《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题二
2021年考研数学二真题及答案
2021年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每题4分，共32分。
以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)以下反常积分中收敛的是 (A)∫√x+∞2xx (B)∫xxx+∞2xx(C)∫1xxxx+∞2xx (D) ∫xx x+∞2xx 【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，别离判定敛散性即可取得正确答案。
∫√x+2=2√x |2+∞=+∞；∫xxxx+∞2xx =∫xxx +∞2x (xxx )=12(xxx )2|2+∞=+∞；∫1xxxx+∞2xx =∫1xxx+∞2x (xxx )=ln (xxx )|2+∞=+∞； ∫xxx +∞2xx=−∫x +∞2xx −x=−xx−x|2+∞+∫x −x +∞2xx=2x−2−x−x |2+∞=3x −2，因此(D)是收敛的。
综上所述，此题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数x (x )=lim x →0(1+xxx x x )x 2x在(-∞,+∞)内(A)连续 (B)有可去中断点 (C)有跳跃中断点 (D)有无穷中断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有x(x)=limx→0(1+xxx xx)x2x=x lim x→0x 2x(1+xxx xx−1)=e x limx→0xxxxx=x x(x≠0),x(x)在x=0处无概念，且limx→0x(x)=limx→0x x=1,因此x=0是x(x)的可去中断点，选B。
综上所述，此题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、持续—两个重要极限(3)设函数x(x)={x αcos1xβ,x>0，0,x≤0(α>0,x>0).假设x′(x)在x=0处连续，则(A)α−β>1(B)0<α−β≤1(C)α−β>2(D)0<x−β≤2【答案】A【解析】易求出x′(x)={xx α−1cos1xβ+βxα−β−1sin1xβ,x>0，0,x≤0再有x+′(0)=limx→0+x(x)−x(0)x=limx→0+xα−1cos1xβ={0, α>1,不存在，α≤1，x−′(0)=0于是，x′(0)存在⟺α>1，现在x′(0)=0.当α>1时，limx→0xα−1cos1xβ=0，lim x→0βxα−β−1sin1xβ={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，x′(x)在x=0持续⟺α−β>1。
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
2021年考研数学二真题及答案解析
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性有关.
如果用秩来解,则更加简朴明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设 是奇函数，除 外到处持续， 是其第一类间断点，则 是
（A）持续奇函数.（B）持续偶函数
（C）在 间断奇函数（D）在 间断偶函数.【 】
（9）设函数 可微， ，则 等于
（A） .（B）
（C） （D） 【 】
（10）函数 满足一种微分方程是
（A） （B）
（C） （D）
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列 满足 ，
证明：（1） 存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1， 存在
在 两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当时 ，
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基本解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组通解：(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T，c1,c2任意.
2021考研数学2真题答案解析
2021考研数学2真题答案解析今年的考研数学2真题中，涵盖了多个重要的数学知识点，考察了考生的综合分析和解题能力。
本文将对其中的几道典型题目进行解析，帮助考生更全面地了解考试内容。
第一道题目是关于极限计算的。
题目给出了一个数列的表达式，要求求出其极限值。
首先，我们可以将数列的通项公式进行简化，使用数学性质进行变形。
然后，利用极限的性质，适当选择极限运算法则，对表达式进行转化。
最后，将变形后的极限表达式带入给定的数值中，计算出极限值。
通过解析这道题目，我们能够掌握极限计算的方法和技巧。
第二道题目是关于微分方程的。
题目给出了一个一阶线性非齐次微分方程，要求求解其通解。
首先，我们需要确定微分方程的类型，并根据已知条件进行分类讨论。
然后，可以利用微分方程的基本性质和定义，将一阶线性非齐次微分方程化简成更简洁的形式。
接着，可以采用合适的解法，如常数变易法等，求解微分方程的通解。
最后，将通解带入初始条件，确定特解。
通过解析这道题目，我们能够理解微分方程的基本概念和解题方法。
第三道题目是关于概率统计的。
题目给出了一个随机变量的概率密度函数，要求求出该随机变量的数学期望。
首先，我们需要对概率密度函数进行分析，确定其可积性和可导性等性质。
然后，可以利用概率统计的基本定义和性质，对随机变量的数学期望进行计算。
需要注意的是，有时候可能需要进行一些积分运算和变量替换等操作。
通过解析这道题目，我们能够掌握概率统计的基本概念和计算方法。
通过以上的题目解析，我们可以发现考研数学2真题的内容涵盖了数学的多个领域，如极限、微分方程和概率统计等。
在解题过程中，我们需要充分运用数学知识，灵活运用解题方法，注重细节和逻辑推理。
同时，我们还需要对数学概念和知识进行深入理解，注重平时的积累和实践训练。
只有通过不断地学习和练习，我们才能更好地应对考试，取得满意的成绩。
最后，希望考生们在备考期间能够充分利用时间和资源，合理安排学习计划，注重理论与实践相结合。
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二高等代数作为考研数学科目中的重点内容之一，对于考生来说是一个关键的考察点。
本文将以2021年北京大学考研真题二为基础，讨论高等代数相关知识点，帮助考生更好地备考。
1. 选择题题目一：设A是一个n阶方阵，若λ是A的特征值，那么下面哪个命题是错误的？A. λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。
B. λ是A²的特征值，则λ是A的特征值。
C. λ是A的特征值，则λ⁻¹是A⁻¹的特征值。
D. λ是A⁻¹的特征值，则λ⁻¹是A的特征值。
解析：对于矩阵A的特征值λ和特征向量x，有A×x=λ×x。
因此，对于任意非零实数k和非零向量x，有A(kx) = kA(x)，即特征值与矩阵的乘法具有线性关系。
因此，选项A是正确的，选项B是错误的。
选项C和D中提到了矩阵的逆，根据矩阵特征值的定义，如果λ是矩阵A的特征值，则A⁻¹的特征值是λ⁻¹。
因此，选项C是错误的，选项D是正确的。
综上所述，选项B是错误的命题。
2. 解答题题目二：已知复数z满足|z|=2，求z+z⁻¹的实部和虚部。
解答：设z=a+bi，其中a和b为实数。
根据复数的模定义，有|z|=√(a²+b²)=2，可以得到一个方程，a²+b²=4。
根据复数的乘法性质，可以得到z⁻¹的表达式为z⁻¹=1/z=(a-ib)/((a+ib)(a-ib))=(a-ib)/(a²+b²)=a/(a²+b²)-i(b/(a²+b²))。
将z+z⁻¹展开并分别提取实部和虚部，得到：实部：Re(z+z⁻¹)=a+a/(a²+b²)=a(a²+b²)/(a²+b²)+a/(a²+b²)=(a³+2a)/(a²+b²)。
2021年考研(数学二)真题试卷 (含答案解析)
选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为03.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/26.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )（A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，29.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）填空题---为题目类型11.12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则14.已知函数f(t)＝15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．16.多项式f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限18.已知f(x)＝19.f(x)满足y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(20.求y(x).21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求24.设矩阵A＝选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小【正确答案】C【试题解析】2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0【正确答案】D【试题解析】＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续．又f′(0)＝3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s【正确答案】C【试题解析】设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3．体积V＝πR2h、表面积S＝2πRh+2πR2，故V′＝2πR·R′h+R2πh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′，即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)【正确答案】A【试题解析】f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－．令f′(x)＝0，有x＝．欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点，必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/2【正确答案】D【试题解析】设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为f(x)＝f(0)+f′(0)x+6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy【正确答案】C【试题解析】函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，则f′1+e x f′2＝(x+1)2+2x(x+1)．令x＝0，则有f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1．①由f(x，x2)＝2x2㏑x，则f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x．令x＝1，则有f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2．②结合①式，②式可得：f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0．故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】B【试题解析】f(x)在[0，1]上连续，故∫01f(x)dx存在．将[0，1]平均n等分：[0，1]＝，取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ) （A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，2【正确答案】B【试题解析】作变换，记A＝，则|A|＝0，故变换不可逆．二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x22+2x1x2+x22+2x2x3+2x1x3，故二次型矩阵为B＝，|λE－B|＝9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解【正确答案】D【试题解析】由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A T＝P T B T．从而B T x＝0的解是A T x＝0的解．10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】C【试题解析】代入验证：A．PAQ＝为非对角矩阵；B．PAQ＝为非对角矩阵；C．PAQ＝为对角矩阵；D．PAQ＝填空题---为题目类型11.【正确答案】【试题解析】12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则【正确答案】2/3【试题解析】由x＝2e t+t+1可知，＝2e t+1；由y＝4(t－1)e t+t2可知，＝4te t+2t，故. 令t＝0，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则【正确答案】1【试题解析】将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1．对x求导得：z+(x+1)将x＝0代入，得z＝1，故14.已知函数f(t)＝【正确答案】【试题解析】15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．【正确答案】y＝C1e x+【试题解析】特征方程为λ3－1＝(λ－1)(λ2+λ+1)＝0，则特征根λ1＝1，λ2＝，λ3，故方程通解为y＝C1e x+16.多项式f(x)＝【正确答案】-5【试题解析】f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限【正确答案】18.已知f(x)＝【正确答案】(I)f(x)＝当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0；当x＜－1时，f″(x)＝－＞0．故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x ∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的．(Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且f(x)＝－∞，故x＝-1为垂直渐近线．2°由f(x)＝+∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线．3°由＝－1，故y＝x－1为正向渐近线，由19.f(x)满足【正确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】20.求y(x).【正确答案】原方程整理为y′＝y－，故通解为y＝＝Cx6+1．由y(√3)＝10，知C＝，故特解为y＝21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．【正确答案】设P点坐标为(x，1+x6)，则过P点的法线方程为：Y－(1+x6)＝－(X －x)．令X＝0，得Y＝I p＝+x6+1．由Y′(x)＝23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求【正确答案】曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝区域D＝{(θ，r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，24.设矩阵A＝【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3．1°若b＝1．因为A 可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1．(A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T．(A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1．(A －E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T，(A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝。
北京大学数学系《高等代数》名校考研真题(矩阵)【圣才出品】
E
AB
E
2E AB
E E
AB AB
2E O
E AB
1
[
E
(
AB)2
]
2
2E
O
O
1
[
E
(
AB)2
]
2
知
r(2E) r[1 (E AB)2] n 2
所以
1 [E ( AB)2 ] O 2
因此有（AB）2＝E 即 ABA＝B－1．
4．求证：A＋UV′＝∣A∣＋V′A·U 其中 A 为 n 阶矩阵，U，V 为 n 维列向量．[浙江大
2．设 A 为非零矩阵，但丌必为方阵，证明 AX＝E 有解当且仅当 CA＝0 必有 C＝0，
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其中 E 为单位矩阵．[上海交通大学研] 证明：设 A 为 m×n 矩阵，则如果 AX＝E 有解 Bn×m，即 AB＝Em，有 m≥r（A）≥r（Em）
3．设 A、B 都是 n 阶方阵，E 为 n 阶单位矩阵．证明：ABA＝B－1 的充要条件是 r（E
＋AB）＋r（E－AB）＝n．[厦门大学研]
证明：由 ABA＝B－1 得（AB）2＝E，所以有：
E－（AB）2＝（E＋AB）（E－AB）＝0
故 r（E－AB）＋r（E＋AB）≤n（1）
又 n＝r（2E）＝r[（E－AB）＋（E＋AB）]≤r（E－AB）＋r（E＋AB）（2）
Q
P
Er O
O O
Q
P)
Er O
O O
Er O
O
O
①
B C
令
QXP
D
F
nm
2021年考研数学二真题及答案解析
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 通解是.
（5）设函数 由方程 拟定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处增量， 和 分别为 在点 处相应增量和微分，若 ，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 通解是
（5）设函数 拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增长
B+1=A①
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《高等代数》考研2021考研真题北京大学考研真题
二
第一部分名校考研真题
第6章线性空间
一、选择题
1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]
A．B． C．
【答案】C查看答案
【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是惟一的．
2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的秩（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等
【答案】B查看答案
【解析】比如在中选三个向量组
(I)：0
(Ⅱ)
(Ⅲ)．
若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．
二、填空题
1．若
则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]
【答案】2；4．查看答案
【解析】在复数域上令；则是线性无关的．
则
此即证可由线性表出．
在实数域上，令
若，其中，则
此即在R上线性关．
可由线性表出，所以在实数域R上，有
三、分析计算题
1．设V是复数域上n维线性空间，V 1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求
之维数的一切可能值．[南京大学研]
解：取的一组基，再取的一组基则
＝秩
2．设U是由生成的的子空间，W是由生成的的子空间，求
（1）U＋W：
（2）L∩W的维数与基底．[同济大学研]
解：（1）令
可得．所以
由于为的一个极大线性无关组，因此又可得
且，故为U＋W的一组基．
（2）令
因为秩＝3．所以齐次方程组①的基础解系由一个向量组成：
再令，则
故ζ为U∩W的一组基．
3．设A是数域K上的一个m×n,矩阵，B是一个m维非零列向量．令
（1）证明：W关于K n的运算构成K n的一个子空间；
（2）设线性方程组AX＝B的增广矩阵的秩为r．证明W的维数dimW＝n－r＋1：（3）对于非齐次线性方程组
求W的一个基．[华东师范大学研]
证明：（1）显然W≠，又
因为存在t1，t2使Aα＝t1B，Aβ＝t2B．所以
即kα＋lβ∈W，此说明W是K n的子空间．
（2）对线性方程组（A，B）X n＋1＝0，由题设，其解空间V的维数为（n＋1）－r （A，B）＝n－r＋1．
任取α∈W，存在t∈K，使
所以是线性方程组（A，B）X n＋1＝0的解．
这样，存在W到V的映射，显然，这是W形到V的一个双射．又α1，α2∈W，k∈K，存在t1，t2∈K，使Aα1＝t1B，Aα2＝t2B，则
所以
且
可见W与V同构，从而有dim W＝dim V＝n－r＋1．
（3）由（2）W与如下齐次线性方程组解空间同构．
该方程组的一个基础解系为：
其在σ之下原像
即为W的一组基．
4．设V 1，V2均为有限维线性空间V的子空间，且，则和空间与另一个重合．[上海交通大学研]
证明：因为
所以
由题设
所以
即
当时，由得
此时
当时
因为，所以，此时
5．设V是数域K上n维线性空间，V1,…,Vs是V的s个真子空间，证明：（1）存在，使得
（2）存在V中一组基，使[北京大学研]
证明：（1）因V 1,…,Vs是V的真子空间，由上例，存在
（2）令，同样有且显然，线性无关．令，则存在，且线性无关，如此继续下去，可得线性无关向量组（构成V的基），且有
6．设V是定义域为实数集R的所有实值函数组成的集合，对于f，g∈V，a∈R，分别用下列式子定义f＋g与af：
则V成为实数域上的一个线性空间．
设f0（x）＝1，f1（x）＝cosx,，f2（x）＝cos2x，f3（x）＝cos3x，
（1）判断f0，f1，f2，f3是否线性相关，写出理由；
（2）用＜f，g＞表示f，g生成的线性子空间，判断＜f0，f1＞＋＜f2，f3＞是否为直和，写出理由．[北京大学研]
解：（1）令k0f0＋k1f1＋k2f2＋k3f3＝0，分别取x＝0，
得
解之得k0＝k1＝k2＝k2＝0，说明f0，f1，f2，f3线性无关．
（2）因为＜f，g＞＝L（f，g），所以
从而
又，故L（f0，f1，f2，f3）是＜f0，f1＞与＜f2，f3＞的直和．。