【湘教版】九年级数学上册：2.2.2《公式法》教案(含答案)
九年级数学上册 2.2.2 公式法导学案(新版)湘教版
九年级数学上册 2.2.2 公式法导学案（新版）湘教版2、2、2 公式法学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念。
2、会熟练应用公式法解一元二次方程、学习重点：求根公式的推导和公式法的应用、学习难点：一元二次方程求根公式法的推导、学习过程一、问题引入：1、知识回忆（学生活动）：用配方法解下列方程（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=522、情境导入：用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的实数根呢？请同学独立完成下面这个问题、问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=，x2=二、探究新知：请同学们带着以下问题用10分钟的时间自学完教材P35—P37动脑筋前的内容，并完成下面的自学检测中的练习。
1、自学思考题：⑴如何用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？配方时需要哪几个步骤？⑵方程(x+)2=一定有实数根吗？⑶ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由什么决定？求根公式的意义是什么？⑷ 为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？（学生尝试，分组讨论交流，分析公式的特点，记忆公式。
）2、自学检测：⑴用公式法解方程2x2-7x=3时，其中a、b、c、的值分别为。
⑵一元二次方程x2+2=3x,则b2-4ac= x1= x2= ⑶方程x2-5x-6=0的两根为x1= x2= ⑷用公式法解方程3x2-4=x时，其中a= b= c= b2-4ac= 方程的根x1= x2= ⑸在一元二次方程2x2-3x+2=0中，b2-4ac= 此方程实数解。
3、自学点拨：⑴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定。
⑵解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a、b、c代入式子就得到方程的根、4、实践交流：补例1、用公式法解下列方程、（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0学习步骤：①尝试解答②交流汇报（学生汇报解题的思路和方法）③教师点拨规范解答：思路点拨：①用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可、②求根公式是在时求方程的根，如果＜0时，则方程在实数范围内无解。
2.2.2公式法课件2024-2025学年湘教版九年级数学上册
典例精析
例6
用公式法解下列方程：9x2+12x+4=0.
解：这里a=9,b=12,c=4.
因而2 − 4=(12)2-4×9×4=0,
所以x=
−12± 0
2×9
2
=- .
3
因此,原方程的根 x1=
2
x2=- .
3
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.用求根公式解一元二次方程5x2-1-4x=0时a,b,c的值分别是( C )
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
4.用直接开平方法求解：利用平方根的定义直接开平方.
新知导入
探究
能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)使用配方法，
求出这个方程的根呢？
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若m为正整数,且该方程的根都是整数,求m的值.
答案： (1)依题意,得b2-4ac=4-4(m-2)>0,
∴m<3,∴m的取值范围是m<3.
(2)∵m为正整数,∴m=1或2,
当m=1时,方程为x2+2x-1=0,解得x=-1± 2,不是整数;
根为：
−± 2−4 2
x=
(
2
− 4≥0).
我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系数a,b,c决定，这也
2.2.2公式法
6 x2x 4 5 8x
解：化为一般式 2x2 4x 5 0 .
a 2,b 4, c 5.
b2 4ac 42 4 2 5 56.
x 4 2 14 4 2 14 ,
22
4
x1
2 2
14 , x2
2 2
14 .
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由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 X=
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用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.把方程化成一般形式， 并写出a，b，c的
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
此时，方程的两个实数根相等。
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例 解方程：（x-2)(1-3x)=6 解：去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0
这里 a=3, b= -7, c= 8. ∵b2-4ac=(-7)2 -4×3×8=49-96=-47< 0, ∴x没有实数解。 此时方程没有实数解。
x
b 2a
2
2
b2 4ac 2a
达 到
两边开平方得
b
b2 4ac
降 次
x
2a
2a
即
x b b2 4ac
2a
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2.2.2公式法教案湘教版
2.2.2公式法教案湘教版篇一：湘教版九年级数学上册优秀教案：2.2.2公式法2.2.2公式法教学目标【知识与技能】1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练.2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.【过程与方法】通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】理解求根公式的推导过程.教学过程一、情景导入，初步认知1.用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0.2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．二、思考探究，获取新知1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解：移项，得：ax2+bx=-c【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子就可求出方程的根．（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能否用配方法求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．2.展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，篇二：20XX年(新)湘教版数学七年级下3.3公式法教案33公式法第5课时公式法（1）教学目标：1.知识与能力：（1）会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．（2）经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．（3）培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．2.过程与方法在导出平方差公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.3.情感态度与价值观通过综合运用提公因式法、平方差公式进行因式分解，进一步培养学生的观察和联想能力.教学重点：利用平方差公式因式分解．教学难点：让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法因式分解，领会因式分解的彻底性．教学过程：一、创设情境，导入新课问题：看谁算得快？（投影出示问题）(1)若a=101，b=99，则a2?b2?(2)能否把多项式x2?25因式分解？二、我会自主学习回顾：因式分解与整式乘法的关系：整式乘法(a?b)(a?b)?a2?b2因式分解a2?b2?(a?b)(a?b)说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式），结论：因式分解与整式乘法正好相反. 像上述例子那样，把乘法公式从右到左使用，可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.例1：把下列各式分解因式(1)25x2?4y2(2)(x?y)2?(x?y)2三、我会合作探究：例2：因式分解：（1）x4?y4（2）x3y2?x5师：该题的思路是什么？生：由因式分解的平方差公式得出.师：明确公式中的a、b在这儿分别代表什么？解：（略）试一试：把下列各式分解因式（1）9(m?n)2?(m?n)2（2）2x3?8x分析：（1）的思路是把（m+n）、（m-n）分别看成一个整体，运用整体的思想。
湘教版数学九年级上册《2.2.2公式法》教学设计2
湘教版数学九年级上册《2.2.2公式法》教学设计2一. 教材分析湘教版数学九年级上册《2.2.2公式法》是代数领域的一个重要内容，主要介绍了公式法在解一元二次方程中的应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握公式法解一元二次方程的步骤，并能灵活运用公式法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程有一定的了解。
但部分学生可能对公式法的理解不够深入，解题过程中容易出现错误。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握公式法解一元二次方程的步骤，能够熟练运用公式法解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和毅力。
四. 教学重难点1.重点：公式法解一元二次方程的步骤及应用。
2.难点：灵活运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，发现问题，解决问题。
3.合作学习法：鼓励学生互相讨论，共同进步。
4.反馈评价法：及时了解学生学习情况，有针对性地进行教学调整。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示公式法解题步骤及例题。
2.练习题：准备适量练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔、投影仪等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如测量物体长度，引入一元二次方程的概念。
提问：如何解决这类问题？引发学生思考，为新课学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍公式法解一元二次方程的步骤：确定a、b、c的值，代入公式求解。
通过投影仪展示公式法解题过程，让学生直观地感受公式法的运用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师巡回指导。
湘教版九年级数学上：2.2.2 公式法
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
∵ 4a2 >0，∴ 当b2-4ac≥0时
2
b
b 4ac
x 2a
4a2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
x b b2 4ac 2a
一元二次方程 ax2 bx c 0（a≠0）
在b2-4ac≥0时，它的根为
3 15
3 15
x1 3 , x2 3 .
3
x1
0,
x2
. 2
（5） （6）
x1 x2 3.
2 14
2 14
x1 2 , x2 2 .
小结：
1.回顾一元二次方程的求根公式是什么？它是 如何推导的？ 2.怎样通过一元二次方程的根的判别式 Δ=b2-4ac 判断根的情况？ 3.应用公式法解一元二次方程的基本步骤有 哪些？
归纳总结
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）
有实数根．
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0）
有实数根．
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x 2x 4 5 8x.
答案：（1） x1 ２, x2 －3.
（2） （3） （4）
x1
2
2
湘教版数学九年级上册2.2.2《公式法》教学设计
湘教版数学九年级上册2.2.2《公式法》教学设计一. 教材分析《公式法》是湘教版数学九年级上册2.2.2的内容，主要包括一元二次方程的解法——公式法。
此部分内容是学生在学习了方程的解法、一元二次方程的概念等基础知识后，进一步学习一元二次方程的解法，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法，提高解决实际问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生通过之前的学习，已经掌握了方程的解法、一元二次方程的概念等基础知识，具备了一定的数学思维能力。
但学生在解决实际问题时，还存在着对一元二次方程解法的理解不够深入、运用不够熟练的问题。
因此，在教学《公式法》时，需要结合学生的实际情况，注重引导学生理解和掌握一元二次方程的解法，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握一元二次方程的公式法解法，能够熟练运用公式法解决实际问题。
2.过程与方法：通过学生的自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习意识，使学生感受到数学在生活中的运用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的公式法解法。
2.难点：理解和掌握公式法解法的原理，以及如何在实际问题中运用公式法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生理解和掌握一元二次方程的公式法解法。
2.自主学习法：鼓励学生自主探究、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。
3.实践操作法：通过让学生解决实际问题，巩固和拓展一元二次方程的公式法解法。
六. 教学准备1.准备相关的生活情境素材，用于引导学生理解和掌握一元二次方程的公式法解法。
2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活情境的创设，引导学生理解和掌握一元二次方程的公式法解法。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的公式法解法，引导学生理解和掌握公式法解法的原理。
2.2.2公式法-湘教版九年级数学上册教案
2.2.2 公式法-湘教版九年级数学上册教案课时安排本课时为九年级数学上册第二章第二节课，预计用时1学时（45分钟）。
教学目标1.能够根据题目中的条件列出方程组。
2.掌握用代数方法解方程组。
3.理解方程组解的概念，能够判断方程组的解的情况。
教学内容及方法教学内容1.通过练习题巩固一元一次方程的知识。
2.学习方程组的定义。
3.学习方程组的解法之一——公式法，重点掌握解二元一次方程组的方法。
教学方法1.课前练习的形式激发学生的学习兴趣，提高对本课知识点的理解。
2.通过讲解方程组的定义和相关概念，帮助学生建立正确的数学思维。
3.以解二元一次方程组为例，逐步讲解公式法的具体步骤，以便学生能够理解并掌握。
教学步骤步骤一预习让学生先完成课本第50页的练习题第1题和第2题，巩固一元一次方程的知识。
步骤二讲解方程组的定义通过类比二元一次方程的图像来帮助学生理解方程组的定义。
让学生能够熟练地根据题目中的条件列出方程组。
步骤三掌握公式法解二元一次方程组1.先通过一个实际问题来引入公式法，激发学生对公式法的兴趣。
2.逐步讲解公式法的步骤，帮助学生理解并掌握。
3.小组合作练习：教师出示一些实际问题，要求学生利用公式法解出方程组的解，提高学生的解题能力。
步骤四总结让学生归纳总结本节课学习的步骤，加深对公式法的理解，同时梳理一元一次方程和二元一次方程的异同点。
步骤五课后作业布置课后练习，巩固本节课所学知识。
教学反思本节课通过讲解方程组和公式法的方法，让学生更加深刻地理解了一元一次方程和二元一次方程的区别和联系。
通过小组合作练习，学生能够充分地理解并应用公式法解题。
同时，通过预习和课后练习，有助于学生更好地掌握所学知识。
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2.2.2公式法
教学目标
【知识与技能】
1.经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
【过程与方法】
通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．
【情感态度】
让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用.
【教学难点】
理解求根公式的推导过程.
教学过程
一、情景导入，初步认知
1.用配方法解方程：
（1）x2+3x+2=0；（2）2x2-3x+5=0.
2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
【教学说明】这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
二、思考探究，获取新知
1.用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）
分析：前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解：移项，得：ax2+bx=-c
【归纳结论】由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，
将a、b、c代入式子
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：（1）将a、b、c的值代入公式
时，一定要注意符号不能出错.（2）式子b2-4ac≥0是公式的一部分.
【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能否用配方法
求出它的解？通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．
2.展示课本P36例5(1)，(2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒
学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号.
3.引导学生完成P37例6.
4.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.
三、运用新知，深化理解
1.用公式法解下列方程．
2x2+3=7x
分析：用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．
解：2x2－7x+3=0
a=2，b=－7，c=3
∵b2－4ac=（－7）2－4×2×3=25>0
2.某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm2+1+（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：（1）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．（2）要使它为一元一次方程，必须满足∶
解：（1）存在．根据题意，得：m2+1=2
m2=1m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x1=1，x2=-12．
（2）存在．根据题意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0，m不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-1/3
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其一元一次方程的根为x=-1/3．
【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：教材“习题2.2”中第4题.
教学反思
通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解，并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况．使学生的推理能力得到加强.。