课后训练{3.3三角函数的积化和差与和差化积}
课时作业10：3.3 三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积基础达标1.在△ABC 中，若AB B A cos cos sin sin =，则△ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形2.已知sin(α+β)sin(β-α)=m ，则cos 2α-cos 2β等于（ ）A.-mB.mC.-4mD.4m3.若tan θ=21，tan(θ-φ)=52-，则tan(φ-2θ)的值为（ ） A.41 B.89- C.81 D.81- 4.α、β为锐角，sin α=x ，cos β=y ，cos(α+β)=-53，则y 与x 的函数关系式为（ ） A.y =541532+--x x (53<x <1) B.y =541532+--x x (0<x <1) C.y =541532---x x (0<x <53) D.y =541532---x x (0<x <1) 5.α、β为锐角，且α+β=2π3，则cos 2α+cos 2β的取值范围是（ ） A.［21，23］ B.［21，23） C.［21，45］ D.［21，43） 6.在直角坐标系中，已知两点A （cos80°，sin80°），B (cos20°，sin20°)，则|AB |的值是_________.7.若在［0，π2］内有两个不同的实数值，满足等式cos2x +3sin2x =k +1，则k 的范围是________.8.设sin(π4-x )=135，x ∈(0，π4)，则cos2πcos(+)4x x =______________. 综合运用9.化简：αααααααα7sin 5sin 3sin sin 7cos 5cos 3cos cos ++++++.10.在△ABC 中，求证：sin 2A +sin 2B -sin 2C =2sin A sin B ·cos C .11.已知α，β均为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=π2.拓展探究12.在△ABC 中，sin A +cos A =22，AC =2，AB =3，求tan A 的值和△ABC 的面积.参考答案基础达标1.【答案】D【解析】由题意，知sin A cos A =sin B cos B ，∴sin2A =sin2B .∴sin2A -sin2B =0.用和差化积公式得2cos(A +B )sin(A -B )=0，cos(A +B )=0或sin(A -B )=0，A +B =π2或A =B .故选D. 2.【答案】B【解析】cos 2α-cos 2β=(cos α-cos β)(cos α+cos β)=-2sin 2βα+sin 2βα-·2cos 2βα+cos 2βα-=sin(α+β)sin(β-α)=m .3.【答案】B【解析】tan(φ-2θ)=-tan ［θ-(φ-θ)］=89522115221)tan(tan 1)tan(tan -=⨯-+-=-+---θϕθθϕθ. 4.【答案】A【解析】cos β=cos ［（α+β）-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=541532+--x x ， ∵541532+--x x >0，∴x >53.∴53<x <1. ∴应选A.5.【答案】D【解析】cos 2α+cos 2β=22cos 122cos 1βα+++ =1+21(cos2α+cos2β)=1+cos(α+β)cos(α-β)=1-21cos(α-β)， ∵α，β∈(0，π2)，α+β=2π3， ∴α-β∈（-π3，π3）. ∴cos(α-β)∈(21，1］. ∴cos 2α+cos 2β∈［21，43）. 6. 【答案】1【解析】|AB |2=（cos80°-cos20°）2+(sin80°-sin20°)2=2-2(cos80°cos20°+sin20°sin80°)=2-2cos60°=2-2×21=1. 7.【答案】［-2，1］【解析】cos2x +3sin2x =2(21cos2x +23sin2x ) =2sin(2x +π6)， ∵x ∈［0，π2］， ∴2x +π6∈［π6，7π6］. ∴2sin(π6+2x )∈［-1，2］. ∴k +1∈［-1，2］.∴k ∈［-2，1］.8.【答案】1324 【解析】cos2x =sin(π2-2x )=2sin(π4-x )·cos(π4-x )=2×135×1691201312=. cos(π4+x )=cos ［π2-(π4-x )］=sin(π4-x )=135， ∴120cos224169==π513cos(+)413x x . 综合运用9.解：原式=)5sin 3(sin )7sin (sin )5cos 3(cos )7cos (cos αααααααα++++++ )cos 3(cos 4sin 2)cos 3(cos 4cos 2cos 4sin 23cos 4sin 2cos 4cos 23cos 4cos 2αααααααααααααα++=+•+==cot4α. 10.证明：左边=22cos 122cos 1B A -+--sin 2C=1-21(cos2A +cos2B )-1+cos 2C =cos 2C -cos(A +B )·cos(A -B )=cos 2C +cos C ·cos(A -B )=cos C ［cos C +cos(A -B )］=cos C ［cos(A -B )-cos(A +B )］=2cos C ·sin A ·sin B =右边.11.证明：利用sin(α+2β)=1，证α+2β=π2. ∵⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.2sin 2sin 23,2cos sin 3,02sin 22sin 3,1sin 2sin 3222βαβαβαβα 平方相加，9sin 4α+49sin 22α=1， ∴sin 2α=91. ∴sin α=31(α为锐角). ∴sin(α+2β)=sin αcos ２β+cos αsin2β=3sin 3α+cos α·23sin2α=3sin α=1. ∵0<α<π2，0<β<π2， ∴0<α+2β<3π2. ∴α+2β=π2. 拓展探究12.解：∵sin A +cos A =2cos(A -45°)=22， ∴cos(A -45°)= 21. 又0°<A <180°，∴A -45°=60°，A =105°.∴tan A =tan(45°+60°)=323131--=-+.sin A =sin105°=sin(45°+60°) =sin45°·cos60°+cos45°sin60°=462+， ∴S △ABC =21AC ·AB sin A =21×2×3×462+ =43(62+).。
数学人教B版4课后训练：3.3三角函数的积化和差与和差化积含解析
三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos （α＋β)cos （α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( )A ．23-B ．13-C ．13D ．232．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ,则sin A sin B （ )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcos cos cos 777++的结果为（ ) A ．πsin 7 B ．1πsin 27C ．12-D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3,且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β）等于（ )A ．13B ．23C ．79D ．895．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于（ ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β）sin （α－β)＝________。
8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________．9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值． 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ,11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析:cos(α＋β)cos(α－β)＝12（cos 2α＋cos 2β) ＝12[（2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β, ∵cos（α＋β)cos （α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12［cos(A －B )－cos(A ＋B ）]＝12cos （A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos （A －B ）≤1， 故0＜12cos （A －B )≤12,即sin A sin B 有最大值12,无最小值． 答案:B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-。
高中数学人教B版必修4作业：3.3 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析
一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10° B．tan 10°C．sin 20° D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2B．πC．2π D．4π【解析】∵f(x)＝12[sin 4x＋sin(－2π3)]＝12sin 4x－34，∴T＝2π4＝π2.【答案】A4．(2019·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝()A.12B.22C.32 D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29B ．－29 C.79 D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________． 【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12 c cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14.【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3. 【答案】3 三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B＋C 2.∴y＝tan A2＋2sinB＋C2cosB＋C2＋cosB－C2＝tan A2＋2(sinB2cosC2＋cosB2sinC2)2cosB2cosC2＝tan A2＋tanB2＋tanC2.因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]＝sin x·2cos(x＋π6)sin(－π6)＝－sin x cos(x＋π6)＝－12[sin(2x＋π6)＋sin(－π6)]＝－12sin(2x＋π6)＋14.∴最小正周期为T＝2π2＝π.∵sin(2x＋π6)∈[－1,1]，∴f(x)max＝34，f(x)min＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1.【证明】∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，∴3sin(α－π12)cos(α－π12)＝sin(α＋π12)cos(α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修
2021年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积课后训练新人教B版必修1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝( )A． B． C． D．2．直角三角形的两个锐角分别为A和B，则sin A sin B( )A．有最大值和最小值0B．有最大值，但无最小值C．既无最大值，也无最小值D．有最大值1，但无最小值3．化简的结果为( )A． B．C． D．4．已知α－β＝，且cos α－cos β＝，则cos(α＋β)等于( )A． B． C． D．5．如果，那么等于( )A． B．C． D．6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x为锐角三角形的内角，则函数y＝＋sin x的值域为________．9．求的值．10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足A＋C＝2B，，求的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝ (cos 2α＋cos 2β)＝[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β，∵cos(α＋β)cos(α－β)＝，∴cos 2α－sin 2β＝.答案：C2．解析：因为A ＋B ＝，sin A sin B ＝[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝cos(A －B )， 又＜A －B ＜，则0＜cos(A －B )≤1，故0＜cos(A －B )≤，即sin A sin B 有最大值，无最小值．答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝得12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝， ∴，∴cos(α＋β)＝1－2 ＝1－2×＝.答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅= ＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m n m n αββααββα+-+=---. 答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.答案：7．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(cos 2α－cos 2β)＝[(2cos 2α－1)－(2cos 2β－1)]＝cos 2β－cos 2α＝－m .答案：－m8．解析：y ＝＋sin x ＝2＝，由已知得，所以＜≤1.所以y ∈.答案：9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒ ＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°＝2sin 40°－2(cos 50°－cos 30°)＝.10．解：由题设条件知B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴cos cos60B -=-=-︒，∴. 将上式化简为cos A ＋cos C ＝cos A cos C ，则＝[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]．将＝cos 60°＝，cos(A ＋C )＝cos 120°＝代入上式，得＝－cos(A －C )．将cos(A －C )＝2－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵＋3≠0，∴.∴.。
数学人教B版必修4课后训练：3.3三角函数的积化和差与
三角函数的积化和差与和差化积练习1．若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝( ) A ．23- B ．13- C ．13 D ．23 2．直角三角形的两个锐角分别为A 和B ，则sin A sin B ( )A ．有最大值12和最小值0 B ．有最大值12，但无最小值 C ．既无最大值，也无最小值D ．有最大值1，但无最小值3．化简2π4π6πcoscos cos 777++的结果为( ) A ．πsin 7B ．1πsin 27C ．12- D ．1πcos 27- 4．已知α－β＝π3，且cos α－cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A ．13 B ．23 C ．79D ．89 5．如果sin(+)sin()m nαβαβ=-，那么tan tan βα等于( ) A ．m n m n -+ B ．m n m n+- C ．n m m n -+ D ．m n n m +- 6．cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°的值为________．7．若cos 2α－cos 2β＝m ，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.8．若x 为锐角三角形的内角，则函数y ＝πsin 3x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x 的值域为________． 9．求2cos10sin20cos20︒-︒︒的值．10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足A ＋C ＝2B ，11cos cos cos A C B +=-，求cos 2A C -的值．参考答案1．解析：cos(α＋β)cos(α－β)＝12 (cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β， ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝13， ∴cos 2α－sin 2β＝13. 答案：C2．解析：因为A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又π2-＜A －B ＜π2，则0＜cos(A －B )≤1， 故0＜12cos(A －B )≤12，即sin A sin B 有最大值12，无最小值． 答案：B3．解析：2π4π6ππcos cos cos sin 7777πsin 7⎛⎫++ ⎪⎝⎭=原式 ＝13ππ5π3π5πsin sin sin sin sin πsin 277777πsin 7⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭ ＝1πsin 127π2sin 7-=-. 答案：C4．解析：由cos α－cos β＝13得 12sin sin 223αβαβ+--=，又α－β＝π3， ∴+1sin 23αβ=-， ∴cos(α＋β)＝1－2 2+sin2αβ＝1－2×213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝79. 答案：C5．解析：tan sin cos sin cos =tan cos sin cos sin ββαβααβαβα⋅=＝1[sin(+)sin()]21[sin(+)sin()]2m nm n αββααββα+-+=---.答案：B6．解析：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°＝cos 20°＋12＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋12－cos 20°＝12.答案：1 27．解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝12-(cos 2α－cos 2β)＝12-[(2cos2α－1)－(2cos2β－1)]＝cos2β－cos2α＝－m.答案：－m8．解析：y＝πsin3x⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin x＝2ππsin cos66x⎛⎫+⎪⎝⎭π6x⎛⎫+⎪⎝⎭，由已知得ππ2π663x<+<，所以12＜πsin6x⎛⎫+⎪⎝⎭≤1.所以y∈⎝.答案：⎝9．解：2cos10sin202cos10(1sin10)cos20cos20︒-︒︒-︒=︒︒＝2cos10(sin90sin10)4cos10cos50sin40cos20cos20︒︒-︒︒︒︒=︒︒＝8cos10cos50sin20cos20cos20︒︒︒︒︒＝8cos 10°sin 20°sin 40°＝4(sin 30°＋sin 10°)sin 40°＝2sin 40°＋4sin 40°sin 10°10．解：由题设条件知B＝60°，A＋C＝120°，∴==-，∴11cos cosA C+=-将上式化简为cos A＋cos C＝-cos A cos C，则2cos cos22A C A C+-＝A＋C)＋cos(A－C)]．将cos2A C +＝cos 60°＝12，cos(A ＋C )＝cos 120°＝12-代入上式，得cos 2A C -＝2A －C )． 将cos(A －C )＝22cos 2A C -⎛⎫ ⎪⎝⎭－1代入上式并整理，得22cos 022A C A C --⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即2cos 3022A C A C --⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵2A C -＋3≠0，∴2cos 02A C -=.∴cos 22A C -=.。
课时作业9：3.3 三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积学业达标一、选择题1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.22 B.24 C.2＋14D.2＋242.sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )A.14B.12C.2D.43.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β等于( )A.－23B.－13C.13D.234.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22C.32D.1二、填空题6.函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的最大值是________. 7.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 8.化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________. 三、解答题9.已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A2＋2cosA2sin A2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎡⎦⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 能力提升1.若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A.－2π3B.－π3C.π3D.2π32.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( ) A.[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎣⎡⎦⎤－14，34 D.⎣⎡⎦⎤－34，14 3.sin 220°＋cos 280°＋3sin 20°cos 80°＝________. 4.已知3tan ⎝⎛⎭⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1.参考答案学业达标一、选择题1.【答案】C【解析】 原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝⎛⎭⎫22＋12＝2＋14. 2.【答案】 C【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°cos 20°＝2.3.【答案】 C【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝12(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)] ＝cos 2α－sin 2β， ∴cos 2α－sin 2β＝13.4.【答案】 B【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2，∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋12cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 5.【答案】 C【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.二、填空题 6.【答案】 14【解析】 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝12⎩⎨⎧cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋⎭⎬⎫cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋2x －⎝⎛⎭⎫π3－2x＝12⎝⎛⎭⎫cos 2π3＋cos 4x ＝12cos 4x －14. ∴取最大值14.7.【答案】 12【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.8.【答案】 12【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°cos 18°＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝12. 三、解答题9.解：∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角， ∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C2.∴y ＝tan A2＋2sinB ＋C2cos B ＋C 2＋cosB －C2＝tan A 2＋2⎝⎛⎭⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cosC2＝tan A 2＋tan B 2＋tan C2.因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变.10.解：f (x )＝sin x ⎣⎡⎦⎤sin x －sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6sin ⎝⎛⎭⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6 ＝－12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2＝π.∵sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－1,1]， ∴取最大值34，取最小值－14.能力提升1.【答案】 D【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0， ∴cos β－cos α＞0，∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数， ∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知： 2sin α＋β2cos α－β2＝33⎝⎛⎭⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3.2.【答案】 C【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 3.【答案】 14【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2＋32sin 100°－32sin 60°＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32cos 10°＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14. 4.证明：∵3tan ⎝⎛⎭⎫α－π12＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α－π12cos ⎝⎛⎭⎫α－π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α－π12cos ⎝⎛⎭⎫α＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12cos ⎝⎛⎭⎫α－π12， ∴32⎝⎛⎭⎫sin 2α－sin π6＝12⎝⎛⎭⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。
高中数学必修4课后限时训练30 三角函数的积化和差、和差化积
高中数学必修4课后限时训练30 三角函数的积化和差、和差化积题组1：基础巩固一、选择题1．sin75°－sin15°的值为( )A ．12B ．22C ．32D ．－12 答案：B 解析：sin75°－sin 15＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B. 2．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( ) A ．－23 B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：由已知得cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13， ∴cos 2α(1－sin 2β)－sin 2αsin 2β＝13， 即cos 2α－sin 2β＝13. 3．化简cos α－cos3αsin3α－sin α的结果为( ) A ．tan α B ．tan2αC ．cot αD ．cot2α答案：B解析：原式＝－2sin2αsin (－α)2cos2αsin α＝2sin2αsin α2cos2αsin α＝tan2α.4．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)sin(α－β)等于( )A ．－mB ．mC ．－m 2D ．m 2答案：A解析：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2αcos 2β－cos 2α＋cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2α＝－m .5．计算sin105°cos75°的值是( ) A ．12 B ．14C ．－14D ．－12 答案：B解析：sin105°cos75°＝12(sin180°＋sin30°)＝14.6．sin10°＋sin50°sin35°·sin55°＝( ) A ．14B ．12C ．2D ．4答案：B 解析：sin10°＋sin50°sin35°sin55°＝2sin30°cos20°－12(cos90°－cos20°) ＝14cos20°12cos20°＝12. 二、填空题7．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 2A 2，则此三角形是________三角形． 答案：等腰解析：sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2， ∴2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1又－π<A <B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .故△ABC 是等腰三角形．8．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.答案：12解析：原式＝cos40°＋cos80°＋cos60°－cos20°＝2cos60°·cos(－20°)＋cos60°－cos20°＝cos60°＝12. 三、解答题9．求证：sin(α＋β)cos α－12[sin(2α＋β)－sin β]＝sin β. 解析：解法一：左边＝sin(α＋β)cos α－12[sin 〔(α＋β)＋α〕－sin β] ＝sin(α＋β)cos α－12[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＋12sin β＝12[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＋12sin β ＝12sin[(α＋β)－α]＋12sin β＝sin β＝右边． 解法二：左边＝sin(α＋β)cos α－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α＋β＋β2sin 2α＋β－β2 ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β＝右边．题组2：能力提升一、选择题1．已知sin(α－β)·cos α－cos(α－β)·sin α＝m ，且β为第三象限角，则cos β等于( )A ．1－m 2B ．－1－m 2C ．1＋m 2D ．－m 2－1答案：B解析：sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(－β)＝－sin β，∴sin β＝－m .又β为第三象限角，∴cos β＝－1－m 2.2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－2π3 B ．－π3C ．π3D ．2π3 答案：D解析：∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数．∴β<α∴0<α－β<π，由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2·sin β－α2， ∴tan α－β2＝3∴α－β2＝π3∴α－β＝2π3. 3．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－12，12] C ．[－14，34] D ．[－34，14] 答案：C解析：cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1， ∴cos A sin C ∈⎣⎡⎦⎤－14，34. 4．tan70°cos10°(3tan20°－1)等于( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12答案：B解析：原式＝cot20°cos10°(3tan20°－1) ＝cot20°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝cot20°cos10°2sin (20°－30°)cos20°＝－2sin10°cos10°cot20°cos20°＝－1. 二、填空题 5．sin 220°＋cos 280°＋3sin20°·cos80°＝________.答案：14 解析：原式＝1－cos40°2＋1＋cos160°2＋32sin100°－32sin60° ＝14－12cos40°－12cos20°＋32sin100° ＝14－12×2cos30°cos10°＋32cos10° ＝14－32cos10°＋32cos10°＝14.6．计算1tan10°－4cos10°＝________. 答案：3解析：1tan10°－4cos10°＝cos10°－2sin20°sin10°＝cos10°＋2sin (30°－10°)sin10°＝2cos30°sin10°sin10＝ 3. 三、解答题7．求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的递增区间． 解析：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2.递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3，⎣⎡⎦⎤56π，π. 8．在△ABC 中，求证：(1)sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝2sin A sin B cos C ；(2)sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C 2. 解析：(1)左边＝sin 2A ＋1－cos2B 2－1－cos2C 2＝sin 2A ＋12(cos2C －cos2B ) ＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C )＝sin(B ＋C )[sin(B ＋C )＋sin(B －C )]＝sin(B ＋C )2sin B cos C ＝2sin A sin B cos C ＝右边， ∴等式成立．(2)左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2 ＝4sin A 2sin B 2cos C 2＝右边，∴原等式成立． 9．讨论函数f (x )＝12cos(2x －2α)＋cos 2α－2cos(x －α)·cos x ·cos α的周期、最值、奇偶性及单调区间． 解析：f (x )＝12cos(2x －2α)＋1＋cos2α2－2cos(x －α)cos x ·cos α ＝12＋12[cos(2x －2α)＋cos2α]－[2cos(x －α)·cos α]cos x ＝12＋cos x ·cos(x －2α)－cos x [cos x ＋cos(x －2α)] ＝12－cos 2x ＝12－1＋cos2x 2＝－12cos2x . ∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π. f (x )max ＝12，此时cos2x ＝－1，即2x ＝2k π＋π，k ∈Z ，x ＝k π＋π2，k ∈Z ； f (x )min ＝－12，此时cos2x ＝1， 即2x ＝2k π，k ∈Z ，x ＝k π，k ∈Z .f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．由2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，即k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z . ∴函数f (x )的增区间为[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 由2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π，k ∈Z ，即k π＋π2≤x ≤k π＋π，k ∈Z . ∴函数f (x )的单调减区间为[k π＋π2，k π＋π]，k ∈Z .。
课时作业8：3.3 三角函数的积化和差与和差化积
3.3 三角函数的积化和差与和差化积层级一 学业水平达标1．cos 15° sin 105°＝( ) A.34＋12 B.34－12 C.32＋1 D.32－1 2．化简cos α－cos 3αsin 3α－sin α的结果为( )A.tan αB.tan 2αC.1tan αD.1tan 2α3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2的最大值等于( ) A.2sin 2α2B.－2sin 2α2C.2cos 2α2D.－2cos 2α24．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是( ) A.－sin(x ＋y )sin(x －y ) B.cos(x ＋y )cos(x －y ) C.sin(x ＋y )cos(x －y )D.－cos(x ＋y )sin(x －y )5．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( ) A.－m B.mC.－m 2D.m 26．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________． 7．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β化为和差的结果是________． 8.sin 35°＋sin 25°cos 35°＋cos 25°＝________.9．求下列各式的值： (1)sin 54°－sin 18°；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.10．求证：1＋cos α＋cos 2α＋cos 3α2cos 2α＋cos α－1＝2cos α.层级二 应试能力达标1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( ) A.14 B.32 C.12D.342．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( )A.－23B.－13C.23D.134．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12B.⎣⎡⎦⎤12，1C.⎣⎡⎦⎤12，32D.[0,1]5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的最小正周期T ＝________. 6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.7．已知f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2cos θcos x cos(x ＋θ)＋cos 2θ，求f (x )的最大值、最小值和最小正周期．8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cos A ＋1cos C ＝－2cos B .求cos A －C2的值．参考答案层级一 学业水平达标1．【答案】A【解析】cos 15°sin 105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin 120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12. 2．【答案】B【解析】原式＝－2sin 2α·sin(－α)2cos 2α·sin α＝tan 2α.3．【答案】A【解析】f (x )＝2sin x2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2 ＝－[cos α－cos(x －α)] ＝cos(x －α)－cos α. 当cos(x －α)＝1时，f (x )取得最大值1－cos α＝2sin 2α2.4．【答案】B【解析】cos 2x －sin 2y ＝1＋cos 2x 2－1－cos 2y 2＝12(cos 2x ＋cos 2y ) ＝cos(x ＋y )cos(x －y )． 5．【答案】A【解析】∵cos 2α－cos 2β＝m ，∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－m . 6．【答案】2sin 5α2sin α2【解析】cos 2α－cos 3α＝－2sin 2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α2sin ⎝⎛⎭⎫－α2＝2sin 5α2sin α2. 7．【答案】12cos(α＋β)＋12sin(α－β)【解析】原式＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋β＋sin ()α－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 8.【答案】33【解析】原式＝2sin 35°＋25°2cos35°－25°22cos 35°＋25°2cos35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝33.9．解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18° ＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝12. (2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73° ＝2cos 120°cos 26°＋2×12(cos 120°＋cos 26°)＝2×⎝⎛⎭⎫－12×cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26° ＝－cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26°＝－12. 10．证明：因为左边＝(1＋cos 2α)＋(cos α＋cos 3α)(2cos 2α－1)＋cos α＝2cos 2α＋2cos 2αcos αcos 2α＋cos α＝2cos α(cos α＋cos 2α)cos α＋cos 2α＝2cos α＝右边，所以原等式成立．层级二 应试能力达标1．【答案】A【解析】原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40°＝14. 2．【答案】C【解析】∵y ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝－sin 2x sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝12sin 2x ， ∴此函数是最小正周期为π的奇函数． 3．【答案】D【解析】cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β＝13.4．【答案】C【解析】∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ，∴cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1， ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3≤1， ∴12≤－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1≤32. 5．【答案】π【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin π3 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴T ＝2π2＝π.6．【答案】12【解析】cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝12＋cos 80°－cos 80°＝12.7．解：∵f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2×12[cos(x ＋θ)＋cos(x －θ)]cos(x ＋θ)＋cos 2θ＝cos 2(x ＋θ)－cos 2(x ＋θ)－cos(x －θ)·cos(x ＋θ)＋cos 2θ ＝cos 2θ－12(cos 2θ＋cos 2x )＝1＋cos 2θ2－12cos 2θ－12cos 2x＝－12cos 2x ＋12，∴f (x )的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.8．解：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵－2cos 60°＝－22，∴1cos A ＋1cos C＝－22， ∴cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C . 由和差化积与积化和差公式，得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]，∴cos A －C 2＝－2⎝⎛⎭⎫－12＋2cos 2A －C 2－1. 化简，得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0，∴⎝⎛⎭⎫2cos A －C 2－2⎝⎛⎭⎫22cos A －C 2＋3＝0.∵22cos A －C2＋3≠0，∴2cos A －C 2－2＝0，∴cos A －C 2＝22.。