2013年云南昭通市中考数学试卷及解析

2013年昭通市中考试题数 学(主试题共25个题,满分100分；附加题,共4个小题,满分50分.考试用时150分钟)主试题(三个大题,共25个小题,满分100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题只有一个正确选项,每小题3分,满分30分) 1.(2013昭通市,1,3分)－4的绝对值是( )A ．14B ．14- C ．4 D ．－4 【答案】C2. (2013昭通市,2,3分)下列各式计算正确的是( )A ．222()a b a b +=+B ．235a a a +=C ．824a a a ÷=D ．23a a a ⋅= 【答案】D3．(2013昭通市,3,3分)如图1,AB ∥CD ,DB ⊥BC ,∠2 =50°,则∠1的度数是( )图1 A ．40° B ．50° C ．60° D ．140° 【答案】A4．(2013昭通市,4,3分)已知一组数据:12,5,9,5,14,下列说法不正确．．．的是( ) A ．平均数是9 B ．中位数是9 C ．众数是5 D ．极差是5 【答案】D5．(2013昭通市,5,3分)如图2,已知AB 、CD 是⊙O 的两条直径,∠ABC =28°,那么∠BAD =( )图2图2A ．28°B ．42°C ．56°D ．84° 【答案】A6．(2013昭通市,6,3分)图3是一个正方体的表面展开图,则原正方体中与“建”字所 在的面相对的面上标的字是( )A ．美B ．丽C ．云D ．南 【答案】D7．(2013昭通市,7,3分)如图4,A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′,则tan B ′的值为( )图4图4A ．12 B ．13C ．14 D【答案】B8．(2013昭通市,8,3分)已知点P (2a －1,1－a )在第一象限,则a 的取值范围在数轴上表示正确的是( )A. B. C. D. 【答案】C9．(2013昭通市,9,3分)已知二次函数y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠ 0)的图象如图5所示,则下列结论中正确的是( ) x ＝1xyO-1图5A ．a ＞0B ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根C ．a ＋b ＋c ＝0D ．当x ＜1时,y 随x 的增大而减小 【答案】B10．(2013昭通市,10,3分)图6所示是某公园为迎接“中国——南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB =90°,弧AB 的半径OA 长是6米,C 是OA 的中点,点D 在弧AB 上,CD ∥OB ,则图中休闲区(阴影部分)的面积是( )图6D B OC 小路小 路草 坪休 闲区 A图6 A．(10π米2 B．(π米2C．(6π米2 D．(6π-米2【答案】C二、填空题(本大题共7个小题,每小题3分,满分21分)11．(2013昭通市,11,3分)根据云南省统计局发布我省生产总值的主要数据显示:去年生产总值突破万亿大关,2013年第一季度生产总值为226 040 000 000元人民币,增速居全国第一. 这个数据用科学记数法可表示为 元. 【答案】2.2604×1011 12．(2013昭通市,12,3分)实数2278-3π中的无理数是.、3π 13．(2013昭通市,13,3分)因式分解:2218x -= . 【答案】2(x +3)(x -3)14．(2013昭通市,14,3分)如图7,AF = DC ,BC ∥EF ,只需补充一个 条件 ,就得△ABC ≌△DEF .图7AFB CDE图7【答案】BC = EF (或∠A =∠D ,或∠B =∠E ,或AB ∥DE 等) 15．(2013昭通市,15,3分)使代数式321x -有意义的x 的取值范围是 . 【答案】12x ≠16．(2013昭通市,16,3分)如图8,AB 是⊙O 的直径,弦BC ＝4cm ,F 是弦BC 的中点,∠ABC ＝60°．若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发在AB 上沿着A →B →A 运动,设运动时间为t (s) (0≤t ＜16),连接EF ,当△BEF 是直角三角形时,t (s)的值为 .(填出一个正确的即可)图8B图8【答案】4(或7或9或12)(只需填一个答案即可得分)17．(2013昭通市,17,3分)如图9所示,图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式:()127531-+⋅⋅⋅++++n = . (用n 表示,n 是正整数)2n -15 12 34n7 1 1 2 43 3 n图9 【答案】n 2三、解答题(本大题共8个小题,满分49分)18. (2013昭通市,18,6分)计算0201321(3)10sin30(1)()3π---︒--+.【答案】解:02013214(3)10sin 30(1)()3π----︒--+21519=--++ 6=19. (2013昭通市,19,5分)小明有2件上衣,分别为红色和蓝色,有3条裤子,其中2条为蓝色、1 条为棕色. 在准备校艺术节的演出服装时突遇停电,小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果,并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率． 【答案】解:列表如下:裤子 上衣 蓝色 蓝色 棕色 红色 (红色,蓝色) (红色,蓝色) (红色,棕色) 蓝色(蓝色,蓝色)(蓝色,蓝色)(蓝色,棕色)由上表可知,总情况6种,而且每种结果出现的可能性相同. 小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色占2种,所以小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是13． 20. (2013昭通市,20,5分)为了推动课堂教学改革,打造高效课堂,配合地区“两型课堂”的课题研究,羊街中学对八年级部分学生就一学期以来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查,统计情况如图10. 请根据图中提供的信息,回答下列问题.图10 图11(1)求本次被调查的八年级学生的人数,并补全条形统计图11；(2)若该校八年级学生共有540人,请你计算该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式(含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生)?【答案】解:(1)设本次被调查的八年级学生有x 人,观察图10和图11,“喜欢”的学生18名,占本次被调查的八年级学生的人数的比为360120,即31,列方程:x 18=31,得x =54. 经检验x =54是原方程的解. 由54非常喜欢的人数=360200,得:非常喜欢的人数为30.(2)列方程:120200==540540360+支持人数喜欢的人数+非常喜欢的人数.由此解得支持的学生有480名.21. (2013昭通市,21,5分)小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P 处观看小亮与爸爸在湖中划船(如图12所示). 小船从P 处出发,沿北偏东60°方向划行200米到A 处,接着向正南方向划行一段时间到B 处. 在B 处小亮观测到妈妈所在的P 处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多少米(精确到1米)？(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈1.73)图12AB 37°60°P图12【答案】解:过P 作PC ⊥AB 于C ,AB37°60°PC在Rt △APC 中,AP = 200m,∠ACP = 90°,∠PAC = 60°. ∴ PC= 200×sin60°=200 ×23=1003(m ). ∵ 在Rt △PBC 中,sin37°=PBPC, ∴ 100 1.73288()sin 370.6PC PB m ⨯==≈︒答:小亮与妈妈相距约288米.22. (2013昭通市,22,6分)如图13,直线y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与双曲线y ＝2k x(k 2≠0)相交于A (1,m)、B (－2,－1)两点．(1)求直线和双曲线的解析式．(2)若A 1(x 1,y 1),A 2(x 2,y 2),A 3(x 3,y 3)为双曲线上的三点,且x 1＜x 2＜0＜x 3,请直接写出y 1,y 2,y 3的大小关系式．图13【答案】解:(1)∵ 双曲线y = 2k x经过点B (－2,－1), ∴ k 2 = 2． ∴ 双曲线的解析式为:y = 2x． ∵ 点A (1,m )在双曲线y =2x上, ∴ m = 2,则A (1,2)． 由点A (1,2),B (－2,－1)在直线y ＝k 1x ＋b 上,得 112,2 1.k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11,1.k b =⎧⎨=⎩ ∴ 直线的解析式为:y = x ＋1． (2)y 2＜y 1＜y 3．23. (2013昭通市,23,7分)如图14,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上, 点E 在⊙O 外,∠EAC =∠B = 60°.(1)求∠ADC 的度数； (2)求证:AE 是⊙O 的切线．图14图14【答案】解:(1)∵ ∠ABC 与∠ADC 都是弧AC 所对的圆周角, ∴ ∠ADC =∠B =60°. (2)∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠ACB =90°, ∴ ∠BAC =30°.∴ ∠BAE =∠BAC ＋∠EAC =30°＋60°=90°,即 BA ⊥AE .∴ AE 是⊙O 的切线.24. (2013昭通市,24,7分)如图15,在菱形ABCD 中,AB = 2,60DAB ∠=,点E 是AD 边的中点,点M 是AB 边上的一个动点(不与点A 重合),延长ME 交CD 的延长线于点N ,连接MD ,AN . (1)求证:四边形AMDN 是平行四边形.(2)当AM 的值为何值时,四边形AMDN 是矩形？请说明理由. AMBNDCE图15【答案】(1)证明:∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ ND ∥AM . ∴ ∠NDE =∠MAE ,∠DNE =∠AME . ∵ 点E 是AD 中点,∴ DE = AE . ∴ △NDE ≌△MAE ,∴ ND = MA . ∴ 四边形AMDN 是平行四边形. (2)① 1； 理由如下:∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴ AD = AB = 2.若平行四边形AMDN 是矩形, 则DM ⊥AB , 即 ∠DMA ＝90°. ∵ ∠A ＝60°, ∴ ∠ADM ＝30°. ∴ AM ＝12AD ＝1. 25. (2013昭通市,25,8分)如图16,已知A (3,0)、B (4,4)、原点O (0,0)在抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上．(1)求抛物线的解析式．(2)将直线OB 向下平移m 个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D ,求m 的值及点D 的坐标．(3)如图17,若点N 在抛物线上,且∠NBO =∠A BO ,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标(点P 、O 、D 分别与点N 、O 、B 对应)OyxABDOyxABDN图16 图17【答案】(1)∵ A (3,0)、B (4,4)、O (0,0)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上.∴ 930,1644,0,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得1,3,0.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴ 抛物线的解析式为:y ＝x 2－3x …………………2分 (2)设直线OB 的解析式为y ＝ k 1 x ( k 1≠0),由点B (4,4)得 4＝4 k 1,解得k 1＝1.∴ 直线OB 的解析式为y = x ,∠AOB = 45°. ∵ B (4,4),∴ 点B 向下平移m 个单位长度的点B ′的坐标为(4,0), 故m = 4.∴ 平移m 个单位长度的直线为y = x - 4.解方程组 23,4.y x x y x ⎧=-⎨=-⎩ 得2,2.x y =⎧⎨=-⎩∴ 点D 的坐标为(2,－2) . …………………………5分(3)∵ 直线OB 的解析式y ＝x ,且A (3,0)．∵ 点A 关于直线OB 的对称点A ′的坐标为(0,3) .设直线A ′B 的解析式为y ＝k 2x ＋3,此直线过点B (4,4) . ∴ 4k 2＋3＝4, 解得 k 2＝14. ∴ 直线A ′B 的解析式为y ＝14x ＋3. ∵ ∠NBO =∠A BO ,∴ 点N 在直线A ′B 上, 设点N (n ,14n ＋3),又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上,∴14n＋3＝n2－3n.解得n1＝34-,n2＝4(不合题意,舍去)∴点N的坐标为(34-,4516).如图,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1 (34-,4516-),B1(4,－4).∴O、D、B1都在直线y＝－x上.∵△P1OD∽△NOB,∴△P1OD∽△N1OB1, ∴P1为O N1的中点.∴111 2OP ODON OB==,∴点P1的坐标为(38-,4532-).将△P1OD沿直线y =－x翻折,可得另一个满足条件的点(4532,38).综上所述,点P的坐标为(38-,4532-)和(4532,38).附加题(共4个小题,满分50分)1．(2013昭通市,附加题1,12分)已知一个口袋中装有7个只有颜色不同、其它都相同的球,其中3个白球、4个黑球.(1)求从中随机取出一个黑球的概率.(2)若往口袋中再放入x 个黑球,且从口袋中随机取出一个白球的概率是14,求代数式223(1)1x x x x x -÷+---的值. 【答案】解:(1)P (取出一个黑球)44347==+ (2)设往口袋中再放入x 个黑球, 从口袋中随机取出一个白球的概率是14即 P (取出一个白球)3174x ==+.由此解得x ＝5. 经检验x =5是原方程的解.∵ 原式2213(1)1x x x x x ---=÷--21(1)(2)(2)x x x x x x --=⋅--+1(2)x x =+∴ 当x ＝5时,原式＝135． 2．(2013昭通市,附加题2,12分)云南连续四年大旱,学校为节约用水,提醒人们关注漏水的水龙头．因此,两名同学分别做了水龙头漏水实验,他们用于接水的量筒最大容量为100毫升． 实验一:小王同学在做水龙头漏水实验时,每隔10秒观察量筒中水的体积,记录的数据如下表(漏出的水量精确到(1)在图1(2)如果小王同学继续实验,请求出多少秒后量筒中的水会满而溢出(精确到1秒)． (3)按此漏水速度,1小时会漏水_______千克(精确到0.1千克)．图1 图2 实验二:小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示,为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？【答案】解:实验一: (1)如图所示:V /(2)设V 与t 的函数关系式为V = kt + b ,根据表中数据知:当t = 10时,V = 2；当t = 20时,V = 5；∴ 210,520,k b k b =+=+⎧⎨⎩ 解得:3,101.k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴ V 与t 的函数关系式为 3110V t =-． 由题意得:3110010t -≥,解得,1010233633t =≥. ∴ 约337秒后,量筒中的水会满而开始溢出．(3)1.1千克实验二:因为小李同学接水的量筒装满后水开始溢出3. (2013昭通市,附加题3,12分)如图3,在⊙C 的内接△AOB 中,AB = AO = 4,tan ∠AOB = 34,抛物线y = a (x －2)2＋m (a ≠0)经过点A (4,0)与点(－2,6).V /V /(1)求抛物线的解析式；(2)直线m 与⊙C 相切于点A ,交y 轴于点D ,动点P 在线段OB 上,从点O 出发向点B 运动,同时动点Q 在线段DA 上,从点D 出发向点A 运动,点P 的速度为每秒1个单位长,点Q 的速度为每秒2个单位长. 当PQ ⊥AD 时,求运动时间t 的值.图3【答案】解:(1)将点A (4,0)和点(－2,6)的坐标代入y = a (x －2)2＋m 中,得方程组,40,16 6.a m a m +=⎧⎨+=⎩解之,得1,22.a m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴ 抛物线的解析式为2122y x x =-(2)如图,连接AC 交OB 于E.∵ 直线m 切⊙C 于点A , ∴ AC ⊥m .∵ 弦 AB = AO , ∴ AB AO =. ∴ AC ⊥OB ,∴ m ∥OB . ∴ ∠ OAD =∠AOB ．∵ OA =4,tan ∠AOB =43,∴ OD = OA ·tan ∠OAD =4×43= 3. 作OF ⊥AD 于F ,则OF = OA ·sin ∠OAD = 4×53= 2.4 .t 秒时,OP =t ,DQ =2t ,若PQ ⊥AD , 则 FQ =OP = t. DF =DQ －FQ = t. ∴ △ODF 中,t = DF ==1.8秒AxP FQD C Bym O E4．(2013昭通市,附加题4,14分)已知△ABC 为等边三角形,点D 为直线BC 上的一个动点(点D 不与B C 、重合),以AD 为边作菱形ADEF (A D E F 、、、按逆时针排列),使60DAF ∠=︒,连接CF .(1)如图4,当点D 在边BC 上时,求证:①BD = CF , ②AC = CF + CD ．(2)如图5,当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时,结论AC = CF + CD 是否成立？若不成立,请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系,并说明理由．(3)如图6,当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时,请补全图形,并直接写出AC 、C F 、CD 之间存在的数量关系ABDCEF ABC DEFA图4 图5 图6 【答案】(1)【证明】:①∵60BAD DAC DAC CAF ∠+∠=∠+∠=︒, ∴ BAD CAF ∠=∠.又∵ ,AB AC AD AF ==. ∴ △ABD ≌ △AFC , ∴ BD CF =. ② 由△ABD ≌ △AFC 知BD CF =, ∴ CF CD BD CD BC +=+=. 又在等边△ABC 中AC BC =, ∴ AC CF CD =+ (2)解:AC CF CD =+不成立,应该是CF ＝AC ＋CD ,理由为: 如图,延长AC 到H ,使CH CD =,连结BH , 则 在△ACD 与△BCH 中,,,,AC BC ACD BCH CD CH =∠=∠= ∴ △ACD ≌ △BCH .∴ ,.BH AD HBC DAC =∠=∠ ∴ ,.ABH FAC BH AF ∠=∠=∴ △ABH 与△CAF 中,,,.AB AC ABH FAC BH AF =∠=∠=∴ △ABH ≌△CAF , ∴AH CF =, ∴CF AC CD =+(3)解:当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时,补全图形如下图6所示,此时 AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系为CD AC CF =+．(备注:连结CF ,容易证明△ABD ≌△AHC ,∴BD HC =,又=,HC CF AC BC =)ABCD EFHADCH BF E。