2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷
2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷
一、单选题（共10题；共20分）
1.设集合U={1，2，3，4，5，6}，A={x∈N|1≤x≤3}，则∁U A=（）
A. U
B. {1，2，3}
C. {4，5，6}
D. {1，3，4，5，6}
2.已知函数是R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，＞0，则
的值( )
A. 恒为正数
B. 恒为负数
C. 恒为0
D. 可正可负
3.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是( )
A. B. C. D.
4.平面向量与的夹角为60°，,则等于( )
A. B. C. 4 D. 12
5.已知sin（+α）= ，则cos（﹣2α）的值等于（）
A. B. C. D.
6.已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数
的图象，且满足，则的最小值为（）
A. B. C. D.
7.若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）
A. [2，6]
B. [2，6）
C. [2，3]
D. [3，6]
8.已知函数，将的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的解析式为（）
A. B. C. D.
9.已知{a n}为等差数列，a3=7，a1+a7=10，S n为其前n项和，则使得S n达到最大值的n等于（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
10.已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范
围是（）
A. （1，10）
B. （5，6）
C. （10，12）
D. （20，24）
二、双空题（共4题；共4分）
11.已知点A、B、C在单位圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则
的取值范围是________．
12.，f2（x）=sinxsin（π+x），若设f（x）=f1（x）﹣f2（x），则f（x）的单调递
增区间是________．
13.已知扇形的圆心角为80°，半径为6，则圆心角所对的弧长为________
14.若数列是等差数列，则数列也是等差数列；类比上述性质,相应地，是
正项等比数列，则也是等比数列________.
三、填空题（共3题；共3分）
15.已知函数的最小正周期为，当时，函数
取得最小值，则________．
16.若a＞0，a3=25，则log a=________．
17.已知，，，若向量满足，则的取值范围是________．
四、解答题（共5题；共50分）
18.设全集为实数集R，A={x|3≤x＜7}，B={x| ≤2x≤8}，C={x|x＜a}．
（1）求∁R（A∪B）
（2）如果A∩C≠∅，求a的取值范围．
19.已知等比数列{a n}的前n项和S n，首项a1=a，公比为q（q≠0且q≠1）．
（1）推导证明：S n= ；
（2）等比数列{a n}中，是否存在连续的三项：a k、a k+1、a k+2，使得这三项成等差数列？若存在，求出符合条件的等比数列公比q的值，若不存在，说明理由；
（3）本题中，若a=q=2，已知数列{na n}的前n项和T n，是否存在正整数n，使得T n≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说明理由．
20.如图，长方形材料中，已知，.点为材料内部一点，
于，于，且，. 现要在长方形材料中裁剪出四边形材料
，满足，点、分别在边，上.
（1）设，试将四边形材料的面积表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点在上的位置，使得四边形材料的面积最小，并求出其最小值.
21.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且
底面，点，分别在棱，上.
(1)若是是的中点，证明：;
(2若//平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积
22.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，当x≥0时，函数y=f（x）的图象如图所示（抛物线的一部分）．
（1）在原图上画出x＜0时函数y=f（x）的示意图；
（2）求函数y=f（x）的解析式（不要求写出解题过程）；
（3）写出函数y=|f（x）|的单调递增区间（不要求写出解题过程）．
答案
一、单选题
1. C
2. A
3. A
4. B
5. C
6. B
7. B
8.C
9. C 10.C
二、双空题
11.[5，7] 12. 13. 14.
三、填空题
15. 16.﹣17.
四、解答题
18. （1）解：设全集为实数集R，A={x|3≤x＜7}=[3，7），B={x| ≤2x≤8}=[﹣2，3]，
∴A∪B=[﹣2，7），∴∁R（A∪B）=（﹣∞，﹣2）∪[7，+∞）
（2）解：A∩C≠∅，C={x|x＜a}，∴a＞3．
故a的取值范围为：（3，+∞）
19. （1）解：∵S n=a1+a2+a3+…+a n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n﹣1，①
∴qS n=a1q+a1q2+a1q3+…+a1q n，②
①﹣②可得（1﹣q）S n=a1﹣a1q n，
当q≠1时，上式两边同除以1﹣q可得S n=
（2）解：不存在存在连续的三项：a k、a k+1、a k+2，使得这三项成等差数列．
证明如下：若a k、a k+1、a k+2成等差数列，则：
∵a k≠0∴q2﹣q+1=0而
∴不存在存在连续的三项：a k、a k+1、a k+2，使得这三项成等差数列
（3）解：T n=1×21+2×22+…+n×2n①
2T n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1②
①﹣②得T n=n×2n+1﹣（21+22+23+…+2n）=（n﹣1）2n+1+2
由于T n是递增的，当n=7时；
当n=8时．所以存在正整数n，使得T n≥2016的取值集合为{n|n≥8，n∈N+} 20. （1）解：在直角中，因为，，
所以，所以，
在直角中，因为，，
所以，所以，
所以，
（2）解：因为，
令，由，得，
所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时，，，
答：当时，四边形材料的面积最小，最小值为.
21. 由题意得，A A 1 , A B , A D 两两垂直，以A 为坐标原点，A B , A D , A A 1 所在直线分别为x 轴y 轴z 轴,建立如图下图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A ( 0 , 0 , 0 ) , B 1 ( 3 , 0 , 6 ) , D ( 0 , 6 , 0 ) , D 1 ( 0 , 3 , 6 ) , Q ( 6 , m , 0 ) , 其中m = B Q , 0 ≤ m ≤ 6 .
（1）若是的中点，则于是所以.即
（2）由题意设知，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则即,取得,又平面
的一个法向量所以
而二面角P-QD-A的余弦值为，因此=解得.m=4或者m=8（舍去）此时Q（6,4,0）设而=(0，-3，
6)由此得点P因为PQ//平面ABB1A1且平面ABB1A1的一个法向量
=(0,1,0)所以，·=0即，亦即得从而P（0,4,4,）于是将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥P-ADQ 则其高h=4故四面体ADPQ的体积
22. （1）解：
（2）解：x≥0时，函数y=f（x）的图象如图，
可知函数的对称轴为：x=1，f（2）=0，f（0）=0，f（1）=﹣2，
可得x≥0时，f（x）=2（x﹣1）2﹣2=2x2﹣4x．
函数是奇函数，x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2x2﹣4x．
∴
（3）解：y=|f（x）|的单调递增区间为：（﹣2，﹣1），（0，1），（2，+∞）。
临沂市罗庄区高一数学下学期期末考试试题含解析
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数 ,再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率.
【详解】从分别写有1,2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,
基本事件总数 ，
A. “甲站排头”与“乙站排头”B. “甲站排头"与“乙不站排尾”
C. “甲站排头”与“乙站排尾”D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”
【答案】BCD
【解析】
【分析】
互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．
【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 、 表示向量 ，再由 可求得实数 的值.
【详解】 ，所以， ，
则 ，
为线段 的中点，则 ，因此, .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数,考查计算能力,属于中等题。
15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 个问题就晋级下一轮的概率等于 ________.
故答案为: .
【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.
16. 如图，在正方体 中,点 为线段 的中点，设点 在线段 上,直线 与平面 所成的角为 ，则 的最小值_________,最大值_______________.
2019-2020学年内蒙古包头市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年内蒙古包头市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0 2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．44．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．25．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a226．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．411．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．3612．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是，最小的是．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．与直线3x﹣4y+5＝0关于坐标原点对称的直线方程为（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：设直线3x﹣4y+5＝0点Q（x1，y1）关于点M（0，0）对称的直线上的点P（x，y），∵所求直线关于点M（0，0）的对称直线为3x﹣4y+5＝0，∴由中点坐标公式得＝0，＝0；解得x1＝﹣x，y1＝﹣y代入直线3x﹣4y+5＝0，得3（﹣x）﹣4（﹣y）+5＝0，整理得：3x﹣4y﹣5＝0，即所求直线方程为：3x﹣4y﹣5＝0．故选：D．2．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜解：A．c＝0时不成立；B．成立．C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立．D．a＜b＜0，则＞．因此不成立．故选：B．3．用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形．A．1B．2C．3D．4解：用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，对于①，平行的线段在直观图中仍然是平行线段，所以①正确；对于②，相等的线段在直观图中不一定相等，如平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，变为原来的，所以②错误；对于③，相等的角在直观图中不一定相等，如直角坐标系内两个相邻的直角，在斜二测画法内是45°和135°，所以③错误；对于④，正方形在直观图中不是正方形，是平行四边形，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①，共1个．故选：A．4．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（）A．1B．C．2D．2解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，∴则|OP|的最小值是d＝＝．故选：B．5．已知{a n}为等比数列，下面结论中正确的是（）A．若a1＝a3，则a1＝a2B．若a2＞a1，则a3＞a2C．a1+a3≥2a2D．a12+a32≥2a22解：根据题意，依次分析选项：对于A，若q＝﹣1，则有a1＝a3，但a1＝﹣a2，A错误；对于B，若a1＜0，且q＝﹣1，则有a2＞0＞a1，但a3＜0＜a2，B错误；对于C，若a1＜0，且q＜0时，a1+a3＜0，a2＞0，则有a1+a3＜2a2，C错误；对于D，由基本不等式的性质可得：a12+a32≥2a1a3＝2a22，D正确；故选：D．6．在△ABC中，sin A：sin B：sin C＝7：3：5，那么这个三角形的最大角是（）A．B．C．D．解：设三角形的三边长分别为a，b，c，根据正弦定理化简已知的等式得：a：b：c＝7：3：5，设a＝7k，b ＝3k，c＝5k，可得a为最大边，A为三角形最大角，根据余弦定理得cos A＝＝＝﹣，∵A∈（0，π），∴A＝．则这个三角形的最大角为．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，该几何体由平面将正方体截去一部分后所得，则截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为（）A．B．C．D．解：设正方体的棱长为a，由几何体的三视图得到截去的部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，∴截去几何体的体积V1＝，剩余几何体的体积为V2＝a3﹣V1＝＝，∴截去几何体的体积与剩余几何体的体积比值为：＝＝．故选：C．8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，则异面直线B1P 与CQ所成角的大小为（）A．B．C．D．解：取AA1中点E，AE中点F，连结BE，PF，FC1，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4，∵点P，Q分别为线段AB，DD1的中点，∴PF∥BF∥CQ，∴∠FPB1是异面直线B1P与CQ所成角（或所成角的补角），PF＝＝，PB1＝＝2，FC1＝＝5，∴PF2+B1P2＝FB12，∴异面直线B1P与CQ所成角为．故选：A．9．已知点A（﹣4，0），B（3，﹣1），若直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）解：直线y＝kx+2经过定点M（0，2），点A（﹣4，0），B（3，﹣1），直线MA的斜率为＝，直线MB的斜率为＝﹣1，∵直线y＝kx+2与线段AB恒有公共点，故k≥，或k≤﹣1，故选：D．10．已知0＜a＜1，0＜b＜1，则+++的最小值为（）A．2B．2C．2D．4解：如图，令O（0，0），C（0，1），A（1，0），B（1，1），可得+++＝|PO|+|PC|+|PA|+|PB|，又|PO|+|PC|+|PA|+|PB|≥|AC|+|OB|＝2．则+++的最小值为2．故选：B．11．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，且三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在一个正方体的顶点上，则该正方体的表面积为（）A．12B．18C．24D．36解：若三棱锥A﹣BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝2，BD＝2，如图所示：所以CD＝，所以S表面积＝6×2×2＝24．故选：C．12．已知函数y＝f（x）满足f（x）+f（1﹣x）＝1，若数列{a n}满足a n＝f（0）+f（）+f （）+…+f（）+f（1），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．33C．D．34解：∵a n＝f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴a n＝f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0），又f（x）+f（1﹣x）＝1，∴+…+＝n+1，∴．∴数列{a n}的首项a1＝1，公差为d＝．则数列{a n}的前10项和为．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上对应题的横线上．13．已知实数x，y满足，则z＝x+2y的最小值为﹣3．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，﹣1）．化z＝x+2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1+2×（﹣1）＝﹣3．故答案为：﹣3．14．关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（）．解：由于关于x的一元二次方程mx2﹣（1﹣m）x+m＝0没有实数根，故它的判别式△＝（1﹣m）2﹣4m•m＜0，且m≠0，求得m＞或m＜﹣1，故m的范围为（﹣∞，﹣1）∪（）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（）．15．《莱因德纸草书》（RhindPapyus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使得每个人所得成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的1份为．解：设每人分得的数量构成等差数列{a n}，d＞0，则a5+a4+a3＝7（a1+a2），S5＝100，所以，解可得，a1＝，d＝，∴a5＝＝．故答案为：16．设三棱锥S﹣ABC的底面和侧面都是全等的正三角形，P是棱SA的中点．记直线PB 与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则a，β，γ中最大的是α，最小的是β．解：如图，取BC中点D，作SO⊥平面ABC于点O，由题意知O在AD上，且AO＝2OD，作PE∥AC，PE∩SC＝E，作PF⊥AD于F，则PF⊥平面ABC，取AC中点M，连结BM，SM，设SM交PE于点H，连结BH，由题意知BH⊥PE，作PG⊥AC于点G，连结FG，由面面垂直的性质定理可得FG⊥AC，作FN⊥BM于点N，由作图知平面PGF∥平面SMB，PH∥FN，∴PH＝FN，∴直线PB与直线AC所成角α＝∠BPE，直线PB与平面ABC所成角β＝∠PBF，二面角P﹣AC﹣B的平面角γ＝∠PGF，cosα＝＝cosβ，∵α，β∈[0，]，∴α＞β，∵tanγ＝＞＝tanβ，且γ∈[0，]，∴γ＞β，设AB＝2，则PH＝，PB＝BH＝SN＝BM＝＝，PG＝＝，GF＝＝＝，BH＝＝，cosα＝＝＜cosγ＝＝＝，∴α＞γ．∴a，β，γ中最大的是α，最小的是β．故答案为：α；β．三、解答题：共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知x＞y＞0，z＞0，求证：（1）＜；（2）（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．【解答】证明：（1）因为x＞y＞0，∴，∴，∴，又z＞0，∴＜．（2）∵x＞y＞0，z＞0，∴，∴，当且仅当x＝y＝z时，等号成立，∵x＞y，∴上式中等号不能同时取得，∴（x+y）（x+z）（y+z）＞8xyz．18．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝﹣，β是第三象限角．（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．解：（1）已知sinα＝，α∈（，π），所以，由于cosβ＝﹣，β是第三象限角．所以．故：cos（α+β）＝．（2）由于，，故＝19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，b＝，B＝2A．（1）求sin A；（2）求△ABC的面积．解：（1）由正弦定理知，＝，因为B＝2A，所以＝，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以sin A＝＝．（2）由余弦定理知，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以，整理得，2c2﹣5c+2＝0，解得c＝2或．当c＝2＝a时，有A＝C，因为B＝2A，所以A＝C＝，所以sin A＝，与（1）中结论相矛盾，不符合题意，故c＝．所以△ABC的面积＝＝．20．已知A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），试求点D的坐标，使四边形ABCD为等腰梯形．解：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），设D（x，y），若AB∥DC，则，解得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．若AD∥BC，则，求得，或（此时，ABCD为平行四边形，故舍去）．当AC∥BD时，根据四边形ABCD字母顺序可得，它根本不会是梯形，不满足条件．综上，点D的坐标为（﹣2，3）、（﹣，）．21．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n═2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由题意，令b n＝，则b n＝＝，则T n＝b1+b2+b3+…+b n＝1+++…+，T n＝++…++，两式相减，可得T n＝1+++…+﹣＝1+（1++…+）﹣＝1+﹣＝3﹣，∴T n＝6﹣．22．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，B1E⊥EC．（1）证明：B1E⊥平面EBC；（2）若点E为棱AA1的中点，AB＝2；（i）求四棱锥E﹣BB1C1C的体积；（ii）求直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：（1）证明：由长方体的性质可知，BC⊥平面ABB1A1，∵B1E⊂平面ABB1A1，∴BC⊥B1E，∵B1E⊥EC，BC∩EC＝C，BC、EC⊂平面EBC，∴B1E⊥平面EBC．（2）（i）由（1）知，∠BEB1＝90°，由题设可知，Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝2，AA1＝2AE＝4，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴点E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝2，∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝•d•＝＝．（ii）取棱BB1的中点F，连接EF、C1F，则EF∥AB，EF＝AB＝2，∵AB⊥平面BB1C1C，∴EF⊥平面BB1C1C，则∠EC1F为直线EC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△FB1C1中，FC1＝＝＝，∴tan∠EC1F＝＝＝，∴sin∠EC1F＝．故直线EC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为．。
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省南通市通州区高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．36．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.810．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有条．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知，是单位向量，且⊥，则•（﹣）＝（）A．﹣1B．0C．1D．【分析】由已知结合向量的数量积的性质即可求解．解：∵，是单位向量，且⊥，∴＝0，•（﹣）＝＝﹣1．故选：A．2．在△ABC中，若sin A：sin B：sin C＝3：5：7，则C＝（）A．30°B．60°C．120°D．150°【分析】利用正弦定理把已知比例中的角的正弦化成边，分别设出三边的长，利用余弦定理求得答案．解：由正弦定理知＝2R，∴sin A＝，sin B＝，sin C＝，∵sin A：sin B：sin C＝3：5：7，∴a：b：c＝3：5：7，设a＝3t，b＝5t，c＝7t，∴cos C＝＝＝﹣，∵0°＜C＜180°，∴C＝120°．故选：C．3．使式子有意义的x的取值范围是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．[﹣2，3]D．（2，3]【分析】由题意可得，，解不等式即可求解．解：由题意可得，，解可得2＜x＜3．故选：B．4．已知角α的终边为，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．解：∵角α的终边落在射线y＝x（x≥0）上，∴tanα＝，可得cosα＝，又∵sin2α+cos2α＝sin2α+（）2＝1，解得sinα＝，则＝﹣sinα＝﹣．故选：D．5．设集合，则A∩B中的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】列方程组，求出A∩B，由此能求出A∩B中的元素的个数．解：∵集合，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（﹣1，0），（0，1），（1，0）}．∴A∩B中的元素个数为3．故选：D．6．我国古代典籍《周易》中用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，如图就是一个重卦，已知某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，若后3个爻随机产生，则该重卦恰含2个阳爻的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，由此能求出该重卦恰含2个阳爻的概率．解：每一“重卦”由从上到下排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“﹣﹣”，某重卦从上到下排列的前3个爻均为阴爻，后3个爻随机产生，基本事件总数n＝23＝8，该重卦恰含2个阳爻包含的基本事件个数m＝，则该重卦恰含2个阳爻的概率为P＝．故选：B．7．已知球O的表面积为16π，球心O到球内一点P的距离为1，则过点P的截面的面积的最小值为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【分析】由题意可得当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，先球的表面积求出球的帮忙，再由r2＝R2﹣OP2求出截面的半径r2，进而求出截面的最小面积．解：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2﹣OP2所以当OP垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由题意可得4πR2＝16，所以R2＝4，由r2＝R2﹣OP2＝4﹣1＝3，所以截面的面积的最小值为S＝πr2＝3π，故选：A．8．设直线l过点P（1，2），在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足题设的直线l的条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】分两种情况考虑：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，可求．解：当直线在坐标轴上的截距为0，则可设y＝kx，因为直线过P（2，1），则1＝2k即k＝，此时直线方程为y＝，当直线在坐标轴上的截距不为0，则可设，由题意可得|a|＝|b|且，解可得，a＝b＝3或b＝1，a＝﹣1，综上可得，满足条件的直线有3条．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．10．设a，b均为正数，且a+2b＝1，则下列结论正确的是（）A．ab有最大值B．有最大值C．a2+b2有最小值D．a2﹣b2有最小值【分析】由已知结合基本不等式及二次函数的性质分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，a+2b＝1，由基本不等式可得1＝a+2b，解可得，ab，当且仅当a＝2b＝即a＝，b＝时取等号，故A正确；∵（）2＝×2＝1+2≤2，∴，即最大值，故B正确；∵，∴，结合二次函数的性质可知，a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，故C正确；因为，结合二次函数的性质可得，a2﹣b2＝（1﹣2b）2﹣b2＝3b2﹣4b+1＞，故D错误．故选：ABC．11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列结论正确的是（）A．异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°B．四面体D1DBC的每个面都是直角三角形C．二面角D1﹣BC﹣B1的大小为30°D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为【分析】证明线面垂直，得到线线垂直判定A；由正方体的结构特征及直线与平面垂直的性质判断B；求出二面角D1﹣BC﹣B1的大小判断C；分别求出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球与外接球的半径，作差判断D．解：如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BB1C1C，则D1C1⊥B1C，又B1C⊥BC1，D1C1∩BC1＝C1，∴B1C⊥平面BC1D1，则B1C⊥BD1，即异面直线BD1与B1C所成的角大小为90°，故A正确；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥DB，DD1⊥DC，再由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥DC，BC⊥D1C，得四面体D1DBC的每个面都是直角三角形，故B正确；由BC⊥平面DD1C1C，可得BC⊥D1C，BC⊥CC1，即∠D1CC1为二面角D1﹣BC﹣B1的平面角，大小为45°，故C错误；正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球的半径为，外接球的半径为，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为，故D正确．故选：ABD．12．某同学在研究函数f（x）＝+|x﹣1|的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为f（x）＝，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，（1，+∞）上单调递增B．函数f（x）的最小值为，没有最大值C．存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x＝t对称D．方程f（x）＝2的实根个数为2【分析】由题意画出图形，利用动点到两定点距离和的变化判断A；求出最小值，分析无最大值判断B；由对称性的定义判断C；由单调性与函数值的关系判断D．解：f（x））＝可理解为动点P（x，0）到两个定定点A（0，1），B（1，0）的距离和．如图：当x＜0时，随着x的增大，P越靠近原点O，PA越小，PB越小，则PA+PB越小，即f（x）越小，函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，当x＞1时，随着x的增大，P越远离点B，PA越大，PB越大，则PA+PB越大，即f （x）越大，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，故A正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，P越向左远离O或向右远离B，PA+PB越大，无最大值，即函数f（x）的最小值为，没有最大值，故B正确；当P与B重合时，PA+PB最小为，若函数f（x）有对称轴，则对称轴方程为x＝1，而f（0）＝2，f（2）＝，f（0）≠f（2），则x＝1不是对称轴，∴存在实数t，使得函数f（x）的图象关于直线x ＝t对称错误，故C错误；∵当P与O重合时，f（x）＝2，当x＜0时，f（x）＞2，当0＜x＜1时，f（x）∈（，2），当x＞1时，f（x）＞．由f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴有一个x0＞，使得f（x）＝2，则方程f（x）＝2的实根个数为2，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间中，已知直线l，两个不同的平面α，β，下列三个条件中，一定能推出“α∥β”的条件序号是②．①l∥α，l∥β；②l⊥α，l⊥β；③l⊥α，l∥β【分析】对于①，α与β相交或平行；对于②，由面面平行的判定定理得α∥β；对于③，α与β相交或平行．解：由直线l，两个不同的平面α，β，知：对于①，l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故①错误；对于②，l⊥α，l⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；对于③，l⊥α，l∥β，则α与β相交或平行，故③错误．故答案为：②．14．圆C1：x2+（y﹣1）2＝4与圆C2：（x﹣3）2+y2＝1的公切线共有4条．【分析】根据题意，分析两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系分析可得两圆相离，据此分析可得答案．解：圆C1：x2+（y﹣1）2＝4，圆心C1（0，1），半径为2，圆C2：（x﹣3）2+y2＝4，圆心C2（3，0），半径为1，两圆的圆心距为＞2+1＝3，正好大于两圆的半径之和，故两圆相离，故两圆的公切线有4条，故答案为：4．15．函数的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为2．【分析】由题意利用点到直线的距离公式、基本不等式，求得结果．解：设函数的图象上一点A（a，a﹣），则A到坐标原点的距离的平方的为a2+＝2a2+﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当a2＝时，取等号，故答案为：2﹣2．16．某地积极创建全国文明城市，考虑环保和美观，为城区街道统一换置了新型垃圾桶（如图），已知该垃圾桶由上、下两部分组成（上部为多面体，下部为长方体，高度比为1：2），垃圾桶最上面是正方形，与之相邻的四个面都是全等三角形，垃圾投入口是边长为a的正六边形，该垃圾桶下部长方体的容积为12a3，该垃圾桶的顶部面积（最上面正方形及与之相邻的四个三角形的面积之和）为a2．【分析】由正六边形的边长求出下部长方体的底面边长及高，再求出上面正方形的对角线长，得到正方形的边长，然后利用长方体体积公式及正方形与三角形的面积公式求解．解：如图，由正六边形边长为a，可得AD＝，则AC＝，OB＝a．由题意，下部长方体的底面为边长是a的正方形，高为4a，∴下部长方体的体积为；最上面正方形的对角线长为，则正方形边长为．∴每一个小三角形是等腰三角形，底边长为，腰长为a，则一个小三角形的面积为＝．∴垃圾桶的顶部面积为＝．故答案为：12a3；．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①sin A＝ab这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，使得△ABC存在且唯一，并解答补充完整后的问题．问题：在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos B＝，____，____，求△ABC的面积．【分析】选①②，由已知结合正弦定理可得a，b关系，然后结合余弦定理即可求解；选①③结合已知及正弦定理进行化简即可判断；选②③，由余弦定理可得cos C＝﹣，结合范围0＜C＜π，可求C的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，在△ABC中，由正弦定理可得b的值，可得a2+a ﹣4＝0，解方程可求a的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：选①②由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为c＝，cos B＝＝＝，解可得，b＝1或b＝5，此时三角形的解不唯一，选①③由sin A＝sin B，结合正弦定理可得a＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，联立此时a，b不存在，选②③，在△ABC中，由余弦定理可得cos C＝，因为a2+b2+c2＝﹣ab，①所以cos C＝﹣，又0＜C＜π，可得C＝，因为sin2B+cos2B＝1，cos B＝，由于0＜B＜π，所以sin B＝，在△ABC中，由正弦定理，可得b＝＝＝1，又c＝，代入①中，可得a2+a﹣4＝0，解得a＝（负值舍去），于是△ABC存在且唯一，所以S△ABC＝ab sin C＝＝．18．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如图：（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；（3）从样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．【分析】（1）利用分层抽样能估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为22人，样本总数为50，由此能求出样本中阅读时间在60分钟以上的频率．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，利用列举法能求出至少有1人阅读时间在75～90之间的概率．解：（1）∵以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，∴该校高二年级选修物理的人数约为：（6+9+9+3+2+1）×10＝300（人），∴该校高二年级选修历史的人数约为：500﹣300＝200（人）．（2）样本中，阅读时间在60分钟以上的人数为：（3+2+1）+（9+6+1）＝22（人），∵样本总数为：10%×500＝50，∴样本中阅读时间在60分钟以上的频率为：．（3）样本中阅读时间在60～90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在60～75分钟的共有3人，记为a1，a2，a3，另一类是阅读时间在75～90分钟的共有2人，记为b1，b2，从这5人中任选2人，共有10种等可能基本事件，分别为：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2），记事件A为：“至少有1人阅读时间在75～90之间”，则事件为：“2人阅读都在60～75之间”，且包含3个基本事件：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），∴至少有1人阅读时间在75～90之间的概率为：P＝1﹣P（）＝1﹣．19．为了解某小卖部冷饮销量与气温之间的关系，随机统计并制作了6天卖出的冷饮的数量与当天最高气温的对照表：气温x（℃）272930323335数量y121520272836（1）画出散点图，并求出y关于x的线性回归方程；（2）根据天气预报，某天最高气温为36.6℃，请你根据这些数据预测这天小卖部卖出的冷饮数量．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的回归直线y＝a+bx的斜率和截距的最小二乘估计为＝，a＝﹣．【分析】（1）根据题意画出散点图，计算、，求出回归系数、，写出回归方程；（2）计算x＝36.6时的值，即可预测这天小卖部卖出的冷饮数量．解：（1）根据题意画出散点图，如图所示；根据销量与气温对照表知，＝×（27+29+30+32+33+35）＝31，＝×（12+15+20+27+28+36）＝23；所以＝＝＝＝，＝﹣＝23﹣×31＝﹣；所以y关于x的线性回归方程是＝x﹣，（2）计算x＝36.6时，＝×36.6﹣＝40.2≈40，所以当气温为36.6℃时，可预测这天小卖部卖出的冷饮数量为40．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，且AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝PD，点M为AD中点，平面PAD⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为．（1）求证：BM∥平面PCD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）用一个平面去截四棱锥P﹣ABCD，请作出一个平行四边形截面（无须证明），并写出你能作出的平行四边形截面的个数．【分析】（1）推导出BC∥MD，BC＝MD，四边形BCDM是平行四边形，从而BM∥CD，由此能证明BM∥平面PCD．（2）连结PM，推导出PM⊥AD，PM⊥平面ABCD，四棱锥P﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD ＝．（3）取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．解：（1）证明：∵AD∥BC，BC＝1，AD＝2，点M为AD的中点，∴BC∥MD，BC＝MD，∴四边形BCDM是平行四边形，∴BM∥CD，∵BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD．（2）解：连结PM，∵PA＝PD，M为AD的中点，∴PM⊥AD，又平面PAD⊥平面ABC，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，∴PM⊥平面ABCD，∴直线PB与平面ABCD所成角为∠PBM，且tan∠PBM＝＝，∵∠BAD＝90°，AB＝AM＝1，∴BM＝，PM＝1，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为：V P﹣ABCD＝＝．（3）解：取PD、PA的中点E，F，连结CE，EF，FB，则截面BCEF是平行四边形截面，作出的平行四边形截面的个数是无数个．21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在直线上，且圆心的横坐标为整数，圆C被x轴截得的弦长为8，点M（7，7）在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），与圆C相交于点A，B．问：直线OA，OB是否关于x轴对称？若对称，请证明；若不对称，请说明理由．【分析】（1）设圆C的标准方程，可得圆心坐标，由题意可得a，b的关系，再求出在x轴的弦长，由题意可得a，b，r的关系，再由点M在圆上，可得a，b，r的关系，由a为整数可得a，b，r的值，进而求出圆C的方程；（2）由题意可得直线l的方程，将直线l与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线OA，OB的斜率之和，代入整理可得斜率之和为0，可得直线OA，OB关于x轴对称．解：（1）设圆C的的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），则圆心（a，b）在直线y＝x，且圆心的横坐标为整数，所以b＝a，①在方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2中，令y＝0，则x＝a±，则圆C被x轴截得的弦长为2＝4，即r2﹣b2＝16 ②又M在圆C上，所以（7﹣a）2+（7﹣b）2＝r2，③由①②③可得2a2﹣49a+164＝0，所以a＝4或a＝（舍），所以b＝3，r2＝25，所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）因为直线l的斜率为，在y轴上的截距t（t为常数），所以直线l的方程为：y＝x+t，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线l与圆的方程，整理可得：x2+（﹣16）x+t2﹣6t＝0，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，从而k OA+k OB＝+＝＝＝＝+＝+t•＝0，所以∠AOx＝∠BOx，即直线OA，OB关于x轴对称．22．已知函数f（x）＝，其中a＞0．（1）若f（f（0））＝1，求a的值；（2）若函数f（x）的图象在x轴的上方，求a的取值范围．【分析】（1）由已知分段函数求得f（0）＝1，再对a分类利用f（f（0））＝1求a的值；（2）函数f（x）的图象在x轴的上方，即对任意x∈R，f（x）＞0成立，分x＜与x≥求解函数的最小值，由最小值大于0求解a的范围．解：（1）∵a＞0，∴＞0，从而f（0）＝1．当＞1，即0＜a＜2时，f（f（0））＝f（1）＝1﹣a+1＝1，解得a＝1符合；当≤1，即a≥2时，f（f（0））＝f（1）＝1+a﹣3＝1，解得a＝3符合．∴a的值为1或3；（2）∵函数f（x）的图象在x轴的上方，∴对任意x∈R，f（x）＞0成立．①当x＜时，x2﹣ax+1＞0恒成立，其中a＞0．若＜，即0＜a＜2，则＞0，解得0＜a＜2；若≥，即a≥2，则，解得0＜a≤2，∴a＝2．∴0＜a≤2；②当x≥时，x2+ax﹣3＞0恒成立，其中a＞0．则＞0，解得0＜a＜2．综上，0＜a＜2，∴a的取值范围为（0，2）．。
2019-2020学年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2019-2020学年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)一、选择题（每个小题5分，共12个题）1.已知集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义和集合中子集的个数的计算公式，即可求解答案．【详解】由题意集合，∴，∴的子集个数为．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算及子集个数的判定，其中熟记集合交集的运算和集合中子集个数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2.函数的定义域是( )A. (－1，＋∞)B. [－1，＋∞)C. (－1,1)∪(1，＋∞)D. [－1,1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得，∴，故选C.3.一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A. 一个棱锥B. 一个圆锥C. 两个圆锥的组合体D. 无法确定【答案】C【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体故选C4.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解．【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，所以体积为，故选B.【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先化简函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解．【详解】由题意，函数，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，则，又∵，所以，故选A.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.7.圆的圆心坐标和半径分别是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标和半径，得到答案．【详解】依题意可得：∴圆的圆心坐标和半径分别是，，故选：D【点睛】本题主要考查了圆的方程的应用，其中熟记圆的标准方程和圆的一般的形式和互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.直线截圆所得的弦长为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.中，角的对边分别为，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理，即可求解．【详解】在△ABC中，，∴则，∴由正弦定理可得：故选C【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10.在中，角的对边分别为，若，则( )A. 60°B. 120°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】【分析】根据题意，由余弦定理求得，即可求解答案．【详解】因为，由余弦定理得，又∵，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.11.已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A. B. 1 C. - D. -1【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求得的值，得到答案．【详解】等差数列中，，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质与前项和的关系，利用整体代换思想解答.12.数列的前项和为，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，数列的通项公式，所以，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列通项公式的列项、数列的列项相消求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及退了与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题解答中吧数列的通项公式化简为是解答的关键，平时注意总结和积累.二、填空题（共20分）13.已知，且是第二象限角，则___________．【答案】【解析】【分析】根据角为第二象限角，得，再由三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】因为是第二象限角，∴，又，由三角函数的基本关系式可得．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的化简求值问题，其中根据角的象限，判定三角函数的符号是解答的一个易错点，同时熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14.已知点与点，则的中点坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意与点，根据中点的坐标公式，即可求解．【详解】由题意点与点，根据中点坐标公式可得的中点坐标为，即的中点坐标为.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示及中点中点坐标公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标表示和中点的坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.函数，则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入即可求解．【详解】当时，，，当时，，.【点睛】本题主要考查了分段函数的求函数值问题，其中把握分段函数的分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.直线与直线互相垂直，则实数等于________．【答案】2【解析】【分析】利用两条直线互相垂直，列出方程，即求解．【详解】直线与直线互相垂直，则，∴，故答案为2【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中熟记两条直线的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题（共70分，17题10分其各题每题12分，要求写出必要的解题步骤）17.在等差数列{a n}中，a12=23，a42=143，a n=239，求n及公差d．【答案】n=66，d=4【解析】试题分析：由题意结合等差数列的定义可先求公差，再列关于n的方程，解方程可得试题解析：由题意可得，d==4，∴a1=﹣21∵a n=a1+（n﹣1）d=﹣21+4（n﹣1）=239，解得n=66综上，n=66，d=4.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.18.已知等比数列{a n}满足记其前n项和为(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若，求n.【答案】(1)；(2)5.【解析】【分析】（1）设出等比数列的公比，由条件得到关于的方程组，求得便可得到数列的通项公式；（2）根据前n项和得到关于n的方程，解方程可得解．【详解】(1)设等比数列{a n}的公比为，由条件得,解得，∴ an=a1q n−1=.即数列{a n}的通项公式为．(2)由题意得，解得：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，其中熟记等比数列的通项公式和前项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.如图，在中，，是边上一点，且.（1）求的长；（2）若，求的长及的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）在中由正弦定理可求得AD的长；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面积．【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，∴（2）∵，∴在中，由余弦定理得∴∴.综上，的面积为．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.在中，内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理可对进行化简，即可得到的值；（Ⅱ）利用正弦定理对进行化简，可得到，再利用的余弦定理，可求出的值.【详解】（Ⅰ）由及正弦定理，得.在中，..（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，，即，②由①②，解得.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.21.已知直线经过点，且斜率为．（1）求直线的方程．（2）求与直线平行，且过点的直线方程．（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为，代入点求出的值，即可答案．（3）可设所求直线的方程为，代入点，求得的值，即可求解直线的方程；所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．【详解】（1）由题设，根据直线的点斜式方程可得，整理得．（2）由题意，所以求直线与平行，设所求直线方程为，代入点，解得，所以直线方程为．（3）由题意，所以求直线与垂直，设所求直线的方程为，代入点，解得，所以直线方程为．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记直线的点斜式方程、直线的一般式方程等形式，合理应用和准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22.如图，在五面体中，已知平面，，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析，（2）【解析】【分析】（1）由题意，利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化，可作出证明；（2）由平面，所以有面平面，则作就可得平面，确定是三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式，可求解．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）在平面内作于点，因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，所以是三棱锥的高．在直角三角形中，，，所以，因为平面，平面，所以，又由（1）知，，且，所以，所以，所以三棱锥的体积．【点睛】本题主要考查了线面平行判定定理与性质定理，线面垂直判定定理与性质定理及三棱锥体积，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。
2019-2020学年云南省云天化中学高中联盟学校高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年云南省云天化中学高中联盟学校高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．已知直线l过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（）A．2x+y﹣2＝0B．2x﹣y+2＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．2x﹣y﹣2＝0 3．已知＝（4，2），＝（3，9），则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．5．函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．6．等差数列{a n}中，a3+a9＝12，则数列{a n}前11项和S11＝（）A．12B．60C．66D．727．已知a＝（）2，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣49．已知△ABC中，AB＝AC＝3，且||＝||，点D，E是BC边的两个三等分点，则＝（）A．3B．4C．5D．610．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣11．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．5012．直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝4相交于M，N两点，若c2＝a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围为（）A．[﹣2，6]B．[﹣2，4]C．[1，4]D．[﹣1，4]二、填空题（共4小题.）13．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+3c的最小值为．16．已知﹣，sin x+cos x＝，则2sin x cos x﹣cos2x的值为．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；18．已知函数f（x）＝，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足，．（1）求角B的大小；（2）当a+c＝9时，求a，c的值．20．已知数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+n+1}的前n项和S n．21．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．22．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为＝，求此时直线l的方程．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|y＝ln（x+1）}，B＝{x|x2﹣4≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|x≥2}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：B．2．已知直线l过圆x2+y2﹣2x＝0的圆心，且与直线2x﹣y﹣1＝0平行，则l的方程是（）A．2x+y﹣2＝0B．2x﹣y+2＝0C．2x﹣y﹣3＝0D．2x﹣y﹣2＝0【分析】由圆的方程可得圆心坐标，再由两直线平行则斜率相等求得直线l的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案．解：圆x2+y2﹣2x＝0的圆心为（1，0），由题意可知，所求直线l的斜率为2，则直线l的方程为y﹣0＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0．故选：D．3．已知＝（4，2），＝（3，9），则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】由题意可求＝（1，﹣7），可求在方向上的投影为，代入数据即可计算得解．解：∵＝（4，2），＝（3，9），∴＝（1，﹣7），∴在方向上的投影为＝＝＝﹣．故选：A．4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，则A＝（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin B≠0，可得2sin （A+）＝2，根据题意可求范围A∈（0，π），根据正弦函数的图象和性质即可求解A的值．解：∵b sin A﹣a cos B＝2b﹣c，∴由正弦定理可得：sin B sin A﹣sin A cos B＝2sin B﹣sin C，∴sin B sin A﹣sin A cos B＝2sin B﹣sin C＝2sin B﹣（sin A cos B+cos A sin B），∴sin B sin A＝2sin B﹣cos A sin B，又∵sin B≠0，∴sin A+cos A＝2，∴2sin（A+）＝2，可得A+＝+2kπ，k∈Z，又A∈（0，π），∴A＝．故选：C．5．函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则ω的一个可能取值是（）A．2B．C．D．【分析】由题意根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论．解：把函数y＝sin2ωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin（2ωx+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得＝kπ+，k∈Z，则ω的一个可能取值为，6．等差数列{a n}中，a3+a9＝12，则数列{a n}前11项和S11＝（）A．12B．60C．66D．72【分析】由等差数列的求和公式和性质可得S11＝＝，代入已知条件化简即可．解：由等差数列的求和公式可得S11＝＝＝＝66故选：C．7．已知a＝（）2，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．解：∵0＜a＝（）2＜（）0＝1，b＝2＞20＝1，c＝log2＜log1＝0，∴a，b，c的大小关系为c＜a＜b．故选：B．8．已知圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣8B．﹣6C．﹣5D．﹣4【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析其圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系可得r2＝d2+（）2，计算可得答案．解：根据题意，圆x2+y2﹣2x+2y+a＝0，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2﹣a，其圆心为（1，﹣1），半径r＝，圆心到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，又由圆截直线x+y﹣2＝0所得弦的长度为4，则有r2＝d2+（）2＝2+2＝2﹣a，解可得a＝﹣4；9．已知△ABC中，AB＝AC＝3，且||＝||，点D，E是BC边的两个三等分点，则＝（）A．3B．4C．5D．6【分析】由||＝||知，•＝0；根据平面向量的线性运算可推出＝+，＝+；故＝（+）•（+），展开后代入数据进行运算即可．解：∵||＝||，∴•＝0，∵点D是BC边的三等分点，∴＝+＝+＝+＝+，同理可得，＝+，∴＝（+）•（+）＝（）＝＝4．故选：B．10．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin（+α）和sin（﹣）的值，进而利用cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]通过余弦的两角和公式求得答案．解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）＝＝，sin（﹣）＝＝∴cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]＝cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）＝故选：C．11．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50B．0C．2D．50【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故选：C．12．直线ax+by+c＝0与圆O：x2+y2＝4相交于M，N两点，若c2＝a2+b2，P为圆O上任意一点，则的取值范围为（）A．[﹣2，6]B．[﹣2，4]C．[1，4]D．[﹣1，4]【分析】取MN的中点A，连接OA、OP，由点到直线的距离公式可得OA＝1，于是推出cos∠AON＝，cos∠MON＝，而＝cos∠MON＝﹣2，故＝（）•（）＝+﹣＝2﹣4cos∠AOP，其中cos∠AOP∈[﹣1，1]，从而得解．解：取MN的中点A，连接OA、OP，则OA⊥MN，∵c2＝a2+b2，∴点O到直线MN的距离OA＝＝1，在Rt△AON中，cos∠AON＝，∴cos∠MON＝2cos2∠AON﹣1＝＝，∴＝cos∠MON＝2×2×（）＝﹣2，∴＝（）•（）＝+﹣＝﹣2+4﹣2＝2﹣2cos∠AOP＝2﹣4cos∠AOP，当，同向时，取得最小值，为2﹣4＝﹣2；当，反向时，取得最大值，为2+4＝6．∴的取值范围为[﹣2，6]．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为﹣5．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．14．等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝﹣5．【分析】由题意利用等比数列的性质求得a3的值，再利用对数的运算性质，求得结果．解：等比数列{a n}的各项均为正数，且a2a4＝＝，∴a3＝则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝＝5log2a3＝5•（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+3c的最小值为8+4．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．解：如图所示，则△ABC的面积为ac sin120°＝a•2sin60°+c•2sin60°，即ac＝2a+2c，∴．∴a+3c＝（a+3c）（）×2＝2×＝8+4．当且仅当时取等号．所以，a+3c的最小值为8+4．答案为：8+4．16．已知﹣，sin x+cos x＝，则2sin x cos x﹣cos2x的值为﹣．【分析】由已知可得|cos x|＞|sin x|，可求范围﹣＜2x＜0，将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sin2x，cos2x的值，根据二倍角公式化简所求即可计算求解．解：∵﹣，sin x+cos x＝，∴|cos x|＞|sin x|，∴﹣＜x＜0，﹣＜2x＜0，∵sin x+cos x＝，两边平方，可得sin2x＝﹣，cos2x＝，∴2sin x cos x﹣cos2x＝sin2x﹣＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（Ⅰ）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；【分析】（Ⅰ）化圆C的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再求出直线l的方程，由点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，求出PC所在直线当斜率，可得直线l的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．解：（Ⅰ）化圆C：x2+y2﹣2x﹣11＝0为（x﹣1）2+y2＝12，圆心坐标为C（1，0），半径R＝．直线l的倾斜角为45°，则斜率为1，又直线l过点P（2，2），则直线方程为y﹣2＝x﹣2，即x﹣y＝0．圆心C到直线l的距离d＝，圆的半径为，则弦AB的长为；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，l⊥PC．又，∴直线l的斜率为，则直线l的方程为y﹣2＝（x﹣2），即x+2y﹣6＝0．18．已知函数f（x）＝，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝a，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用函数的关系式和数列的递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．（Ⅲ）利用裂项相消法求出数列的和．解：（Ⅰ）函数，由于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝f（）．所以a n+1﹣a n＝1（常数），所以数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n＝1+n﹣1＝n．（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n＝a＝n•2n，所以①，②，①﹣②得整理得．（Ⅲ）c n＝＝所以＝．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为S且满足，．（1）求角B的大小；（2）当a+c＝9时，求a，c的值．【分析】（1）利用已知条件，结合三角形的面积，通过余弦定理，转化求解B的大小即可．（2）利用余弦定理结合a+c＝9，求解即可．解：（1）由，得：，化简得，∴，又0＜B＜π，∴B＝60°．（2）由（1）及余弦定理得：21＝a2+c2﹣2ac cos60°，∴a2+c2﹣ac＝21，与a+c＝9联立：，解之得：．20．已知数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；（1）证明：数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n+n+1}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等比数列的定义和构造新数列法求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）数列{a n}满足：a1＝1，且﹣1，a n，a n+1成等差数列；所以2a n＝﹣1+a n+1，整理得a n+1＝2a n+1，故a n+1+1＝2（a n+1），所以（常数），所以数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以，整理得．（2）由（1）得：，所以＝．21．已知向量＝（m，cos2x），＝（sin2x，n），设函数f（x）＝•，且y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．【分析】（Ⅰ）首先根据向量的数量积的坐标运算求得f（x）＝m sin2x+n cos2x，进一步根据图象经过的点求得：m和n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＝，f（x）向左平移φ个单位得到g（x）＝2sin（2x+2Φ+）设g（x）的对称轴x＝x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，进一步求得单调区间．解：（Ⅰ）已知：，，则：＝m sin2x+n cos2x，y＝f（x）的图象过点y＝f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m＝，n＝1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：＝，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）＝2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x＝x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）＝2，解得：Φ＝，所以：g（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m＝，n＝1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）22．已知圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．（Ⅰ）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为＝，求此时直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由直线系方程说明直线l过定点P（1，1），再由P在圆C内，说明直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）当M与P不重合时，连接CM，CP，则CM⊥MP，可得|CM|2+|MP|2＝|CP|2，设M（x，y）（x≠1），代入整理可得M的轨迹方程；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝，得，可得x2＝3﹣2x1，联立直线方程与圆的方程，得到，解得，代入关于x的方程求得m值，则直线方程可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵直线l：mx﹣y+1﹣m＝0过定点P（1，1），而P（1，1）在圆C：x2+y2﹣2y﹣4＝0内，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；（Ⅱ）解：如图，当M与P不重合时，连接CM，CP，则CM⊥MP，∴|CM|2+|MP|2＝|CP|2．设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1＝0（x≠1）；当M与P重合时，x＝1，y＝1也满足上式，故弦AB的中点的轨迹为x2+y2﹣x﹣2y+1＝0；（Ⅲ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由＝，得，∴，化简得x2＝3﹣2x1，①又由，消去y得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5＝0（*）．∴，②由①②解得，代入（*）解得m＝±1．∴直线l的方程为x﹣y＝0或x+y﹣2＝0．。
2019-2020学年辽宁省辽阳市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省辽阳市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．sin（﹣480°）等于（）A．﹣B．C．﹣D．2．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）A．三棱柱B．四棱锥C．四棱柱D．五棱台3．已知复数z满足z（1+i）＝2i8，则z的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b═3，c＝2，A＝，则a＝（）A．5B．C．29D．5．平面向量＝（1，m），＝（﹣1，），且|﹣|＝||，则||＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，B＝，a＝2，则△ABC的面积为（）A．B．9﹣3C．D．3+97．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y＝cos B．y＝sin（2x+3π）C．y＝cos（π+2x）D．y＝|cos（x﹣）|9．如图，在△ABC中，＝3，＝3，则＝（）A．+B．+C．+D．+10．已知直线x＝是函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（0＜ω≤8）图象的一条对称轴，则ω＝（）A．2B．4C．6D．811．已知正方形ABCD的边长是4，将△ABC沿对角线AC折到△AB'C的位置，连接B'D．在翻折过程中，给出以下结论：①AB'⊥平面B'CD恒成立；②三棱锥B'﹣ACD的外接球的表面积始终是32π；③当二面角B'﹣AC﹣D为时，B'D＝4；④三棱锥B'﹣ACD体积的最大值是．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．412．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是．14．在复平面内，复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是．15．已知点P（1，3）是角α终边上的一点，则tan（α+）＝．16．已知O为△ABC内一点，且满足+3+5＝，延长AO交BC于点D．若＝λ，则λ＝．三、解答题：本题共6小题，共70分要求写出必要的文字说明和解题过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A cos C＝a sin B sin C﹣b；②b sin B cos C+c sin2B＝a cos B；③+a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD＞AB，AD＝2，AB＝6，若____，求△ACD的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1，E，F，G，H分别是棱AB，AA1，CC1，C1D1的中点．（1）证明：C1E⊥B1C．（2）证明：平面DEF∥平面B1GH．19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．（1）若∥，求λ的值；（2）若⊥，求||．20．已知向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，且α∈（0，π），求+及t的值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，E是PB的中点，AF⊥PC，垂足为F．（1）证明：PD∥平面ACE．（2）求三棱锥A﹣CEF的体积．22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，求b﹣a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．sin（﹣480°）等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】所求式子中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．解：sin（﹣480°）＝﹣sin480°＝﹣sin（360°+120°）＝﹣sin120°＝﹣．故选：C．2．一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（）A．三棱柱B．四棱锥C．四棱柱D．五棱台【分析】通过棱锥，棱柱，棱台的顶点个数，判断选项即可．解：三棱柱上下两个平面都是三角形，有6个顶点，满足题意，A正确；四棱锥5个顶点，B不正确；四棱柱，有8的顶点，C不正确；五棱台有10个顶点，D不正确；故选：A．3．已知复数z满足z（1+i）＝2i8，则z的虚部为（）A．1B．i C．﹣1D．﹣i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+i）＝2i8＝2，得z＝，∴z的虚部为﹣1．故选：C．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b═3，c＝2，A＝，则a＝（）A．5B．C．29D．【分析】直接利用余弦定理求出结果．解：已知b═3，c＝2，A＝，利用余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+8﹣，解得a＝．故选：B．5．平面向量＝（1，m），＝（﹣1，），且|﹣|＝||，则||＝（）A．B．C．D．【分析】本题先对|﹣|＝||两边进行平方，转化成向量进行计算，化简整理可得，然后根据向量内积的坐标运算可解出m的值，即可计算出||的值．解：依题意，由|﹣|＝||，可得|﹣|2＝||2，即（﹣）2＝（）2，化简整理，得，∴1×（﹣1）+m×＝0，解得m＝，∴＝（1，），∴||＝＝．故选：A．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知A＝，B＝，a＝2，则△ABC的面积为（）A．B．9﹣3C．D．3+9【分析】由已知利用正弦定理可得b的值，根据两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式即可计算得解．解：∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，可得b＝＝＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝ab sin（A+B）＝ab（sin cos+cos sin）＝（）＝．故选：C．7．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，则异面直线AC1与BC所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由BC∥B1C1，得∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成角（或所成角的补角），连结AB1，推导出B1C1⊥A1B1，B1C1⊥BB1，从而得到B1C1⊥平面ABB1A1，B1C1⊥AB1，由此能求出异面直线AC1与BC所成角的余弦值．解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵BC∥B1C1，∴∠AC1B1是异面直线AC1与BC所成角（或所成角的补角），如图，连结AB1，∵四边形BCC1B1为正方形，BC＝2AB＝4，AB⊥BC，∴B1C1⊥A1B1，B1C1⊥BB1，∵A1B1∩BB1＝B1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥AB1，AB1＝＝2，AC1＝＝6，∴cos∠AC1B1＝，∴异面直线AC1与BC所成角的余弦值为．故选：C．8．下列函数中，周期为π的奇函数是（）A．y＝cos B．y＝sin（2x+3π）C．y＝cos（π+2x）D．y＝|cos（x﹣）|【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与周期性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝cos＝﹣sin，是奇函数，周期T＝＝4π，不符合题意；对于B，y＝sin（2x+3π）＝﹣sin2x，是奇函数，周期T＝＝π，符合题意；对于C，y＝cos（π+2x）＝cos x，是偶函数，不符合题意；对于D，y＝|cos（x﹣）|＝|sin x|，是偶函数，不符合题意；故选：B．9．如图，在△ABC中，＝3，＝3，则＝（）A．+B．+C．+D．+【分析】根据条件＝，结合＝3，代入化简可得＝，再由向量加法法则可得答案解：因为＝3，即有＝，因为＝3，所以＝，则＝＝（）＝，所以＝＝，故选：A．10．已知直线x＝是函数f（x）＝sin2+sinωx﹣（0＜ω≤8）图象的一条对称轴，则ω＝（）A．2B．4C．6D．8【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin2+sinωx﹣＝ωx）+ωx﹣＝sin （ωx﹣），令：ω﹣＝（k∈Z），解得ω＝4+（k∈Z），由于0＜ω≤8，所以ω＝4．故选：B．11．已知正方形ABCD的边长是4，将△ABC沿对角线AC折到△AB'C的位置，连接B'D．在翻折过程中，给出以下结论：①AB'⊥平面B'CD恒成立；②三棱锥B'﹣ACD的外接球的表面积始终是32π；③当二面角B'﹣AC﹣D为时，B'D＝4；④三棱锥B'﹣ACD体积的最大值是．其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】对于①，若AB′⊥平面B′CD，则AB′⊥CD，推导出平面AB′D⊥平面ACD，在翻折过程中，B′始终在BD正上方，平面AB′D⊥平面ACD不成立；对于②，取AC中点O，推导出三棱锥B′﹣ACD的外接球半径R＝2，其表面积S ＝32π；对于③，当二面角B′﹣AC﹣D为时，OB′⊥OD，从而B′D＝4；对于④，当平面B′AC⊥平面ACD时，三棱锥B′﹣ACD的体积取最大值．解：对于①若AB′⊥平面B′CD，则AB′⊥CD，∵CD⊥AD，∴CD⊥平面AB′D，∵CD⊂平面ACD，∴平面AB′D⊥平面ACD，∵在翻折过程中，B′始终在BD正上方，不可能在AD正上方，∴平面AB′D⊥平面ACD不成立，故①错误；对于②，取AC中点O，∵ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OB′＝OC＝OD＝2，则三棱锥B′﹣ACD的外接球半径R＝2，其表面积S＝4πR2＝32π，故②正确；对于③，当二面角B′﹣AC﹣D为时，OB′⊥OD，∴B′D＝，故③正确；对于④，当平面B′AC⊥平面ACD时，三棱锥B′﹣ACD的体积取最大值，最大值为×42×＝，故④正确．故选：C．12．将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在[0，]上的最大值为，则ω的取值个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得f（x）的解析式，再由x的范围求得ωx ﹣的范围，结合y＝f（x）在[0，]上的最大值为，分类求解得答案．解：将函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（x﹣）的图象．再将横坐标缩短为原来的（ω＞0）得到函数y＝f（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∵x∈[0，]上，∴ωx﹣∈[﹣，π]，当π≥，即ω≥4时，则＝1，求得ω＝5．当π＜，即0＜ω＜4时，由题意可得sinπ＝，作出函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象如图：由图可知，此时函数y＝sin[（x﹣1）]与y＝的图象有唯一交点，则sinπ＝有唯一解．综上，ω的取值个数为2．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上. 13．已知扇形的半径与面积都为2，则这个扇形的圆心角的弧度数是1．【分析】设扇形的圆心角为α，由此求出弧长和面积，列方程求得α的值．解：设扇形的圆心角为α，则弧长l＝2α，所以扇形的面积为：S＝rl＝×2×2α＝2，解得α＝1．故答案为：1．14．在复平面内，复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是．【分析】把复数2i直接乘以旋转复数cos+i sin得答案．解：复数z＝2i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得复数为2i（cos+i sin）＝2i（）＝﹣+i．故答案为：+i．15．已知点P（1，3）是角α终边上的一点，则tan（α+）＝﹣2．【分析】直接利用三角函数的定义和和角公式的运用求出结果．解：点P（1，3）是角α终边上的一点，所以tanα＝3，则：＝﹣2．故答案为：﹣216．已知O为△ABC内一点，且满足+3+5＝，延长AO交BC于点D．若＝λ，则λ＝．【分析】条件可整理为＝+，结合＝λ，得到＝+，设＝k，列出关于λ，k的方程组，解之即可．解：因为+3+5＝，所以+5（）＝，所以9＝3+5，则＝+，因为＝λ，即﹣＝λ（），所以＝+，设＝k＝+，则，解得，故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分要求写出必要的文字说明和解题过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①b cos A cos C＝a sin B sin C﹣b；②b sin B cos C+c sin2B＝a cos B；③+a＝2c这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知D是BC上的一点，BC＝2BD＞AB，AD＝2，AB＝6，若____，求△ACD的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】若选择①，利用正弦定理，两角差的余弦函数公式化简已知等式，结合sin B≠0，可求cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝；若选择②，利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin A≠0，可求tan B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝；若选择③，利用两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin C≠0，可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B＝，在△ABD中，由余弦定理可得BD的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．解：若选择①，则sin B cos A cos C＝sin A sin B sin C﹣sin B，因为sin B≠0，所以cos A cos C﹣sin A sin C＝﹣，即cos（A+C）＝﹣，因为B＝π﹣（A+C），所以cos（A+C）＝﹣cos B＝﹣，即cos B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．若选择②，则sin2B cos C+sin C sin2B＝sin A cos B，即sin2B cos C+sin C sin B cos B＝sin A cos B，可得sin B sin（B+C）＝sin A cos B，可得sin B sin A＝sin A cos B，因为sin A≠0，可得sin B＝cos B，可得tan B＝，因为B∈（0，π），所以B＝．若选择③，则sin B cos A+sin A cos B＝2sin C cos B，即sin（B+A）＝2sin C cos B，可得sin C ＝2sin C cos B，因为sin C≠0，可得cos B＝，因为B∈（0，π），所以B＝，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，可得28＝36+BD2﹣2×，解得BD＝4，或2，因为BC＝2BD＞AB＝6，所以BD＝4，所以BC＝2BD＝8，所以S△ACD＝S△ABD＝AB•BD•sin B＝＝6．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1，E，F，G，H分别是棱AB，AA1，CC1，C1D1的中点．（1）证明：C1E⊥B1C．（2）证明：平面DEF∥平面B1GH．【分析】（1）连接BC1，可证四边形BCC1B1为正方形，得B1C⊥BC1，再由AB⊥平面BCC1B1，得AB⊥B1C，利用直线与平面垂直的判定可得B1C⊥平面BEC1，从而得C1E ⊥B1C；（2）由E，F，G，H分别是AB，AA1，CC1，C1D1的中点，可得EF∥GH，ED∥B1H，由直线与平面平行的判定可得EF∥平面B1GH，同理可证ED∥平面B1GH，由平面与平面平行的判定可得平面DEF∥平面B1GH．【解答】证明：（1）连接BC1，EC1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BC＝CC1，∴四边形BCC1B1为正方形，则B1C⊥BC1，又AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，∵AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面BEC1，∴B1C⊥平面BEC1，而C1E⊂平面BEC1，∴C1E⊥B1C；（2）∵E，F，G，H分别是AB，AA1，CC1，C1D1的中点，∴可得EF∥GH，ED∥B1H，∵EF⊄平面B1GH，GH⊂平面B1GH，∴EF∥平面B1GH，同理可证ED∥平面B1GH，∵ED∩EF＝E，ED，EF⊂平面DEF，∴平面DEF∥平面B1GH．19．已知单位向量，的夹角为，向量＝λ﹣，向量＝2+3．（1）若∥，求λ的值；（2）若⊥，求||．【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出λ的值．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出λ的值，可得，从而求出||．解：（1）∵单位向量，的夹角为，∴与不共线．∵向量＝λ﹣，向量＝2+3，若∥，则＝，∴λ＝﹣．（2）若⊥，∵•＝1×1×cos＝﹣．∴•＝（λ﹣）•（2+3）＝2λ+（3λ﹣2）•﹣3＝2λ+（3λ﹣2）•（﹣）﹣3＝0，求得λ＝4，∴＝4﹣，∴||＝＝＝＝．20．已知向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•．（1）求f（x）的最大值；（2）若f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，且α∈（0，π），求+及t的值．【分析】（1）通过向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，结合三角函数的最值求解即可．（2）利用方程的根，推出三角函数关系式，然后转化求解表达式的值即可．解：（1）向量＝（cos（x﹣），sin（x﹣）），向量＝（，﹣1），函数f（x）＝•＝cos（x﹣）﹣sin（x﹣）＝2cos（x﹣+）＝2cos x，所以函数f（x）的最大值为2．（2）f（﹣α），f（﹣α）是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，即2cosα与2sinα，α∈（0，π），是关于x的方程25x2﹣10x+t＝0的两根，所以2cosα+2sinα＝，4cosαsinα＝，因为（cosα+sinα）2＝1+2cosαsinα，所以，解得t＝﹣48．所以+＝＝sinα+cosα＝．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，E是PB的中点，AF⊥PC，垂足为F．（1）证明：PD∥平面ACE．（2）求三棱锥A﹣CEF的体积．【分析】（1）连结BD，交AC于H，连结EH，推导出EH∥PD，由此能证明PD∥平面ACE．（2）推导出PA⊥BC，BC⊥AB，BC⊥平面PAB，BC⊥AE，AE⊥PB，PC⊥平面AEF，由此能求出三棱锥A﹣CEF的体积．解：（1）证明：连结BD，交AC于H，连结EH，∵四边形ABCD是矩形，∴H是BD的中点，∵E是PB的中点，∴EH∥PD，∵EH⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE．（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，∴PA⊥BC，BC⊥AB，又PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA＝AB＝2，且E是PB的中点，∴AE⊥PB，且AE＝，∵AF⊥PC，且AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF，在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝＝2，则PC＝＝2，∵AF⊥PC，∴AF＝＝＝，则EF＝＝，CF＝＝，∴三棱锥A﹣CEF的体积：V＝＝＝．22．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求A，ω和φ的值；（2）求函数y＝f（x）在[1，2]上的单调递减区间；（3）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，求b﹣a的取值范围．【分析】（1）有图象可得A＝1，T＝2，进而求得ω＝π，令x＝，则π+φ＝+2kπ（k∈Z），结合|φ|＜，可求得φ；（2）由（1）求得f（x）解析式，令+2kπ≤πx﹣≤+2kπ，k∈Z，解之即可；（3）条件转化为f（x）在[）上有两个零点，即可得b﹣a取值范围．解：（1）由题可得A＝1，T＝2（）＝2，则＝π，当x＝时，f（x）取得最大值，则π+φ＝+2kπ（k∈Z），所以φ＝﹣+2kπ（k∈Z），又因为|φ|＜，故φ＝﹣；（2）由（1）可知f（x）＝sin（πx﹣），令+2kπ≤πx﹣≤+2kπ，k∈Z，则≤x≤，k∈Z，故f（x）的单调递减区间为[，]（k∈Z），则f（x）在[1，2]上的单调递减区间为[1，]；（3）令f（x）＝sin（πx﹣）＝0，则πx﹣＝kπ，解得x＝k+，k∈Z，所以f（x）在[）上有两个零点，因为f（x）周期为2，若函数y＝f（x）在区间[a，b]上恰有2020个零点，则1009×2+1≤b﹣a＜1010×2，解得b﹣a的取值范围为[2019，2020）．。
2019-2020学年辽宁省锦州市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省锦州市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝，cos2θ＝．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．参考答案一、单项选择题（共10小题）.1．求值：sin150°＝（）A．B．C．﹣D．﹣解：sin150°＝sin（180°﹣30°）＝sin30°＝．故选：A．2．已知复数z满足z（l+i）＝2﹣i，则复数z在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z满足（1+i）z＝2﹣i，∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（2﹣i），∴2z＝1﹣3i，∴z＝i．则复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A＝b cos B，则此三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形或直角三角形解：在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得sin A cos A＝cos B sin B，即sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝．若A＝B，则△ABC为等腰三角形，若A+B＝，则C＝，△ABC为直角三角形，故选：D．4．已知＝（﹣1，2），＝（3，m），若，则m＝（）A．4B．3C．D．解：∵，又∵，∴＝0即﹣1×3+2m＝0即m＝故选：D．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，A＝30°，则角C 为（）A．60°B．60°或120°C．45°D．45°或135°解：由正弦定理得得＝得sin C＝，∵c＞a，∴C＞A，得C＝60°或120°，故选：B．6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：设圆锥的底面半径为r，则r＝8，解得r＝，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．7．函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）＝2sin（2x﹣）B．f（x）＝2sin（2x﹣）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）解：根据函数y＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A＝2，•＝+，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×+φ＝，∴φ＝﹣，故f（x）＝2sin（2x﹣），故选：A．8．定义运算：＝ad﹣bc．已知α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，则cosβ＝（）A．B．C．D．解：∵α，β都是锐角，且cosα＝，＝﹣，∴sinα＝＝，∴＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝cosβ﹣sinβ＝﹣．∴cosβ﹣＝﹣．整理得10cos2β+4cosβ﹣1＝0，解得cosβ＝或cosβ＝﹣（舍），故选：B．9．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB＝，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．75°D．105°解：不妨设BB1＝1，则AB＝，•＝（）•（）＝+++＝0+cos60°﹣12+0＝0∴直线AB1与C1B所成角为90°故选：B．10．已知函数f（x）满足f（x）＝f（x+π），当0≤x≤时，f（x）＝4sin2x；当≤x ＜π时，f（x）＝x﹣4，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点，则a 的最小值为（）A．B．C．D．解：函数g（x）＝f（x）﹣ax在[0，2π）上有五个零点等价于方程f（x）﹣ax＝0在[0，2π）有五个不同的实数根，即函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象在[0，2π）有五个交点，结合图象可得，当直线y＝ax过点（2π，4）时，a取得最小值，此时，．故选：A．二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11．将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）A．最小正周期为πB．图象关于点（，0）对称C．图象关于y轴对称D．在区间（，π）上单调递增解：将函数f（x）＝cos（2x+）﹣1 的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+π）﹣1＝﹣cos2x﹣1 的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）＝﹣cos2x的图象．关于函数g（x），它的最小正周期为＝π，故A正确；令x＝，求得g（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；由于它是偶函数，故它的图象关于y轴对称，故C正确；在区间（，π）上，2x∈（π，2π），y＝cos2x单调递增，故g（x）＝﹣cos2x单调递减，故D错误，故选：ABC．12．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列选项正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若n∥α，n⊥β，则α⊥β解：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若n∥α，n⊥β，由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理得α⊥β，故D 正确．故选：BD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边经过点P（﹣1，3），则cosθ＝﹣，cos2θ＝．解：角θ的终边上的点P（﹣1，3）到原点的距离为：r＝＝，由任意角的三角函数的定义得cosθ＝＝﹣．可得cos2θ＝1﹣2sin2θ＝1﹣2×（﹣）2＝．故答案为：﹣，．14．复数范围内关于x的方程x2+x+1＝0的解集为{﹣+i，﹣﹣i}．解：x2+x+1＝0，即为x2+x+＝﹣1+，可得（x+）2＝﹣，即x+＝±i，解得x＝﹣+i或﹣﹣i，则解集为{﹣+i，﹣﹣i}．故答案为：{﹣+i，﹣﹣i}．15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶D在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝100m．解：由题意可得AB＝600，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°﹣75°＝105°，∴∠ACB＝45°，在△ABC中，由正弦定理可得：，即＝，∴BC＝300，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴tan30°＝＝，∴DC＝100．故答案为：100．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，P在底面ABC内的射影D位于直线AC 上，且AD＝2CD，PD＝4，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．解：因为AB＝BC，所以△ABC外接圆的圆心M在BO上，设此圆的半径为r，因为BO＝4，所以（4﹣r）2+32＝r2，解得，因为OD＝OC﹣CD＝3﹣2＝1，所以，设QM＝a，易知QM⊥平面ABC，则QM∥PD，因为QP＝QB，所以，即，解得a＝1，所以球Q的半径，表面积．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知||＝4，||＝3，（2）＝61，求：（1）向量与的夹角θ；（2）||．解：（1）∵||＝4，||＝3，∵（2）＝4||2﹣3||2﹣4•＝37﹣4•＝61∴•＝||•||•cos＜，＞＝﹣6∴cos＜，＞＝﹣∴＜，＞＝120°∵向量与的夹角θ＝120°…（2）∵||2＝||2+||2﹣2•＝16+9+12＝37∴||＝…18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，E，F，G分别为BB1，AC，AA1的中点．（1）求证：平面BFG∥平面A1EC；（2）求证：BF⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）在△AA1C中，点F为AC的中点，G为AA1的中点，∴GF∥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵E是BB1的中点，G为AA1的中点，∴A1G∥BE，且A1E＝BE，∴四边形A1GBE是平行四边形，∴A1E∥GB，∵GB∩GF＝G，∴平面BFG∥平面A1EC．（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB＝BC，点F为AC的中点，∴BF⊥AC，又AA1⊥底面ABC，BF⊂底面ABC，∴AA1⊥BF，又AA1，AC⊂平面ACC1A1，AA1∩AC＝A，∴BF⊥平面ACC1A1．19．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+c2＝b2+ac．（1）求角B的大小：（2）求cos A+cos C的最大值．解：（1）在△ABC中，a2+c2＝b2+ac．所以，由于0＜B＜π，所以B＝．（2）由（1）得：A+C＝，所以＝＝．由于，所以当时，cos A+cos C的最大值为1．20．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？解：（1）由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω＝，故y＝50sin（t+φ）+60；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ＝﹣；故y50sin（t﹣）+60；（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85；则sin（t﹣）＞；故＜t﹣＜，解得，1＜t＜2；故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．21．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，过AB的平面与侧面PCD的交线为EF，且满足S△PEF：S四边形CDEF＝1：3（S△PEF表示△PEF的面积）．（1）证明：PB∥平面ACE；（2）当PA＝2AD＝2时，求点F到平面ACE的距离．【解答】证明：（1）由题知四边形ABCD为正方形，∴AB∥CD，又CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD∴AB∥平面PCD又AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD＝EF∴EF∥AB，又AB∥CD∴EF∥CD，由S△PEF：S四边形CDEF＝1：3，知E、F分别为PC、PD的中点，连接BD交AC与G，则G为BD中点，在△PBD中FG为中位线，∴EG∥PB，∵EG∥PB，EG⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，∴PB∥平面ACE．解：（2）∵PA＝2，AD＝AB＝1，∴，，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD在Rt△CDE中，，在△ACE中由余弦定理知，∴，∴S△ACE＝，设点F到平面ACE的距离为h，则，由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA＝A，得DG⊥平面PAC，且，∵E为PD中点，∴E到平面ACF的距离为，又F为PC中点，∴S△ACF＝S△ACP＝，∴由V F﹣ACE＝V E﹣ACF，解得，∴点F到平面ACE的距离为．22．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sin C sin（B+）＝sin A．（1）求的值；（2）已知函数f（B）＝k（sin B+cos B）+sin B cos B（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，求函数f（B）的值域．解：（1）因为sin C sin（B+）＝sin A，所以sin B•sin C+cos B•sin C＝sin（B+C）＝sin B•cos C+cos B•sin C，即sin B•sin C＝sin B•cos C．又0＜B＜π，所以tan C＝1，可得C＝…2分可得＝＝﹣2+，…4分（2）由题意函数g（x）＝log2（x2﹣4cos A•x+2cos A）的定义域为R，得，2cos2A ﹣cos A＜0，所以0＜cos A＜，所以角A的范围是，由（1）知C＝，所以，…6分设t＝sin B+cos B＝sin（B+），因为，所以t∈（1，），…8分则sin B cos B＝，令y＝h（t）＝t2+kt﹣，t∈（1，）．（i）当k≥﹣1时，h（1）＝k，h（）＝k+，此时f（B）的值域为（k，k+），…9分（ii）当﹣≤k＜﹣1时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（）＝k+，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k+），…10分（iii）当﹣＜k＜﹣时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（1）＝k，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k），…11分（iv）当k≤﹣时，h（）＝k+，h（1）＝k，此时f（B）的值域为（k+，k）．…12分。
2019-2020学年山西省太原市高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西省太原市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．162．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣14．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．15．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±47．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．29．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣211．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置.1．在等差数列{a n}中，a1＝1，d＝2，则a4＝（）A．5B．7C．8D．16【分析】由已知直接利用等差数列的通项公式求解．解：在等差数列{a n}中，由a1＝1，d＝2，得a4＝a1+3d＝1+3×2＝7．故选：B．2．不等式x（x﹣1）＞0的解集是（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【分析】可以先求出方程x（x﹣1）＝0的根，根据一元二次不等式的解法，进行求解；解：x（x﹣1）＝0，可得x＝1或0，不等式x（x﹣1）＞0，解得{x|x＞1或x＜0}，故选：D．3．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），⊥，则实数k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】根据条件便有，进行向量数量积的坐标运算便可得出k的值．解：∵；∴；∴k＝2．故选：A．4．在△ABC中，A＝30°，b＝，c＝1，则a＝（）A．2B．C．D．1【分析】利用余弦定理即可求出a的值．解：因为A＝30°，b＝，c＝1，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝＝1，故a＝1．故选：D．5．已知a＜b，则下列结论正确的是（）A．a2＜b2B．＜1C．＞D．2a＜2b【分析】通过举例利用排除法可得ABC不正确，即可得出结论．解：由a＜b，取a＝﹣2，b＝﹣1，可知A，B不正确；取a＝﹣1，b＝1，可得C不正确．故选：D．6．在等比数列{a n}中，若a1a3a5＝8，则a2a4＝（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】根据等比数列的性质知：a1a3a5＝（a2q）3＝8，a2q＝a3＝2，a2a4＝a32＝4．解：设等比数列{a n}的公比为q，则a1a3a5＝•a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．又a2a4＝•a3q＝a32＝22＝4．故选：B．7．cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）A．B．C．D．【分析】直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．解：cos45°cos15°+sin15°sin45°＝（cos45°﹣15°）＝cos30°＝，故选：B．8．若||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，则|+|的值（）A．1B．C．D．2【分析】根据向量的平方等于模的平方，利用数量积定义和数量积的性质即可得出．解：∵||＝1，||＝2，且，的夹角为120°，∴＝1，＝4，•＝﹣1，∴|+|2＝（+）2＝+﹣2•＝1+4﹣2＝3，故|+|＝，故选：B．9．在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），则a2020＝（）A．0B．C．﹣D．【分析】利用数列{a n}的通项公式求出数列{a n}的前4项，得到{a n}是周期为3的周期数列，从而a2020＝a1，由此能求出结果．解：在数列{a n}中，a1＝0，a n+1＝（n∈N*），∴＝，＝﹣，＝0，∴{a n}是周期为3的周期数列，∵2020＝673×3+1，∴a2020＝a1＝0．故选：A．10．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+的最小值是（）A．+1B．3+2C．﹣1D．3﹣2【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则+＝（+）（x+2y）＝3+，当且仅当且x+2y＝1即y＝＝，x＝时取等号，故选：B．11．若不等式ax2+2ax﹣1＜0对于一切实数x都恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）【分析】由已知对a进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．解：当a＝0时，﹣1＜0恒成立，当a≠0时，可得，解可得，﹣1＜a＜0，综上可得，﹣1＜a≤0，故选：C．12．已知等差数列{a n}满足a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0．其前n项和为S n，则使S n＞0成立时n最大值为（）A．2020B．2019C．4040D．4038【分析】差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，可得a2019＞0，a2020＜0．再利用求和公式及其性质即可得出．．解：∵等差数列{a n}的首项a1＞0，a2019+a2020＞0，a2019•a2020＜0，∴a2019＞0，a2020＜0．于是S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039•a2020＜0．∴使S n＞0成立的最大正整数n是4038．故选：D．二、填空题：本大题共4个小题，每个小题3分，共12分，把答案填在横线上．13．已知扇形的半径为1，圆心角为45°，则该扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式进行计算即可．解：由题意得，扇形的半径为8cm，圆心角为45°，故此扇形的弧长为：＝．故答案为：．14．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30 km．【分析】根据题意画出相应的图形，求出∠B与∠BAC的度数，再由AC的长，利用正弦定理即可求出BC的长．解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B＝75°﹣30°＝45°，在△ABC中，根据正弦定理得：＝，即＝，∴BC＝30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则+的值为2．【分析】由题意可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，代入要求的式子+，化简求得结果．解：∵已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，可得b2＝ac，2x＝a+b，2y＝b+c，∴+＝+＝＝＝2，故答案为2．16．已知数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l（n∈N*），则该数列的前80项和为3240．【分析】由数列递推式判断数列的特征，4项一组，求和后得到一个等差数列，然后求和即可．解：设a1＝a，由a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣l，得a2＝a+1，a3＝2﹣a，a4＝7﹣a，a5＝a，a6＝a+9，a7＝2﹣a，a8＝15﹣a，a9＝a，a10＝a+17，a11＝2﹣a，a12＝23﹣a．可知：a1+a2+a3+a4＝10，a5+a6+a7+a8＝26，a9+a10+a11+a12＝42，…10，26，42，…是等差数列，公差为16，∴数列{a n}的前80项和为：20×10+×16＝3240．故答案为：3240．三、解答题（共3小题，满分30分）17．已知等差数列{a n}中，a2＝3，a4＝7．等比数列{b n}满足b1＝a1，b4＝a14．（1）求数列{a n}通项公式a n；（2）求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{b n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求和．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a2＝3，a4＝7，可得a1+d＝3，a1+3d＝7，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；（2）设等比数列{b n}的公比为q，由b1＝a1＝1，b4＝a14＝q3＝27，解得q＝3，数列{b n}的前n项和S n＝＝（3n﹣1）．18．已知sinα＝，α∈（，π）．（1）求cosα，tanα；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．（2）由题意利用诱导公式，求得结果．解：（1）∴已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝﹣．（2）＝＝﹣cos2α＝﹣．19．已知△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．（1）求b；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用正弦定理可得b的值．（2）由已知利用两角和的正弦函数公式可求sin C的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵△ABC中，A＝60°，a＝6，B＝45°．∴由正弦定理，可得b＝＝＝2．（2）∵A+B+C＝180°，A＝60°，B＝45°．∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝+＝，∴S△ABC＝ab sin C＝×＝9+3．（请同学们在甲，乙两题中任选一题作答）20．已知向量＝（1，cos x），＝（1+sin x，1），x∈R，函数f（x）＝•﹣1，（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≥1，求x的取值范围．【分析】（1）写出f（x）解析式，根据正弦函数的周期及对称中心可得答案；（2）条件等价于sin（x+）≥，解之即可解：由题可得f（x）＝＝1+sin x+cos x﹣1＝sin（x+），（1）由f（x）解析式可得其最小正周期T＝2π，令x+＝kπ，则x＝kπ﹣，k∈Z，即f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），k∈Z；（2）由f（x）≥1得sin（x+）≥，解得2kπ+≤x+≤2kπ+π，k∈Z，则2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，所以x的取值范围为[2kπ，2kπ+]（k∈Z）．选做题21．已知向量＝（1，cos2x），＝（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）＝•．（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；（2）若f（x）≤2，求x的取值范围．【分析】（1）根据平面向量数量积的运算得到f（x）解析式，结合正弦函数性质即可得到答案；（2）由f（x）≤2得到sin（2x+）≤，解之即可解：由题得f（x）＝＝1+sin2x+cos2x＝1+sin（2x+）（1）则函数f（x）的最小正周期为T＝＝π，令2x+＝kπ，解得x＝（k∈Z），即函数的对称中心为（，1）（k∈Z）；（2）当f（x）≤2时，即1+sin（2x+）≤2，所以sin（2x+）≤，则﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），即x的取值范围是[﹣+kπ，kπ]（k∈Z）（请同学们在甲、乙两题中任选一题作答）22．已知数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．（1）证明：{}为等差数列；（2）设b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用定义的应用求出结果．（2）利用（1）的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．【解答】证明：（1）数列{a n}满足a1＝3，（n+2）a n+1＝（n+3）a n+n2+5n+6（n∈N*）．整理得：（常数），所以数列{}是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得：，解得：a n＝n（n+2）．所以．所以：＝＝选做题23．已知数列{a n}满足a1＝5，a n+1＝2a n+2n+1﹣1（n∈N*），b n＝（n∈N*）．（1）是否存在实数λ，使得{b n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．（2）利用（1）的结论，求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式，再由等差数列的定义求使{b n}为等差数列的λ值；（2）由（1）知，，令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，利用错位相减法求得T n，进一步求得数列{a n}的前n项和S n．解：由a n+1＝2a n+2n+1﹣1，得，∴，得，，，…（n≥2）．累加得：＝＝．∴（n≥2）．a1＝5适合上式，∴．则b n＝＝．＝．若{b n}为等差数列，则λ﹣1＝0，即λ＝1．故存在实数λ＝1，使得{b n}为等差数列；（2）由（1）知，．令{（n+1）•2n}的前n项和为T n，则，．∴＝，得．∴数列{a n}的前n项和S n＝n•2n+1+n．。
2019-2020学年高一(下)期末数学试卷 (33)-720(解析版)
2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案
湖南省怀化市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案注意事项:1。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。
2。
考生作答时，选择题和综合题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3。
考试结束后，将答题卡收回.4.本试题卷共4页，如有缺页,考生须声明，否则后果自负.怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷2020年上期期末考试高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中,5000 名学生成绩的全体是A.总体B。
个体 C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量2.设α是第三象限角，且tan1α=，则cosα=A。
-12B. 22C. 22- D. 12-3。
同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面C 。
至多1枚正面和至少有2枚正面 D.至少有2枚正面和恰有1枚正面4。
某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100 分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+ y 的值为A.7 B 。
8 C.9 D 。
10 5.若4sin cos 3θθ-=则sin()cos()πθπθ--=A 。
16B 。
16- C 。
718-D. 7186.如图所示，用两种方案将块顶角为120°， 腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形,设方案一、二的扇形的面积分别为S 1，S 2，周长分别为l 1，l 2，则A.S 1=S 2，l 1>l 2B.S 1=S 2， l 1<l 2 C 。
S 1〉S 2,l 1=l 2 D.S 1〈S 2， l 1=l 2 7。