全国高中数学联赛辅导课件常用的解题方法与技巧(上篇)(三课时)

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矛盾判定假设不正确, 3. 由 矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 命题的结论正确. 命题的结论正确 .
思考1 思考 思考2 思考 思考3 思考
思考 1: 排列, 设 a1 , a2 ,L , a7 是1, 2,L , 7 的一个排列, 求证: (a1 − 1)(a2 − 2)L (a7 − 7) 必是偶数. 必是偶数 .
思考 2: (2002 年湖南省竞赛题)设 x , y ∈ R ,且满足 年湖南省竞赛题)
( x − 1)2003 + 2002( x − 1) = −1 3 ,则 x + y = _____ . ( y − 2)2003 + 2002( y − 2) = 1
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思考 3: 为实数, 若 a < 1, b < 1, c < 1 , a , b, c 为实数, 求证: 求证: ab + bc + ac > −1
反证法证明命题的一般步骤如下: 反证法证明命题的一般步骤如下: 证明命题的一般步骤如下 1.假设结论的反面成立 假设结论的反面成立; 1.假设结论的反面成立; 反设 由这个假设 出发,经过正确的推理, 2 .由这个 假设 出发 ,经过正确的推理 , ．．
导出矛盾; 导出矛盾;
归谬
推理过程中一定要用到才 行 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 结论
构造: 构造 a1 − 1 + a2 − 2 + L + a7 − 7 是偶数
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思考 2: 在四面体 必有某个顶点 某个顶点, 求证: 在四 面体 ABCD 中 ,必有某个顶点 ,从它发出 三条棱作为三边可以构成一个三角 作为三边可以构成一个三角形 的三条棱作为三边可以构成一个三角形.
从最大棱的角度来分析突破
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2(教程第 思考 2(教程第 159 页练习 3): 的正整数, 设 p 为不小于 3 的正整数,并记方程
x − ( p + 1) x + 1 = 0 的两根为 x 1 , x 2 ,
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证明: 证明 : 对任何 n ∈ N , x 1 + x2 都是不能 整除的正整数. 被 p 整除的正整数 .
构造一次函数 f ( x ) = ( b + c ) x + bc + 1
还有没有其他方法
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思考 4: 1 1 1 4 2 2 已知 2 + − 3 = 0, n + n − 3 且 ≠ n , m m m 4 2 mn + n 3 构造一元二次方程. 构造一元二次方程 求 的值. 2 m 思考 5: 已 知 x , y , z 为正数 且 xyz ( x + y + z ) = 1 , 求表达 最小值. 构造三角形的面积. 式 ( x + y )( y + z ) 的最小值. 构造三角形的面积
*
n
n
先用数学归纳法证明是正整数, 先用数学归纳法证明是正整数, 然后再用数学归纳法证明不能整除. 然后再用数学归纳法证明不能整除. 这一步要巧用“第二数学归纳法”形式. 这一步要巧用“第二数学归纳法”形式.
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思考 3: 个两两相交的圆, 平面内有 n 个两两相交的圆,并且任意 三个圆不经过同一点,试问: 三个圆不经过同一点,试问:这 n 个圆把平 面分成多少个区域? 面分成多少个区域? 2
下面通过练习来品味其中的思维.
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思考1 思考
思考2 思考
思考3 思考ຫໍສະໝຸດ 思考 1: 设 a、b 为正整数, n 为正整数, 为正整数, 为正整数, n n a +b a+b n 试证: ≥( ) 试证: 2 2
注: 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法 证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思. 证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思.
n −n+ 2
先猜后证,这数学发现的方法. 先猜后证,这数学发现的方法. 关于n的命题证明可考虑用数学归纳法 关于 的命题证明可考虑用数学归纳法 尝试,这是数学思维的一个重要策略. 尝试,这是数学思维的一个重要策略.
课外思考三 课外思考三
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课外思考一: 课外思考一
a b c 1.设 为三角形的三边,求证: + > . 1.设 a、b、c 为三角形的三边,求证: 1+ a 1+ b 1+ c 2.若 为锐角, 2.若 α、β 、γ 为锐角, 且 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , 3 2 2 2 求证: 求证: cot α + cot β + cot γ ≥ . 2 3.某中学准备组建一个 人的足球队, 3.某中学准备组建一个 18 人的足球队,这 18 人由高一年 个班的学生组成,每个班级至少一个, 级 10 个班的学生组成,每个班级至少一个,名额分配方案 共有____种 . C 9 = 24310 共有____种 ____
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思考1 思考
思考2 思考
思考3 思考
什么是反证法？ 什么是反证法？
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误， 最后得出矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这样的证明方法叫做反证法 归谬法) 反证法( 题成立，这样的证明方法叫做反证法(归谬法) .
⑴用反证法 P ( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 )
y
⋅Q
y= x
不妨设 0 < x1 < x2 < x3 则 y1 > y2 > y3 > 0
⋅P
C1 ⋅R x
⑵关键证明 Q与R 关于直线 y = x 对称 C2
课外思考二 课外思考二
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数学归纳法(知识点 数学归纳法(知识点见教程第 138 页) : 形式 1(第一数学归纳法): 第一数学归纳法) 成立; ⑴验证 p( n0 ) 成立; 成立, 也成立. ⑵假设 p( k ) ( k ≥ n0 )成立 ,那么可推出 p( k + 1) 也成立. 第二数学归纳法) 形式 2(第二数学归纳法): ⑴已知命题 P ( n0 ) 成立 ； 成立； 都成立, 成立； ⑵若当 n0 ≤ n ≤ k 时命题 P ( n ) 都成立,则 P ( k + 1) 成立； （2 可知命题 都成立. 由（1） 2） 可知命题 P ( n ) 都成立. （ 还有其他 其他形式 (如跳跃数学归纳法) 还有其他形式 (如跳跃数学归纳法): ⑴验证 p(n0 )、p(n0 + 1)、p(n0 + 2)、 、p(n0 + r − 1) ; L 成立, 也成立. ⑵假设 p(k ) ( k ≥ n0 )成立, 那么可推出 p( k + r ) 也成立.
高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇 ) 高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
引言
构造法
反证法
数学归纳法
课外思考 课外思考二课外思考三 课外思考一 课外思考二课外思考三
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高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇 ) 高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇)
有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学， 有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通 常的情况是，在一般思维规律的指导下， 常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 学基础知识去进行探索与尝试、 选择与组合。 这当中， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法， 经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证 数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理， 法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原 ……） 同时， 也积累了一批生气勃勃、 ，同时 理 …… ） 同时， 也积累了一批生气勃勃 、饶有趣味 ， 的奥林匹克技巧。 有人说： 竞赛的技巧不是低层次 的奥林匹克技巧。 有人说 ： “ 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技， 的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 技巧的技巧， 又是创造数学技巧的技巧， 更确切点说， 这是一种数学创造力，一种高思维层次， 这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。 的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美 。 ”
思考4,5 思考
思考6 思考
思考 1: 年全国高中联赛试题) (1985 年全国高中联赛试题)设实数 a , b, c 满足
a 2 − bc − 8a + 7 = 0 的取值范围是( ,那么 a 的取值范围是( D ) 2 2 b + c + bc − 6a + 6 = 0 (A) ( −∞, +∞) (B) ( −∞,1] U [ 9, +∞ ) (C) (0,7) (D) [1,9]
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思考 6: 1,2,3,… 个方格里,每格一个数字 将数字 1,2,3,…,n 填入 n 个方格里 每格一个数字 则标号与所填数字均不相同的填法有多少种? 则标号与所填数字均不相同的填法有多少种
符合条件的填法数, + + 的方格. 令 an 符合条件的填法数,增加数 n+1和标号为 n+1的方格
前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造 法的一种体现.用构造法解题 特点是“构造” 但 用构造法解题,特点是 法的一种体现 用构造法解题 特点是“构造”.但 怎样“构造” 却没有通用的构造法则.下面通过 怎样“构造”，却没有通用的构造法则 下面通过 实例说明. 实例说明
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思考1,2 思考
思考3 思考
a n = n ! ∑ ( − 1)