数学知识点山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学(理)试题 Word版含答案-总结

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2017届山西省运城市高三上学期期末调研考试理科数学试题及答案

运城市2017学年第一学期期末高三调研测试试题理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知集合{}1,Ry y x x A ==-∈，{}2x x B =≥，则下列结论正确的是（）A ．3-∈AB ．3∉BC ．A B =BD ．A B =B2、若命题“0R x ∃∈，使得200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]6,2--C ．()2,6D ．()6,2--3、若复数z 满足()12z i z -=+，则z 在复平面所对应点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则方程()1f x =的解是（） A2 B4C．2 D．45、执行如图所示的程序框图，运行的结果为3S =，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（） A ．6k >? B ．6k <? C ．5k >? D ．5k <?6、抛物线24y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当F ∆PM 为等边三角形时，其面积为（） A ．B ．4C ．6D ．7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4255S a +=，则一定有（）A ．6a 是常数B ．7S 是常数C ．13a 是常数D ．13S 是常数8、一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是边长为）A ．6π+ B ．πC ．64π+ D ．4π9、已知三棱锥C S -AB 的四个顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，S O ⊥底面C AB ，C A =，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π10、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB =（） A．2 B ．12 C．2-D ．12-11、已知函数()sin cos f x a x b x =+（R x ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则点(),a b 所在的直线为（） A ．20x y -= B ．20x y += C ．20x y -=D ．20x y +=12、设函数()sin x f x e x =+，()2g x x =-，设()()11,x f x P ，()()22Q ,x g x （10x ≥，20x >），若直线Q//P x 轴，则P ，Q 两点间最短距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知1a =，2b =，a b += a 与b 的夹角为．14、如图所示，在矩形C OAB 内任取一点P ，则点P恰落在图中阴影部分中的概率为． 15、若正数a ，b 满足1a b +=，则11a b a b +++的最大值为． 16、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线C A ，C B 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分10分）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c，且cosC sin a b =+B ． ()1求B ；()2若1c =，3a =，C A 的中点为D ，求D B 的长． 18、（本小题满分12分）如图，已知四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 为菱形，PA ⊥平面CD AB ，C 60∠AB = ，E ，F 分别是C B ，C P 的中点．()1证明：DAE⊥P；()2若2E-A-的余PA=，求二面角F CAB=，2弦值．19、（本小题满分12分）2014年11月10日CAPE会议在北京召开，某服务部需从大学生中招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试两部分，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组[)90,95，第5组[)95,100，80,85，第3组[)85,90，第4组[)75,80，第2组[)得到的频率分布直方图如图所示：()1分别求出成绩在第3，4，5组的人数；()2现决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6人进行面试．①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率； ②若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，13n n n a S +=+（n *∈N ）． ()1求证：{}3n n S -是等比数列；()2若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．21、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,1M ，焦距为()1求椭圆E 的方程；()2若直线l 平行于OM ，且与椭圆E 交于A 、B 两个不同的点（与M 不重合），连接MA 、MB ，MA 、MB 所在直线分别与x 轴交于P 、Q 两点，设P 、Q 两点的横坐标分别为s ，t ，探求s t +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22、（本小题满分12分）设函数()2ln f x x bx a x =+-．()1若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是函数()f x 的两个不同零点，且()0,1x n n ∈+，n ∈N ，求n ；()2若对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围．运城市2017～2017学年第一学期期末高三调研测试试题理科数学参考答案。

山西省四校2017届高三第三次联考试题数学理(含答案)word版

2017届高三年级第三次四校联考数学（理）试题命题：康杰中学忻州一中临汾一中长治二中（满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为 A.i 3- B.i 2- C.i D.i - 2．曲线ln y x x =在点),(e e 处的切线与直线1x ay +=垂直，则实数a 的值为A ．2 B.-2 C.12 D.12-3．设函数)0)(32sin()32sin()(>-++=ωπωπωx x x f 的最小正周期为π，则 A.)(x f 在)2,0(π单调递减 B.)(x f 在)4,0(π单调递增C.)(x f 在)2,0(π单调递增 D.)(x f 在)4,0(π单调递减4．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于A.21+B.21-C.223+D.223-5. 下列命题中是假命题的是 A.m R ∃∈，使243()(1)mm f x m x -+=-⋅是幂函数B.0a ∀>，函数2()ln ln f x x x a =+-有零点C.,R αβ∃∈，使cos()cos cos αβαβ+=+D.R ϕ∀∈，函数()sin()f x x ϕ=+都不是偶函数6. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝３，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为A. 51B. 351C. 251D. 5167. 定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=0,210,8log 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为A. 1B.2C.2-D.3-8. 连续投掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，向量(,)a m n = 与向量)0,1(=b的夹角记为α，则α)4,0(π∈的概率为A.185B.125C.21D.1279．执行如图所示的程序框图，输入N 的值为2012，则输出S 的值是 A.2011 B.2012C.2010D.200910．设x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥+-00432032y y x y x ，若目标函数by ax z +=（其中0,0>>b a )的最大值为3,则ba 21+的最小值为 A.3B.1C.2D.411．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为A.3y x =±B.y =C.y =D.2y x =±12. 已知函数 ()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点(1, 0)对称. 若对任意的R y x ∈,，不等式()()0821622<-++-y y f x x f 恒成立，则当x ＞3时，22y x +的取值范围是A. (3, 7)B. (9, 25)C. (13, 49)D. (9, 49)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上） 13. 若0sin a xdx π=⎰，则二项式6(展开式中含x 的项的系数是_______. 14. 有七名同学站成一排照相，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_________.15．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是______（单位：m 2）．正视图侧视图俯视图16. 函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题,满分70分，解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A,B,C 的对边，且(2)cos cos 0a c B b C ++=. （1）求角B 的值；（2）已知函数()2cos(2)f x x B =-，将()f x 的图像向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图像，求()g x 的单调增区间.18.（本题满分12分）如图,四棱锥S ABCD -的底面是正方形,SD ⊥平面ABCD ,SD AD a ==,点E 是SD 上的点，且()01DE a λλ=<≤.（1）求证：对任意的(]0,1λ∈，都有AC ⊥BE ；（2）若二面角C-AE-D 的大小为60，求λ的值.19.（本题满分12分）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q （简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q ≤80时，为酒后驾车；当Q ＞80时，为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120≤Q ＜140人数之内）.（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和期望.20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）＜3时，求实数t 取值范围．21. （本题满分12分）已知函数1()(2)ln 2()f x a x ax a R x=-++∈. （1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）求()f x 的单调区间；（3）若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈，恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->- 成立，求实数m 的取值范围. 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．(本题满分10分)选修4-1：几何证明与选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点B ．C ，APC ∠的平分线分别交AB ．AC 于点D ．E ．（1）证明：ADE AED ∠=∠.（2）若AC=AP ,求PCPA的值.23． (本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知点(1cos ,sin )P αα+，参数[0,]απ∈，点Q 在曲线C：9)4ρπθ=+上（1）求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求点P 与点Q 之间距离的最小值。

山西省运城市2024届高三上学期期末调研测试数学试题含答案解析

运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12i z =-，则z 等于（）A .1B.C.2D.552.设x ∈R ，则“03x ≤≤”是“02xx ≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知e ()1exaxf x =-是奇函数，则=a （）A.2- B.1- C.2D.14.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c >>C.c a b >>D.b c a>>6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.37.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.08.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C.已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P 的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.16.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.运城市2023-2024学年第一学期期末调研测试高三数学试题考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.一、单项选择题：本题共8小题，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i12iz=-，则z等于（）A.1B. C.2D.5【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后直接利用复数模的公式求解即可.【详解】结合题意可得：()()()i12ii2i2i12i12i12i555 z+-+-====+ --+，所以55z==.故选：D.2.设x∈R，则“03x≤≤”是“02xx≤-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】解分式不等式，求出解集，根据真子集关系得到答案.【详解】()20220x xxx x⎧-≤≤⇒⎨--≠⎩，解得02x≤<，由于02x≤<是03x≤≤的真子集，故03x≤≤是02xx≤-的必要不充分条件.故选：B3.已知e()1exaxf x=-是奇函数，则=a（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据()()f x f x -=-得到方程，求出2a =.【详解】由题意得()()f x f x -=-，即e e1e 1ex x ax ax--=---，所以e e e 11eax x xax ax-=---，故e e ax x x -=，所以ax x x -=，解得2a =.故选：C4.第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目．现有三个场地A ，B ，C 分别承担这5个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）A.150种B.300种C.720种D.1008种【答案】A 【解析】【分析】分3,1,1和2,2,1两种情况，结合排列组合知识进行求解.【详解】若三个场地分别承担3,1,1个项目，则有3113521322C C C A 60A ⋅=种安排，若三个场地分别承担2,2,1个项目，则有2213531322C C C A 90A ⋅=种安排，综上，不同的安排方法有6090150+=种.故选：A5.设0.814a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.3log 0.2b =，0.3log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c >> B.b a c >> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将对数式和指数式与临界值比较，再判断大小关系.【详解】 1.61122a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即102a <<，0.3log 0.21b =>，即1b >，因为20.40.3<，所以20.30.3log 0.4log 0.31>=，即0.31log 0.42>，且0.30.3log 0.4log 0.31<=，则112c <<，所以b c a >>.故选：D6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.213C.D.3【答案】C 【解析】【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ===.故选：C7.已知等差数列{}n a 中，97π12a =，设函数44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为（）A.51- B.48- C.17- D.0【答案】C 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简()f x 的表达式，判断其图象关于点7π(,1)12-成中心对称，结合等差数列性质可得11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，从而得117216810()()()()()()2f a f a f a f a f a f a +=+==+=- ，由此即可求得答案.【详解】由题意知44()cos sin 3cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin 321x x x x x =+--πcos 23212cos 213x x x ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，当7π12x =时，7ππ2cos 20123⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即()f x 关于点7π(,1)12-成中心对称，由于等差数列{}n a 中，97π12a =，故11721697π2212a a a a a +=+===⨯ ，故117216810()()()()()()2(1)2f a f a f a f a f a f a +=+==+=⨯-=- ，97ππ()2cos 211123f a ⎛⎫=⨯+-=- ⎪⎝⎭，故数列{}n y 的前17项和为1217()()()f a f a f a +++[][][]1172168109()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a =+++++++ 8(2)117=⨯--=-，故选：C8.已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3PA PB ==，45PAC ∠= ，则直线PD 与平面ABCD 夹角的正弦值为（）A.31717B.21717 C.53D.23【答案】B 【解析】【分析】首先求AC ，再作出PO ⊥平面ABCD ，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点O 的位置，以及PO ，再求线面角的正弦值.【详解】如图，由题意可知，AC =PAC △中，根据余弦定理可知293223172PC =+-⨯⨯=，则PC =过点P 作PO ⊥平面ABCD ，OM AB ⊥，连结PM ，ON BC ⊥，连结PN ，因为PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PO AB⊥OM PO O = ，且,OM PO ⊂平面POM所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥，又因为3PA PB ==，所以2MA MB ==，同理PN BC ⊥，PBC 中，916171cos 2343PBC +-∠==⨯⨯，则22sin 3PBC ∠=，根据等面积公式，11344232PN ⨯⨯⨯=⨯⨯，所以PN =，3NC ===，OD ==又2ON MB ==，所以2PO ==，则PD ==直线PD 与平面ABCD 夹角的夹角为PDO ∠，sin17PO PDO PD ∠===.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足O 的位置，以及垂直关系的转化.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.关于下列命题中，说法正确的是（）A.若事件A 、B 相互独立，则()()P A B P A =B.数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位数为78C .已知()0.65P A =，()0.32P AB =，则()0.33P AB =D.已知~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≤=，则()1102P p ξ-≤≤=-【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的乘法公式以及条件概率的概率公式可判断A ；根据百分位数的定义求出第45百分位数判断B ；根据对立事件的概率公式以及条件概率的概率公式可判断C ；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A ，若事件A 、B 相互独立，则()()()P AB P A P B =,而()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，A 正确；对于B ，数据63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已为从小到大排列，共10个数，又45%10 4.5⨯=，故第45百分位数为第5个数74，B 错误；对于C ，由于()0.65P A =，()0.32P AB =，故()03232()()06565P BA .P B |A P A .===，则3233()1()16565P B |A P B |A =-=-=，故()()33(|)()0.650.3365P B A P A P AB P BA ====⨯，C 正确；对于D ，由于~(0,1)N ξ，(1)P p ξ≤=，故(1)1P p ξ>=-，故(1)(1)1P P p ξξ<-=>=-，故()11(1)(1)221102P p p P ξξ<-=--≤≤==---，D 错误，故选：AC10.已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个周期为2B.()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间[]1,2上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+∈⎢⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.1C P的最小值为B.PB PC +的最小值为C.三棱锥1B ACP -的体积为83D.以点B 为球心，263为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线长为33π【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A ，即求正三角形的高，判断为正确；对于选项B ，将空间问题平面化即可判定为正确；对于选项C ，去一个特殊点，计算其体积，判断为错误；对于选项D ，先求出球与平面的交线，然后判断有多少在正方体内，求出其长度即可.【详解】对于A ，11C A D为边长为的等边三角形，1C P 的最小值即该等边三角形的高，为3cos302== A正确；对于B，如图，将等边1A BD 绕1A D 旋转到与平面11A DCB 共面，显然()min PB PC BC +=====，故B 正确；对于C，当P 在D 上时，1111148223333B ACP B ACD ACD V V S BB --==⋅⋅=⨯=≠ ，故C 错误；对于D，设点B 到平面1AB C 的距离为d ,11B AB C B ABC V V --= ，111133AB C ABC S d S BB ∴⋅=⋅ ，11222222d ∴⨯=⨯⨯⨯，3d =，以点B 为球心，3为半径的球面与面1AB C 在正方体内的交线是以1AB C V 中心为圆心，233==为半径的圆，如图，圆有一部分在正方体外，233OM =，由A 得133OH h ==，cos 2OH MOH OM ∠==，所以45MOH ∠= ，90MON ∠= ，所以有36090313604-⨯=圆周在正方体内部，其长度为12332ππ433⨯⨯=，故D 对.故选：ABD.12.已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD 的中点，且6AF =，点M 是抛物线上 BA间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的是（）A.抛物线焦点F 的坐标为()0,3B.过点N 作抛物线的切线，则切点坐标为33,24⎛⎫± ⎪⎝⎭C.在FMN 中，若MN t MF =，t ∈R ，则tD.2TFAF BF=⋅【答案】CD 【解析】【分析】设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，可得出点A 的坐标，利用抛物线的定义可求得p 的值，可判断A 选项；设切线方程为32y kx =-，将切线方程与抛物线方程联立，由判别式为零求出k 的值，可求得切点的坐标，可判断B 选项；利用抛物线的定义结合B 选项可判断C 选项；证明出AT BT ⊥，FT AB ⊥，结合直角三角形的几何性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，抛物线()220x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，设点,2p D t ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为F 为线段AD 的中点，则3,2p A t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由抛物线的定义可得32622p p AF p =+==，解得3p =，则30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，A 错；对于B 选项，由A 选项可知，抛物线的方程为26x y =，点30,2N ⎛⎫-⎪⎝⎭，若切线的斜率不存在，则该直线与抛物线26x y =相交，且只有一个交点，不合乎题意，所以，切线的斜率存在，设切线的方程为32y kx =-，联立2326y kx x y⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得2690x kx -+=，则236360k ∆=-=，解得1k =±，所以，切点横坐标为33k =±，纵坐标为()2393662k ==，故切点坐标为33,2⎛⎫± ⎪⎝⎭，B 错；对于C 选项，过点M 作ME 与直线32y =-垂直，垂足点为点E ，由抛物线的定义可得FM ME =，1cos MN MN t MFMEMNE===∠，由图可知，当直线MN 与抛物线26x y =相切时，锐角MNE ∠取最大值，此时，t取最大值，由B 选项可知，锐角MNE ∠的最大值为π4，故t的最大值为1πcos 4=，C 对；对于D 选项，设点()11,A x y 、()22,B x y ，若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 与抛物线26x y =只有一个交点，不合乎题意，所以，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为32y kx =+，联立2632x y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩可得2690x kx --=，236360k '∆=+>，由韦达定理可得126x x k +=，129x x =-，对函数26x y =求导得3x y '=，所以，直线AT 的方程为()1113x y y x x -=-，即21136x x x y =-，同理可知，直线BT 的方程为22236x x x y =-，因为1219AT BT x x k k ==-，则AT BT ⊥，联立2112223636x x x y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可得121232362x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即点33,2T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3,3FT k =-，而()()()21212121,,AB x x y y x x k x x =--=-- ，所以，()()2121330FT AB k x x k x x ⋅=---=，则FT AB ⊥，所以，90TBF BTF ATF ∠=-∠=∠ ，由tan tan TBF ATF ∠=∠可得TF AF BFTF=，所以，2TFAF BF =⋅，D 对.故选：CD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．三、填空题：本题共4小题.13.已知向量(2,1)a =- ，(1,)b λ=，若()a a b ⊥- ，则λ=____________.【答案】7【解析】【分析】运用平面向量垂直及减法、数乘、数量积坐标运算即可.【详解】因为(2,1)a =- ，(1,)b λ= ，所以(3,1)a b λ-=--，因为()a ab ⊥-，所以()()()()23110a a b λ⋅-=-⨯-+⨯-= ，解得7λ=.故答案为：7.14.512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______.【答案】80-【解析】【分析】根据通项公式中x 的指数为3，列方程解得1r =，从而可得展开式中3x 的系数.【详解】512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()5521512r r r rr T C x--+=-⋅⋅(0,1,2,3,4,5)r =，令523-=r ，得1r =，所以展开式中3x 的系数为5115(1)2C --⋅⋅=80-.故答案为：80-【点睛】本题考查了根据通项公式求项的系数，属于基础题.15.过原点的动直线l 与圆22410x y x +-+=交于不同的两点A ，B .记线段AB 的中点为P ，则当直线l 绕原点转动时，动点P 的轨迹长度为____________.【答案】4π3【解析】【分析】根据垂径定理结合圆的定义及动直线过定点两圆位置关系确定P 的轨迹为圆弧计算即可.【详解】由题意可知圆22410x y x +-+=的圆心为()2,0C ，半径为r =，根据圆的性质可知CP l ⊥，则OCP △为直角三角形，即P 在以OC 为直径的圆上，设OC 中点为E ，该圆半径为R ，易知1R EC ==，又线段AB 的中点为P ，则P 在圆22410x y x +-+=的内部，如图所示其轨迹即 FCG.因为CF r ===，易得120FEC ∠= ，则120GEC ∠= ，所以 FCG 的弧长为21204π2π3603R ⨯⨯⨯=.故答案为：4π316.设12,x x 是函数21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，若213x x ≥，则a 的范围为____________.【答案】23,ln 3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与exy x=有两个不同交点；利用导数可求得单调性，并由此得到()e xg x x=的图象；采用数形结合的方式可确定1201,x x <<<且e a >；假设213x x t ==，由()()12g x g x =可确定3ln 3t =，进而得到()()1223ln 3g x g x ==的值，结合图象可确定a 的取值范围.【详解】由21()e 1,()2xf x ax a =-+∈R ，可得()x f x ax e '=-，因为12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是e 0x ax -=的两根，当0x =时，方程不成立，故12,x x 是exa x=的两根，即y a =与e x y x =的图象有两个交点，令()e ,x g x x =则()()21e xx g x x -'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0g x '<，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，所以()e xg x x =在()(),0,0,1∞-单调递减；在()1,∞+上单调递增.则()e xg x x=图象如下图所示，由图象可知：1201,x x <<<且e a >因为213x x ≥，所以213x x ≥，当213x x =时，不妨令213x x t ==，则13e e 3t tt t=，即13e 3et t =，化简得13e =3ln t =，当213x x =时，()()12ln 3g x g x ====，若213x x ≥，则23ln 3a ≥，即a 的取值范围为23,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,ln 3∞⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos 2b C a c =-.（1）求角B 的大小；（2）若b =，D 为AC 边上的一点，3BD =，且______________，求ABC 的面积．①BD 是B ∠的平分线；②D 为线段AC 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.【答案】（1）π3B =（2）选①或选②均为【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，然后利用sin Asin()B C =+进行代换，求出1cos 2B =，即可得出答案；（2）若选①：由等面积法得到)ac a c =+，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案；若选②：得()12BD BA BC =+，两边平法化简得2236a c ac ++=，由余弦定理得到2212a c ac +-=，联立求解即可得出答案.【小问1详解】由正弦定理知，2sin cos 2sin sin B C A C =-，sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，代入上式得2cos sin sin 0B C C -=，(0,π)C ∈ ，sin 0C ∴>，1cos 2B ∴=，(0,π)B ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①：由BD 平分ABC ∠得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，111sin 3sin 3sin 232626πππac a c ∴=⨯+⨯，即)ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立)2212ac a c a c ac ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，得2()936ac ac -=，解得12ac =，11sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△若选②：得()12BD BA BC =+，()()222211244BD BA BCBA BA BC BC =+=+⋅+，得2236a c ac ++=，在ABC 中，由余弦定理得222π2cos3b ac ac =+-，2212a c ac ∴+-=，联立22223612a c ac a c ac ⎧++=⎨+-=⎩，得12ac =，113sin 12222ABC S ac B ∴==⨯⨯=△18.已知递增的等比数列{}n a 满足22a =，且1a ，2a ，31a -成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设()()112n n n a n b a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前20项和.【答案】（1）12n n a -=（2）212323-【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质得到13212a a a +-=，然后根据等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）利用分组求和的方法计算即可.【小问1详解】设公比为()1q q >，因为1a ，2a ，31a -成等差数列，所以1314a a +-=，所以2250q q+-=，解得2q =或12q =（舍去），所以12n n a -=.【小问2详解】根据题意得()1234192013519246201102b b b b b b a a a a a a a a ++++++=++++-+++++ ()()02418024182222102222=++++-+++++ 101421014-=⨯--212323-=.19.如图，在圆柱体1OO 中，1OA =，12O O =，劣弧11A B 的长为π6，AB 为圆O 的直径．（1）在弧AB 上是否存在点C （C ，1B 在平面11OAAO 同侧），使1BC AB ⊥，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；（2）求二面角111A O B B --的余弦值．【答案】（1）存在，1B C 为圆柱1OO 的母线（2）25117【解析】【分析】（1）1B C 为圆柱1OO 的母线时，证明BC ⊥平面1AB C ，从而得出1BC AB ⊥；（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得二面角111A O B B --的余弦值.【小问1详解】存在，当1B C 为圆柱1OO 的母线时，1BC AB ⊥．证明如下：连接BC ，AC ，1B C ，因为1B C 为圆柱1OO 的母线，所以1B C ⊥平面ABC ，又因为BC ⊂平面ABC ，所以1B C BC ⊥．因为AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥．又1AC B C C ⋂=，1,AC B C ⊂平面1AB C ，所以BC ⊥平面1AB C ，因为1AB ⊂平面1AB C ，所以1BC AB ⊥．【小问2详解】以O 为原点，OA ，1OO 分别为y ，z 轴，垂直于y ，z 轴的直线为x 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则1(0,1,2)A ，1(0,0,2)O ，(0,1,0)B -，因为劣弧11A B 的长为π6，所以111π6AO B ∠=，113,,222B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1(0,1,2)O B =--，111,,022O B ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面11O BB 的法向量(,,)m x y z =，则111201022O B m y z O B m x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =-，解得y =，32z =-，所以2m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．因为x 轴垂直平面11A O B ，所以平面11A O B 的一个法向量(1,0,0)n =．所以cos ,17m n 〈〉==- ，又二面角111A O B B --的平面角为锐角，故二面角111A O B B --的余弦值为25117．20.某学校进行趣味投篮比赛，设置了A ，B 两种投篮方案.方案A ：罚球线投篮，投中可以得2分，投不中得0分；方案B ：三分线外投篮，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙两位员工参加比赛，选择方案A 投中的概率都为()0001p p <<，选择方案B 投中的概率都为13，每人有且只有一次投篮机会，投中与否互不影响.（1）若甲选择方案A 投篮，乙选择方案B 投篮，记他们的得分之和为X ，()334P X ≤=，求X 的分布列；（2）若甲、乙两位员工都选择方案A 或都选择方案B 投篮，问：他们都选择哪种方案投篮，得分之和的均值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据()334P X ≤=得到方程，求出034p =，求出X 的所有可能值及对应的概率，得到分布列；（2）设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，计算出两种情况下的均值，由不等式，得到相应的结论.【小问1详解】依题意，甲投中的概率为0p ，乙投中的概率为13，于是得013(3)1(5)134P X P X p ≤=-==-=，解得034p =，X 的所有可能值为0，2，3，5，311(0)11436P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，311(2)1432P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，131(3)13412P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，311(5)434P X ==⨯=，所以X 的分布列为：X 0235P161211214【小问2详解】设甲、乙都选择方案A 投篮，投中次数为1Y ，都选择方案B 投篮，投中次数为2Y ，则()10~2,Y B p ，21~2,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则两人都选择方案A 投篮得分和的均值为()12E Y ，都选择方案B 投篮得分和的均值为()23E Y ，则()()100142222E E Y p p Y ==⨯=，()()221333322E Y Y E ==⨯⨯=，若()()1223E Y E Y >，即042p >，解得0112p <<；若()()1223E Y E Y =，即042p =，解得012p =；若()()1223E Y E Y <，即042p <，解得0102p <<.所以当0112p <<时，甲、乙两位同学都选择方案A 投篮，得分之和的均值较大；当012p =时，甲、乙两位同学都选择方案A 或都选择方案B 投篮，得分之和的均值相等；当0102p <<时，甲、乙两位同学都选择方案B 投篮，得分之和的均值较大.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为12,A A ，上顶点为B ，且1tan 2A BO ∠=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过2A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 在第一象限相交于点Q ，与直线1A B 相交于点P ，与y 轴相交于点M ，且223PA MQ QA MP =．求k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1-【解析】【分析】（1）根据焦距和角的正切值得到方程，求出21b =，24a =，得到椭圆方程；（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，得到228214Q k x k-=+，再与直线1A B 方程联立，得到2421P kx k +=-，根据题干条件得到方程30P Q Q P x x x x +-=，代入求出答案，舍去不合要求的解.【小问1详解】由题意得2c =c =又1,AO a OB b ==，故1tan 2aA BO b∠==，即2a b =，又222a b c =+，解得21b =，24a =，故椭圆方程为2214x y +=；【小问2详解】直线l 的方程为()2y k x =-，0k <，与2214x y +=联立得()222214161640k x k x k +-+-=，设(),Q Q Q x y ，则22164214Q k x k -=+，解得228214Q k x k -=+，因为点Q 在第一象限，所以2282014Q k x k -=>+，解得214k >，直线1A B 方程为112y x =+，与()2y k x =-联立得2421k x k +=-，故2421P k x k +=-，()2y k x =-中，令0x =得2y k =-，故()0,2M k -，因为223PA MQ QA MP =，所以()()()()20320P Q Q Px x x x--=--，整理得30P Q Q P x x x x +-=，即2222248282243021141421k k k k k k k k +--+⋅+-⋅=-++-，化简得22310k k ++=，解得12k =-或1-，其中12k =-不满足214k >，舍去，1k =-满足要求，故1k =-.22.已知函数2()ln x f x e a x =-，函数ln ()m xg x n x+=+的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（2）若0a ≤，且()f x 在[),e +∞上的最小值为2e e ，证明：当0x >时，()()f x g x ≥.【答案】（1）当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2x af x e x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论即可（2）先由条件求出1ln ()2x g x x+=+，然后要证()()f x g x ≥，即证()22ln 1xx e x --≥，令()2()2ln xh x x ex =--，然后利用导数得出min ()1h x =即可【详解】（1）由题意，得()f x 的定义域为(0,)+∞，2()2xa f x e x'=-.显然当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x '无零点.当0a >时，取2()()2xa t x f x e x'==-，则22()40xa t x ex'=+>，即()f x '单调递增，又()0f a '>，2202a aa e a a f e e e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以导函数()f x '存在唯一零点.故当0a >时，()f x '存在唯一零点，当0a ≤时，()f x '无零点.（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 单调递增，所以22min ()()ee f x f e e a e ==-=，所以0a =.因为21ln ()m xg x x --'=，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线方程为30y -=，所以1(1)01mg -'==，所以1m =.又1ln1(1)31g n +=+=，所以2n =，所以1ln ()2xg x x+=+.根据题意，要证()()f x g x ≥，即证2ln 12xx e x+≤-，只需证()22ln 1x x e x --≥.令()2()2ln xh x x e x =--，则22121()(21)(21)x x x h x x e x e x x +⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭.令21()(0)xF x ex x =->，则221()20x F x e x'=+>，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.又1404F ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，所以()F x 有唯一的零点,x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭01142.当()00,x x ∈时，()0<F x ，即()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()2min 000()2ln x h x h x x e x ==--.又因为()00F x =，所以0201ex x =，所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()f x g x ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点个数，利用导数证明不等式，属于较难题.。

2020届山西省运城市2017级高三上学期期末调研考试数学(理)试卷参考答案

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【全国市级联考word】山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试理数试题

B．充分必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4.有五条长度分别为 1,3,5,7,9 的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形
的概率为（）
A. 1
B. 3
C. 1
D. 7
10
10
2
10
5.在
ABC
中，
AN

1
NC
，
P
是直线
BN
上的一点，或
AP

m AB

3
AC
，则实数 m 的值为(
)
3
4
A．-2
B．-4
C．1
D．4
6.执行下图的程序框图，则输出的 n 为( )
A．9
B．11
C. 13
D．15
7.已知双曲线 C : x2 2my2 1 的两条渐近线互相垂直，则抛物线 E : y mx2 的焦点坐标是( )
A．

0,
2 e

B． 2 2,
C.

e

2 e
,

D．

e2 2

4 e2
,

第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13. ax x 5 的展开式中 x3 项的系数为 20，则实数 a =
，下列
பைடு நூலகம்
5
个结论正确的是
．
(1)任取 x1 ， x2 0, ,都有 | f x1 f x2 | 2 ；
(2)函数 y f x 在 4,5 上单调递增；

山西省运城市高三数学4月模拟调研测试试题理(扫描版)

山西省运城市2017届高三数学4月模拟调研测试试题理（扫描版）
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山西省运城市空港新区17年高考数学模拟试卷(5)理(含解析)

2017年山西省运城市高考数学模拟试卷（理科）（5）一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4 B．4+4i C．﹣4 D．2i2．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞23．已知等差数列{a n}，a1=﹣2013，其n前项和=（）A．2017 B．3 C．6051 D．﹣20174．变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}5．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．3 B．2 C．6 D．86．（文）设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（）A．B．C．D．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本为，则回归直线必过点（）④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=4，则P（ξ＞2）=0.2其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知，则sin2α=（）A．B．C．D．9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤100 B．i＞100 C．i＞50 D．i≤5010．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．811．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）A．B．C．D．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置）13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ．14．已知直线l过抛物线x=的焦点，且被圆x+y2﹣4x+2y=0截得的弦长最长时，直线l的方程为．15．三棱锥A﹣BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= ．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2 （1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．19．高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：（1）得40分的概率；（2）得多少分的可能性最大？（3）所得分数ξ的数学期望．20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．[选修44：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；（2）若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（5）参考答案与试题解析一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，则（1+i）x+y的值为（）A．4 B．4+4i C．﹣4 D．2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等的性质求出x，y，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：∵x，y∈R，i为虚数单位，且（x﹣2）i﹣y=﹣1+i，∴，解得x=3，y=1，∴（1+i）x+y=（1+i）4=（2i）2=﹣4．故选：C．2．已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）=R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先求出∁R B，从而根据集合A及A∪（∁R B）=R即可求出a的取值范围．【解答】解：∵∁R B={x|x≤1，或x≥2}，∴若A∪（∁R B）=R；∴a≥2．故选C．3．已知等差数列{a n}，a1=﹣2013，其n前项和=（）A．2017 B．3 C．6051 D．﹣2017【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设公差为d，由=2，得d=1，从而，由此能求出S2017．【解答】解：∵{a n}为等差数列，∴为等差数列，设公差为d，∵ =2，∴d=1，，∴S2017=2017×3=6051．故选：C．4．变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a的取值集合是（）A．{﹣3，0} B．{3，﹣1} C．{0，1} D．{﹣3，0，1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a=0时，直线y=﹣ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若﹣a＞0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=x﹣2平行，此时﹣a=1，解得a=﹣1．若﹣a＜0，则直线y=﹣ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=﹣ax+z与y=﹣3x+14平行，此时﹣a=﹣3，解得a=3．综上满足条件的a=3或a=﹣1，故实数a的取值集合是{3，﹣1}，故选：B．5．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．3 B．2 C．6 D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．6．（文）设函数y=xsinx+cosx的图象上的点（x0，y0）处的切线的斜率为k，若k=g（x0），则函数k=g（x0）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出g（x）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断．【解答】解：由题意，得g（x）=xcosx，因为g（﹣x）=﹣g（x）所以它是奇函数，k=g（x0）=y′（x0）=x0cosx0，图象关于原点对称，排除A，C，排除B，C．又当0＜x＜1时，cosx＞0，∴xcosx＞0，知D项不符合，故选：B．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m，n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；②10名工人某天生产同一零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有c＞a＞b；③从总体中抽取的样本为，则回归直线必过点（）④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=4，则P（ξ＞2）=0.2其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由平均数的定义，计算即可判断①；运用平均数、中位数和众数的定义，即可判断②；由线性回归直线必过样本中心点，即可判断③；由ξ服从正态分布N（0，σ2），即曲线关于y轴对称，求得P（ξ＜﹣2），即可判断④．【解答】解：①由题意可得这两个班的数学平均分为，故①错；②由题意可得a=（15+17+14+10+15+17+17+16+14+12）=14.7，b=15，c=17，即有c＞b＞a，故②错；③由线性回归方程的特点，可得回归直线必过样本中心点（），故③对；④已知ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤0）=0.4，则P（ξ＜﹣2）=0.5﹣0.4=0.1，则P（ξ＞2）=P（ξ＜﹣2）=0.1，故④错．故选：D．8．已知，则sin2α=（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2α=（α+β）+（α﹣β）求解．【解答】解：∵sin2α=sin[（α+β）+（α﹣β）]=sin（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β）sin（α﹣β），又∵，∴﹣＜α﹣β＜0，π＜α+β＜，∴sin（α﹣β）=﹣，cos（α+β）=﹣，∴sin2α=（﹣）×﹣×（﹣）=﹣．故选：A．9．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤100 B．i＞100 C．i＞50 D．i≤50【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S的值为，执行第二次循环后，S的值为前2项的和，满足时，此时I的值为100，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．【解答】解：框图首先给累加变量S赋值为0，I赋值2，此时判断框中的条件满足，执行S=0+，I=2+2=4；此时判断框中的条件满足，执行S=0++，I=4+2=6；此时判断框中的条件满足，执行S=0+++，I=6+2=8；…观察规律可知：判断框中的条件满足，执行S=，I=100+2=102；此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为I≤100．故选：A．10．已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】KA：双曲线的定义；HR：余弦定理．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|•|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|•|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|•|PF2|=4．法2；由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|•|PF2|=4；故选B．11．如图，给定两个平面单位向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中x，y∈R），则满足x+y≥的概率为（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则由得x，y的值，从而求得x+y，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos120°，sin120°），即B（﹣）设∠AOC=α，则=（cosα，sinα）∵=（x，0）+（﹣，）=（cosα，sinα）．∴∴∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．当x+y≥时，可得sin（α+30°）∴45°≤α+30°≤135°即15°≤α≤105°，∴满足x+y≥的概率P==故选B12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x ﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；【解答】解：因为 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故选A；二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置）13．已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a= ﹣1 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】根据x2产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a．【解答】解：因为（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则=5，即10+5a=5，解得a=﹣1；故答案为：﹣1．14．已知直线l过抛物线x=的焦点，且被圆x+y2﹣4x+2y=0截得的弦长最长时，直线l的方程为x+y﹣1=0 ．【考点】K8：抛物线的简单性质；QK：圆的参数方程．【分析】求出抛物线焦点与圆心坐标，故当直线l经过圆心时弦长最长，利用两点式求出直线方程．【解答】解：抛物线标准方程为y2=4x，焦点坐标为（1，0），圆的圆心坐标为（2，﹣1），∴当直线l经过圆心（2，﹣1）时，弦长最长，故直线l的方程为，即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．15．三棱锥A﹣BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；L3：棱锥的结构特征．【分析】法一：内切球球心O到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB和CD的中点的连线的中点，求出OH即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的，求出内切球半径．【解答】解：法一：易知内切球球心O到各面的距离相等．设E、F为CD、AB的中点，则O在EF上且O为EF的中点．在△ABE中，AB=6，AE=BE=4，OH=．解法二：设球心O到各面的距离为R．4×S△BCD×R=V A﹣BCD，∵S△BCD=×6×4=12，V A﹣BCD=2V C﹣ABE=6．∴4××12R=6．∴R=．16．已知数列{a n}满足[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，则a25﹣a1= 300 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，当n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，于是a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵[2﹣（﹣1）n]a n+[2+（﹣1）n]a n+1=1+（﹣1）n×3n，∴n=2k（k∈N*），可得：a2k+3a2k+1=1+6k，n=2k﹣1（k∈N*），可得：3a2k﹣1+a2k=1﹣6k+3，∴a2k+1﹣a2k﹣1=4k﹣1，∴a25=（a25﹣a23）+（a23﹣a21）+…+（a3﹣a1）+a1=（4×12﹣1）+（4×11﹣1）+…+（4×1﹣1）+a1=﹣12+a1=300+a1．则a25﹣a1=300，故答案为：300．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0）x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120°（1）求A，ω的值和M，P两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【考点】HO：已知三角函数模型的应用问题．【分析】（1）由图得到A及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M的横坐标代入求出M的坐标，利用两点距离公式求出|MP|（2）利用三角形的正弦定理求出NP，MN，求出折线段赛道MNP的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为所以A=，由图知y=Asinϖx的周期为T=12，又T=，所以ω=，所以y=所以M（4，3），P（8，0）|MP|=（2）在△MNP中，∠MNP=120°，故θ∈（0°，60°）由正弦定理得，所以NP=，MN=设使折线段赛道MNP为L则L===所以当角θ=30°时L的最大值是．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2 （1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）当t=时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而，即PM=PC，从而求出t的值；（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．【解答】解：（1）当t=时，PA∥平面MQB下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴…PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN…即：PM=PC∴t=…（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ…以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得而PA∥MN∴，取z=1，解得…取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，则故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…19．高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：（1）得40分的概率；（2）得多少分的可能性最大？（3）所得分数ξ的数学期望．【考点】C9：相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．【解答】解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为，有一道题目做对的概率为，有一道做对的概率为，∴所得40分的概率为（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为得40分是做对8题，∴概率为∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：∴20．已知椭圆的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点（）．【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，再根据a2=b2+c2可求得a；（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k1+k2=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；【解答】（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c2=b2=4，a2=8，故椭圆方程为： =1．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则．由已知 k1+k2=8，可得，所以，即．所以，整理得．故直线AB的方程为，即y=k（）﹣2．所以直线AB过定点（）．（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，设A（x0，y0），B（x0，﹣y0），由已知，得．此时AB方程为，显然过点（）．综上，直线AB过定点（）．21．已知函数f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0对定义域中的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对任意正整数m，n，不等式++…+＞恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f（x）的导数，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣，由此能求出实数a的取值范围．（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．由此能够证明对任意的正整数m，n，不等式恒成立．【解答】解：（1）∵f′（x）=+x﹣（1+a），①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；单调增区间是（0，a），（1，+∞）．③当a=1时，则f′（x）=≥0，故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．（2）由于f（1）=﹣，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣，此时，f（1）≥0，解得a≤﹣，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）．（3）由（2）知，当a=﹣时，f（x）=﹣lnx+x2﹣x≥0，当且仅当x=1时，等号成立，这个不等式等价于lnx≤x2﹣x．当x＞1时，变换为＞=﹣，因此不等式左边＞（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣=，从而得证．[选修44：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=6sinθ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y ﹣3）2=9．（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，∴，又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得=，∴|PA|+|PB|的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R．（1）若不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，求a的值；（2）若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由f（x）≤a，得≤x≤．再根据不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，可得，由此解得a的值．（2）根据g（x）=的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m≠0恒成立．求得|2x﹣1|+|2x+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤a，得≤x≤．因为不等式f（x）≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以，解得a=1．（2）g（x）==的定义域为R，可得|2x﹣1|+|2x+1|+m ≠0恒成立．∵|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，∴m＞﹣2．。

山西省运城市空港新区2017届高三数学模拟考试试题三文201706280194

山西省运城市空港新区2017届高三数学模拟考试试题（三）文【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)1. 设全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,1=A ,集合{}4,3=B ,则()U C A B ⋃= A.{}4 B {}4,3. C. {}4,3,2 D. {}5,4,3,,12.已知复数z 满足ii z -+-=111，则z 的虚部为 A.i 21- B. 21- C. i 21D.213. 在△ABC 中，若tan tan tan tan 1A B A B =++，则C cos 的值是A. 2-B. 12C.2D. 12-4. 已知非零向量,满足0)(,1||,2||=⋅+==，则a 与b 的夹角为 A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 实轴长为2，且经过点)3,2(，则双曲线的渐近线方程为A. x y 23±= B. x y 23±= C. x y 3±= D. x y 3±=6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是A. ]72,56(B. ]90,72(C. ]110,90(D. )90,56(7. 如图是一个几何体的三视图，其中正视图与侧视图都是两底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积为 A. 6πB. 12πC. 18πD. 24π8．将函数)2sin()(θ+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度得到函数)(x g 的图象，若)(x f 与)(x g 的图象的对称轴重合，则ϕ的值可以是 A.4πB.43π C.2π D. 6π 9. 已知变量,x y 满足不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则82x yz =⨯的最小值为A.14B.12C. 3D. 410. 已知定义域为]12,1[+-a a 的奇函数x x b x x f +-+=23)1()(，则(2)()0f x b f x -+≥的解集为A. ]3,1[B. ]2,31[C. ]2,1[D. ]1,31[11. 在直角坐标平面内，过定点P 的直线01:=-+y ax l 与过定点Q 的直线03:=+-ay x m 相交于点M ，则22MQ MP +的值为A.210 B. 10 C. 5 D. 1012. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]1,1(-∈x 时，2)(x x f =，⎩⎨⎧≤>-=1,21),1(log )(3x x x x g x，那么函数)()()(x g x f x h -=在区间[－5，5]上零点的个数为 A. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知边长为3的正三角形ABC 三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则球O 的表面积为 .14. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝.甲说：我没有偷；乙说：丙是小偷；丙说：丁是小偷；丁说：我没有偷.根据以上条件，可以判断偷珠宝人是.15. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上存在一点P 满足线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为_____________. 16. 在△ABC 中，3,3==AC B π，D 为线段BC 上一点，若AD AB =，则△ADC 的周长的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中的公差是d ，且{})3,2,1(5,4,3,2,1,0=--∈<i a d i ，在数列{}n b 中，11=b ，点),(n n b n B 在函数x a x g 2)(⋅=的图象上运动，其中a 是与x 无关的常数（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，且1==AD AB ，261=AA ,060=∠ABC . （1）求证：1BD AC ⊥. （2）求四面体C AB D 11-的体积.19.（本小题满分12分）对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，求出y 关于x 的回归直线方程；（2）根据（1）的回归方程计算6月份的残差估计值；（3）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）（参考公式：1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yba y bx x nx==-==--∑∑）（参考数据：5.502,39251251==∑∑==i i i i i x y x ）20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点)2,1(A 为抛物线上一点（1）求抛物线C 的方程；（2）若点)2,1(-B 也在C 上，过B 作C 的两条弦BP 与BQ ，若直线BP 与直线BQ 的斜率之积为2-，求证：直线PQ 过定点.21. （本小题满分12分）已知函数x ax x x f ln 1)(2-++-=.（1）若)(x f 在)21,0(上是减函数，求a 的取值范围;（2）函数)(x f 是否既有极大值又有极小值？若有，求a 的取值范围；若没有，请说明理由.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程.（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值，并求此时点P 坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数22)(b x a x x f -++=，其中b a ,均为实数.（1）若022222=++-+b a b a ，解关于x 的不等式3)(≥x f （2）若4=+b a ，证明：8)(≥x f高三数学（文）三答案一、选择题 1-5 CBCCD 6-10 BBC AD 11-12 DB二、填空题 13．316π14. 甲 15.3516. ]32,32(+ 三、简答题17. 解：（1）因为等差数列{}n a 中的公差是0<d ，所以321a a a >>，且3122a a a +=所以1,3,5321===a a a ，即2-=d ……..2分所以n n a n 27)1(25-=--=………………4分因为点),(n n b n B 在函数x a x g 2)(⋅=的图象上所以n n a b 2⋅=，又因为11=b ，所以21=a 所以12-=n nb …………………………………6分（2）因为12-⋅==n n n n n a b a c所以12312012222-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n n a a a a S ①n n n n n a a a a a S 22222211332211⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=--②………………………………………8分①-②得，n n n n a d d d a S 2222212101⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=-- ………………………………………….10分所以n n nn a a S 221222210---⨯-=-，即92)29(-⋅-=n n n S ………………………….12分18.解: (1)连结BD 、AC 相交于O.因为四边形ABCD 为平行四边形,且AB=AD,所以四边形ABCD 为菱形, 则AC ⊥BD ……………….2分由直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1, 所以BB 1⊥平面ABCD,可知BB 1⊥AC, …………………………………………….4分则AC ⊥平面BB 1D 1D ，又BD 1⊂平面BB 1D 1D ，则AC ⊥BD 1…………………………………………………6分 (2) 111111*********D AB C ABCD A B C D B ABC D ACD A A B D CC B D V V V V V V -=----=111111443ABCD A B C D B ABC V V --=-⋅=…………………………………………12分19.（1）由题得8,10==--y x ……………………………2分所以2.310055.5028105392-=⨯-⨯⨯-=∧b40102.38=⨯+=∧a ……………………………..4分所以402.3+-=∧x y ………………………………6分（2）当8=x 时，4.144082.3=+⨯-=∧y所以0.4y y ∧-=-…………………………………..8分（3）依题意，利润)402.3)(5.2(+--=x x L)5.125.2(100482.32<<-+-=x x x …………….10分所以当5.7=x 时，利润最大所以该产品定价为5.7元时，利润最大……………………………………12分 20（1）设抛物线方程为ax y =2代入)2,1(A 得4=a所以抛物线方程为x y 42=…………………………….2分设抛物线方程为my x =2代入)2,1(A 得21=m 所以抛物线方程为y x 212=故抛物线C 方程为x y 42=或y x 212=………………4分（2）证明：由题得C 的方程为x y 42= 设直线BP 方程为)1(2-=+x k y代入x y 42=得0)2()442(2222=++++-k x k k x k ………………………6分设),(11y x P ，则221)2(k k x +=所以)42,)2((22kk k k P ++ 同理可得)22,)1((2k k Q --…………………………8分所以PQ 直线斜率为222)1()2(22422222++-=--++-+k k k k k k kk k 所以直线PQ 方程为])1([2222222--++-=+-k x k k kk y ……………10分即)3(22222-++-=-x k k ky 所以直线PQ 过定点)2,3(………………………….12分22.对于曲线1C 有2222coscos sin1sinayy aαα=⇔+=+==⎩,即1C的方程为:2213xy+=; …………………………2分对于曲线2C有sin()(cos sin)cos sin84280x yπρθρθθρθρθ+=+=⇔+=⇔+-=所以2C的方程为80x y+-=………………………..5分(1)显然椭圆1C与2C无公共点,椭圆上点3c o s,s i n)Pαα到直线80x y+-=的距离为:|2sin()8|dπα+-==当in()13sπα+=时, d取最小值为点P的坐标为31(,)22…………………………………10分23.（1）因为022222=++-+baba，即0)1()1(22=++-ba所以1,1-==ba………………………………………….2分所以11)(-++=xxxf11 所以不等式为311≥-++x x等价于⎩⎨⎧≥+----≤3111x x x 或⎩⎨⎧≥+-+≤<-31111x x x或⎩⎨⎧≥-++>3111x xx 所以32x ≤-或23≥x ，即不等式解集为33(,][,)22-∞-+∞ ………………………5分（2）因为4=+b a所以)(21622222b a b ab a +≤=++所以822≥+b a …………………………………………….7分因为222222)()()(b a b x a x b x a x x f +=--+≥-++= 所以8)(22≥+≥b a x f当且仅当b a =时，取等号，即8)(≥x f ………………….10分。

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山西省运城市2017届高三4月模拟调研测试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，则下列结论正确的是（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

2.已知复数错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值是（）A．1 B．-1 C．错误！未找到引用源。

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3.命题“错误！未找到引用源。

”是命题“错误！未找到引用源。

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”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4.有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段，若从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

5.在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

是直线错误！未找到引用源。

上的一点，或错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的值为( )A．-2 B．-4 C．1 D．46.执行下图的程序框图，则输出的错误！未找到引用源。

为( )A．9 B．11 C. 13 D．157.已知双曲线错误！未找到引用源。

的两条渐近线互相垂直，则抛物线错误！未找到引用源。

的焦点坐标是( )A．错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

8.如图，网格纸上小正方体的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为错误！未找到引用源。

，则该几何体的俯视图可以是( )A的圆错误！未找到引用源。

相交于错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

两点，且错误！未找到引用源。

，则实数错误！未找到引用源。

的值为( )A．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

10.抛物线错误！未找到引用源。

的焦点为错误！未找到引用源。

，设错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

是抛物线上的两个动点，错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的最大值为( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

11.在错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

( )A．6 B．7 C.8 D．912.已知函数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为自然对数的底数，关于错误！未找到引用源。

的方程错误！未找到引用源。

有四个相异实根，则实数错误！未找到引用源。

的取值范围是( )A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 错误！未找到引用源。

的展开式中错误！未找到引用源。

项的系数为20，则实数错误！未找到引用源。

= ．14.设错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

满足的约束条件组错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

的最大值为．15.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中有一个“茭草形段”的问题；“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之，问底子几何？”，他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛倒数第二层茭草总束为．16.对于函数错误！未找到引用源。

，下列5个结论正确的是．(1)任取错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,都有错误！未找到引用源。

；(2)函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递增；(3) 错误！未找到引用源。

，对一切错误！未找到引用源。

恒成立；(4)函数错误！未找到引用源。

有3个零点；(5)若关于错误！未找到引用源。

的方程错误！未找到引用源。

有且只有两个不同的实根错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)正项数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

，满足错误！未找到引用源。

(1)求错误！未找到引用源。

的通项公式；(2) 设错误！未找到引用源。

，求数列错误！未找到引用源。

的前错误！未找到引用源。

项和错误！未找到引用源。

.18.(本小题满分12分)某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为错误！未找到引用源。

.(1)若出现故障的机器台数为错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

的分布列；(2) 该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(3)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值.19.(本小题满分12分)如下图，在三棱锥错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

分别在线段错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

上，错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

的中点(1)证明：错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；(2) 若二面角错误！未找到引用源。

的大小为错误！未找到引用源。

，求错误！未找到引用源。

.20. (本小题满分12分)如下图所示，已知椭圆错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

分别为其左，右焦点，点错误！未找到引用源。

是椭圆错误！未找到引用源。

上的一点，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

.(1)当错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

时，求错误！未找到引用源。

的值；(2)若错误！未找到引用源。

，试求椭圆错误！未找到引用源。

离心率错误！未找到引用源。

的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

(1)若直线错误！未找到引用源。

与曲线错误！未找到引用源。

恒相切于同一定点，求错误！未找到引用源。

的方程；(2) 当错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

，求实数错误！未找到引用源。

的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）在直角坐标系错误！未找到引用源。

中，直线错误！未找到引用源。

过点错误！未找到引用源。

，其倾斜角为错误！未找到引用源。

，圆错误！未找到引用源。

的参数方程为错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

为参数），再以原点为极点，以错误！未找到引用源。

轴正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系错误！未找到引用源。

有相同的长度单位. （1）求圆错误！未找到引用源。

的极坐标方程；（2）设圆错误！未找到引用源。

与直线错误！未找到引用源。

交于A、B，求错误！未找到引用源。

的值.23.(本小题满分为10分)已知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，记关于错误！未找到引用源。

的不等式错误！未找到引用源。

的解集为错误！未找到引用源。

.（1）若错误！未找到引用源。

，求实数错误！未找到引用源。

的取值范围；（2）若错误！未找到引用源。

，求实数错误！未找到引用源。

的取值范.试卷答案一、选择题1-5:错误！未找到引用源。

6-10:错误！未找到引用源。

11、12：错误！未找到引用源。

二、填空题13.4 14.5 15.105 16.（1）（4）（5）三、解答题17.解：（1）由错误！未找到引用源。

①，知错误！未找到引用源。

②，由②-①得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

是以4为首项，3为公差的等差数列，错误！未找到引用源。

.（2）错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.18.解：（1）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为错误！未找到引用源。

，则事件错误！未找到引用源。

的概率为错误！未找到引用源。

，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

的分布更为：（2）设该厂有错误！未找到引用源。

名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，这错误！未找到引用源。

个互斥事件的和事件，则错误！未找到引用源。

%错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%.（3）设该厂获利为错误！未找到引用源。

万元，则错误！未找到引用源。

的所有可能取值为：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

的分布列为：则错误！未找到引用源。

，故该厂获利的均值为错误！未找到引用源。

.19.（1）证明：取错误！未找到引用源。

的中点错误！未找到引用源。

，连接错误！未找到引用源。

、错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

，又错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。