2018-2019学年最新北师大版八年级数学上册《平行线的性质》同步测试题及答案-精品试题
最新北师大版2018-2019学年数学八年级上册7.4《平行线的性质》练习题-精品试卷
7.4平行线的性质专题与平行线有关的探究题1．如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）2．利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．答案：1．解：如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作AB∥PF，∵AB∥PF，∴AB∥CD∥PF，∴PCD∠∠∠,（两直线平行，内错角相等）, =APF∠CPFPBA=∴∠APC=∠PAB+∠PCD．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB-∠PCD；（4）∠PCD=∠PAB+∠APC.2．解：（1）如图，当动点P落在第②部分时,∠APB=360°-（∠PAC+∠PBD）；（2）当动点P落在第③部分时,∠PAC=∠APB+∠PBD；当动点P落在第○4部分时，∠PAC=∠APB+∠PBD．证明：如图，∵∠PAC=∠AEB，∠AEB=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠APB+∠PBD．。
最新北师大版2018-2019学年数学八年级上册《平行线的证明》单元测试题及解析-精品试题
《第7章平行线的证明》一、选择题1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．①②④D．①④2．两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）A．互相重合B．互相平行C．互相垂直D．相交3．如图，已知∠DAE=∠B，∠DAB=∠C，则下列结论不成立的是（）A．AD∥BC B．∠B=∠C C．∠DAB+∠B=180°D．AB∥CD4．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°5．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐1306．下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB 与CD 没有交点，则AB ∥CD ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a 与c 不相交． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图所示，若AB ∥CD ，则∠A ，∠D ，∠E 之间的度数关系是（ ）A ．∠A+∠E+∠D=180°B ．∠A ﹣∠E+∠D=180°C ．∠A+∠E ﹣∠D=180°D ．∠A+∠E+∠D=270°8．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（ ）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．无法确定9．如图，∠1+∠2+∠3=232°，AB ∥DF ，BC ∥DE ，则∠3﹣∠1的度数为（ ）A ．76°B ．52°C ．75°D ．60°10．观察下面图案，在A 、B 、C 、D 四幅图案中，能通过如图的图案平移得到的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（ ）A ．相交或垂直B ．垂直或平行C．平行或相交D．平行或相交或重合12．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，不相交的两条线段必然平行B．在同一平面内，不相交的两条直线必然平行C．在同一平面内，不平行的两条线段延长后必然相交D．在同一平面内，两条直线没有公共点，那么两条直线平行13．如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对14．已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END 15．如图，直线c截二平行直线a、b，则下列式子中一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1=∠4 D．∠1=∠5二、填空题16．如图，若l1∥l2，∠1=45°，则∠2= 度．17．如图，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠4的度数为度．18．吸管吸易拉罐内的饮料时，如图所示，∠1=110°，则∠2= 度．（易拉罐的上下底面互相平行）19．如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有对．20．如图，按角的位置关系填空：∠A与∠1是，是由直线与被所截构成的；∠A与∠3是，是由直线与被所截构成的；∠2与∠3是，是由直线与被所截构成的．21．如图，（1）∵∠A= （已知），∴AC∥ED（）（2）∵∠2= （已知），∴AC∥ED（）（3）∵∠A+ =180°（已知），∴AB∥FD（）（4）∵AB∥（已知），∴∠2+∠AED=180°（）（5）∵AC∥（已知），∴∠C=∠1（）22．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，要使AB∥CD，那么另一个拐角∠BCD应弯成．23．如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC= 度．24．平移变换的性质：平移变换不改变图形的和；连结对应点的线段而且．25．将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知∠1=76°，则∠2的度数为度．26．如图，△DEF是由△ABC平移得到的，△ABC可以先向右平移格，再向平移格，得到△DEF．27．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．28．如图，E为DF上的一点，B为AC上的一点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF．请填空完成推理过程．（∵﹣﹣因为，∴﹣﹣所以）解：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（）∴∠2=∠3（等量代换）∴∥（）∴∠C=∠ABD（）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（）∴AC∥DF（）29．如图，△DEF是Rt△ABC沿着BC平移得到的．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分的面积为．30．如图，三角形ABC平移后成为三角形EFB．已知下列说法：①线段AC的对应线段是BE；②B的对应点是B；③B的对应点是F；④平移的距离是线段CF的长度．其中正确的有．三、解答题31．如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？32．如图，直角△ABC的周长为18，在其内部有5个小直角三角形，同一方向直角边都互相平行，求这5个小直角三角形的周长之和．33．已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．34．已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B=∠ADE，试说明∠1=∠2．35．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFC，交AB于G．若∠1=80°，求∠FGE的度数．《第7章平行线的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．①②④D．①④【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．故选：C．【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．2．两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）A．互相重合B．互相平行C．互相垂直D．相交【考点】平行线的判定与性质；角平分线的定义．【分析】两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，它们的平分线形成的同位角相等，同位角相等的平分线平行．【解答】解：∵两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，∴它们角的平分线形成的同位角相等，∴同位角相等的平分线平行．故选B．【点评】此题综合运用了角平分线的定义和平行线的判定方法及性质．3．如图，已知∠DAE=∠B，∠DAB=∠C，则下列结论不成立的是（）A．AD∥BC B．∠B=∠C C．∠DAB+∠B=180°D．AB∥CD【考点】平行线的判定与性质．【分析】A、利用同位角相等，判断两直线平行；C、由已知∠DAE=∠B，利用同位角相等，判断两直线平行，得出AD∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，求得；D、由于已知∠DAB=∠C与∠DAB+∠B=180°，得出∠C+∠B=180°，由同旁内角互补，判断两直线平行．【解答】解：A、成立，∵∠DAE=∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；C、成立，∵∠DAE=∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）；D、成立，∵∠DAB+∠B=180°，又∵∠DAB=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选B．【点评】本题要灵活运用平行线的判定和性质进行正确判断．4 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3=∠4 B．∠1=∠2 C．∠D=∠DCE D．∠D+∠ACD=180°【考点】平行线的判定．【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．【解答】解：A、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；B、根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确；C、根据内错角相等，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；D、根据同旁内角互补，两直线平行可得BD∥AC，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．5．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130【考点】平行线的性质．【分析】首先根据题意对各选项画出示意图，观察图形，根据同位角相等，两直线平行，即可得出答案．【解答】解：如图：故选：A．【点评】此题考查了平行线的判定．注意数形结合法的应用，注意掌握同位角相等，两直线平行．6．下列说法正确的有（）①不相交的两条直线是平行线；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】平行线的性质；平行线．【分析】根据平行线的性质或举出反例判断各说法正误即可．【解答】解：①不相交的两条直线是平行线；此说法错误，应强调在同一平面内；②在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，正确，有相交或平行两种关系；③若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD；此说法错误，还有可能其延长线相交；④若a∥b，b∥c，则a与c不相交；根据平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么两条直线也互相平行，上面说法正确．故②④说法正确，选B．【点评】本题考查了平行线的判定和平面内直线的位置关系，同学们要灵活掌握．7．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（）A．∠A+∠E+∠D=180°B．∠A﹣∠E+∠D=180°C．∠A+∠E﹣∠D=180°D．∠A+∠E+∠D=270°【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行内错角相等进行做题．【解答】解：过点E作AB∥EF，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠AEF=180°，∠D=∠DEF，∴∠A+∠AEF+∠DEF=180°+∠D，即∠A+∠E﹣∠D=180°．故选C．【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．8．两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．无法确定【考点】平行线的性质．【专题】分类讨论．【分析】根据题意分两种情况画出图形，再根据平行线的性质解答．【解答】解：如图（1），∵AB∥DE，∴∠A=∠1=60°，∵AC∥EF，∴∠E=∠1，∴∠A=∠E=60°．如图（2），∵AC∥EF，∴∠A=∠1=60°，∵DE∥AB，∴∠E+∠1=180°，∴∠A+∠E=180°，∴∠E=180°﹣∠A=180°﹣60°=120°．故一个角是60°，则另一个角是60°或120°．故选C．【点评】本题考查的是平行线的性质，解答此题的关键是要分两种情况讨论，不要漏解．9．如图，∠1+∠2+∠3=232°，AB∥DF，BC∥DE，则∠3﹣∠1的度数为（）A．76°B．52°C．75°D．60°【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质直接求解．【解答】解：∵AB∥DF，BC∥DE，∴∠1=∠BCD=∠2，∠3+∠1=180°，又∠1+∠2+∠3=232°，∴∠1=52°，∠3=128°，故∠3﹣∠1的度数为128°﹣52°=76°．故选A．【点评】考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．10．（2005…扬州）观察下面图案，在A、B、C、D四幅图案中，能通过如图的图案平移得到的是（）A．B．C．D．【考点】利用平移设计图案．【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移可直接得到答案．【解答】解：根据平移得到的是B．故选：B．【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．注意结合图形解题的思想．11．在同一平面内两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．平行或相交或重合【考点】相交线；垂线；平行线．【分析】利用同一个平面内，两条直线的位置关系解答．【解答】解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交．故选：C．【点评】本题主要考查了同一平面内，两条直线的位置关系，注意垂直是相交的一种特殊情况，不能单独作为一类．12．下列说法错误的是（）A．在同一平面内，不相交的两条线段必然平行B．在同一平面内，不相交的两条直线必然平行C．在同一平面内，不平行的两条线段延长后必然相交D．在同一平面内，两条直线没有公共点，那么两条直线平行【考点】平行线．【专题】计算题．【分析】根据平行线的定义直接解答即可．【解答】解：A、根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条线段必然平行，而线段即可不平行也可不相交，故本选项正确；B、根据平行线的定义，在同一平面内，不相交的两条线段必然平行，故本选项错误；C、根据平行线的定义，在同一平面内，不平行的两条线段延长后为射线或线段，必然相交，故本选项错误；D、根据平行线的定义，在同一平面内，两条直线没有公共点，那么两条直线平行，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了平行线的定义，解答本题还要熟悉射线、线段的性质．13．如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】平行线的性质．【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义找等角．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠DBE=∠DEB．所以图中相等的角共有5对．故选C．【点评】这类题首先利用平行线的性质确定内错角相等或同位角相等，然后根据角平分线定义得出其它相等的角．14．已知：如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（）A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END【考点】同位角、内错角、同旁内角．【分析】同位角的判断要把握几个要点：①分析截线与被截直线；②作为同位角要把握两个相同，在截线同旁，在被截直线同侧．【解答】解：∵直线AB、CD被直线EF所截，∴只有∠END与∠EMB在截线EF的同侧，且在AB和CD的同旁，即∠END是∠EMB的同位角．故选D．【点评】AB和CD此类题的解题要点在概念的掌握．15．（2009…崇左）如图，直线c截二平行直线a、b，则下列式子中一定成立的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1=∠4 D．∠1=∠5【考点】平行线的性质．【分析】两直线平行，同位角相等，据此可进行判断．【解答】解：由图可知，A、∠1和∠2是邻补角，两直线平行不能推出邻补角相等，故错误；B、∵a∥b，∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），故正确．C、由B知，∠1=∠3，又∠3+∠4=180°，∴∠1+∠4=180°，故错误；D、由C知，∠1+∠4=180°，又∠4=∠5，∴∠1+∠5=180°，故错误；故选B．【点评】本题重点考查了平行线的性质，是一道较为简单的题目．二、填空题16．如图，若l1∥l2，∠1=45°，则∠2= 135 度．【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【专题】计算题．【分析】根据平行线的性质，得∠1的同位角是45°，再根据邻补角的定义，得：∠2=180°﹣45°=135°．【解答】解：∵l1∥l2，∠1=45°，∴∠1的同位角是45°，∴∠2=180°﹣45°=135°．【点评】本题运用了平行线的性质以及邻补角的定义．17．如图，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠4的度数为80 度．【考点】平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．【专题】计算题．【分析】根据对顶角相等、平行线的判定和性质可得出结果．【解答】解：∵∠5=∠2=98°，∴∠1+∠5=180°，又∵∠1与∠5是关于直线c的同旁内角，∴a∥b，∴∠3=∠4=80°．故填80．【点评】考查同旁内角互补，两直线平行这一判定定理和两直线平行，内错角相等这一性质．18．吸管吸易拉罐内的饮料时，如图所示，∠1=110°，则∠2= 70 度．（易拉罐的上下底面互相平行）【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【专题】应用题．【分析】本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及对顶角相等进行解题．【解答】解：因为易拉罐的上下底面互相平行，所以∠2与∠1的对顶角之和为180°．又因为∠1与其对顶角相等，所以∠2+∠1=180°，故∠2=180°﹣∠1=180°﹣110°=70°．【点评】考查了平行线的性质及对顶角相等．19．如图，AD∥BC，AC与BD相交于O，则图中相等的角有 4 对．【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【分析】根据两直线平行，内错角相等，找出相等的角；再根据对顶角相等找出相等的角，两处得到的角相加就可以．【解答】解：∵AD∥BC，∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC；∵AC与BD相交于O，∠AOB=∠DOC，∠AOD=∠BOC；则图中相等的角有四对．故应填4．【点评】本题主要考查平行线的两条性质：两直线平行，内错角相等；以及两直线相交，对顶角相等．20．如图，按角的位置关系填空：∠A与∠1是同旁内角，是由直线AC 与DE 被AB 所截构成的；∠A与∠3是同位角，是由直线AC 与DE 被AB 所截构成的；∠2与∠3是内错角，是由直线AC 与AB 被DE 所截构成的．【考点】同位角、内错角、同旁内角．【专题】几何图形问题．【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角作答．【解答】解：图中：∠A与∠1是同旁内角，是由直线 AC与 DE被 AB所截构成的；∠A与∠3是同位角；是由直线 AC与 DE被AB所截构成的；∠2与∠3是内错角，是由直线 AC 与 AB被 DE所截构成的．故答案为：同旁内角，AC，DE，AB；同位角，AC，DE，AB；内错角，AC，AB，DE．【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的概念．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．21．如图，（1）∵∠A= ∠BED （已知），∴AC∥ED（同位角相等，两直线平行）（2）∵∠2= ∠CFD （已知），∴AC∥ED（内错角相等，两直线平行）（3）∵∠A+ ∠AFD =180°（已知），∴AB∥FD（同旁内角互补，两直线平行）（4）∵AB∥DF （已知），∴∠2+∠AED=180°（两直线平行，同旁内角互补）（5）∵AC∥DE （已知），∴∠C=∠1（两直线平行，同位角相等）【考点】平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】利用平行线的性质进行求解．【解答】解：（1）∵∠A=∠BED（已知），∴AC∥ED（同位角相等，两直线平行）（2）∵∠2=∠CFD（已知），∴AC∥ED（内错角相等，两直线平行）（3）∵∠A+∠AFD=180°（已知），∴AB∥FD（同旁内角互补，两直线平行）（4）∵AB∥DF（已知），∴∠2+∠AED=180°（两直线平行，同旁内角互补）（5）∵AC∥DE（已知），∴∠C=∠1（两直线平行，同位角相等）．【点评】熟记平行线的性质以及掌握平行线的证明．22．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=110°，要使AB∥CD，那么另一个拐角∠BCD应弯成70°．【考点】平行线的性质．【专题】数形结合．【分析】根据平行线的性质易求∠BCD=180°﹣∠ABC．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°．又∠ABC=110°，∴∠BCD=70°．故答案为：70°．【点评】本题考查了平行线的性质，属于基础题，难度不大，关键是掌握两直线平行同旁内角互补．23．（2011春…金台区期末）如图，DAE是一条直线，DE∥BC，则∠BAC= 46 度．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】本题主要利用“两直线平行，内错角相等”以及角的和差进行计算．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠DAC=124°，∴∠BAC=∠DAC﹣∠DAB=124°﹣78°=46°．【点评】本题重点考查了平行线的性质，是一道较为简单的题目．24．平移变换的性质：平移变换不改变图形的形状和大小；连结对应点的线段平行而且相等．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质直接填空得出即可．【解答】解：平移变换的性质：平移变换不改变图形的形状和大小；连结对应点的线段平行而且相等．故答案为：形状，大小，平行，相等．【点评】此题主要考查了平移的性质和定义，根据定义直接填空得出是解题关键．25．（2013春…余姚市校级期中）将一条两边沿互相平行的纸带按如图所示折叠，已知∠1=76°，则∠2的度数为28 度．【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题．【分析】先找出∠1与∠ACF的关系，再根据平行线性质求出∠ACD，之后可得∠2．【解答】解：根据题意，∠ACF=∠1=76°；∵AB∥CD，∴∠ACD=180°﹣∠1=180°﹣76°=104°∴∠2=∠ACD﹣∠ACF=104°﹣76°=28°；故应填28．【点评】此题运用了平行线性质，但须考虑到纸带折叠后相等的角，难度中等偏上．26．如图，△DEF是由△ABC平移得到的，△ABC可以先向右平移 6 格，再向下平移3 格，得到△DEF．【考点】平移的性质．【分析】根据图形直接得出，△ABC平移的距离与方向即可．【解答】解：如图所示：△ABC可以先向右平移6格，再向下平移3格，得到△DEF．故答案为：6，下，3．【点评】此题主要考查了平移的性质，根据图形及平移的性质得出是解题关键．27．（2015秋…衡阳县期末）在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是a ∥c ．【考点】平行线．【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直即可求解．【解答】解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c．故答案为a∥c．【点评】本题考查了平行线的判定：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．28．（2012秋…香坊区期末）如图，E为DF上的一点，B为AC上的一点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF．请填空完成推理过程．（∵﹣﹣因为，∴﹣﹣所以）解：∵∠1=∠2（已知）∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴CE ∥BD （同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（等量代换）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）【考点】平行线的判定与性质．【专题】推理填空题．【分析】利用平行线的判定推知CE∥BD．然后根据平行线的性质、等量代换推知内错角∠D=∠ABD，则AC∥DF．【解答】解：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）∴∠2=∠3（等量代换）∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠ABD（两直线平行，同位角相等）又∵∠C=∠D（已知）∴∠D=∠ABD（等量代换）∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行）．故答案分别是：对顶角相等；CE、BD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．29．如图，△DEF是Rt△ABC沿着BC平移得到的．如果AB=8cm，BE=4cm，DH=3cm，则图中阴影部分的面积为26cm2．【考点】平移的性质．【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，利用平行线分线段成比例可求出EC，再根据S HDFC=S△EFD﹣S△ECH即可得到答案．【解答】解：由平移的性质知，DE=AB=8cm，HE=DE﹣DH=5cm，CF=BE=4cm，HC∥DF，∠DEF=∠B=90°，∴HE：DE=EC：EF=EC：（EC+CF），即5：8=EC：（EC+4），∴EC=cm，EF=EC+CF=（cm），∴S HDFC=S△EFD﹣S△ECH=DE…EF﹣EH…EC=26（cm2）．故答案为：26cm2．【点评】此题主要考查了平行线截线段对应成比例和平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．30．如图，三角形ABC平移后成为三角形EFB．已知下列说法：①线段AC的对应线段是BE；②B的对应点是B；③B的对应点是F；④平移的距离是线段CF的长度．其中正确的有 3 ．【考点】平移的性质．【分析】利用平移的性质进而分别分析得出即可．【解答】解：∵三角形ABC平移后成为三角形EFB∴①线段AC的对应线段是BE，此选项正确；②B的对应点是F，故此选项错误；③B的对应点是F，此选项正确；④平移的距离是线段CF的长度，此选项正确．故正确的有3个．故答案为：3．【点评】此题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．三、解答题31．如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系？为什么？【考点】平行线的判定与性质．【专题】探究型．【分析】两直线的位置关系有两种：平行和相交，根据图形可以猜想两直线平行，然后根据条件探求平行的判定条件．【解答】平行．证明：∵CD∥AB，∴∠ABC=∠DCB=70°；又∵∠CBF=20°，∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=70°﹣20°=50°；∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°；∴EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行）．【点评】证明两直线平行的方法就是转化为证明两角相等或互补．32．如图，直角△ABC的周长为18，在其内部有5个小直角三角形，同一方向直角边都互相平行，求这5个小直角三角形的周长之和．【考点】平移的性质．【分析】小直角三角形的与AC平行的边的和等于AC，与BC平行的边的和等于BC，则小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长，据此即可求解．【解答】解：利用平移的性质可得出，这五个小三角形的周长的和等于大三角形的周长为18．【点评】本题主要考查了矩形的性质，正确理解小直角三角形的周长等于直角△ABC的周长是解题的关键．33．已知：如图，AB∥CD，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE=90°．（1）请问BD和CE是否平行？请你说明理由．（2）AC和BD的位置关系怎样？请说明判断的理由．【考点】平行线的判定与性质．【专题】探究型．【分析】（1）根据平行线性质得出∠ABC=∠DCF，根据角平分线定义求出∠2=∠4，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线性质得出∠DGC+∠ACE=180°，根据∠ACE=90°，求出∠DGC=90°，根据垂直定义推出即可．【解答】解：（1）BD∥CE．理由：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DCF，∴BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2=∠ABC，∠4=∠DCF，∴∠2=∠4，∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）；（2）AC⊥BD，理由：∵BD∥CE，∴∠DGC+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°，∴∠DGC=180°﹣90°=90°，即AC⊥BD．【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．34．已知，如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠B=∠ADE，试说明∠1=∠2．【考点】平行线的判定与性质；垂线．【专题】证明题．【分析】利用平行线的判定及性质，通过证明∠1=∠BCD=∠2达到目的．【解答】证明：∵∠B=∠ADE（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠DCB．（两直线平行，内错角相等）∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴CD∥FG（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），∴∠2=∠DCB．（两直线平行，同位角相等）∴∠1=∠2．（等量代换）【点评】此题主要考查了平行线的判定及性质．性质：1、两直线平行，同位角相等；2、两直线平行，内错角相等；3、两直线平行，同旁内角互补．判定：1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行．35．如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，FG平分∠EFC，交AB于G．若∠1=80°，求∠FGE的度数．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】计算题．新课标----最新北师大版【分析】先根据平行线的性质求出∠CFE的度数，再由角平分线的定义求出∠AFC的度数，由平行线的性质即可解答．【解答】解：∵∠1=80°，∴∠AEF=∠1=80°，∵AB∥CD，∴∠EFC=180°﹣∠AEF=180°﹣80°=100°，∵FG平分∠EFC，∴∠AFC=∠EFC=×100°=50°，∵AB∥CD，∴∠FGE=∠AFC=50°．【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）两直线平行，内错角相等，同旁内角互补；（2）从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．。
北师大版 八年级数学 平行线的性质(1)
平行线的性质课前测试【题目】课前测试已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．证明：∵∠1=∠2（已知），又∠1=∠DMN（），∴∠2=∠（等量代换），∴DB∥EC（），∴∠DBC+∠C=180°（两直线平行，），∵∠C=∠D（），∴∠DBC+ =180°（等量代换），∴DF∥AC（），∴∠A=∠F（）【答案】对顶角；DMN；同为角相等，两直线平行；同旁内角互补；已知；∠D；同旁内角互补；两直线平行，内错角相等【解析】根据平行线的性质与判定即可求出答案．解：故答案为：对顶角；DMN；同为角相等，两直线平行；同旁内角互补；已知；∠D；同旁内角互补；两直线平行，内错角相等本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行线的性质与判定，本题属于基础题型．【难度】3【题目】课前测试如图，已知AD∥BC，∠1=2．求证：BE∥DF．【答案】BE∥DF．【解析】根据平行线的性质和判定证明即可．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠3，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BE∥DF．此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的性质和判定解答．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是平行线的判定。
了解，掌握平行线的性质，会利用平行线的性质来计算解答几何问题，有关角的计算，以及证明问题的解答适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握平行线的性质重点选讲：①平行线性质和判定②平行线的性质与角的计算③平行线的性质的应用知识梳理知识梳理1：平行线的性质平行线的性质：定理：（1）两直线平行，同位角相等（2）两直线平行，内错角相等（3）两直线平行，同旁内角互补还有：平行于同一条直线的两条直线平行例题精讲题型1：平行线的性质和判定如图，四边形ABCD，E是CB延长线上一点，下列推理正确的是（）A．如果∠1=∠2，那么AB∥CDB．如果∠3=∠4，那么AD∥BCC．如果AD∥BC，那么∠6+∠BAD=180°D．如果∠6+∠BCD=180°，那么AD∥BC【答案】C【解析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．解：A、根据∠1=∠2不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；B、根据∠3=∠4不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；C、根据AD∥BC能推出∠6+∠BDA=180°，故本选项符合题意；D、根据∠6+∠BCD=180°不能推出AD∥BC，故本选项不符合题意；故选：C．本题考查了平行线的性质和判定，能正确根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．【难度】3【题目】题型1变式练习1：平行线的性质和判定如图，点D在直线AE上，量得∠CDE=∠A=∠C，有以下三个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B=∠CDA．则正确的结论是（）A．①②③B．①②C．①D．②③【答案】A【解析】根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行线的性质得出∠B+∠A=180°，∠A+∠CDA=180°，即可得出答案．解：∵∠C=∠CDE，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），（故①正确）∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），（故②正确）∴∠B+∠A=180°，∠A+∠CDA=180°，∴∠B=∠CDA（等量代换），（故③正确）即正确的结论有①②③，故选：A．本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．【难度】3【题目】题型1变式练习2：平行线的性质和判定如图，下列推理及所注明的理由都正确的是（）A．因为DE∥BC，所以∠1=∠C（同位角相等，两直线平行）B．因为∠2=∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等）C．因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）D．因为∠1=∠C，所以DE∥BC（两直线平行，同位角相等）【答案】C【解析】A的理由应是两直线平行，同位角相等；B的理由应是内错角相等，两直线平行；D的理由应是同位角相等，两直线平行；解：A、因为DE∥BC，所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），故A选项错误；B、因为∠2=∠3，所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行），故B选项错误；C、因为DE∥BC，所以∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），故C选项正确；D、因为∠1=∠C，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），故D选项错误．故选：C．正确区分平行线的性质和判定是解决此类问题的关键．【难度】3题型2：平行线的性质与角的计算如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE 的度数是（）A．62 B．31 C．28 D．25【答案】C【解析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，最后求得∠ABE的度数．解：如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，∴∠ABE=28°．故选：C．本题考查了平行线的性质与判定，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．【难度】3【题目】题型2变式练习1：平行线的性质与角的计算如图，∠1=∠B，∠2=25°，则∠D=（）A．25° B．45° C．50° D．65°【答案】A【解析】先根据同位角相等，两直线平行，由∠1=∠B得到AD∥BC，然后根据平行线的性质求解．解：∵∠1=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠2=25°．故选：A．本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．【难度】2【题目】题型2变式练习2：平行线的性质与角的计算光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，如图，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．若水面和杯底是互相平行的，且∠1=45°，∠2=122°，则∠3= °，∠4= °．【答案】45；58．【解析】先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF 即可得出结论．解：∵EG∥FH，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°．∵AB∥CD，∠2=122°，∴∠ECD=180°﹣122°=58°．∵CE∥DF，∴∠4=∠ECD=58°．故答案是：45；58．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．【难度】3题型3：平行线的性质的应用如图，已知EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD（请填空）解：∵EF∥AD∴∠2= （）又∵∠1=∠2∴∠1=∠3（）∴AB∥（）∴∠BAC+ =180°（）∵∠BAC=70°（）∴∠AGD= （）【答案】∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠DGA，两直线平行，同旁内角互补，已知，110°，等式的性质．【解析】根据平行线的性质和已知求出∠1=∠3，根据平行线的判定推出AB∥DG，根据平行线的性质求出∠BAC+∠DGA=180°即可．解：∵EF∥AD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），∵∠1=∠2，∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠DGA=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°（已知），∴∠AGD=110°（等式的性质）．故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等，等量代换，DG，内错角相等，两直线平行，∠DGA，两直线平行，同旁内角互补，已知，110°，等式的性质．本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．【难度】3【题目】题型3变式练习1：平行线的性质的应用已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°．（1）求证：AB∥CD；（2）求∠C的度数．【答案】AB∥CD；25°【解析】（1）求出AE∥GF，求出∠2=∠A=∠1，根据平行线的判定推出即可；（2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD；（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180°，∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∴∠3=25°，∵AB∥CD，∴∠C=∠3=25°．本题考查了平行线的性质和判定的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，题目比较好，难度适中．【难度】3【题目】题型3变式练习2：平行线的性质的应用问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；当P在AB延长线时,∠CPD=∠α﹣∠β【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．（1）解：∠CPD=∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD=∠α﹣∠β．本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，难度适中．【难度】3【题目】兴趣篇1探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题．（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB= ．（2）如图2，若AC∥BD，点P在AC、BD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程．过点P作PE∥AC．∴∠A=∵AC∥BD∴∥∴∠B=∵∠BPA=∠BPE﹣∠EPA∴．（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途．试构造平行线解决以下问题：已知；如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°【答案】∠A+∠B；∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB=∠B﹣∠1；∠A+∠B+∠C=180°【解析】（1）过P作PE∥l1，根据平行线的性质得到∠APE=∠A，∠BPE=∠B，据此可得∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B；（2）过点P作PE∥AC，根据平行线的性质得出∠A=∠1，∠B=∠EPB，进而得出∠APB=∠B﹣∠1；（3）过点A作MN∥BC，根据平行线的性质进行推导即可．解：（1）如图，过P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠APE=∠A，∠BPE=∠B，∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠A+∠B，故答案为：∠A+∠B．（2）如图2，过点P作PE∥AC．∴∠A=∠1，∵AC∥BD，∴PE∥BD，∴∠B=∠EPB，∵∠APB=∠BPE﹣∠EPA，∴∠APB=∠B﹣∠1；故答案为：∠1，PE，BD，∠EPB，∠APB=∠B﹣∠1；（3）证明：如图3，过点A作MN∥BC，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BAC+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作平行线构造内错角．【难度】3【题目】兴趣篇2看图填空，在括号内填写理由．（1）如图1，已知∠B+∠BCD=180°，∠B=∠D．求证：AD∥BE．证明：∵∠B+∠BCD=180°（已知），∴AB∥（）∴∠DCE=∠B（）又∵∠B=∠D（已知）∴∠DCE= （等量代换）∴AD∥BE（）（2）如图2，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．证明：∵（已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（）∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90又∵∠1=∠2（已知）∴DF∥AE（）【答案】（1）CD，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠D，内错角相等，两直线平行．（2）CD⊥DA，DA⊥AB；垂直定义；内错角相等，两直线平行．【解析】（1）根据平行线的判定推出AB∥CD，根据平行线的性质和已知推出∠DCE=∠D，根据平行线的判定定理推出即可．（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠DAB，求出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可．证明：（1）∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴∠DEC=∠B（两直线平行，同位角相等），∵∠B=∠D，∴∠DCE=∠D，∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CD，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，同位角相等，∠D，内错角相等，两直线平行．（2）∵CD⊥DA，DA⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（垂直定义），∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90又∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠4，∴DF∥AE（内错角相等，两直线平行），故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB；垂直定义；内错角相等，两直线平行．本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．【难度】3【题目】备选题目1如图，已知CF∥DE，∠ABC=85°，∠CDE=150°，∠BCD=55°，求证：AB∥DE．【答案】AB∥DE．【解析】根据平行线的性质和判定证明即可．解：∵CF∥DE，∠CDE=150°，∴∠DCF=180°﹣∠CDE=180°﹣150°=30°．∵∠BCD=55°，∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=55°+30°=85°，又∵∠ABC=85°，∴∠ABC=∠BCF，∴AB∥CF，又∵CF∥DE，∴AB∥DE．本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．【难度】3【题目】备选题目2如图，在△ABC中，CD=CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE=∠DBF．【答案】∠ACE=∠DBF．【解析】依据CE⊥AD，BF⊥AD，可得CE∥BF，即可得出∠DBF=∠DCE．根据∠ACE=∠DCE，即可得到∠ACE=∠DBF．证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠BFD=90°．∴CE∥BF．∴∠DBF=∠DCE．∵CD=CA，CE⊥AD，∴∠ACE=∠DCE．∴∠ACE=∠DBF．本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．【难度】3【题目】备选题目3阅读下列材料：已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED=∠B+∠D．小冰是这样做的：证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF=∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED=∠D．∴∠BEF+∠FED=∠B+∠D．图1即∠BED=∠B+∠D．请利用材料中的结论，完成下面的问题：已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．（1）如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；（2）如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2=180°．【答案】90°；∠FG1E+∠G2=180°【解析】（1）由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，由于BE∥CF到∠BEF+∠EFD=180°，于是得到2∠BEG+2∠GFD=180°，即可得到结论；（2）过点G1作G1H∥AB，由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠3=∠G2FD，由于FG2平分∠EFD，求得∠4=∠G2FD，由于∠1=∠2，于是得到∠G2=∠2+∠4，由于∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，得到∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，然后根据平行线的性质即可得到结论．解：（1）如图2所示，猜想：∠EGF=90°；证明：由材料中的结论得∠EGF=∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF=2∠BEG，∠EFD=2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴2∠BEG+2∠GFD=180°，∴∠BEG+∠GFD=90°，∵∠EGF=∠BEG+∠GFD，∴∠EGF=90°；（2）证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论可得∠G2=∠1+∠3，∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，∴∠3=∠G2FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4=∠G2FD，∵∠1=∠2，∴∠G2=∠2+∠4，∵∠EG1F=∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2=∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD=∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°，∴∠EG1F+∠G2=180°．本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．【难度】3。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如图，直线AB ､CD 被BC 所截，若//AB CD ，150∠=︒，240∠=︒，则3∠的大小是（ ）A ．80︒B ．70︒C ．90︒D ．100︒ 2．下列命题是真命题的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．两直线平行，同旁内角相等C ．同旁内角互补D ．同位角相等3．如图，有下列说法：①若13∠=∠，//AD BC ，则BD 是ABC ∠的平分线；②若//AD BC ，则123∠=∠=∠；③若13∠=∠，则//AD BC ；④若34180C ∠+∠+∠=，则//AD BC ．其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．44．下列选项中，可以用来证明命题“若,a b >则a b >”是假命题的反例是（ ） A ．1,0a b == B ．1,2a b ==- C ．2,1a b =-= D ．2,1a b ==- 5．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的内角和是180°B ．两直线平行，内错角相等C ．三角形的外角大于任何一个内角D ．同旁内角互补，两直线平行6．下列命题中真命题有（ ）①周长相等的两个三角形是全等三角形；②一组数据中，出现次数最多的数据为这组数据的众数；③同位角相等；④方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7．如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B=45°，∠C=73°，则∠DAE 的度数是（ ）．A ．22°B ．16°C ．14°D ．23°8．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（ ）A ．23B ．33C ．36D ．389．如图，要得到AB ∥CD ，只需要添加一个条件，这个条件不可以．．．是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠B ＋∠BCD ＝180°C ．∠2＝∠4D ．∠D ＋∠BAD ＝180°10．下列命题是真命题的是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．同旁内角互补D ．相等的两个角是对顶角 11．下列说法错误的是（ ）A ．过任意一点P 可作已知直线m 的一条平行线B ．同一平面内的两条不相交的直线是平行线C ．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线平行12．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短，其中假命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题13．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A′处，折痕为CD ，则∠A′DB 为_____．14．如图，点D是△ABC的边BC的延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…，已知∠A＝α，则∠A2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．15．在△ABC中，∠A=∠B+∠C，∠B=2∠C﹣6°，则∠C的度数为_____．为16．如图，AB CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG=20度，则HFD______________度．17．在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，若∠O＝120°，则∠A＝_____．18．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1＋∠2＝90°，M、N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；其中结论正确的有______________19．如图，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∠BDE＝75°，则∠AFE的度数等于_____．20．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为_____．三、解答题21．如图，AD 平分∠BAC ，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，且∠BFE ＝∠DAC ，延长EF ，CA 交于点G ，求证：∠G ＝∠AFG ．22．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．（1）求证：2A E ∠=∠．（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．23．阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．（1）直线EG ，FG 有何关系？请补充结论：求证：“__________”，并写出证明过程； （2）请从下列A 、B 两题中任选一题作答，我选择__________题，并写出解答过程． A ．在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，求EMF ∠的度数．B ．如图3，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，请猜想EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系，并证明它．24．如图，AB ∥CD ，点E 是CD 上一点，连结AE ．EB 平分∠AED ，且DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，AF 与BE 交于点M ．（1）若∠AEC ＝100°，求∠1的度数；（2）若∠2＝∠D ，则∠CAE ＝∠C 吗？请说明理由．25．在ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点P ．（1）如图①，如果80A ∠=︒，求BPC ∠的度数；（2）如图②，作ABC 外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线，且交于点Q ，试探索Q ∠，A ∠之间的数量关系；（3）如图③，在图②中延长线段BP ，QC 交于点E 若BQE △中存在一个内角等于另一个内角的2倍，求A ∠的度数．26．如图，AB DB =，ABD ACD ∠=∠，AC 与BD 交于点F ，点E 在线段AF 上，AE DC =，6DBE ∠=︒，108BCD ∠=︒．（1）求证：BCD BEA ≅△△；（2）求AFD ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先根据平行线的性质求出C ∠，再由三角形外角性质即可得解；【详解】∵//AB CD ，150∠=︒，∴150∠=∠=︒C ，∵240∠=︒，∴3290C ∠=∠+∠=︒；故答案选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形的外角性质，准确计算是解题的关键． 2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A 正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B 错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C 错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D 错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键. 3．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】13∠=∠，//AD BC∴23∠∠=∴123∠=∠=∠∴BD 是ABC ∠的平分线，即①正确；若//AD BC ，得23∠∠=，14∠=∠，不构成123∠=∠=∠成立的条件，故②错误； 若13∠=∠，不构成//AD BC 成立的条件，故③错误；若34180C ∠+∠+∠=，且34ADC ∠+∠=∠∴180C ADC ∠+∠=∴//AD BC ，即④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义．4．B解析：B【分析】需要证明一个结论不成立，可以举反例证明；【详解】∵当1a =，2b =-时，1＜2-，∴证明了命题“若,a b >则a b >”是假命题；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了命题与定理，准确分析判断是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据三角形内角和定理、外角性质、平行线的性质与判定进行判断即可．【详解】解：A 选项，三角形的内角和是180°，是真命题，不符合题意；B 选项，两直线平行，内错角相等，是真命题，不符合题意；C选项，三角形的外角大于任何一个内角，是假命题，符合题意；D选项，同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质与判定，解题关键是熟练准确掌握基础知识．6．A解析：A【分析】根据题意对四个命题作出判断即可求解．【详解】解：①周长相等的两个三角形是全等三角形，是假命题；②一组数据中，出现次数最多的数据为这组数据的众数，是真命题；③同位角相等，是假命题；④方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大，是假命题．真命题有1个．故选：Ａ【点睛】本题考查全等三角形的判定，众数，方差等知识，熟知相关知识是解题关键．7．C解析：C【分析】根据∠DAE=∠DAC-∠CAE，只要求出∠DAC，∠CAE即可．【详解】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∠B=45°，∠C=73°，∴∠BAC=62°，∵AD平分∠BAC，∠BAC=31°，∴∠DAC=12∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠CAE=90°-73°=17°，∴∠DAE=31°-17°=14°，故选：C．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．8．B解析：B过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G作AB平行线交EF于P，由题意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．9．A解析：A【分析】根据B、D中条件结合“同旁内角互补，两直线平行”可以得出AB∥CD，根据C中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，而根据A中条件结合“内错角相等，两直线平行”可得出AD∥BC．由此即可得出结论．【详解】解：A．∵∠1=∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B．∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）；C．∠2=∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；D．∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．故选A．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据四个选项给定的条件结合平行线的性质找出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等或互补的角找出平行的两直线是关键．10．A解析：A【分析】根据平行线的性质，全等三角形的性质，对顶角的性质等逐一对选项进行分析即可.A选项中，两直线平行，同位角相等，说法正确，是真命题；B选项中，一个三角形底为3，高为4，另一个三角形底为6，高为2，面积相等但不全等，是假命题；C选项中，只有两直线平行时，同旁内角才互补，是假命题；D选项中，相等的两个角不一定是对顶角，也可能是同位角，内错角等，是假命题.故选：A.【点睛】本题主要考查真命题，会判断命题的真假是解题的关键.11．A解析：A【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【详解】解：选项A：当点P在直线m上时则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A错误，选项B、C、D显然正确，故选：A．【点睛】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．12．B解析：B【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据垂线段公理对④进行判断．【详解】解：相等的两个角不一定为对顶角，所以①为假命题；若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角，所以②为真命题；两直线平行，同旁内角互补，所以③为假命题；垂线段最短，所以④为真命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题13．14°【分析】根据∠A＝52°可求∠B由折叠可知∠DA′C=52°利用外角性质可求【详解】解：∵∠ACB ＝90°∠A ＝52°∴∠B=90°-52°=38°由折叠可知∠DA′C=∠A ＝52°∠A′DB解析：14°【分析】根据∠A ＝52°，可求∠B ，由折叠可知∠D A′C=52°，利用外角性质可求．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠A ＝52°，∴∠B=90°-52°=38°，由折叠可知∠D A′C=∠A ＝52°，∠A′DB=∠D A′C -∠B=52°-38°=14°，故答案为：14°．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、三角形外角的性质，解题关键是灵活运用三角形的性质和轴对称性质建立角之间的联系．14．【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝∠A2＝∠A3＝据此找规律可求解【详解】解：在△ABC 中∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1 解析：202012α【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A 1＝12α，∠A 2＝212α，∠A 3＝312α，据此找规律可求解． 【详解】 解：在△ABC 中，∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝α，∵∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∴∠A 1＝∠A 1CD ﹣∠A 1BC ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝12∠A ＝12α， 同理可得∠A 2＝12∠A 1＝212α， ∠A 3＝12∠A 2＝312α， …以此类推，∠A 2020＝202012α， 故答案为：202012α．【点睛】考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握和运用三角形外角的性质是解题的关键．15．32°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°从而得到∠B∠C互余然后用∠C表示出∠B再列方程求解即可【详解】∵∠A=∠B+∠C∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=90°∴∠B+∠C=9解析：32°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠A=90°，从而得到∠B、∠C互余，然后用∠C表示出∠B，再列方程求解即可.【详解】∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°-∠C，∵∠B=2∠C-6°，∴90°-∠C=2∠C-6°，∴∠C=32°．故答案为32°.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟记定理并求出∠A的度数是解题的关键.16．35【解析】分析：过点G作AB平行线交EF于P根据平行线的性质求出∠EGP求出∠PGF根据平行线的性质平角的概念计算即可详解：过点G作AB平行线交EF于P由题意易知AB∥GP∥CD∴∠EGP=∠AE解析：35【解析】分析：过点G作AB平行线交EF于P，根据平行线的性质求出∠EGP，求出∠PGF，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．详解：过点G作AB平行线交EF于P，由题意易知，AB∥GP∥CD，∴∠EGP=∠AEG=20°，∴∠PGF=70°，∴∠GFC=∠PGF=70°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=35°．故答案为35°.点睛：本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．17．60°【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度数再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解【详解】解：∵∠ABC+∠A解析：60°．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【详解】解：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12（∠ABC+∠ACB）＝12（180°﹣∠A）＝90°﹣12∠A，∴在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+12∠A＝120°，∴∠A＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18．①③【分析】先根据AB⊥BCAE平分∠BAD交BC于点EAE⊥DE∠1+∠2=90°∠EAM和∠EDN的平分线交于点F由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论【详解】解：∵AB⊥BCAE⊥DE解析：①③【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确，故答案为：①③．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解题的关键．19．150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°由SAS可证△ABC≌△EDB 可得∠A＝∠E＝45°由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°即可求解【详解】解：∵∠DBE＝60°∠BDE＝75°∴∠解析：150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E＝45°，由“SAS”可证△ABC≌△EDB，可得∠A＝∠E＝45°，由三角形的外角性质可求∠AFD＝30°，即可求解．【详解】解：∵∠DBE＝60°，∠BDE＝75°，∴∠E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝60°，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E＝45°，∵∠BDE＝∠A+∠AFD＝75°，∴∠AFD＝30°，∴∠AFE＝150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明△ABC≌△EDB是解题关键．20．100°20°或90°30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题【详解】解：在△ABC中不妨设∠A＝60°①若∠A＝3∠C则∠C＝20°∠B＝100°②若∠C＝3∠A则∠C＝180°（不合题意）③解析：100°，20°或90°，30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，则∠C＝180°（不合题意）．③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．故答案为：100°，20°或90°，30°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题21．见解析【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAC，结合已知条件∠BFE＝∠DAC，可得∠BFE＝∠BAD，根据平行线的判定可证EG∥AD，再由平行线的性质得∠G＝∠DAC，∠AFG＝∠BAD，则利用等量代换即可证得结论．【详解】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵∠BFE＝∠DAC，∴∠BFE＝∠BAD，∴EG∥AD，∴∠G＝∠DAC，∠AFG＝∠BAD，∴∠G＝∠AFG．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定的方法及利用性质证明角相等是解答此题的关键．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证；（2）由∠A=2∠E ，∠A=∠ABC ，∠ABC=2∠ABE 得∠ABE=∠E ，从而AB ∥CE ．【详解】证明：（1）∵ACD ∠是ABC 的一个外角，2∠是BCE 的一个外角，∴ACD ABC A ∠=∠+∠，21E ∠=∠+∠，∴A ACD ABC ∠=∠-∠，21E ∠=∠-∠．∵CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线，∴22ACD ∠=∠，21ABC ∠=∠，∴2221A ∠=∠-∠2(21)=∠-∠2E =∠．（2）由（1）可知2A E ∠=∠．∵A ABC ∠=∠，2ABC ABE ∠=∠，∴22E ABE ∠=∠，即E ABE ∠=∠，∴//AB CE ．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．23．（1）EG ⊥FG ，证明见解析；（2）A ．45；B .2EOF EPF ∠=∠（在A 、B 两题中任选一题即可）【分析】（1）由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的定义可得90GEF GFE ∠+∠=︒，由三角形内角和定理可得∠G ＝90︒，则EG FG ⊥； （2）A ．由（1）可知90BEG DFG ∠+∠=︒，根据角平分线的定义可得45MEG MFG ∠+∠=︒,故135MEF MFE ∠+∠=︒，根据三角形的内角和即可求出EMF ∠=45︒；B ．设OEF α∠=，OFE β∠=，故EOF ∠=180αβ︒--，再得到180BEO DFO αβ∠+∠=--︒，根据角平分线的定义可得190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-，则119022PEF PFE αβ∠+∠=︒++，再求出EPF ∠，即可比较得到结论．【详解】解：（1）由题意可得，求证：“EG ⊥FG”，证明过程如下∵//AB CD∴∠BEF ＋∠EFD=180°EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEF BEF ∴∠=∠，12GFE DFE ∠=∠， 1111()180902222GEF GFE BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+⨯︒∠==︒． 在EFG 中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，180()1809090G GEF GFE ∴∠=-∠+∠=-︒=︒︒︒，EG FG ∴⊥．（2）A ．由（1）可知=90BEG DFG GEF GFE ∠+∠=∠+∠︒，∵BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M∴∠MEG=12∠BEG ，∠MFG=12∠DFG ∴()111190452222MEG MFG BEG DFG BEG DFG ∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒ 则4591350MEF MFE ︒+∠︒=+∠=︒， ∴EMF ∠=180135︒-︒=45︒故答案为：A ，45；B.设OEF α∠=，OFE β∠=，∴EOF ∠=180αβ︒--，∵//AB CD∴∠BEF ＋∠EFD=180°则180BEO DFO αβ∠+∠=--︒∵BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ∴190122PEO PFO αβ︒-∠+∠=-, ∴111190902222PEF PFE αβαβαβ∠+∠=︒--++=︒++， ∴EPF ∠=111809022αβ⎛⎫︒-︒++ ⎪⎝⎭=121902αβ︒--， ∵EOF ∠=1118029022αβαβ⎛⎫︒--=︒-- ⎪⎝⎭， 故2EOF EPF ∠=∠故答案为：B ，2EOF EPF ∠=∠．（在A 、B 两题中任选一题即可）【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．24．（1）40°；（2）∠CAE ＝∠C ，理由见解析．【分析】（1）根据邻补角的定义可求∠AED ，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求∠1的度数；（2）根据三角形内角和定理可求∠BED ＝∠C ，根据平行线的判定可知AC ∥BE ，根据平行线的性质可得∠CAE ＝∠AEB ，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．【详解】（1）∵∠AEC ＝100°，∴∠AED ＝80°，∵EB 平分∠AED ，∴∠BED ＝40°，∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠BED ＝40°；（2）∵DB ⊥BE ，AF ⊥AC ，∴∠EBD ＝∠CAF ＝90°，∵∠2＝∠D ，∴∠BED ＝∠C ，∴AC ∥BE ，∴∠CAE ＝∠AEB ，∵EB 平分∠AED ，∴∠AEB ＝∠BED ，∴∠CAE ＝∠C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，邻补角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟悉相应的性质和定义是解答本题的关键．25．（1）130︒；（2）1902Q A ∠=︒-∠；（3）A ∠的度数是90°或60°或120° 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB ，进而求出∠BPC 即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC 与∠BCN ，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE 中，由于∠Q=90°12-∠A ，求出∠E=12∠A ，∠EBQ=90°，所以如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°；③∠Q=2∠E ；④∠E=2∠Q ；分别列出方程，求解即可．【详解】（1）∵80A ∠=︒，∴100ABC ACB ∠+∠=︒，又∵点P 是ABC ∠和ACB ∠的平分线的交点，∴50PBC PCB ∠+∠=︒，∴()180********P PBC PCB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒；（2）∵外角MBC ∠，NCB ∠的角平分线交于点Q ， ∴12QBC MBC ∠=∠，12QCB NCB ∠=∠， ∵180ABC MBC ∠+∠=︒，180ACB NCB ∠+∠=︒，∴180MBC ABC ∠=︒-∠，180NCB ACB ∠=︒-∠，∴()12QBC QCB MBC NCB ∠+∠=∠+∠ ()13602ABC ACB =︒-∠-∠ ()1360180-2A =︒-︒∠⎡⎤⎣⎦ ()11802A =︒+∠ 1902A =+∠︒， ∴()180Q QBC QCB ∠=︒-∠+∠1180902A ⎛⎫=︒-︒+∠ ⎪⎝⎭1902A =︒-∠； （3）延长BC 至F ，∵CQ 为△ABC 的外角∠NCB 的角平分线，∴CE 是△ABC 的外角∠ACF 的平分线，∴∠ACF=2∠ECF ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABC=2∠EBC ，∵∠ECF=∠EBC+∠E ，∴2∠ECF=2∠EBC+2∠E ，即∠ACF=∠ABC+2∠E ，又∵∠ACF=∠ABC+∠A ，∴∠A=2∠E ，即∠E=12∠A ， ∵∠EBQ=∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC =12（∠ABC+∠A+∠ACB ） =90°． 如果△BQE 中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ=2∠E=90°，则∠E=45°，∠A=2∠E=90°；②∠EBQ=2∠Q=90°，则∠Q=45°，∠E=45°，∠A=2∠E=90°；③∠Q=2∠E ，则∠E=30°，解得∠A=2∠E=60°；④∠E=2∠Q ，则∠E=60°，解得∠A=2∠E=120°．综上所述，∠A 的度数是90°或60°或120°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．26．（1）见解析；（2）78︒【分析】（1）根据ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠得出D A ∠=∠，然后利用SAS 即可证明三角形全等；（2）由（1）可知BCD BEA ∆≅∆，由题意知108BCD ∠=︒，即可得出 BEF ∠的度数，然后由AFD BEF DBE ∠=∠+∠求值即可；【详解】解：（1）证明：ABD ACD ∠=∠，AFB CFD ∠=∠，D A ∴∠=∠．在BCD ∆和BEA ∆中，CD EA D A BD BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BCD BEA SAS ∴∆≅∆．（2）BCD BEA ∆≅∆，108BCD ∠=︒，108∴∠=∠=︒，BEA BCD∴∠=︒-=︒．18010872BEF∠=︒，DBE6AFD BEF DBE∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．72678【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的内角和，正确理解知识点是解题的关键；。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(有答案解析)(4)
一、选择题1．下列命题，正确的是（ ）A ．相等的角是内错角B ．如果22x y =，那么x y =C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 2．如图，已知//AB CD ，120AFC ∠=︒，13EAF EAB ∠=∠，1 3ECF ECD ∠=∠，则 AEC ∠=（ ）A ．60°B ．80°C ．90°D ．100°3．如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC ∆纸片，点D E 、分别是边AB AC 、上的点，将ABC ∆沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若50A ∠=︒，则12∠+∠=（ ）A ．90︒B ．100︒C ．110︒D ．120︒ 4．如图，△ABC 中，∠BAC ＝58°，∠C ＝82°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，点E 是AC 上一点，且∠ADE ＝∠B ，则∠CDE 的度数是（ ）A ．29°B ．39°C ．42°D ．52°5．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，有下列说法：①若13∠=∠，//AD BC ，则BD 是ABC ∠的平分线；②若//AD BC ，则123∠=∠=∠；③若13∠=∠，则//AD BC ；④若34180C ∠+∠+∠=，则//AD BC ．其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 7．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝105°，则∠DAC 的度数为（ ）A ．80°B ．82°C ．84°D ．86°8．下列命题中，真命题是（ ）A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等9．下列命题中，假命题是（ ）A ．负数没有平方根B ．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等C ．对顶角相等D ．内错角相等10．如图，//AB EF ，C 点在EF 上，EAC ECA ∠=∠，BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥．下列结论：①AC 平分DCE ∠；②//AE CD ；③190B ∠+∠=︒；④BDC 21∠=∠．其中结论正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠EAD=∠B D．∠D=∠DCF 12．下列说法错误的是（）A．过任意一点P可作已知直线m的一条平行线B．同一平面内的两条不相交的直线是平行线C．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行D．平行于同一条直线的两条直线平行二、填空题13．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∵_________（___________）∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴_____（_____），∴DF∥AE（______）．14．如图，点P是三角形三条角平分线的交点，若∠BPC=100 ，则∠BAC=_________．15．如图，BE、CE分别是△ABC内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，若∠A=70°，则∠BEC=___________．16．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，3C ∠∠＝，试说明：12∠∠＝．请将以下不完整的推理过程补充完整：解：因为AD BC ⊥，EF BC ⊥，所以90ADC EFC ∠∠︒＝＝，根据“同位角相等，两直线平行”，所以//AD EF ， 根据“ ”，所以1CAD ∠∠＝．因为3C ∠∠＝，根据“ ”，所以//DG ，根据“ ”，所以2CAD ∠∠＝．所以12∠∠＝．17．如图，将一副三角板叠放在一起，使含45°的直角三角板的一个锐角顶点E 恰好落在另一个含30°的直角三角板的斜边AB 上，DE 与AC 交于点G ．如果110BEF ∠=︒， 那么AGE ∠=__________度．18．在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE =___．19．如图，已知△ABC ，∠B 的角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 D ，∠B 的外角角平分线与∠C 的外角角平分线交于点 E ，则∠E+∠D=_____．20．如图，BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∠BDE ＝75°，则∠AFE 的度数等于_____．三、解答题21．直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∵12∠=∠，（已知），∴MEB DFE ∠=∠（等量代换）． ∴//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．22．如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，F ，G 分别是AC ，BC 延长线上一点，且∠EOD ＋∠OBF ＝180°，∠DBC ＝∠G ，指出图中所有平行线，并说明理由．23．如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，求证：//CE BF ．24．如图，点B 、E 分别在直线AC 和DF 上，若AGB EHF ∠=∠，C D ∠=∠，可以得到A F ∠=∠．请完成下面说理过程中的各项“填空”理由：∵AGB EHF ∠=∠（已知）AGB ∠= （对顶角相等） ∴EHF DGF ∠=∠（理由 ）∴ //EC （理由： ）∴ DBA =∠（两直线平行，同位角相同）又∵C D ∠=∠，∴DBA ∠= （等量代换）∴//DF （内错角相等，两直线平行）∴A F ∠=∠（理由： ）25．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．26．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据各个选项中的说法，可以利用内错角的定义，数的开方，等边三角形的判定及角平分线的性质进行判断是否为真命题，即可得出结论．【详解】解：A 、相等的角不一定是内错角．故原命题是假命题，故此选项不符合题意；B 、如果22x y =，那么x y =．如()2222-=，但()22-≠，此命题是假命题，故此选项不符合题意；C 、有一个角为60°的三角形不一定是等边三角形，如一个三角形的三个角是60°，50°，70°，此命题是假命题，故此选项不符合题意；D 、角平分线上的点到角两边的距离相等，此命题是真命题，故此选项符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理，明确题意，灵活运用所学知识判断出各个选项中的命题的真假是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．3．B解析：B【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．【详解】∵∠A=50°，∴∠ADE+∠AED=180°-50°=130°，∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，∴∠1+∠2=180°-（∠A′ED+∠AED）+180°-（∠A′DE+∠ADE）=360°-2×130°=100°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．4．A解析：A【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝40︒，根据角平分线的定义得到∠BAC=29︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．∠BAD=12【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC＝58︒，∠C＝82︒，∴∠B＝180︒-∠BAC-∠C＝180︒-58︒-82︒＝40︒，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝29︒，∴∠BAD＝12∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝69︒，∵∠ADE＝∠B＝40︒，∴∠CDE＝29︒，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠AOC=∠BOD，故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO ，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°， ∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE 平分∠AOD ，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D ．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．6．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】13∠=∠，//AD BC∴23∠∠=∴123∠=∠=∠∴BD 是ABC ∠的平分线，即①正确；若//AD BC ，得23∠∠=，14∠=∠，不构成123∠=∠=∠成立的条件，故②错误； 若13∠=∠，不构成//AD BC 成立的条件，故③错误；若34180C ∠+∠+∠=，且34ADC ∠+∠=∠∴180C ADC ∠+∠=∴//AD BC ，即④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义．7．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决．【详解】解：∵∠BAC ＝105°，∴∠2＋∠3＝75°①∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②把②代入①得：3∠2＝75°，∴∠2＝25°．∴∠DAC＝105°−25°＝80°．故选A．【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键．8．D解析：D【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【详解】A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C选错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．9．D解析：D【分析】根据平方根的概念、平行线的性质、对顶角相等判断即可．【详解】A、负数没有平方根，本选项说法是真命题；B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，本选项说法是真命题；C、对顶角相等，本选项说法是真命题；D、两直线平行，内错角相等，本选项说法是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．D解析：D【分析】根据平行线的性质及角度的计算，等腰三角形的性质即可进行一一求解判断.根据//AB EF ， BC 平分DCF ∠，且AC BC ⊥可得∠1+∠BCD=90°，∠BCD=12∠DCF ， 又∠DCF+∠ECD=180°，∴∠1=12∠ECD ，故AC 平分DCE ∠，①正确； ∵AC 平分DCE ∠，∴∠1=∠ECA,∵EAC ECA ∠=∠∴EAC ∠=∠1，∴//AE CD ，②正确；∵EF ∥AB ，∴∠FCB=∠B ，∴∠B=∠DCB ，∵∠1+∠DCB=90°，∴190B ∠+∠=︒，③正确；∵EF ∥AB ，∴∠ECA=∠CAD ，∵∠1=∠ECA∴∠1=∠CAD∵∠CDB 是△ACD 的一个外角，∴∠CAD=∠1+∠CAD=2∠1，④正确；故选D【点睛】此题主要考查平行线的角度计算，解题的关键是根据图像的特点进行求解.11．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．12．A解析：A【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【详解】解：选项A ：当点P 在直线m 上时则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，故选项A 错误，选项B 、C 、D 显然正确，故选：A ．本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．二、填空题13．CD ⊥DADA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等两直线平行【分析】先根据垂直的定义得到再根据等角的余角相等得出最后根据内错角相等两直线平行进行判定即可【详解】证明：∵CD解析：CD ⊥DA ，DA ⊥AB ；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】先根据垂直的定义，得到1290∠+∠=︒，3490∠+∠=°，再根据等角的余角相等，得出23∠∠=，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．【详解】证明：∵ CD ⊥DA ，DA ⊥AB （已知）∴∠CDA=90°，∠DAB=90° ( 垂直定义 )．∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．又∵∠1=∠4，∴∠2=∠3 ( 等角的余角相等 )，∴DF ∥AE ( 内错角相等，两直线平行 )．故答案为：．CD ⊥DA ，DA ⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行． 14．【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=故可得到∠ABC+∠ACB=即可得出答案【详解】在△BPC 中∠BPC=∴∠PBC+∠PCB=∵P 是三角形三条角平分线的交点∴∠ABC=2∠PBC ∠解析：20︒【分析】先根据三角形的内角和求出∠PBC+∠PCB=80︒，故可得到∠ABC+∠ACB=160︒，即可得出答案．【详解】在△BPC 中，∠BPC=100︒，∴∠PBC+∠PCB=80︒，∵P 是三角形三条角平分线的交点，∴∠ABC=2∠PBC ，∠ACB=2∠PCB ，∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=160︒，∴∠BAC=180()20ABC ACB ︒-∠+∠=︒，故答案为：20︒．【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，熟练应用定理解决问题是解题的关键．15．35°【分析】根据角平分线的定义可得出再根据外角的性质可得与通过角度的计算可得出答案【详解】解：∵BECE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线∴又∵∠ACD 是△ABC 的外角∴∴∵∠ECD解析：35°【分析】 根据角平分线的定义，可得出12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠，再根据外角的性质可得ACD A ABC ∠=∠+∠与ECD BEC EBC ∠=∠+∠，通过角度的计算可得出答案．【详解】解：∵BE 、CE 分别是△ABC 内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线， ∴12EBC ABC ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠， 又∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴ACD A ABC ∠=∠+∠，∴A ACD ABC ∠=∠-∠∵∠ECD 是△BCE 的外角，∴ECD BEC EBC ∠=∠+∠ ∴1111()2222ECD EBC ACD ABC ACD E ABC A B C ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠∠=， ∵∠A=70°， ∴1352A BEC ∠∠==︒， 故答案为：35°．【点睛】 本题考查了角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质进行角度的计算是解题的关键．16．两直线平行同位角相等；同位角相等两直线平行；AC ；两直线平行内错角相等【分析】根据平行线的判定和性质解题【详解】解：因为AD ⊥BCEF ⊥BC 所以∠ADC ＝∠EFC ＝90°根据同位角相等两直线平行所以解析：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC；两直线平行，内错角相等.【分析】根据平行线的判定和性质解题．【详解】解：因为AD⊥BC，EF⊥BC，所以∠ADC＝∠EFC＝90°，根据“同位角相等，两直线平行”，所以AD//EF，根据“两直线平行，同位角相等”，所以∠1＝∠CAD．因为∠3＝∠C，根据“同位角相等，两直线平行”，所以DG//AC，根据“两直线平行，内错角相等”，所以∠2＝∠CAD．所以∠1＝∠2．故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；AC；两直线平行，内错角相等.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，根据题目已知条件灵活运用平行线的判定和性质求解是解题关键．17．125【分析】先求得∠AED的度数然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可【详解】解：∵∠BEF=110°∠BEF+∠AEF=180°∴∠AEF=70°∵∠FED=45°∠FED+∠AEG=∠解析：125【分析】先求得∠AED的度数，然后在△AEG中依据三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：∵∠BEF=110°，∠BEF+∠AEF=180°，∴∠AEF=70°，∵∠FED=45°，∠FED+∠AEG=∠AEF，∴∠AEG=70°-45°=25°，∵∠A=30°，∴∠AGE=180°-∠AEG -∠A=125°，故答案为：125．【点睛】本题考查了平角定义三角形的内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．5【分析】设∠BCE=4x∠CBF=5x设∠ADE=∠EDC=y构建方程组求出xy证明∠CFB=90°再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题【详解】解：∵∴可以假设∠BCE=4x则∠CBF=5x解析：5【分析】设∠BCE=4x ，∠CBF=5x ，设∠ADE=∠EDC=y ，构建方程组求出x ，y ，证明∠CFB=90°，再利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．【详解】解：∵54CBF BCE ∠=∠， ∴可以假设∠BCE=4x ，则∠CBF=5x ，∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠DCB ，∴∠ADE=∠EDC ，∠ECD=∠ECB=4x ，设∠ADE=∠EDC=y ，∵AD ∥BF ，∴∠A+∠ABF=180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF=180°，∴2y+13x=180°①，∵∠DEC=115°，∴∠EDC+∠ECD=65°，即y+4x=65° ②，联立①②解得x=10°，y=25°，∴∠BCF=40°，∠CBF=50°，∴∠CFB=90°，∴BF ⊥EC ，∴CE=2BF ，设BF=m ，则CE=2m ，12524∆=⨯⨯=BCE S EC BF ， ∴125224⨯⨯=m m ， 解得52m =(负值舍去)， ∴CE=2m =5，故答案为5．【点睛】 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组组解决问题．19．90°【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：∵BDBE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线∴∠DBE=×180°=90°∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=9解析：90°．【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和定理解答即可．【详解】解：∵BD ，BE 分别是∠B 的角平分线和外角平分线，∴∠DBE=12×180°=90°， ∴∠D+∠E=180°-∠DBE=180°-90°=90°．故答案为：90°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．20．150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E ＝45°由SAS 可证△ABC ≌△EDB 可得∠A ＝∠E ＝45°由三角形的外角性质可求∠AFD ＝30°即可求解【详解】解：∵∠DBE ＝60°∠BDE ＝75°∴∠解析：150°【分析】由三角形内角和定理可得∠E ＝45°，由“SAS ”可证△ABC ≌△EDB ，可得∠A ＝∠E ＝45°，由三角形的外角性质可求∠AFD ＝30°，即可求解．【详解】解：∵∠DBE ＝60°，∠BDE ＝75°，∴∠E ＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∵BD ＝BC ，BE ＝CA ，∠DBE ＝∠C ＝60°，∴△ABC ≌△EDB （SAS ），∴∠A ＝∠E ＝45°，∵∠BDE ＝∠A +∠AFD ＝75°，∴∠AFD ＝30°，∴∠AFE ＝150°，故答案为：150°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，证明△ABC ≌△EDB 是解题关键．三、解答题21．（1）当12∠=∠时，//AB CD ，理由见解析；（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义得出21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠，再根据∠1＝∠2求出AEF DFE ∠=∠，根据平行线的判定即可推出结论；（2）根据角平分线定义得出112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠，由平行线的性质得出180BEF DFE ∠+∠=︒，利用对顶角相等可得BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠，即可得出180AEM CFN ∠+∠=︒，等量代换后则得结论1290∠+∠=︒．【详解】解：（1）当12∠=∠时，//AB CD ．理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠（角平分线的定义）．∵12∠=∠时（已知），∴AEF DFE ∠=∠.（等量代换）．∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）．（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒．理由如下：∵EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠（已知）， ∴112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠（角平分线的定义）． ∵//AB CD （已知），∴180BEF DFE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．∵BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠（对顶角相等），∴180AEM CFN ∠+∠=︒（等量代换）． ∴1()902AEM CFN ∠+∠=︒． 即119022AEM CFN ∠+∠=︒（等式的性质）． ∴1290∠+∠=︒（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．22．EC ∥BF ，DG ∥BF ，DG ∥EC ，见解析【分析】根据同角的补角相等，和平行线的判定定理即可作出判断．【详解】解：EC ∥BF ，DG ∥BF ，DG ∥EC ．理由：∵∠EOD ＋∠OBF ＝180°，又∠EOD ＋∠BOE ＝180°，∴∠BOE ＝∠OBF ，∴EC ∥BF ；∵∠ABC ＝∠ACB ，BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠DBC ＝∠ECB ，又∵EC ∥BF ，∴∠ECB ＝∠CBF ，∴∠DBC ＝∠CBF ，又∵∠DBC ＝∠G ，∴∠CBF ＝∠G ，∴DG ∥BF ；∵EC ∥BF ，DG ∥BF ，∴DG ∥EC ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质定理及补角定理是解题关键．23．见解析【分析】根据平行线的判定得出//BC DF ，再根据平行线的性质定理即可得到结论．【详解】证明：∵34∠=∠，∴//BC DF ，∴236180∠+∠+∠=︒，∵56∠=∠，12∠=∠，∴135180∠+∠+∠=︒，∴//CE BF ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 24．∠DGF ；等量代换；BD ；同位角相等，两直线平行；∠D ；AC ；两直线平行，内错角相等．【分析】先根据已知条件结合对顶角相等得出∠EHF=∠DGF ，由平行线判定知BD ∥EC ，由判定得∠D=∠DBA ，再由等量代换知∠DBA=∠C ，根据平行线判定知DF ∥AC ，利用平行线的性质即可得证．【详解】∵∠AGB=∠EHF （已知）∠AGB=∠DGF （对顶角相等）∴∠EHF=∠DGF （理由：等量代换）∴BD ∥EC （理由：同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠DBA （两直线平行，同位角相等）又∵∠C=∠D ，∴∠DBA=∠D （等量代换）∴DF ∥AC （内错角相等，两直线平行）∴∠A=∠F （理由：两直线平行，内错角相等），故答案为：∠DGF ；等量代换；BD ；同位角相等，两直线平行；∠D ；AC ；两直线平行，内错角相等．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．25．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC ∥AO ，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE 与△BCE 中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C ，又∵∠AEO=∠CEB （对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C ，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测(答案解析)(1)
一、选择题1．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．13是13的算术平方根B ．三角形的一个外角大于任何一个内角C ．13是最简二次根式 D ．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 2．如图，已知//AB CD ，120AFC ∠=︒，13EAF EAB ∠=∠，1 3ECF ECD ∠=∠，则 AEC ∠=（ ）A ．60°B ．80°C ．90°D ．100°3．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）①OE 平分AOD ∠；②AOC BOD ∠=∠；③15AOC CEA ∠-∠=︒；④180COB AOD ∠+∠=︒A ．0B ．1C ．2D ．3 4．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB 、CE 相交于点D ，则BDC∠的度数是（ ）A ．65︒B ．75︒C ．85︒D ．105︒ 5．下列命题中，真命题的是（ ） A ．同旁内角互补，两直线平行B ．相等的角是对顶角C ．同位角相等D ．直角三角形两个锐角互补6．下列语句正确的有（ ）个．①“对顶角相等”的逆命题是真命题．②“同角（或等角）的补角相等”是假命题．③立方根等于它本身的数是非负数．④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒．⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是9cm 或12cm ． A ．4B ．3C ．2D ．1 7．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（ ）A ．5B ．12C ．14D ．16 8．已知下列命题（1）等边三角形的三个内角都相等；（2）平行四边形相邻的两个角都相等；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等；（4）底角相等的两个等腰三角形全等．其中原命题和逆命题均为真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6810．如图，AB ∥DE ，80,45B D ︒︒∠=∠=则C ∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒11．下列命题：①相等的两个角是对顶角；②若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角；③同旁内角互补；④垂线段最短，其中假命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知四边形ABCD 是长方形，点,E F 分别为线段BC ，AD 上的两点，将四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，若40BEC '∠=︒，则EFD ∠等于（ ）A ．50︒B ．65︒C ．60︒D ．70︒二、填空题13．如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且76B ∠=︒，36C ∠=︒，则DAE ∠的度数为_________．14．若△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，AE 平分∠BAC ，∠B =40°，∠C =50°，则∠EAD=_____°．15．如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，若∠B ＝72°，∠DAE ＝16°，则∠C ＝_____度．16．如图，一个直角三角形纸片ABC ，90BAC ∠=，D 是边BC 上一点，沿线段AD 折叠，使点B 落在点E 处（E B 、在直线AC 的两侧），当50EAC ∠=时，则CAD ∠=__________°.17．把“同角的补角相等”改成“如果···那么···”的形式_________________．18．如图，已知//DE FG ，则12A ∠+∠-∠=________________19．如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠BAD+∠ADC ＝180°；③∠ABC ＝∠ADC ；④∠3＝∠4；其中能判定AB ∥CD 的是_____（填序号）．20．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，证明时，可以先假设：_____________________________．三、解答题21．直线AB 和CD 被直线MN 所截，如图1，EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠，当12∠=∠时，小明证明//AB CD 的过程如下：∵EG 平分MEB ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21MEB ∠=∠，22DFE ∠=∠（角平分线的定义）． ∵12∠=∠，（已知），∴MEB DFE ∠=∠（等量代换）． ∴//AB CD （同位角相等，两直线平行）．请你参考上述证明过程解决下列问题：（1）如图2，EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠，1∠与2∠满足什么条件时，//AB CD ？说明理由．（2）如图3，若//AB CD ，EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠，则1∠与2∠满足怎样的条件？说明理由．22．定义：一个三位数，如果它的各个数位上的数字互不相等且都不为0，同时满足十位上的数字为百位与个位数字之和，则称这个三位数为“西西数”．A 是一个“西西数”，从A 各数位上的数字中任选两个组成一个两位数，由此我们可以得到6个不同的两位数．我们把这6个数之和与44的商记为()h A ，如：132A =，133112212332(132)344h +++++==． （1）求()187h ，()693h 的值． （2）若A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =，求B A 的最大值． 23．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．24．如图，在△ABC 中，点D 是AC 边上的一点，已知ABC C ∠=∠，A ABD DBC ∠=∠=∠，求C ∠的度数．25．如图，已知直线//AB CD ，100A C ∠=∠=︒，E 、F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠．（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由．（2）求DBE ∠的度数．（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，存在使BEC ADB ∠=∠的情况，求ADB ∠的度数．26．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，AE BC ⊥．若40BAD ∠=︒，70C ∠=︒，求DAE ∠的度数．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质逐项判断即可求解．【详解】解：13的算术平方根”，判断正确，符合题意；B. “三角形的一个外角大于任何一个内角”，应为“三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角”，判断错误，不合题意；”，不是最简二次根式，判断错误，不合题意；D. “两条直线被第三条直线所截，内错角相等”，两条直线不一定平行，判断错误，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了命题、算术平方根、三角形外角定理、最简二次根式定义、平行线性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键，注意：题设成立，结论一定成立的命题是真命题；题设成立，结论不一定成立的命题是假命题．2．C解析：C【分析】连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．【详解】解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°，∵∠AFC=120°，∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，解得：x+y=30°，∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）=180°-（x+y+60°）=90°故选C．【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是注意整体思想的运用．3．D解析：D【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据角的和差关系可得∠COB+∠AOD=180；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°．【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，即∠AOC=∠BOD，故②正确；∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；如图，AB与OC交于点P，∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．综上，②③④正确，共3个，故选：D．【点睛】本题考查了余角与补角以及三角形内角和定理，熟知余角与补角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．4．B解析：B【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．【详解】解：∵∠CEA=60︒，∠BAE=45︒，∴∠ADE= 180︒−∠CEA−∠BAE=75︒，∴∠BDC =∠ADE =75︒，故选：B【点睛】本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．5．A解析：A【分析】利用平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A 、同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题；B 、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；C 、只有当两直线平行时，同位角才会相等；两直线不平行时，同位角不会相等，故错误，是假命题；D 、直角三角形两锐角互余，不会互补，故错误，是假命题．故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、对顶角的定义及互补的定义，难度不大．6．D解析：D【分析】先写出逆命题，进而即可判断；根据补角的性质，即可判断②；根据立方根的性质，即可判断③；根据反证法的定义，即可判断④根据等腰三角形的定义和三角形三边长关系，即可判断⑤．【详解】①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；④用反证法证明：如果在ABC 中，90C ∠=︒，那么A ∠、B 中至少有一个角不大于45°时，应假设45A ∠>︒，45B ∠>︒，故该小题正确；⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是2cm 和5cm ，则周长是12cm ，故该小题错误． 故选D ．【点睛】本题主要考查补角的性质，真假命题，反证法以及等腰三角形的定义，掌握反证法的定义，等腰三角形的定义是解题的关键．7．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A 错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B 错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C 正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D 错误.故选C.8．B解析：B【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定和直线定理、平行四边形的判定和性质定理、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质定理判断即可．【详解】解：（1）等边三角形的三个内角都相等，是真命题，逆命题为：三个角相等的三角形是等边三角形，是真命题；（2）平行四边形相邻的两个角互补，但不一定相等，本说法是假命题，逆命题为：相邻的两个角都相等的四边形是平行四边形，是真命题；（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．10．B解析：B【分析】延长DE交BC于F，利用平行线的性质求出∠DFC=∠B=80°，再利用三角形的内角和定理求 的度数.出C【详解】延长DE交BC于F，如图，∵AB∥DE，∴∠DFC=∠B=80°，∵∠C+∠D+∠DFC=180°，∴∠C= =180°-∠D-∠DFC=55°，故选：B.【点睛】此题考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；三角形的内角和定理.11．B解析：B【分析】根据对顶角的定义对①进行判断；根据补角的定义对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；根据垂线段公理对④进行判断．【详解】解：相等的两个角不一定为对顶角，所以①为假命题；若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角，所以②为真命题；两直线平行，同旁内角互补，所以③为假命题；垂线段最短，所以④为真命题．故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．D解析：D【分析】先根据平行线的性质的得出40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，结合折叠的性质得出∠DFE=∠MFE ，即可得出结论【详解】解：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD//BC ，//''D F C E∴40'∠=∠=︒FME BEC ，DFE BEF ∠=∠，∵四边形CDFE 沿EF 折叠得到四边形C D FE ''，∴∠DFE=∠MFE ，MFE MEF ∴∠=∠∴∠EFD=∠MFE=()118040702⨯-=， 故选D ．【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．二、填空题13．20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°∠CAD=54°进而得出∠DAE 的度数进而得出答案【详解】∵ADAE 分别是△ABC 的高和角平分线且∠B=76°∠C=36°∴∠B解析：20°【分析】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE 的度数，进而得出答案．【详解】∵AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAC=180763668︒-︒-︒=︒，∠BAD=9076︒-︒=14°，∠CAD=9036︒-︒=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°， ∴∠DAE=34°-14°=20°．故答案为：20°．【点睛】本题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠BAD 和∠CAD 的度数是解题关键． 14．5【分析】由三角形的高得出求出由三角形内角和定理求出由角平分线求出即可得出的度数【详解】解：中是边上的高平分故答案为：5【点睛】本题考查了三角形内角和定理角平分线的定义角的和差计算；熟练掌握三角形内 解析：5【分析】由三角形的高得出90ADC ∠=︒，求出DAC ∠，由三角形内角和定理求出 BAC ∠，由角平分线求出EAC ∠，即可得出EAD ∠的度数．【详解】解：ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，90ADC ∴∠=︒，90905040DAC C ，180180405090BAC B C ， AE ∵平分BAC ∠， 11904522EAC BAC ，45405EAD EAC DAC ．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、角的和差计算；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．15．40【分析】根据三角形的内角和得出再利用角平分线得出利用三角形内角和解答即可【详解】是高是角平分线故答案为40【点睛】本题考查了三角形的内角和定理熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于是解题的 解析：40【分析】根据三角形的内角和得出18BAD ∠=，再利用角平分线得出68BAC ∠=，利用三角形内角和解答即可．【详解】AD 是高，72B ∠=，18BAD ∴∠=， 181634BAE ∴∠=+=， AE 是角平分线，68BAC ∴∠=，180726840C ∴∠=--=．故答案为40.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟悉直角三角形两锐角互余和三角形的内角和等于180是解题的关键．16．20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD 再根据∠CAB=90°即可求出答案【详解】解：由翻折可得∠EAD=∠BAD 又∠CAB=90°∠EAC=50°∴∠EAC+∠CAD=90°-∠解析：20【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠BAD=∠EAD ，再根据∠CAB=90°即可求出答案．【详解】解：由翻折可得，∠EAD=∠BAD ，又∠CAB=90°，∠EAC=50°，∴∠EAC+∠CAD=90°-∠CAD,∴50°+∠CAD=90°-∠CAD,∴∠CAD=20°.故答案为：20．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及四边形内角和定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．17．如果两个角是同一个角的补角那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面把命题的结论写在那么的后面即可【详解】解：命题同角的补角相等改成如果…那么…的形式为：如果两个角是同一个角的补角那么这两个 解析：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等【分析】把命题的题设写在如果的后面，把命题的结论写在那么的后面即可．【详解】解：命题“同角的补角相等”改成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．18．180【分析】根据平行线的性质得到根据平角的性质得到然后根据三角形内角和定理即可求解【详解】∵∴∵又∵∴∴故答案为180【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等三角形的内角和解题过程中注解析：180【分析】根据平行线的性质，得到2AHF ∠=∠，根据平角的性质得到180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可求解．【详解】∵//DE FG∴2AHF ∠=∠∵180AHF AHC ∠+∠=︒，1180ACH ∠+∠=︒又∵180AHC ACH A ∠+∠+∠=︒∴180********A ︒-∠+︒-∠+∠=︒∴12180A ∠+∠-∠=︒故答案为180．【点睛】本题考查了平行线的性质—两直线平行同位角相等，三角形的内角和，解题过程中注意等量代换是本题的关键．19．①②【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案【详解】∵∠1＝∠2∴AB ∥CD ；故①符合题意∵∠BAD+∠ADC ＝180°∴AB ∥CD ；故②符合题意∠ABC ＝∠ADC 不能判定AB ∥CD 故③不符合解析：①②．【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案．【详解】∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ；故①符合题意，∵∠BAD+∠ADC ＝180°，∴AB ∥CD ；故②符合题意，∠ABC ＝∠ADC ，不能判定AB ∥CD ，故③不符合题意，∵∠3＝∠4，∴AD ∥BC ；不能判定AB ∥CD ，故④不符合题意，故答案为：①②【点睛】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．20．这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中第一步是假设结论不成立反面成立可据此进行判断【详解】解：反证法证明：在一个三角形中如果两个角不相等那么这两个角所对的边也不相等证明时可以先假设这两个角所对的 解析：这两个角所对的边相等【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．【详解】解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，故答案为：这两个角所对的边相等．【点睛】本题考查的是反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．三、解答题21．（1）当12∠=∠时，//AB CD ，理由见解析；（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义得出21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠，再根据∠1＝∠2求出AEF DFE ∠=∠，根据平行线的判定即可推出结论；（2）根据角平分线定义得出112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠，由平行线的性质得出180BEF DFE ∠+∠=︒，利用对顶角相等可得BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠，即可得出180AEM CFN ∠+∠=︒，等量代换后则得结论1290∠+∠=︒．【详解】解：（1）当12∠=∠时，//AB CD ．理由如下：∵EG 平分AEF ∠，FH 平分DFE ∠（已知），∴21AEF ∠=∠，22DEF ∠=∠（角平分线的定义）．∵12∠=∠时（已知），∴AEF DFE ∠=∠.（等量代换）．∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）．（2）当//AB CD 时，1290∠+∠=︒．理由如下：∵EG 平分AEM ∠，FH 平分CFN ∠（已知）， ∴112AEM ∠=∠，122CFN ∠=∠（角平分线的定义）． ∵//AB CD （已知），∴180BEF DFE ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．∵BEF AEM ∠=∠，DFE CFN ∠=∠（对顶角相等），∴180AEM CFN ∠+∠=︒（等量代换）． ∴1()902AEM CFN ∠+∠=︒． 即119022AEM CFN ∠+∠=︒（等式的性质）． ∴1290∠+∠=︒（等量代换）．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义等知识，掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键．22．（1）8,9；（2）671.154B A 【分析】（1）根据新定义的法则进行运算即可得到答案；（2）先由（1）的运算发现并总结规律，可得()h A 的值等于A 的十位数字，再运用规律结合()()35h A h B =进行合理的分类讨论，分4种情况：()()5,7h A h B ==或()()7,5,h A h B == ()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==，再根据新定义可得答案．【详解】解：（1）由定义可得：()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++== （2）探究： 133112212332(132)344h +++++==， ()18+81+17+71+78+87352===84417448h ， ()699663369339396=9.4444693h +++++==发现并总结规律：()h A 的值等于A 的十位数字，A ，B 为两个“西西数”，且()()35h A h B =， ()()5,7h A h B ∴==或()()7,5,h A h B ==而()()35,1h A h B ==或()()1,35h A h B ==不合题意舍去，B A的值最大，则B 最大，A 最小， ()()5,7,h A h B ∴==当()5h A =时，154A =或451A =或253A =或352A =，当()7h B =时，671B =或176B =或572B =或275B =或374B =或473.B =A ∴最小为154，B 最大为671， 此时B A 的值最大为 671.154B A本题考查的是新定义运算，同时考查了规律探究，弄懂新定义的运算法则，理解并运用规律，掌握合理的分类讨论是解题的关键．23．（1）72︒；（2）40︒．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．【详解】解：（1）∵DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF=12ADC ∠， ∵60ADC ∠=︒，∴30ADP ∠=︒，∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，∴∠A+∠C=2∠P ，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．24．72︒【分析】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，根据三角形的内角和定理得到x+2x+2x=180°，求出x 即可得到答案.【详解】设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，则∠ABC=2∠A=2x ，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，x=36°，∴∠C=2x=72°.此题考查三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，设设∠A=∠ABD=∠DBC=x ，用含x 的式子表示三角形的内角和是解题的关键.25．（1）直线AD 与BC 互相平行，理由见解析；（2）40DBE ∴∠=︒（3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明180ADC C ∠+∠=︒，即可证得//AD BC ； （2）由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得ABC ∠的度数，又由12DBE ABC ∠=∠，即可求得DBE ∠的度数． （3）首先设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒，由直线//AB CD ，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得BEC ∠与ADB ∠的度数，又由BEC ADB ∠=∠，即可得方程：4080x x ︒+︒=︒-︒，解此方程即可求得答案．【详解】解：（1）直线AD 与BC 互相平行，理由：//AB CD ，180A ADC ∴∠+∠=︒，又A C ∠=∠180ADC C ∴∠+∠=︒，//AD BC ∴；（2）//AB CD ，18080ABC C ∴∠=︒-∠=︒，DBF ABD ∠=∠，BE 平分CBF ∠，11140222DBE ABF CBF ABC ∴∠=∠+∠=∠=︒； （3）存在．设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=︒．//AB CD ，40BEC ABE x ∴∠=∠=︒+︒；//AB CD ，18080ADC A ∴∠=︒-∠=︒，80ADB x ∴∠=︒-︒．若BEC ADB ∠=∠，则4080x x ︒+︒=︒-︒，得20x ︒=︒．∴存在60BEC ADB ∠=∠=︒．【点睛】此题主要考查了平行线的性质与判定．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．【分析】由题意，先求出30B ∠=︒，然后得到60=︒∠BAE ，即可求出答案．【详解】解：如图：AD 平分BAC ∠224080BAC BAD ∴∠=∠=⨯︒=︒70C ∠=︒30B ∴∠=︒AE BC ⊥于点E90AED ∴∠=︒903060BAE ∴∠=︒-︒=︒604020DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，以及余角的定义，解题的关键是正确的求出角的度数进行计算．。
北师大版八年级数学上册7.4平行线的性质练习题(附答案)
北师大版八年级数学上册7.4平行线的性质练习题一、单选题1.如图，直线,a b 被直线c 所截，//,23a b ∠=∠，若180∠=︒，则4∠等于( )A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 80︒2.如图所示，直线//138290a b ∠=︒∠=︒，，，则3∠的度数为( )A. 125︒B. 138︒C. 148︒D. 128︒3.如图，已知//DE BC ，如果170∠=︒，那么B ∠的度数为( )A. 70︒B. 100︒C. 110︒D. 120︒4.如图，点C 是直线AB DE ，之间的一点，90ACD ∠=︒，下列条件能使得//AB DE 的是（）A. 180αβ∠+∠=︒B. 90βα∠-∠=︒C. 3βα∠=∠D. 90αβ∠+∠=︒5.如图，BC AE ⊥于点C ，//CD AB ，55B ∠=︒，则1∠等于( )A. 35︒B. 45︒C. 55︒D. 25︒6.如图，下列判断中正确的是( )A. 如果32180∠+∠=︒，那么//AB CDB. 如果13180∠+∠=︒，那么//AB CDC. 如果24∠=∠，那么//AB CDD. 如果15∠=∠，那么//AB CD7.有下列命题：①两点之间，线段最短；②相等的角是对顶角；③内错角互补，两直线平行.其中真命题的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个8.下面给出的结论中，说法正确的有( )①最大的负整数是1-；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；③当0a ≤时，a a =-；④若29a =，则a 一定等于3；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥同旁内角相等，两直线平行.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个9.下列语句是命题的是( )(1)两点之间,线段最短(2)如果两个角的和是90度,那么这两个角互余(3)请画出两条互相平行的直线(4)过直线外一点作已知直线的垂线A. (1)(2)B. (3)(4)C. (2)(3)D. (1)(4)10.下列命题中,真命题是( )A. 两个锐角的和一定是钝角B. 相等的角是对顶角C. 带根号的数一定是无理数D. 垂线段最短 11.下列各命题的逆命题是真命题的是( )A. 对顶角相等B. 全等三角形的对应角相等C. 相等的角是同位角D. 等边三角形的三个内角都相等 二、证明题12.如图,已知,,ABC ADC BF DE ∠=∠分别平分ABC ∠与,13ADC ∠∠=∠,试说明://AB DC .13.已知:如图,直线EF 分别与直线,AB CD 相交于点,,P Q PM 垂直于,1290EF ∠+∠=︒.求证: //AB CD .三、填空题14.命题“对顶角相等”改写成如果…那么…形式为_______________15.如图，要使CF BG ∥，你认为应该添加的一个条件是 .16.如图，DE 是过ABC △的顶点A 的直线.（1）当B ∠= 时，DE BC ∥，理由是 .（2）当B ∠＋ 180︒=时，DE BC ∥，理由是 .17.等腰三角形的两边长为3cm 、7cm , 则此三角形的周长是__________18.如图,已知//,50,40AD BC EAD ACB ∠=︒∠=︒,则BAC ∠是__________度19.如图,AB∥CD,CB 平分∠ACD,∠ABC=35°,则∠BAE=__________度.四、解答题20.如图,E 点为DF 上的点,B 为AC 上的点,∠1=∠2,∠C=∠D 求证: DF∥AC证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠3 ,∠2=∠4(__________)∴∠3=∠4(__________)∴__________∥__________(__________)∴∠C=∠ABD(__________)∵∠C=∠D(__________)∴∠D =__________(__________)∴DF∥AC(__________)21.如图,∠ABD和∠BDC的平分线交于E,BE交CD于点F,∠1+∠2=90°.1.试说明:AB∥CD;2.若∠2=35°,求∠BFC的度数.22.如图,已知△ABC≌△DEF,点B、E、C、F在同一直线上,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.1.求∠F的度数与DH的长2.求证:AB∥DE.23.如图所示,BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,∠1+∠2=90°,试判断直线AB与CD的位置关系,并说明你的理由.参考答案1.答案：B解析：∵//,180238034a b ∠=︒∴∠+∠=︒∠=∠，，.∵23340440∠=∠∴∠=︒∴∠=︒，，.故选:B.2.答案：D解析：如图，反向延长2∠的边与a 交于一点，由三角形外角性质，可得42152∠=∠-∠=︒，∴51804128∠=︒-∠=︒，∵//35128a b ∴∠=∠=︒，．故选：D ．3.答案：C解析：如图，∵//2180DE BC B ∴∠+∠=︒，，∵217018070110B ∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒，，4.答案：B解析：延长AC 交DE 于点F .A. ∵180190901αββα∠+∠=︒∠=∠+︒∴∠=︒-∠，，，即1α∠≠∠，∴不能使得//AB DE ；B. ∵901901βαβα∠-∠=︒∠=∠+︒∴∠=∠，，，∴能使得//AB DE ；C.∵31903901βαβα∠=∠∠=∠+︒∴∠=︒+∠，，，即1α∠≠∠，∴不能使得//AB DE ；D.∵901901αββα∠+∠=︒∠=∠+︒∴∠=-∠，，，即1α∠≠∠，∴不能使得//AB DE ；故选B.5.答案：A解析：∵90BC AE BCE ⊥∴∠=︒，，∵//55CD AB B ∠=︒，，∴551905535BCD B ∠=∠=︒∴∠=︒-︒=︒，，故选：A ．6.答案：D解析： A.如果32180∠+∠=︒，无法得出//AB CD ，故此选项错误；B.如果13180∠+∠=︒，无法得出//AB CD ，故此选项错误；C.如果24∠=∠，无法得出//AB CD ，故此选项错误；D.如果15∠=∠，那么//AB CD ，正确.7.答案：A解析：两点之间，线段最短，所以①正确；相等的角不一定是对顶角，所以②错误；内错角相等，两直线平行，所以③错误.故选A.8.答案：C解析：①最大的负整数是1-，正确；②在同一个平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，正确；=-，正确；③当0a≤时，a a④若29a=，则3a=±，错误；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，正确；⑥同旁内角互补，两直线平行，错误.故选C.9.答案：A解析：(1)两点之间，线段最短符合命题定义，正确；(2)如果两个角的和是90度，那么这两个角互余，符合命题定义，正确．(3)请画出两条互相平行的直线只是做了陈述，不是命题，错误；(4)过直线外一点作已知直线的垂线没有做出判断，不是命题，错误，故选：A10.答案：D解析：A.两个锐角的和不一定是钝角，故选项A错误；B.相等的角不一定是对顶角，故选项B错误；C.2，故选项C 错误；D.垂线段最短，正确.故选D11.答案：D解析：A.“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以A 选项错误；B.“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以B 选项错误；C.“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”，此逆命题为假命题，所以C 选项错误；D.“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题为“三个角都相等的三角形为等边三角形”，此逆命题为真命题，所以D 选项正确．故选D12.答案：证明：∵BF DE 、分别平分ABC ∠和ADC ∠∴21?22ABC ADC ∠=∠∠=∠， (角平分线的性质)∴12∠=∠（等量代换）∵13∠=∠（已知）∴23∠=∠（等量代换）∴//AB CD （内错角相等，两直线平行）解析：13.答案：证明:∵PM EF ⊥ (已知)∴290APQ ∠+∠=︒ (垂直定义)∵1290∠+∠= (已知)∴1APQ ∠=∠ (同角的余角相等)∴//AB CD (内错角相等,两直线平行)解析：14.答案：如果两个角是对顶角,那么它们相等解析：题设为:如果两个角是对顶角,结论为:那么它们相等,故改写成“如果…那么…”的形式是:如果两个角是对顶角,那么它们相等,故答案为:如果两个角是对顶角,那么它们相等15.答案：C GDE ∠∠＝（答案不唯一）解析：根据同位角相等，两直线平行，可得当C GDE ∠∠＝时，CF BG ∥.16.答案：（1）DAB ∠ 内错角相等，两直线平行.（2）EAB ∠同旁内角互补，两直线平行.解析：（1）当B DAB ∠∠=时，DE BC ∥（内错角相等，两直线平行）（2）当180B EAB ∠∠︒＋=时，DE BC ∥（同旁内角互补，两直线平行）17.答案： 17cm解析：18.答案：90解析：19.答案：70解析：20.答案：对顶角相等;等量代换;BD,CE,内错角相等,两直线平行;两直线平行,同位角相等;已知;∠ABD,等量代换;内错角相等,两直线平行.解析：21.答案：1.∵BE、DE 平分∠ABD、∠BDC∴∠1=1 2 ∠ABD,∠2=1 2 ∠BDC∵∠1+∠2=90°∴∠ABD+∠BDC=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)2.125°解析：22.答案：1.35°,6; 2.略解析：23.答案：AB∥CD解析：11 / 11。
(常考题)北师大版初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试卷(包含答案解析)(1)
一、选择题1．如图，有下列说法：①若13∠=∠，//AD BC ，则BD 是ABC ∠的平分线；②若//AD BC ，则123∠=∠=∠；③若13∠=∠，则//AD BC ；④若34180C ∠+∠+∠=，则//AD BC ．其中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．42．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．两个全等三角形的对应角相等B ．若一个三角形的两个内角分别为30和60︒，则这个三角形是直角三角形C ．两个全等三角形的面积相等D ．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数3．如图，ABC 中，将A ∠沿DE 翻折，若30A ∠=︒，25BDA '∠=︒，则CEA '∠多少度（ ）A ．60°B ．75°C ．85°D ．90°4．如图，下列条件中，不能判断直线a ∥b 的是（ ）A ．∠1＝∠3B ．∠2＝∠3C ．∠4＝∠5D ．∠2+∠4＝180° 5．下列各命题中，属于假命题的是（ ）A ．若0a b -＞，则a b ＞B ．若0a b -=，则0ab ≥C ．若0a b -＜，则a b ＜D ．若0a b -≠，则0ab ≠6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（ ）A．①②B．②④C．②③D．②③④7．下列命题中的假命题是（）A．三角形的一个外角大于内角B．同旁内角互补，两直线平行C．21xy=-⎧⎨=⎩是二元一次方程231x y+=-的一个解D．方差是刻画数据离散程度的量8．如图，直线a∥b，点B在a上，且AB⊥BC，若∠1＝35°，那么∠2等于（）A．45°B．50°C．55°D．60°9．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A．5 B．12 C．14 D．1610．如图，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠则等于（）A．90︒B．180︒C．270︒D．360︒11．如图，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（）A．∠1=∠3 B．∠2=∠4 C．∠EAD=∠B D．∠D=∠DCF 12．下列说法正确的是（）A．同位角相等B．相等的角是对顶角C．内错角相等，两直线平行D．互补的两个角一定有一个锐角二、填空题13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为________．14．证明“若a b >，则22a b >．”是假命题，可举出反例：_________．15．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．16．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．17．如图，已知12∠=∠，求证：A BCH ∠=∠．证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（______）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （______）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（______）18．如图，添加一个你认为合适的条件______使//AD BC ．19．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．20．如图，C 是线段AB 上一点，∠DAC ＝∠D ，∠EBC ＝∠E ，AO 平分∠DAC ，BO 平分∠EBC ．若∠DCE ＝40°，则∠O ＝______°．三、解答题21．完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD证明：//AB EFAPE ∴∠=__________（__________）EP EQ ⊥ PEQ ∴∠=_________（___________）即90QEF PEF ∠+∠=︒90APE QEF ∴∠+∠=︒90EQC APE ∠+∠=︒EQC ∠=________//EF ∴_______（__________________）//AB CD ∴（________________）22．如图，12∠=∠，34∠=∠，56∠=∠，求证：//CE BF ．23．已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A ，试说明：BE//CF ．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式．解：∠3＝∠4（ ），∴AE//________（____________________________），∴∠EDC ＝__________ （____________________________）．∠5＝∠A （已知），∴∠EDC ＝________（________________________），∴DC//AB （____________________________），∴∠5＋∠ABC ＝180°（____________________________），即∠5＋∠2＋∠3＝180°．∠1＝∠2（已知），∴∠5＋∠1＋∠3＝180°（________________________），即∠BCF ＋∠3＝180°．∴BE//________（________________________）24．如图，CD AB ⊥于D ，点F 是BC 上任意一点，FE AB ⊥于E ，且12∠=∠，380∠=︒．（1）证明：//BC DG ；（2）若AD AG =，求ABC ∠的度数．25．如图，已知直线//AB CD ，直线EF 分别交直线AB ，CD 于点E ，F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于一点P ．试说明：90P ∠=︒．26．已知E ，A ，C 在同一直线上，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，交AB 于F ，3E ∠=∠．求证：（1）//AD EC ；（2）AD 平分BAC ∠证明：（1）∵AD BC ⊥，EG BC ⊥∴ADC EGC ∠==______∴//AD EG（2）∵//AD EG∴1∠=∠______（______），∠2=∠3（_______）∵3E ∠=∠（______）∴______=______即AD 平分BAC ∠【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】13∠=∠，//AD BC∴23∠∠=∴123∠=∠=∠∴BD 是ABC ∠的平分线，即①正确；若//AD BC ，得23∠∠=，14∠=∠，不构成123∠=∠=∠成立的条件，故②错误； 若13∠=∠，不构成//AD BC 成立的条件，故③错误；若34180C ∠+∠+∠=，且34ADC ∠+∠=∠∴180C ADC ∠+∠=∴//AD BC ，即④正确；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线和角平分线的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义．2．D解析：D【分析】根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．【详解】A 、两个全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；B 、若一个三角形的两个内角分别为 30° 和 60° ，则这个三角形是直角三角形，逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为 30° 和 60° ，是假命题；C 、两个全等三角形的面积相等，逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；D 、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数 ，是真命题.故选：D【点睛】本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．3．C解析：C【分析】根据折叠前后对应角相等可得ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，再运用平角的定义和三角形内角和定理依次求得ADE ∠、AED ∠，再次运用平角的定义即可求得CEA '∠．【详解】解：∵将A ∠沿DE 翻折，∴ADE A DE '∠=∠，AED A ED '∠=∠，∵D 是线段AB 上的点，25BDA '∠=︒，∴180ADE A D B E DA '∠+∠-'∠=︒，即251280ADE ︒=∠-︒，解得102.5ADE ∠=︒，∵30A ∠=︒，180A AED ADE ∠+∠+∠=︒，∴180180102.53047.5AED ADE A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴18018047.547.585CEA AED A ED ''∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义．理解折叠前后对应角相等是解题关键．4．B解析：B【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【详解】A 、当∠1＝∠3时，a ∥b ，内错角相等，两直线平行，故正确；B 、∠2与∠3不是同位角，也不是内错角，无法判断，故错误；C 、当∠4＝∠5时，a ∥b ，同位角相等，两直线平行，故正确；D 、当∠2+∠4＝180°时，a ∥b ，同旁内角互补，两直线平行，故正确．故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记判定定理是解题的关键．5．D解析：D【分析】根据不等式的性质对各选项进行逐一判断即可．【详解】A 、正确，符合不等式的性质；B 、正确，符合不等式的性质．C 、正确，符合不等式的性质；D 、错误，例如a=2，b=0；故选D ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解不等式的性质，难度不大．6．D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC ∥AD ，符合题意；③∵AB ∥CD ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠ADC ＝∠B ，∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＝∠BAD ，∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； 故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．A解析：A【分析】根据三角形的外角、平行线的判断、二元一次方程的解以及方差即可判断出结果．【详解】解：在三角形内角中大于90°角的外角是一个锐角，故A 选项符合题目要求；同旁内角互补，两直线平行，故B 选项不符合题目要求；21x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程231x y +=-的一个解，故C 选项不符合题目要求； 方差是刻画数据离散程度的量，故D 选项不符合题目要求．故选：A【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，正确的掌握这些知识点是解题的关键． 8．C解析：C【分析】先根据直线平行的性质得到∠BAC=∠1＝35°，再由三角形内角和定理求出55BCA ∠=︒，再根据对顶角的性质即可得到答案．【详解】解：∵直线a ∥b ，∴∠BAC=∠1＝35°（两直线平行，内错角相等），又∵AB ⊥BC ，∴∠ABC=90°，∴180903555BCA ∠=︒-︒-︒=︒ （三角形内角和定理），∴255BCA ∠=∠=︒（对顶角相等），故选：C ．【点睛】本题主要考查了直线平行的性质、三角形内角和定理、对顶角的性质，掌握对顶角相等以及两直线平行内错角相等是解题的关键．9．C解析：C【详解】∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故A 错误；∵12是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故B 错误；∵14是偶数但不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例，故C 正确；∵16是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故D 错误.故选C.10．D解析：D【分析】这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可得出结论．【详解】解：180A E C ∠+∠+∠=︒，180D B F ∠+∠+∠=︒，360A B C D E F ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒．故选：D ．【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键． 11．B解析：B【分析】根据各选项中各角的关系及利用平行线的判定定理，分别分析判断AD 、BC 是否平行即可．【详解】解：A 、∵∠1=∠3，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；B 、∵∠2=∠4，∴AB ∥CD （内错角相等，两直线平行），但不能判定AD ∥BC ； C 、∵∠EAD=∠B ，∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行）；D 、∵∠D=∠DCF ，∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．12．C解析：C【分析】直接利用平行线的性质、判定以及对顶角的定义、补角的特征分别判断得出答案．【详解】A、两直线平行，同位才能角相等，此项错误；B、相等的角不一定是对顶角，此项错误；C、内错角相等，两直线平行，此项正确；D、互补的两个角不一定有一个锐角，有可能是两个直角，此项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质、判定以及对顶角的定义等，掌握平行线与相交线的相关知识是解题关键．二、填空题13．25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC∠ACD＝2∠DCE根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC求出∠A＝2∠E即可求出答案【详解】解：∵BE平分∠ABCCE平分∠A解析：25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E ＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．14．答案不唯一例如当但【分析】可根据的正负性来考虑即可例如用来进行判断即可【详解】反例：取有但故答案为：但【点睛】本题考查了命题与定理举反例说明说明命题是假命题时在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选解析：答案不唯一，例如当1,1,a b a b ==->，但22a b <【分析】可根据a 、b 的正负性来考虑即可，例如用1a =、1b =-来进行判断即可．【详解】反例：取1a =，1b =-，有a b >，但22a b =．故答案为：1a =，1b =-，a b >，但22a b =．【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论．15．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点 解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．16．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE ∥BC ∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=解析：75︒【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．【点睛】解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．∵AE ∥BC ，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．故答案为：75°．本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．17．对顶角相等AG 两直线平行同位角相等【分析】根据对顶角的定义可得再根据平行线的判定可得CH//AG 最后由两直线平行同位角相等即可证明【详解】解：证明：∵（已知）（对顶角相等）∴（等量代换）∴（AG ）（解析：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【分析】根据对顶角的定义可得23∠∠=，再根据平行线的判定可得CH//AG,最后由两直线平行、同位角相等即可证明．【详解】解：证明：∵12∠=∠（已知）23∠∠=（对顶角相等）∴13∠=∠（等量代换）∴//CH （AG ）（同位角相等，两直线平行）∴A BCH ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故答案为：对顶角相等，AG ，两直线平行，同位角相等．【点睛】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质和判定定理等知识，灵活应用平行线的性质和判定定理是解答本题的关键．18．∠ADF=∠C 或∠A=∠ABE 或∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°（答案不唯一写一个正确的即可）【分析】根据平行线的判定方法即可求解【详解】第一种情况同位角相等两直线平行即∠ADF=解析：∠ADF=∠C 或∠A=∠ABE 或∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°（答案不唯一，写一个正确的即可）【分析】根据平行线的判定方法即可求解．【详解】第一种情况，同位角相等，两直线平行，即∠ADF=∠C 时，//AD BC ；第二种情况，内错角相等，两直线平行，即∠A=∠ABE 时，//AD BC ；第三种情况，同旁内角互补，两直线平行，即∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°时，//AD BC ；故答案为∠ADF=∠C 或∠A=∠ABE 或∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°．【点睛】本题考查了平行线的判定方法，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．19．40°【分析】如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD 根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD ∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．20．125【分析】利用平角的定义可得由角平分线的性质易得由三角形的内角和定理可得结果【详解】解：平分平分故答案为：125【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理熟练运用定理是解答此题的关键解析：125【分析】利用平角的定义可得180********ACD BCE DCE，由角平分线的性质易得11()1105522OAB OBA DAC CBE，由三角形的内角和定理可得结果．【详解】解：40DCE，180********ACD BCE DCE，DAC D，EBC E∠=∠，221802140220DAC CBE，110DAC CBE，AO平分DAC∠，BO平分EBC∠，∴11()1105522OAB OBA DAC CBE，180()18055125O OAB OBA，故答案为：125．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，熟练运用定理是解答此题的关键．三、解答题21．∠PEF；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF；CD；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【分析】根据平行线的性质得到∠APE=∠PEF，根据余角的性质得到∠EQC=∠QEF根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB ∥EF∴∠APE=∠PEF （两直线平行，内错角相等）∵EP ⊥EQ∴∠PEQ=90°（垂直的定义）即∠QEF+∠PEF=90°∴∠APE+∠QEF=90°∵∠EQC+∠APE=90°∴∠EQC=∠QEF∴EF ∥CD （内错角相等，两直线平行）∴AB ∥CD （同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行），故答案为：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．22．见解析【分析】根据平行线的判定得出//BC DF ，再根据平行线的性质定理即可得到结论．【详解】证明：∵34∠=∠，∴//BC DF ，∴236180∠+∠+∠=︒，∵56∠=∠，12∠=∠，∴135180∠+∠+∠=︒，∴//CE BF ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 23．已知；BC ；内错角相等，两直线平行；∠5 ；两直线平行，内错角相等；∠A ；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；CF ；同旁内角互补，两直线平行【分析】根据平行线的性质及判定解答．【详解】∠3＝∠4（ 已知 ），∴AE//BC （内错角相等，两直线平行），∴∠EDC ＝∠5 （两直线平行，内错角相等）．∠5＝∠A （已知），∴∠EDC ＝∠A （等量代换），∴DC//AB （同位角相等，两直线平行），∴∠5＋∠ABC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补），即∠5＋∠2＋∠3＝180°．∠1＝∠2（已知），∴∠5＋∠1＋∠3＝180°（等量代换），即∠BCF ＋∠3＝180°．∴BE//CF （同旁内角互补，两直线平行）故答案为：已知；BC ；内错角相等，两直线平行；∠5 ；两直线平行，内错角相等；∠A ；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；CF ；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题考查平行线的判定及性质定理，熟记定理并熟练应用解决问题是解题的关键． 24．（1）证明见解析；（2）80︒【分析】（1）先根据CD ⊥AB 于D ，FE ⊥AB 得出CD ∥EF ，故可得出∠2=∠DCB ；由∠2=∠DCB ，∠1=∠2得出DG ∥BC ，由此可得出结论；（2）由（1）得B ADG ∠=∠，再证明380ADG ∠=∠=︒，最后由平行线的性质可得结论．【详解】（1）证明：∵CD AB ⊥，FE AB ⊥∴//CD EF∴2BCD ∠=∠．∵12∠=∠，∴1BCD ∠=∠，∴//BC DG（2） 由（1）得B ADG ∠=∠∵AD AG =∴380ADG ∠=∠=︒∵//DG BC∴80ABC ADG ∠=∠=︒【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行． 25．证明见解析【分析】由AB ∥CD ，可知∠BEF 与∠DFE 互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得出结论．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=12∠BEF ，∠PFE=12∠DFE ， ∴∠PEF+∠PFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°． ∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和等知识，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．26．（1）90°；（2）E ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知；∠1；∠2【分析】（1）根据垂直的性质可得对应角等于90°，再根据同位角相等两直线平行即可证明； （2）根据平行线的性质和等量代换可得∠1=∠2，由此可证得结论．【详解】证明：（1）∵AD BC ⊥，EG BC ⊥∴ADC EGC ∠==90°∴//AD EG故答案为：90°．（2）∵//AD EG∴1∠=∠E （两直线平行，同位角相等），∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）∵3E ∠=∠（已知）∴∠1=∠2即AD 平分BAC ∠故答案为：E ；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；已知；∠1；∠2．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定．解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理的运用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．。
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北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明7．4 平
行线的性质同步测试
1．如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于( )
A．120° B．110° C．100° D．80°
2．如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为( )
A．70° B．100° C．110° D．120°
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
4．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( )
A．122° B．151° C．116° D．97°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，OT⊥AB于O，CE∥AB交CD于点C，∠ECO＝30°，则∠DOT等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
6．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；
③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，则∠ECD的度数为( )
A．120° B．100° C．60° D．20°
8．如图，直线l1，l2，l3交于一点，直线l4∥l1，若∠1＝124°，∠2＝88°，则∠3的度数为( )
A．26° B．36° C．46° D．56°
9．如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠β＝88°，则∠α的度数为( )
A．15° B．25° C．35° D．55°
10．将一幅直角三角板ABC和EDF，如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为______．
11．一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图所示)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是________．
12. 已知：如图，AB∥CD，E是AB的中点，CE＝DE.
求证：(1)∠AEC＝∠BED；
(2)AC＝BD.
答案：
1---5 CCDBC 6---9 DABC
10. 15°
11. 140°
12. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠ECD，∠BED＝∠EDC，又∵CE＝DE，∴∠ECD ＝∠EDC，∴∠AEC＝∠BED
(2)∵E是AB的中点，∴AE＝BE.在△AEC和△BED中，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，EC＝ED，∴△AEC≌△BED(SAS)，∴AC＝BD。