2.7.3二次根式的综合运算
二次根式的运算加减乘除
二次根式的运算加减乘除二次根式，是指具有根号的数学表达式，常见形式为√a或√(a + b)，其中a和b为实数。
本文将围绕二次根式的运算进行讨论，包括加法、减法、乘法和除法。
一、二次根式的加法对于两个具有二次根式形式的数，如√a和√b，它们的和可以通过以下步骤进行计算：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式，即将根号内的数分解为互质的因数。
例如，√20可以化简为√(4 × 5)，再进一步化简为2√5。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相加。
例如，对于√20 + √45，可以分别先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相加得到5√5。
因此，二次根式的加法运算要先将根号内的数化简为互质的因数，然后合并相同根号部分。
二、二次根式的减法二次根式的减法与加法类似，也需要先将根号内的数化简为最简形式，然后合并相同根号部分。
以下是减法的步骤：Step 1: 将两个二次根式化简为最简形式。
Step 2: 将化简后的二次根式进行合并，即将含有相同根号部分的项相减。
例如，对于√20 - √45，可以先将二次根式化简为2√5和3√5，然后相减得到-√5。
需要注意的是，减法运算中可能会出现负数的结果，这也是合理的。
三、二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过以下步骤进行：Step 1: 将两个二次根式进行分解，将根号内的数分别因式分解为互质的因数。
例如，对于√20 × √45，可以将20分解为2 × 2 × 5，45分解为3 × 3 × 5。
Step 2: 将每个二次根式的因数进行合并。
例如，√20 × √45可以化简为(2 × √5) × (3 × √5)。
Step 3: 将合并后的二次根式继续化简为最简形式。
对于(2 × √5) × (3 × √5)，可以合并根号前的系数，得到6 × √(5 × 5)，即6 × √25。
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
二次根式混合运算(经典)-PPT
2. 已知 a 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
求 3a + 5b – c 的值。
解： 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
ba b a c b ad c
a a
b a c b ad c
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
18
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
可以互相讨论下，但要小声点
9
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2 - 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘， 与多项式的乘法相类似.
42 2
（4） a b 3 a b
解：原式= 5 3 5 2 3 3 3 2
15 2 5 3 2 3
解：原式= a 3 a a b b 3 a b b 3a ab 3 ab b
3a b 2 ab
2．计算
（1） 4 7 4 7
解：原式= 42
a2－1 a＋1
a2－2a＋1 a2－a
a＋1a－1 a＋1 a－1 aa－1
2.7.3二次根式的混合运算
第二章 实数
2.7.3 二次根式的混合运算
授课人：XXXX
新课引入
1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？
一般地，若一个正数x的平方等于a，即 x 2 a ，
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
a的算术平方根是 a (a≥0),其中0的算术平方根是0.
2.什么是一个数的平方根？如何表示？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).
2 72 2- 7 2
73 2
课堂小测
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
1
4
4 4
33
84 4
3
=2+ 3
本课结束
新知探究
（3）（ a b）（ a b）型，即
（ a b）（ a b） ( a )2 ( b )2 a b (a 0,b 0) ，运用平方差公式.
（4）（ a b）2型，即（ a b）2 a 2 ab b (a 0,b 0) ，运用完全平方公式.
课堂小结
(3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该 是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式.
课堂小测
1.计算.
（1） 28 4
1 -（ 7 2
2）
（2） 1 （2 3）2 （ 7 - 3）（ 7 3）
解：（1） 28 4
1 2
-（
7
-
2）
2 7 2 2 -（ 7 - 2）
用 a (a≥0) 表示.
新课引入
3.平方根的性质是什么？ 正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0； 负数没有平方根.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一
张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现 在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长， 进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论. 解：贺卡的周长为
3. 3 5
能不能再进行计算?为什么?
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式
化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
§2.7 二次根式
宿州市鲲鹏学校 李 斌
学习目标
1. 理解二次根式的加减法算理；（重
点）
2、熟练掌握二次根式的综合运算. （难点）
导入 新课 如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 高为
6
4 3
cm，
cm，那么它的面积是多少？
二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这
时，以前学习的实数的运算法则、运算律
4 (3) 3 6. 3
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
变式训练： 已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
二次根式的运算和性质
二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。
本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。
例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。
例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。
例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。
例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。
2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。
例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。
3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。
例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。
综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。
掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。
二次根式混合运算的顺序
二次根式混合运算的顺序哎呀，今天咱们聊聊二次根式混合运算的顺序，这话题听上去有点儿深奥，但其实一点也不难。
二次根式就是那种有根号的东西，比如说根号2、根号3这些。
你可能会想，这玩意儿跟我有什么关系？其实大有关系，咱们生活中常常会碰到这东西，比如说计算面积、速度啥的，根号在这儿可大有用处呢。
想象一下，你正在跟朋友比拼谁的数学更厉害，结果题目上就来了个根号，你一看，心里瞬间就咯噔一下。
别担心，其实搞定它们也不是什么大不了的事。
咱们先说说运算的顺序吧，先乘除，后加减，这个是个老生常谈的原则。
但是当根号跑进来时，它可不是个乖孩子，得额外留心。
最重要的就是要弄清楚哪些数在根号外，哪些在根号里。
比如说你有个式子，根号下加了个数，外面又有个乘法。
别着急，先把根号里的算清楚，然后再乘，这就跟吃饭一样，先吃热菜再吃水果，别弄混了。
这就是个顺序的问题，大家都知道，但一到考试时，脑袋就像被门夹了一样，忘得一干二净。
根号和其他运算一起混着，先找根号里的东西，搞清楚它，再把外面的给解决掉，这样就能顺顺利利过关了。
还有一种情况就是，当有多个根号的时候，哎呀，这就更有趣了！你得一一找出每个根号里面的数，然后再慢慢来。
有时候可能会遇到像根号2加根号3这样，看着挺简单，但实际上如果让你去运算就麻烦了。
这就像是在解一个谜，越是认真去解，越能发现里面的乐趣。
别小看了这个根号，它可是个聪明的小家伙，有时候你把它展开，反而能让计算变得更简单。
对了，很多人看到根号就像看到幽灵，心里发毛。
其实它并不可怕，关键在于你得学会如何跟它打交道。
就拿根号4来说吧，它的结果就是2。
简单明了，不是吗？这就像是朋友借你钱，结果还了你一张百元大钞，直接就到账了，爽快得很。
所以，遇到根号的时候，不要怕，拿出勇气，直面它，搞定它，你会发现，原来这一切都没你想象中那么难。
你看，运算顺序在这里起了大作用，甚至可以说是决定胜负的关键。
想象一下，如果你错把加法放在了乘法前面，哎呀，那可就真的糟糕了，结果就像是做饭没加盐，吃起来乏味得很。
二次根式的运算基础知识讲解
二次根式的运算（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算；3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.要点三、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。
要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质:（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点四、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式的加减运算1.计算： (1).+【答案与解析】(1)+=(2=+=1211(3)32==+-=【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并. 举一反三：【变式】计算:011(1)()52π--++--【答案】011(1)()52π--++-125352=++--=+-=类型二、二次根式的乘除法2．(1)×； (2)×； (3)； (4)；【答案与解析】(1)×=； (2)×==； (3)===2； (4)==×2=2.【总结升华】直接利用计算即可．举一反三【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正： (1).； (2).×=4××=4×=4=8.【答案】(1).不正确． 改正：=＝×=2×3=6；(2).不正确． 改正：×=×===＝4.3.算：（1）)4323(4819-÷- （2）21521)74181(2133÷-⨯【答案与解析】（1）2=(9)()3-⨯-原式（2）原式=1328⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭34-. 【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.类型三、二次根式的混合运算4.下列各式计算正确的是（ ）A.+=B. 4﹣3=1C. 2×3=6D.÷=3【答案】D.【解析】解：A.，无法计算，故此选项错误，B.4﹣3=，故此选项错误，C.2×3=6×3=18，故此选项错误，D.=，此选项正确， 故选D ．【总结升华】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键．5、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】22551a b ab ==-=-=10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确.举一反三：【变式】已知x=1﹣，y=1+，则x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y 的值为 ．【答案与解析】 解：∵x=1﹣，y=1+，∴x 2+y 2﹣xy ﹣2x ﹣2y=（x+y ）2﹣2（x+y ）+1﹣3xy ﹣1=（x+y ﹣1）2﹣3xy ﹣1=1﹣3×（1﹣）（1+）﹣1=1+3﹣1=3．。
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2.7.3 二次根式的综合运算
[归纳总结] (1)对二次根式的乘法注意灵活地运用乘法公式；
(2)充分发挥乘法公式的作用； (3)运用整体思想，充分利用x＋y，xy整体代入作用； (4)先化简后代入求有条件的代数式的值．
1 4 ＋2 50. 2
[解析] 二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再将 被开方数相同的二次根式进行合并．
1 2 1 1 13 (1)原 5 3＝ 2＋ 解： 式 ＝ 2－ 3－ 2＋ 2 3 4 4 3 1 3 (2)原 式 ＝ 2－ 2－ 2＋ 10 2 2 2＝ 9 2. 3.
2.7.3 二次根式的综合运算
所 以 三 角 形 的 周 长 ＝ (3－ 2)＋ (3＋ 2)＋ 22＝ (6＋ 22) (cm)．
◆ 知识链接——[新知梳理]知识点二
2.7.3 二次根式的综合运算
新 知 梳 理
知识点一 二次根式的加减法
二次根式加减法的三个步骤： (1)不是最简二次根式的先化为最简二次根式； (2)找出其中的被开方数相同的最简二次根式； (3)合并被开方数相同的最简二次根式．
[解析] 三角形的面积等于两条直角边积的一半；已知两条直 角边长，利用勾股定理求斜边，得出三角形的周长．
2.7.3 二次根式的综合运算
1 7 × (3 2) × (3 2) (cm 2)； 解：三 角 形 的 面 积 ＝ － ＋ ＝ ＋ 2） 22(cm)，
2013 [ （ 2 3 － 13 ） （ 2 3 ＋ 13 ） ] ＝ (2 3＋ 13) ＝ (－ 1)2013(2 ＝ － 1×(2 3＋ 13)
3＋ 13)＝ － 2 3－ 13.
2.7.3 二次根式的综合运算
[归纳总结]
资料链接：(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
a÷c ＋__________ b÷c ； (3)(a＋b)÷c＝_________
b ab a (4)ab÷cd＝ ＝ ×__________ ． d
cd
c
2.7.3 二次根式的综合运算
活动2 教材导学 二次根式的混合运算
已知一个直角三角形的两条直角边长分别是(3－ 2) cm ， (3＋ 2)cm ，求这个三角形的面积和周长．
[归纳总结] 根据二次根式的加减运算，先化为最简二 次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
2.7.3 二次根式的综合运算
探究问题二 例2 计算：
(1)(3 (2)(2 1 18＋ 5
二次根式的混合运算
50－4
1 )÷ 32； 2 3＋ 13) 2014.
3－ 13)2013(2
解：(1)(3
1 18＋ 50－ 4 5 2－ 4×
1 )÷ 32 2 2
1 ＝ (9 2＋ ×5 5 ＝ 8 2÷ 4
1 2)÷4 2
2＝ 2.
2.7.3 二次根式的综合运算
(2)(2
3－ 13)2013(2
3＋ 13) 2014.
3＋ 13)2013(2 3＋ 13)
(2)原 式 ＝ (2 3－ 13)2013(2
除、乘方及开方这六种运算中含有两种或两种以上的运算
．同时注意合理运用运算律及相关的公式、法则、性质等 ．运算过程中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式．
2.7.3 二次根式的综合运算
重难互动探究
探究问题一 例1
1 (2) 2
二次根式的加减运算
1 )－( 3 1 － 75)； 8
计算：(1)( 0.5－2 8－ 0.5－
2.7.3 二次根式的综合运算
知识点二
二次根式的综合运算
二次根式的混合运算顺序与以前学的有理数混合运
算的顺序一样，先算_________ ，再算__________ ，最后算 乘除 乘方
括号 内的． _________ 加减 ，若有括号则先算__________ 二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、
2．计算： (1) 128×
9 24 ； ＝________ 2
2 ； (2) 24÷ 12＝_______
1 2 (3)2 ＋ 3 3 3．填空： 27－3
3 3＝_______ ． 3 －
a2 －________ b2 ； (1)(a＋b)(a－b)＝_____
(2)(a＋b)2＝_________________ ； a2＋2ab＋b2
数 学
新课标（BS） 八年级上册
2.7.3 二次根式的综合运算
2.7.3 二次根式的综合运算
探 究 新 知
活动1 知识准备
1．计算：
8 2 ； (1) 8＋ 72＝_______ 4 3 ； (2) 8× 6＝_______ 2 2 (3) 24÷ 3＝_______ ．
2.7.3 二次根式的综合运算
2.7.3 二次根式的综合运算
备选探究问题
整体思想的应用
3＋ 2 3－ 2 ab＋（a＋b）2 例 已知 a＝ ，b ＝ ，求代数式 的值． 2 3－ 2 3＋ 2 ab－（a＋b）
3＋ 2 3－ 2 解：因 为 a＝ ， b＝ ， 所 以 ab＝ 1， 3－ 2 3＋ 2 3＋ 2 3－ 2 a＋ b＝ ＋ ＝ ( 3＋ 2) 2＋ ( 3－ 2)2 3－ 2 3＋ 2 ＝ 3＋ 2 6＋ 2＋ 3－ 2 6＋ 2＝ 10.