第二章一元二次方程回顾与思考1
九年级数学下册第二章二次函数回顾与思考教案北师大版
回忆与思索（二）教学目的学问与技能1．选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；2能依据图象对二次函数的性质进展分析，并逐步积累探讨一般函数性质的阅历；3．能依据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法使学生经验探究、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描绘变量之间的数量关系。
教学过程第一环节最大值问题（20分钟）教学内容：通过：1、最大利润问题；2、最大高度问题；3、最大面积问题，说明如何利用二次函数学问解决实际问题。
（一）最大利润问题例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价800元.旅行社对超过30人的团赐予实惠,即旅行团每增加一人,每人的单价就降低10元.你能扶植分析一下,当旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？自我检测某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,消费厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发觉:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每上升1元,平均每天少销售3箱.(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?（二）最大高度问题例2：竖直向上放射物体的h(m)满意关系式y=-5t2+v0t，其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被放射时的速度.某公园安排设计园内喷泉，喷水的最大高度要求到达15m,那么喷水的速度应当到达多少？(结果准确到0.01m/s).（三）最大面积问题例3：如图,假设篱笆(虚线局部)的长度是15m,如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸打算靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管打算作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的便利，打算在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。
17.2一元二次方程的解法--因式分解法
1、 什么样的一元二次方程可以用因式分解 法来解？ 2、用因式分解法解一元二次方程，其关键 是什么？ 3、用因式分解法解一元二次方程的理论依 据是什么? 4、用因式分解法解一元二方程，必须要先化 成一般形式吗？
(默1) 当一元二次方程的一边是0,而另一边易 于分解成两个一次因式的乘积时,我们就 可以用分解因式的方法求解.这种用分解 因式解一元二次方程的方法称为因式分 解法. 提示: 1.用因式分解法的条件是:左边能分解， 右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于 零,那么至少有一个因式等于零.”
一元二次方程 ax2+c=0 适当的解法 开平方法 因式分解法 公式法,配方法
ax2+bx=0
ax2+bx+c=0
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
5分钟时间自学课本内容，并寻找下面各题答案， 比一比，看谁找得又快又好 。
( 2) 2 y 3 y
2
解：2 y 3 y 0
2
y ( 2 y 3) 0 y 0或 2 y 3 0
3 2 y1 0, y2 . 2
(3) x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
解：原方程变形为
( x 1)[( a b) x ( a b)] 0
1 ab
1 ( a b)
x 1 0或(a b) x (a b) 0
a b 0, 原方程的根为 a b x1 1, x2 . ab
一元二次方程小结
比较线段的长短
比较两根铅笔的长短，你有哪 些方法？
如果把铅笔抽象成线段，让你
比较两条线段的长短，你能想出哪 些方法？
我们常见的路为什么大多都是 直的？
在一张透明纸上任意画一条线段， 折叠纸片，使这条线段的两个端点重 合在一起，你会有什么发现？
如图，一个矩形木条长为4㎝， 宽为3㎝，用刻度尺作出每条边的中 点，并顺次连结它们。猜一猜你能 得到什么图形？
称为二次项系数和一次项系数．
回顾与复习 2
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为
配方法(solving by completing the square)
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数);
回顾与思考
你掌握了些什么
1.一元二次方程在生活中有哪些应用?请举例说 明．
2.在解决实际问题的过程中,怎样判断所求得 的结果是否合理?请举例说明.
3.举例说明解一元二次方程有哪些方法?
4.配方法的一般过程是怎样的?
驶向胜利 的彼岸
5.利用方程解决实际问题的关键是 什么?
回顾与复习 1
一元二次方程的概念
2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方;
4.变形:方程左边配方,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
回顾与复习 3公式法 Nhomakorabea般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可以化为
2.9回顾与思考-----二次函数小结
想一想
2
b 4ac − b 2 y = a x + + . 2a 4a
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c, 一般地,对于二次函数y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 y=ax +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 推导出它的对称轴和顶点坐标.
?
(1). y = 2 x 2 − 12 x + 13; (2). y = −5 x 2 + 80 x − 319;
1 (3). y = 2 x − (x − 2); (4). y = 3(2 x + 1)(2 − x ). 2
１.顶点坐标与对称轴 顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 位置与开口方向 ３.增减性与最值 增减性与最值 根据图形填表： 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 的图象和x轴交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
2 b b b c = a x + x + − + a 2a 2a a 2 b 4ac − b 2 整理:前三项化为平方形 = a x + + 2 2a 4a 式,后两项合并同类项 2 2
用函数的观点看一元二次方程教学设计及反思
《用函数的观点看一元二次方程》教学设计新林三中尹春霞一、教材分析：《用函数的观点看一元二次方程》选自义务教育课程标准试验教科书《数学》（人教版）九年级上册，这节课是在学生学习了二次函数的概念、图象、性质及其相关应用的基础上，让学生继续探索二次函数与一元二次方程的关系，教材通过小球飞行这样的实际情境，创设三个问题，这三个问题对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况。
这样，学生结合问题实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会；从而得出用二次函数的图象求一元二次方程的方法。
这也突出了课标的要求：注重知识与实际问题的联系。
本节教学时间安排1课时二、教学目标：知识技能：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
数学思考：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．3．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。
解决问题：1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
2．通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力。
情感态度：1．从学生感兴趣的问题入手，让学生亲自体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的好奇心和求知欲。
2．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。
三、教学重点、难点：教学重点：1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
§2、5为什么是0.618(第1课时) (1)
2
A
北
整理, 得3x 1200 x 100000 0.
解这个方程，得：
x1 200 100 6 3 118.4,
B
D
E
F
C
x2 200
100 6 3
不合题意, 舍去.
答：相遇时补给船大约航行了118.4海里.
第四环节：巩固新知；（10分钟）
练一练 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出发,分 别沿AC,BC方向向点C匀速移动,它们的速度都是1m/s.几秒 后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半?
x x+10
解这个方程, 得 :
这部分教学设计意图： 在例1的基础上，进一步深化对利用一元二次方程解应用题的认识，体会刚刚归 纳过的解题方法，提高阅读能力
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主要从以下几个方面分步着手，突破难点
1．结合图形审题，一边读题，一边将题中显而易见的数学量在图中标 示出来。 2．结合问题类型，分析各量之间的关系； 假设未知数，用含未知数的代数式表示出题中的未知量； 3、找等量关系，列方程。
解 :由 AC AB CB AC , 得AC AB CB.
2
1 5 设AB 1, AC x, 则CB 1 x. x1 , 2 x 1 1 x , 2
A
C
B
即x x 1 0.
2
解这个方程, 得
x 1 5 2 .
x2
A P 8 cm
同学们先尝试独立完成，如有难度可 进行小范围的讨论
C
Q 6 cm
B
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分析
2.6应用一元二次方程(第一课时)(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数且a≠0。它在解决许多实际问题中具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过解决长方形面积问题，展示如何将实际问题转化为数学方程，并运用一元二次方程求解。
突破方法：通过列举多个实际问题，引导学生观察、分析和总结，逐步培养学生的抽象能力。
（2）解一元二次方程的方法：学生在运用直接开平方法、配方法、公式法等解方程时，可能对某些步骤不熟悉，导致解题困难。
突破方法：详细讲解每种方法的步骤，通过大量例题和练习，让学生熟练掌握解题技巧。
（3）一元二次方程根的判别式：学生可能对根的判别式的理解和运用不够熟练，导致判断错误。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直接开平方法、配方法、公式法等解一元二次方程的方法以及根的判别式。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的面积或体积，通过实际数据来构建一元二次方程。
2.6应用一元二次方程（第一课时）（教案）
一、教学内容
本节课选自《数学》八年级下册第二章第六节“应用一元二次方程”，第一课时。教学内容主要包括：
1.理解一元二次方程的实际应用背景，掌握如何从实际问题中抽象出一元二次方程；
2.学会运用直接开平方法、配方法、公式法等方法解一元二次方程；
3.掌握一元二次方程的根的判别式，了解根与系数的关系；
5.培养学生的数学建模素养，让学生在实际问题中运用数学知识构建模型，体会数学与现实生活的联系，提高解决实际问题的能力。
一元二次方程的解法(直接开平方法).2-1 一元二次方程的解法(开平方法)
书本：P10 练习1：（2）（4）
想一想：方程x2+16=0的解？
如何解下列方程呢？ （1） （x+1)2=2 （2）（1-2x)2-6=0 （3） 5（1+x)2=7.2
归纳小结:
形如 x h2 k (k 0)的方程的解法： （1）把(x+h)看成整体，然后直解开平方。
（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次
如何解下列方程呢？
(1) x 4 0； (2)4 x 9 0.
2 2
(3)（x+3)(x-3)-4=0 这种直接通过求平方根来解一元二次方程 的方法叫做直接开平方法．
归纳小结
形如 x2=k (k≥0) 的方程的解法可用直解 开平方法求解. 注意对方程进行变形，方程左边变形成 未知数的平方，右边是非负数.
1.2 一元二次方程的解法（1）
——直接开平方法
回顾与思考
1、一元二次方程的定义和一般形式？
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、平方根的概念： x 叫做____ a 的平方根. 若x2=a (a≥0) ,则___ 3 4的平方根是_____ 2 ，3的平方根是______ -25的平方根是______. 没有 3、什么叫方程的解（根）？ 2 方程x2=2的解（根）是______
式的平方，右边是非负数。
书本：P10 练习2:(325的？
解方程:（1） （x-4)2=25x2 （2） （2x+1)2=9(x-3)2 （3） （5-2x)2=(3x-1)2
用直接开平方法解一元二次方程的解一般步骤？
4.2一元二次方程的解法因式分解
典型例题
例 1 用因式分解法解下列方程： （1）x2=-4x （2）（x+3）2-x（x+3）=0 （3）6x2-1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）x2-6x-16=0
典型例题
例 2 用因式分解法解下列方程 （1）（2x－1）2=x2 （2）（2x-5）2-2x+5=0
归纳：
用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）通过移项把一元二次方程右边化为0 （2）将方程左边分解为两个一次因式的积 （3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次 方程 （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原 方程的解
2 2
9 . x 12 x 27 0 ;
2
10 . 2 ( x 3 ) x 9 .
2
我最棒
,用分解因式法解下列方 程
4. ( 4 x 2 ) x ( 2 x 1) 5 . 3 x ( x 2 ) 5 ( x 2 ); ;
2
6 .( 3 x 1) 5 0 ;
2
8 .( x 1) 3 x 1 2 0 ;
2
7 . 2 ( x 3 ) x x 3 ;
2
2
3x 7 x 4 ?.
2
观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 7 x 6 0得x1 1, x2 6;
2
而x 7 x 6 ( x 1)( x 6);
2 2
解方程 : x 2 x 3 0得x1 3, x2 1; 而x 2 x 3 ( x 3)( x 1);
把下列各式分解因式 :
1.x 2 7; 2.3 y 2 解 : 1. 一元二次方程
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1 1 20 2 x B. x
．
③
x 2－3 x＋2 D.若分式 x－1 的值为零，则 x＝1，2
解得 x1
5 57 , 2
x
2
5 57 2
④
3、据报告武汉市 2002 年国内生产总值达 1493 亿元，比 2001 年增长 11.8％．下列说法： ① 2001 年国内生产总值为 1493（1－11.8％）亿元； 1493 1493 ②2001 年国内生产总值为 1 11 .8% 亿元； ③2001 年 国内生产总值为 1 11 .8% 亿元； ④若按 11.8％的年增长率计算，2004 年的国 内生产总值预计为 1493（1＋11.8％） 2 亿 元．其中正确的是（ ） A.③④ B.②④ C.①④ D.①②③ 4、党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到 2020 年比 2000 年翻两番。在本世纪的头二十年（2001 年～2020 年） ，要实现这一目标， 以十年为单位计算，设每个十年的国民生产总值的增长率都是 x，那么 x 满足的方程为 （ ） A.(1+x)2=2 B.(1+x)2=4 C.1+2x=2 D.(1+x)+2(1+x)=4 ac 0 有两个相等的实数根,那么以 5、关于 x 的一元二次方程 (a b) x 2 bx 4 a、b、c 为三边的三角形是 ( ) A、以 a 为斜边的直角三角形 B、以 c 为斜边的直角三角形 C、以 b 为底边的等腰三角形 D、以 c 为底边的等腰三角形 2 2 6、关于 x 的一元二次方程 x 3x 2 m 0 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 无实数根 D. 不能确定 7、如图，菱形 ABCD 的边长是 5，两条对角线交于 O 点，且 AO、BO 的长分别是关于 x 的 方程 x 2 (2m 1) x m 2 3 0 的根，则 m 的值为 ---( ) A． -3 B． 5 C． 5 或-3 D． -5 或 3
灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
（4） 、用配方法解方程 x2+8x+9=0 时，应将方程变形为 ( A.(x+4)2=7 C.(x+4)2=25 B.(x+4)2=－9 D.(x+4)2=－7
)
学 习 目 标
1．梳理本章知识，建立知识结构图。 2．能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方 程。 3．会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。 4．了解一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。
汉中市陕飞二中导学案 九年级 上课时间 数学
2014-09 主备
第_11 期
当m
时，是一元一次方程.
课题
Q
第二章回顾与思考--1
审核 使用人 九（ ）班
（3） 、将一元二次方程 x2-2x-2=0 化成(x+a)2=b 的形式是 此方程的根是 .
；
学习重点 梳理本章知识，掌握一元二次方程的各种解法 学习难点
2
2
20 _______
【课堂练习】 已知 2 3 是方程 x2-4x+c=0 的一个根，求方程的另一根及 c 的值。 解：
【课堂反思】
（5）已知关于 x 的一元二次方程方程（m-1）x2-x-1=0 有实数根，试求 m 的取值范围． 解：
教
【学前准备】
学
过
程
1、回顾本章内容，建立知识体系 定义： 1、 2、 一元二次方程 解法 3、 4、 5、 应用： 【自学探究】 2、基础知识重现 （1） 、当 m 时，关于 x 的方程(m－1) x m
2
（6）关于 x 的方程下 x2+px+q=0 的根为 x1 1 2 , x2 1 2 则 p=______，q=____. 根的判别式： 3、按要求解下列一元二次方程 根与系数的关系： (1) 4x2－16x+15=0 (用配方法解) (2) x2－5x-6=0(用公式法解)
(3) x2 =x
（1）指出每一步的解题根据：①______； ②______； ③_______； ④_______． （2）上述解题过程有无错误，如有，错在第______步，原因是_________． （3）写出正确的解答过程．
5、已知 x1,x2 为方程
x
2
3 x 1 0 的两实根，则
x1 3 x
1
(选择适当的方法解)
+5+mx=0 是一元二次方程.
（2） 、方程(m2－1)x2+(m－1)x+1=0， 当m 时，是一元二次方程； 家长签字：————
【合作交流】 4．阅读下列解题过程，并解答后面的问题． 用配方法解方程 2x2－5x－8=0． 解：原方程化为 x2－5x－8=0． ①
【课堂小结】 【作业布置】 1、下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（
2
）
5 配方，得 x2－5x+ ( ) 2 5 57 所以 ( x ) 2 4
2
2
=8+
5 ( ) 2
2
Байду номын сангаас
．
②
2 2 2 A. 3x 1 2x 1 C. ax bx c 0 D. x 2 x x 1 2、下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） ． 2 A.若 x =4，则 x＝2 B.方程 x(2x－1)＝2x－1 的解为 x＝1 C.若两个连续奇数的积为 15，这两个数为 3 和 5 或-3 和-5