．60° B.60°或120° C.30°或150° D.120°2．由11a =，3d =确定的等差数列{}n a ，当298n a =时，序号n 等于（） A ．100B ．99C ．96D ．1013．已知等比数列}{n a 的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 （ ） A.15 B.17 C.19 D.214．三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为()A.b c a b -=-B.ac b =2C.c b a ==D.0≠==c b a5．在三角形ABC 中，已知C = 0120，两边b a ,是方程0232=+-x x 的两根，则c 等于( ) A ．5 B.7 C.11 D.136．设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ,则3z x y =+的最大值为 （ ） A ． 5 B. 3 C. 7 D. -87．若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b的最小值是 （ ） A.18 B.6 C.23 D.243 8. 已知0,0<>>c b a ,则9.数列{}n a 满足1n n a a n +=+，且11a =，则8a =（）． A.29 B ．28 C ．27 D ．2610.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30︒，测得塔基的俯角为45︒，那么塔的高度是（）米． A．20(1B．20(1+C．20(1D ．3011．ABC ∆中，若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为（）A ．21B ．3 C.1 D. 23 12．等差数列{}n a 满足5975a a =-，且117a =-，则使数列前n 项和n S 最小的n 等于（）． A ．5B ．6C ．7D ．8第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式． 14．函数)0(1)(>+=x xx x f 的最小值为. 15．在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =． 16.若不等式mx 2+4mx -4＜0对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和. 18.（本题满分12分）设{}n a 是一个公差为(0)d d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且满足2214a a a =． 求数列{}n a 的通项公式． 19．（本题满分12分）在ABC △中，已知45B =︒，D 是BC 上一点，5,7,3AD AC DC ===，求AB 的长．20．（本题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求最小边的边长． 21．（本题满分12分）某村计划建造一个室内面积为8002m 的矩形蔬菜温室。
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2020-2021学年宁夏石嘴山市平罗中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（5分）在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2．（5分）由a1＝1，d＝3确定的等差数列{a n}中，当a n＝298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．1013．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．214．（5分）三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为（）A．b﹣a＝c﹣b B．b2＝ac C．a＝b＝c D．a＝b＝c≠0 5．（5分）在△ABC中，已知C＝120°，两边a和b是方程x2﹣3x+2＝0的两根，则边c等于（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．87．（5分）实数a，b满足a+b＝2，则3a+3b的最小值是（）A．18B．6C．2D．28．（5分）已知a＞b＞0，c＜0，则（）A．B．ac＞bc C．D．ab＜b29．（5分）数列{a n}满足a n+1＝a n+n，且a1＝1，则a8＝（）A．29B．28C．27D．2610．（5分）为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（）米．A．B．C．D．3011．（5分）△ABC中，若a＝1，c＝2，B＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．12．（5分）等差数列{a n}满足7a5＝﹣5a9，且a1＝﹣17，则使数列前n项和S n 最小的n等于（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（共4小题）.13．（5分）若数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣10n（n＝1，2，3，…），则此数列的通项公式．14．（5分）函数f（x）＝x+（x＞0）的最小值为．15．（5分）在△ABC中，若，∠C＝150°，BC＝1，则AB的值为．16．（5分）若不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{a n}中，a1+a3＝10，，求其第4项及前5项的和．18．（12分）设{a n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10＝110，且满足a22＝a1a4．求数列{a n}的通项公式．19．（12分）在△ABC中，已知B＝45°，D是BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．20．（12分）在△ABC中，tan A＝，tan B＝．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长．21．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？22．（12分）已知等比数列{a n}满足a1+a6＝11，且a3a4＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）如果至少存在一个自然数m，恰使，，a m+1+这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a n}是否存在？若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（5分）在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°解：∵在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，∴由正弦定理，得到：＝，解得sin B＝．∵0°＜B＜180°，∴B＝60°或B＝120°．故选：B．2．（5分）由a1＝1，d＝3确定的等差数列{a n}中，当a n＝298时，序号n等于（）A．99B．100C．96D．101解：由题意，a n＝3n﹣2，故有3n﹣2＝298，∴n＝100，故选：B．3．（5分）已知等比数列{a n}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（）A．15B．17C．19D．21解：由题意可得，q＝2，a1+a2+a3+a4＝1由等比数列的通项公式可得，a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）q4＝16所以，S8＝1+16＝17故选：B．4．（5分）三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为（）A．b﹣a＝c﹣b B．b2＝ac C．a＝b＝c D．a＝b＝c≠0解：一个数列既是等差数列又是等比数列，那它一定是常数数列，但要注意的是等比数列中不能有0，故选D．5．（5分）在△ABC中，已知C＝120°，两边a和b是方程x2﹣3x+2＝0的两根，则边c等于（）A．B．C．D．解：∵a和b是方程x2﹣3x+2＝0的两根，∴a+b＝3，且ab＝2，从而得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝5∵△ABC中，已知C＝120°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝5﹣2×2×（﹣）＝7可得c＝故选：B．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．5B．3C．7D．8解：如图，作出可行域，作出直线l0：y＝﹣3x，将l0平移至过点A（3，﹣2）处时，函数z＝3x+y有最大值7．故选：C．7．（5分）实数a，b满足a+b＝2，则3a+3b的最小值是（）A．18B．6C．2D．2解：实数a，b满足a+b＝2，则3a+3b≥2＝2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时，取得等号，即3a+3b的最小值是6．故选：B．8．（5分）已知a＞b＞0，c＜0，则（）A．B．ac＞bc C．D．ab＜b2解：由a＞b＞0，c＜0，可得＜，故A错误；由a＞b＞0，c＜0，可得ac＜bc，故B错误；由＜，c＜0，可得，故C正确；由a＞b＞0，c＜0，可得ab＞b•b＝b2，故D错误．故选：C．9．（5分）数列{a n}满足a n+1＝a n+n，且a1＝1，则a8＝（）A．29B．28C．27D．26解：由题意知：∵a n+1＝a n+n∴a n﹣a n﹣1＝n﹣1即：a2﹣a1＝1a3﹣a2＝2•••a n﹣a n﹣1＝n﹣1把上述所有式子左右叠加一起得：∴a8＝29故选：A．10．（5分）为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基的俯角为45°，那么塔的高度是（）米．A．B．C．D．30解：设塔为AB，楼顶C，过楼顶C作AB的垂线，垂足是D．因为∠ACD＝30度，CD＝20m，所以AD＝，因为∠BCD＝45度，所以BD＝CD＝20m．所以塔高为m．故选：A．11．（5分）△ABC中，若a＝1，c＝2，B＝60°，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．解：△ABC的面积＝＝．故选：C．12．（5分）等差数列{a n}满足7a5＝﹣5a9，且a1＝﹣17，则使数列前n项和S n 最小的n等于（）A．5B．6C．7D．8解：设等差数列{a n}的公差为d，∵7a5＝﹣5a9，且a1＝﹣17，∴68d＝12×17，即d＝3，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣20，令a n＝3n﹣20＞0，解得，n＞，则a6＜0，a7＞0，则数列前6项和S6最小．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若数列{a n}的前n项和S n＝n2﹣10n（n＝1，2，3，…），则此数列的通项公式2n﹣11．解：由题意可得：当n≥2时，S n＝（n﹣1）2﹣10（n﹣1）＝n2﹣12n+11，﹣1所以a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣11．当n＝1时，a1＝S1＝﹣9，也符合a n＝2n﹣11，所以数列的通项公式为：a n＝2n﹣11．故答案为：a n＝2n﹣11．14．（5分）函数f（x）＝x+（x＞0）的最小值为2．解：∵x＞0，∴函数f（x）＝x+＝2，当且仅当x＝1时取等号．∴函数f（x）＝x+的最小值为2．故答案为：2．15．（5分）在△ABC中，若，∠C＝150°，BC＝1，则AB的值为．解：∵tan A＝，∴cos2A＝＝，又A∈（0，30°），∴sin A＝，又sin C＝sin150°＝，BC＝1，根据正弦定理得：＝，则AB＝＝＝．故答案为：16．（5分）若不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为﹣1＜m≤0．解：不等式mx2+4mx﹣4＜0对任意实数x恒成立，①当m＝0时，﹣4＜0对任意实数x恒成立，∴m＝0符合题意；②当m≠0时，则有，∴，∴﹣1＜m＜0，∴实数m的取值范围为﹣1＜m＜0．综合①②可得，实数m的取值范围为﹣1＜m≤0．故答案为：﹣1＜m≤0．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{a n}中，a1+a3＝10，，求其第4项及前5项的和．解：{a n}是等比数列，那么：a3＝a1q2，a4＝a1q3，a6＝a1q5由a1+a3＝10，，∴a1q2+a1＝10a1q3+a1q5＝解得：a1＝8，q＝a n＝24﹣n．则a4＝1．由，则＝．18．（12分）设{a n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，它的前10项和S10＝110，且满足a22＝a1a4．求数列{a n}的通项公式．解：设数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a4＝a1+3d，∵a22＝a1a4，即（a1+d）2＝a1（a1+3d），整理，得a12+2a1d+d2＝a12+3a1d∴d（a1﹣d）＝0又d≠0，∴a1＝d又，∴a1＝d＝2数列{a n}的通项公式为：a n＝a1+（n﹣1）d＝2n．19．（12分）在△ABC中，已知B＝45°，D是BC上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB的长．解：在△ADC中，由余弦定理得，∵∠ADC∈（0，π），∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°，在△ABD中，由正弦定理得．20．（12分）在△ABC中，tan A＝，tan B＝．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ）∵C＝π﹣（A+B），tan A＝，tan B＝．∴．又∵0＜C＜π，∴．（Ⅱ）∵，∴AB边最大，即，又，所以∠A最小，BC边为最小边．由，且，得．由得：．所以，最小边．21．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab＝800．蔬菜的种植面积S＝（a﹣4）（b﹣2）＝ab﹣4b﹣2a+8＝808﹣2（a+2b）．所以S≤808﹣4＝648（m2）当且仅当a＝2b，即a＝40（m），b＝20（m）时，S最大值＝648（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．22．（12分）已知等比数列{a n}满足a1+a6＝11，且a3a4＝．（1）求数列{a n}的通项a n；（2）如果至少存在一个自然数m，恰使，，a m+1+这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a n}是否存在？若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，则或∴a n＝或a n＝．（2）对a n＝，若存在题设要求的m，则2•（•2m﹣1）2＝••2m﹣2+•2m+．∴（2m）2﹣7•2m﹣8＝0．∴2m＝8，m＝3．对a n＝，若存在题设要求的m，同理有4（26﹣m）2﹣11•26﹣m﹣8＝0．而△＝112+16×8不是完全平方数，故此时所需的m不存在．综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a n＝•2n﹣1．。