18二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习(基础)
九年级数学二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解2)Word版含解析
专题2.13 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）类型六、两个二次函数图像的综合判断1．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．2．如图，抛物线F ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：2y a x b x c '''=++，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)；（2）若a 、b 、c 满足了22b ac =，⊥求b ：b ′的值；⊥探究四边形OABC 的形状，并说明理由．类型七、根据二次函数图象判断式的符号3．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点()1,2-和()1,0，且与y 轴相交于负半轴．第()1问：给出四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=．写出其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）第 ()2问：给出四个结论：⊥abc ＜0；⊥2a +b ＞0；⊥a +c =1；⊥a ＞1．写出其中正确结论的序号．4．抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示：（1）判断a ，b ，c ，24b ac -的符号；（2）当OA OB =时，求a ，b ，c 满足的关系．5．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型八、根据抛物线上的对称点求对称轴6．已知二次函数y=ax2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．7．已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如表：（1）写出二次函数图象的对称轴．（2）求二次函数的表达式．（3）当41x -<<-时，写出函数值y 的取值范围．8．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．9．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.类型九、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的最值10．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求DPQ 面积的最大值．11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）x 在什么范围内，y 随x 增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．12．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？类型十、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)图象中的将军饮马问题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l 1：y ＝x 2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l 2：y ＝﹣12x 2﹣32x+2的一个交点为A ，已知点A 的横坐标为2．点P 、Q 分别是抛物线l 1、抛物线l 2上的动点．（1）求抛物线l 1对应的函数表达式；（2）若点P 在点Q 下方，且PQ⊥y 轴，求PQ 长度的最大值；（3）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．16．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值． 类型十一、二次函数图象的平移17．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．18．已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．19．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x 轴交点的坐标；（2）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y 轴交点的坐标．类型十二、二次函数综合20．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 21．已知抛物线23y ax bx =++过()30A -,，()10B ,两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式．（2）设P 是该抛物线上的动点，当PAB 的面积等于ABC 的面积时，求P 点的坐标．22．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和⊥BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把⊥PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．参考答案：1．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）⊥函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，⊥a＝±2，⊥抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，⊥c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，⊥1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，⊥p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（1）C（3，0）；（2）⊥2：3；⊥矩形，理由见解析【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．（2）⊥与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．⊥探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC 是个平行四边形，已知了OA //BC ，只需看A ，B 的纵坐标是否相等，即OA 是否与BC 的长相等．根据抛物线F 的解析式可求出P 点的坐标，然后用待定系数法可求出OP 所在直线的解析式．进而可求出抛物线F 与直线OP 的交点B 的坐标，然后判断B 的纵坐标是否与A 点相同，如果相同，则四边形OABC 是矩形（⊥AOC ＝90°），如果B ，A 点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB 是个直角梯形．【详解】解：（1） ⊥a = 1，b =－2，c = 3⊥223y x x =-+=()212x -+⊥P （1，2）⊥过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，⊥D （1，0）由于抛物线F ′由抛物线F 平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a ＝a ′＝1；由于两条抛物线都与y 轴交于A 点，那么c ＝c ′＝3．⊥抛物线F ′：23y x b x '=++，代入D （1，0）得0=1+b ’+3解得b ’=-4⊥243y x x =-+=()()13x x --⊥点C 的坐标为（3，0）；（2）⊥抛物线2y ax bx c =++，令x =0，则y =c ，⊥A 点坐标（0，c ）．⊥22b ac =， ⊥244224442ac b ac ac ac c a a a --===， ⊥点P 的坐标为（2b a -，2c ）． ⊥PD ⊥x 轴于D ，⊥点D 的坐标为（2b a -，0）． 根据题意，得a =a ′，c = c ′，⊥抛物线F ′的解析式为2'y ax b x c =++．又⊥抛物线F ′经过点D （2b a-，0），⊥220()42b b a b c a a'=⨯+-+． ⊥2024b bb ac '=-+．又⊥22b ac =，⊥2032b bb '=-．⊥b :b ′=23．⊥由⊥得，抛物线F ′为232y ax bx c =++． 令y =0，则2302ax bx c ++=． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点D 的横坐标为2b a- ⊥点C 的坐标为（ba -，0）．设直线OP 的解析式为y kx =．⊥点P 的坐标为（,22b c a -）， ⊥22c b k a =-， ⊥22222ac ac b b k b b b =-=-=-=-， ⊥2b y x =-． ⊥点B 是抛物线F 与直线OP 的交点， ⊥22b ax bxc x ++=-． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点P 的横坐标为2b a-， ⊥点B 的横坐标为ba -． 把b x a =-代入2b y x =-，得22()222b b b ac y c a a a=--===． ⊥点B 的坐标为(,)b c a-． ⊥BC //OA ，AB //OC ．（或BC //OA ，BC =OA ），⊥四边形OABC 是平行四边形．又⊥⊥AOC =90°，⊥四边形OABC 是矩形．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．3．（1）正确的序号为⊥⊥；（2）正确的序号为⊥⊥⊥．【分析】（1）根据抛物线开口向上对⊥进行判断；根据抛物线对称轴x=-2b a在y 轴右侧对⊥进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方对⊥进行判断；根据x=1时，y=0对⊥进行判断；（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对⊥进行判断；根据0<-2b a<1可对⊥进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a ﹣b +c =2，a +b +c =0,整理有a+c=1，则可对⊥进行判断；根据a=1-c ，c<0可对⊥进行判断．【详解】（1）⊥由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；⊥因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x =2b a-＞0． 又⊥a ＞0，⊥b ＜0，错误；⊥由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，⊥c ＜0，错误；⊥由图象可知：当x =1时y =0，⊥a +b +c =0，正确．故（1）中，正确结论的序号是⊥⊥．（2）⊥⊥a ＞0，b ＜0，c ＜0，⊥abc ＞0，错误；⊥由图象可知：对称轴x =2b a -＞0且对称轴x =2b a -＜1，⊥2a +b ＞0，正确； ⊥由图象可知：当x =﹣1时y =2，⊥a ﹣b +c =2，当x =1时y =0，⊥a +b +c =0；a ﹣b +c =2与a +b +c =0相加得2a +2c =2，解得：a +c =1，正确；⊥⊥a +c =1，移项得：a =1﹣c ．又⊥c ＜0，⊥a ＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是⊥⊥⊥．【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =2b a-判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2﹣4ac ＞0；1个交点，b 2﹣4ac =0；没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．（1）240b ac ->；（2）10ac b -+=．【分析】（1）根据图形，开口向下得a ＜0，x =0时可得c ＞0，由对称轴可得b ＞0，与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）由于B 点坐标可以表示为：（0，c ），|OA |=|OB |，可知A （﹣c ，0）即可进行求解．【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a ＜0；x =0时，y =c ＞0；⊥对称轴x =02b a->，a ＜0，⊥b ＞0； 图象与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）当|OA |=|OB |时，即A 点坐标为（﹣c ，0），代入抛物线方程得y =ac 2﹣bc +c 两边同时除以c 得：ac ﹣b +1=0．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A 点的坐标代入抛物线方程．5．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系；（3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0．【详解】()1∵抛物线开口向下，∴0a <，∵对称轴12b x a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.6．（1）y=12x2﹣3x ；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a 、b 的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）⊥y=ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．⊥3660428a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ⊥二次函数解析式为y=12x 2﹣3x ； （2）⊥y=12x 2﹣3x=12（x ﹣3）2﹣92， ⊥抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 7．（1）x=2；（2）242y x x =---；（3）22y -<≤【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，（2）求二次函数解析式2y x bx c =-++，可知b,c 待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，（3）由于对称轴与x 轴交点横坐标，在41x -<<-，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．【详解】解：（1）⊥二次函数是轴对称图形，4x =-、0x =时的函数值相等，都是2-，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，⊥此函数图象的对称轴为直线4022x -+==-； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上将()1,1-，()0,2-代入2y x bx c =-++，得：112b c c --+=⎧⎨=-⎩， 解得：42b c =-⎧⎨=-⎩， ⊥二次函数的表达式为：242y x x =---；（3）⊥()224222y x x x =---=-++，⊥当2x =-时，y 取得最大值2，由表可知当4x =-时=2y -，当=1x -时1y =，⊥当41x -<<-时，22y -<≤．【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．8．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a -，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，⊥对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，⊥3a ﹣（﹣a ）＝4．⊥a ＝1，⊥二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，⊥﹣a ﹣3a ＝4，⊥a ＝﹣1，⊥二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）⊥a ＜0，对称轴为x ＝1，⊥x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，⊥t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，⊥t ≥﹣1，t +1≤3，⊥﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．9．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ⊥A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，⊥C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92， ⊥抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ⊥E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.10．（1）624,y x y x=-=；（2）4. 【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．【详解】解：（1）设直线AB 为,y kx b =+把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：420b k b =-⎧⎨+=⎩解得：24k b =⎧⎨=-⎩∴ 直线AB 为24,y x =-把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=()3,2,C ∴把()3,2C 代入：,m y x= 236m ∴=⨯=，6,y x∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，()666242424,PQ n n n n n n∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()222314,n n n =-++=--+即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．【详解】（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．12．(1)21322y x x =+-；(2)顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)=1x -时函数有最小值为2-．【分析】（1）抛物线的点过（1,0)3,0，可以设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x+3)，把点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得a 即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x -1)(x+3)， 将30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，解得12a =， 所以抛物线解析式为21322y x x =+-， 故答案为：21322y x x =+-； （2）抛物线解析式为21322y x x =+-， 配方可得，()221123=1222y x x x =+-+-（）， ⊥顶点()1,2-- ，对称轴=1x -，由（1）知，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故答案为：顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (3)由（2）可知，函数解析式为()21122y x =+-，开口向上，函数有最小值，当=1x - 时函数有最小值为2-， 故答案为：=1x -时函数有最小值为2-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（1）y ＝﹣x 2﹣3x+4（2）Q （﹣32，52） 【分析】（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4）＝﹣x 2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x ＝﹣32， 点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短14．（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣32，52）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣32，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短15．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，⊥点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，⊥抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）⊥点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．⊥设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），⊥点P在点Q下方，PQ⊥y轴，⊥点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），⊥PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，⊥当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯-⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；⊥PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2⊥当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣1，⊥点P的坐标为（﹣1，0）；⊥当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2，解得n＝3或n＝﹣43．⊥此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．Q点的纵坐标y Q，n2-2n-3-(-3)=-3-y Q，y Q=-n2+2n-3，点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣12（2﹣n）2﹣32（2﹣n）+2，解得，n＝0或n＝﹣3．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣3，⊥点P的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．16．（1）215322y x x =++；（2【分析】（1）利用132y x =+的解析式求解A 的坐标，把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解B 的坐标，线段BC 的长度， 如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,M MD MC =，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，再利用勾股定理求解BD =【详解】.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A 把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴=如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C - ∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD ==MBC ∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B 和点C 的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x ＝－2时，y 的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）和点C （2，3）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c得10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x +3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2＋2x +3得y ＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．18．（1）213y 22x x =--+；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．【详解】解：（1）把()1,0，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得： 10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 则抛物线解析式为213y 22x x =--+； （2）抛物线解析式为22131y (1)2222x x x =--+=-++， 抛物线213y 22x x =--+可以由抛物线212y x =-先向左平移1单位，再向上平移2个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 19．（1）顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）()0,3-． 【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【详解】解：（1）()22x 4321y x x =--＝－＋，顶点坐标为()2,1-， 当0y =时，2430x x -+=，解得1x =或3x =，即图象与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得()2,2212y x =-+--， 化简得23y x =-，当0x =时，3y =-，即平移后的图象与y 轴交点的坐标()0,3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．20．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【分析】1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，⊥抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝； 2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）； 3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4， 故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．21．（1）y=-x 2-2x +3；（2）P 坐标为（-，-3）或（-1-3）．【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．【详解】解：（1）把A与B坐标代入得：9330a ba b c-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；（2）由抛物线解析式得：C（0，3），⊥⊥ABC面积为12×3×4=6，⊥⊥P AB面积为6，即12×|Py|×4=6，即Py=3或-3，当P y=3时，可得3=-x2-2x+3，解得：x=-2或x=0（舍去），此时P坐标为（-2，3）；当y P=-3时，可得-3=-x2-2x+3，解得：x=-此时P坐标为（-，-3）或（-1-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出⊥DMC、梯形MDBO和⊥BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,。
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)
《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2. 抛物线的三要素： 开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩ 解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+．举一反三：【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．如图是二次函数y=ax 2+bx+c=0（a ≠0）图象的一部分，对称轴是直线x=﹣2．关于下列结论：①ab ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③9a ﹣3b+c ＜0；④b ﹣4a=0；⑤方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4，其中正确的结论有（ ）A ．①③④B ． ②④⑤C ． ①②⑤D ．②③⑤【答案】B ；【解析】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0， ∵﹣=﹣2，∴b=4a ，ab ＞0，∴①错误，④正确，∵抛物线与x 轴交于﹣4，0处两点，∴b 2﹣4ac ＞0，方程ax 2+bx=0的两个根为x 1=0，x 2=﹣4， ∴②⑤正确，∵当a=﹣3时y ＞0，即9a ﹣3b+c ＞0， ∴③错误，故正确的有②④⑤． 故选：B ．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用.类型三、数形结合3．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集是________．【思路点拨】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A 的坐标可知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，观察图象可得不等式20ax bx c ++>的解集.【答案】x ＞3或x ＜-1；【解析】根据抛物线的对称性和抛物线与x 轴的交点A(3，0)知，抛物线与x 轴的另一个交点为(-1，0)，观察图象可知，不等式20ax bx c ++>的解集就是2y ax bx c =++函数值，y ＞0时，x 的取值范围．当x ＞3或x ＜-1时，y ＞0，因此不等式20ax bx c ++>的解集为x ＞3或x ＜-1．【点评】弄清20ax bx c ++>与2y ax bx c =++的关系，利用数形结合在图象上找出不等式20ax bx c ++>的解集．类型四、函数与方程4．如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？（ ）A ．1B ．C ．D ．【思路点拨】求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可． 【答案】D ． 【解析】解：∵y=﹣x 2+4x ﹣k=﹣（x ﹣2）2+4﹣k ， ∴顶点D （2，4﹣k ），C （0，﹣k ）， ∴OC=k ，∵△ABC 的面积=AB •OC=AB •k ，△ABD 的面积=AB （4﹣k ），△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，∴k=（4﹣k ），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）2+5625，∵x 取正整数，当x=2或3时，y=5600.∴5600元是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。
用函数观点看一元二次方程—巩固练习(基础)(含答案解析)
用函数观点看一元二次方程—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2016•阜新）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列选项中正确的是（）A ．a ＞0B ．b ＞0C ．c ＜0D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0没有实数根2．（2015•温州模拟）已知二次函数y=x 2+2x ﹣10，小明利用计算器列出了下表：x﹣4.1﹣4.2﹣4.3﹣4.4x 2+2x ﹣10﹣1.39﹣0.76﹣0.110.56那么方程x 2+2x ﹣10=0的一个近似根是（）A ．﹣4.1B ．﹣4.2C ．﹣4.3D ．﹣4.43．已知函数21y x =与函数2132y x =-+的图象大致如图所示．若12y y <，则自变量x 的取值范围是()A．322x -<<B．322x -<<C．2x >或32x <-D．2x <-或32x >4．如图所示，抛物线21y x =+与双曲线k y x=的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式210k x x++<的解集是()A．1x >B．1x <-C．01x <<D．10x -<<5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列选项正确的是()A．a＞0，b＞0，240b ac ->B．a＜0，c＞0，240b ac ->C．a＞0，b＜0，240b ac ->D．a＞0，c＜0，240b ac -<第3题第4题第5题第6题6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)的图象经过点(-1，2)，且与x 轴交点的横坐标分别为1x 、2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7．（2016•徐州）若二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是．8．已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为．9．抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为．10．如图是抛物线y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax 2+bx+c=0的两根是．11．如图所示，已知抛物线2y x bx c =++经过点(0，-3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间，你所确定的b 的值是________．12．如图所示，二次函数2y ax bx c =++(a≠0)．图象的顶点为D，其图象与x 轴的交点A、B 的横坐标分别为-1和3，与y 轴负半轴交于点C．下面四个结论：①20a b +=；②0a b c ++>；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；④使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个．那么其中正确的结论是________．(只填你认为正确结论的序号)三、解答题13．已知函数261y mx x =-+(m 是常数)(1)求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．14.已知抛物线212y x x c =++与x 轴没有交点．(1)求c 的取值范围；(2)试确定直线1y cx =+经过的象限，并说明理由．15．已知关于x 的函数y=（k ﹣1）x 2+4x+k 的图象与坐标轴只有2个交点，求k 的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】①∵开口向下，∴a ＜0，A 错误；②对称轴在y 轴的右侧和a ＜0，可知b ＞0，B 正确；③抛物线与y 轴交于正半轴，c ＞0，C 错误；④因为与x 轴有两个交点，所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个实数根，D 错误.2.【答案】C；【解析】根据表格得，当﹣4.4＜x＜﹣4.3时，﹣0.11＜y＜0.56，即﹣0.11＜x 2+2x﹣10＜0.56，∵0距﹣0.11近一些，∴方程x 2+2x﹣10=0的一个近似根是﹣4.3，故选C．3.【答案】B；【解析】设21y x =与2132y x =-+的交点横坐标为1x ，2x (12x x <)，观察图象可知，当12y y <时，自变量x 的取值范围是12x x x <<，所以关键要求出抛物线与直线交点的横坐标，联立2132y x y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，可得21302x x +-=．解得12x =-，232x =，∴322x -<<．4.【答案】D；【解析】不等式210k x x++<可变形为21k x x<--，由21y x =+与21y x =--关于原点对称，所以k y x=与21y x =--的交点与点A 关于原点对称，其横坐标为-1，可画如图所示，观察图象可知21k x x<--的解集是10x -<<．5.【答案】A；【解析】由抛物线开口向上，知a＞0，又∵抛物线与y 轴的交点(0，c)在y 轴负半轴，∴c＜0．由对称轴在y 轴左侧，∴02ba-<，∴b＞0．又∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ->，故选A．6.【答案】D；【解析】由图象可知，当2x =-时，y＜0．所以420a b c -+<，即①成立；因为121x -<<-，201x <<，所以102ba-<-<，又因为抛物线开口向下，所以a＜0，所以20a b -<，即②成立；因为图象经过点(-1，2)，所以2424ac b a->，所以284b a ac +>，即④亦成立(注意a＜0，两边乘以4a 时不等号要反向)；由图象经过点(-1，2)，所以2a b c -+=，即2b a c =+-，又∵420a b c -+<，∴24b a c >+．∴2244a c a c +->+，即24242a c <-<-=-，∴1a <-，所以③成立．二、填空题7.【答案】m ＞1．【解析】∵二次函数y=x 2+2x +m 的图象与x 轴没有公共点，∴方程x 2+2x +m=0没有实数根，∴判别式△=22﹣4×1×m ＜0，解得：m ＞1．8．【答案】34m <-；【解析】∵二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象与x 轴有两个交点，∴22[(21)]4(44)0m m m ---++>．即22441416160m m m m -+--->，解得34m <-．9．【答案】(-3，12)，(1，0)．【解析】∵抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点的横坐标、纵坐标相同．故可联立233y x x y x ⎧=-⎨=-+⎩，∴2230x x +-=，13x =-，21x =．将x 1＝-3，x 2＝1代入y＝-3x+3中得方程组的解为11312x y =-⎧⎨=⎩，221x y =⎧⎨=⎩．∴抛物线2y x x =-与直线y＝-3x+3的交点坐标为(-3，12)，(1，0)．10．【答案】x 1=﹣3，x 2=1；【解析】∵由图可知，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，∴设抛物线与x 轴的另一交点为（x ，0），则=﹣1，解得x=1，∴方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣3，x 2=1．11．【答案】12-等；【解析】由题意230x bx +-=的一个根在1与3之间，假设根为2x =，代入得22230b +-=∴12b =-，答案不唯一.12．【答案】①③；【解析】抛物线的对称轴为1312x -+==，∴12ba -=，20a b +=，①正确；②当1x =时，0y <即0a b c ++<，②错；③当12a =时，顶点D 的坐标为（1，-2），△ABD 为等腰直角三角形，又∵抛物线的开口向上，加之∠DAB，∠DBA 不可能为直角，所以只有12a =时，△ABD 是等腰直角三角形，∴③正确；△ACB 为等腰三角形，有三种可能性：ⅰ)AC＝AB；ⅱ)BC＝AB；ⅲ)AC＝BC．∵OA≠OB，∴ⅲ)不可能成立，故以△ABC 为等腰三角形的点C 的位置只有两个，因此a 的值也只能是两个，∴④错.三、解答题13.【答案与解析】解：(1)当x＝0时，y＝1，所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点(0，1)．(2)①当m＝0时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以△＝(-6)2-4m＝0，m＝9．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．14.【答案与解析】解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点∴△＜0，即120c -<．解得12c >，（2）∵12c >∴直线1y cx =+随x 的增大而增大，∵1b =∴直线1y cx =+经过第一、二、三象限．15.【答案与解析】解：分情况讨论：（ⅰ）k ﹣1=0时，得k=1．此时y=4x+1与坐标轴有两个交点，符合题意；（ⅱ）k ﹣1≠0时，得到一个二次函数．①抛物线与x 轴只有一个交点，△=16﹣4k （k ﹣1）=0，解得k=；②抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0），把（0，0）代入函数解析式，得k=0．∴k=1或0或．。
九年级数学二次函数y=ax2k(a≠0)的图像与性质(基础篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ） A ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝02．下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3B ．()1,3--C ．()1,5-D ．()1,5--3．抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4）D ．向上，（0，-4）4．关于二次函数224y x =+，下列说法错误．．的是（ ） A ．它的图象开口方向向上 B ．它的图象顶点坐标为（0，4） C ．它的图象对称轴是y 轴D ．当0x =时，y 有最大值45．若在同一直角坐标系中，作23y x =，22y x =-，221y x =-+的图像，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称 B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2x ．点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，则n 的取值范围是（ ） A ．n ＞3或n ＜﹣1B ．n ＞3C ．n ＜1D ．n ＞3或n ＜17．已知函数y=x 2﹣2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞﹣2D ．x ＜08．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) A ．y x 1=-+ B ．2y x 1=-C ．1y x=D ．2y x 1=-+9．点11(0.5,)P y -，22(2.5,)Py ，33(5,)P y -均在二次函数22y x x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>10．已知点()()()25,,521A m B m C m n --++,,,在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．2y x =+B ．25y x =--C ．25y x =+D ．2y x=-知识点三、二次函数()20y ax k a =+≠的图象11．2y ax k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数21(1)2(1)x x y x x⎧+≥-⎪=⎨<-⎪⎩则下列图像正确的是（ ）A ．B ．C．D．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）A．B．C．D．15．二次函数22=--的图象大致是（）y xA．B．C．D．知识点四、二次函数()20y ax k a =+≠的性质综合16．下列关于抛物线y ＝2x 2﹣3的说法，正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．抛物线与x 轴有两个交点D ．抛物线y ＝2x 2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣317．二次函数22y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．当0x =时，函数的最大值是2-C ．抛物线的对称轴是直线2x =D ．抛物线与x 轴有两个交点18．关于二次函数y ＝﹣2x 2+1，以下说法正确的是（ ） A ．开口方向向上B ．顶点坐标是（﹣2，1）C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝0时，y 有最大值﹣1219．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点1,1C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点20．关于二次函数221y x =-+，则下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．顶点坐标是（-2，1）D ．当x =0时，y 有最小值1知识点五、二次函数()20y ax k a =+≠图形与其他函数图象的判定21．直线y=ax+c 与抛物线y=ax 2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数ay x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．24．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．25．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．26．在同一直角坐标系中2y ax b =+与()y ax b a 0,b 0=+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．27．点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >二、填空题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值28．抛物线223y x =--的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______． 29．通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．31．抛物线2y ax k =+的图象相当于把抛物线2y ax =的图象______（k ＞0）或______（k ＜0）平移______个单位．32．一抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性33．已知点P （﹣2，y 1）和点Q （﹣1，y 2）都在二次函数2y x c =-+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是_____．34．已知二次函数y ＝－x 2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________. 35．当m=______时抛物线22(1)9m m y m x +=++开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．36．已知二次函数y ＝2x 2+bx ，当x ＞1时，y 随x 增大而增大，则b 的取值范围为______． 37．设点（﹣1，y 1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x 2+a 上的三点，则y 1、y2、y3的从小到大排列为__________. 三、解答题38．在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 39．如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到；（4）当0y >时，求x 的取值范围． 40．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标；()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．参考答案：1．B【分析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣3，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．B【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∵当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∵点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式． 3．B【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】抛物线y ＝-3x 2＋4 ∵30-<∵抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∵顶点坐标为()0,4 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 4．D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断． 【详解】∵224y x =+，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝0，顶点为（0，4），当x ＝0时，有最小值4， 故A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）． 5．A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为23y x =，22y x =-，221y x =-+这三个二次函数的图像对称轴为0x =，所以都关于y 轴对称，故选项A 正确，符合题意；B.抛物线23y x =，22y x =-的图象开口向上，抛物线221y x =-+的图象开口向下，故选项B 错误，不符合题意；C.抛物线22y x =-，221y x =-+的图象不经过原点，故选项C 错误，不符合题意；D.因为抛物线23y x =，22y x =-，221y x =-+的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D 选项错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．A【分析】由抛物线的对称轴找到E 点的对称点，抛物线开口向下，y 1＜y 2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+2x 的对称轴为x ＝1， E （3，y 2）关于对称轴对称的点（﹣1，y 2）， ∵抛物线开口向下，∵y 1＜y 2时，n ＞3或n ＜﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E 点关于对称轴的对称点是解题的关键． 7．D【详解】解：∵y =x 2-2，∵抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y =ax 2+c 的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．8．B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k =1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-+=--+，∵抛物线对称轴为直线1x =，∵10a =-<，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∵()222.5,P y 的对称点为()20.5,y -，且50.51-<-<，∵123y y y =>．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．10．B【分析】由点A （-5，m ），B （5，m ）的坐标特点，于是排除选项A 、B ；再根据A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，可得结果．【详解】解：∵A （-5，m ），B （5，m ），∵点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x +2不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、D 错误； ∵n 2＞0，∵m +n 2+1＞m ；由A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， 对于二次函数只有a ＜0时，满足条件，∵B 选项正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．11．D【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．【详解】二次函数2y ax k =+的对称轴为0x =观察四个选项可知，只有选项D 的图象符合故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性），掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12．C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A 选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B 选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C 选项正确；D 选项错误，当=1x -时，图象不应该是一条直线．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．13．C【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A 、B 、D ，故选C ．【详解】解：A选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，A=48b ac错误；B选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；=48b acC选项，由函数解析式，2=48-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；b acD选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．=48b ac【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．14．C【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，故选项C符合题意．【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．15．D【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.16．C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∵抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∵对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∵抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.17．D【分析】根据二次函数22y x =-的图象和性质，逐一判断选项，即可.【详解】∵a=1>0，∵抛物线开口向上，故A 错误，∵当0x =时，函数的最小值是2-，∵B 错误，∵抛物线的对称轴是y 轴，∵C 错误，∵∆=224041(2)80b ac -=-⨯⨯-=>，∵抛物线与x 轴有两个交点，∵D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.18．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2+1，∵该函数图象开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项B 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确；当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a =2,则抛物线y =2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x =1时,y =2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x =0，所以C 选项错误；D. 当y =0时,2x 2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.20．B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】因为20a =-<，所以二次函数图像开口向下，故A 选项错误；因为抛物线开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故B 选项正确；二次函数221y x =-+的顶点为（0,1），故C 选项错误；因为二次函数开口向下，对称轴为y 轴，所以当x =0时，y 有最大值1，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.21．A【详解】两图象与y 轴的交点相同,故排除了B 、D,若a>0,选A,C 中两个函数中的a 符号相反.22．B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合；当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.23．C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．24．C【详解】解：二次函数y =x 2+1中，a =1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，符合条件的图象是C.故选C.25．B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y ＝x 2＋1中，a ＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B ．故选B ．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．26．A【分析】本题由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =+的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a 0<，b 0<，由直线可知，a 0<，b 0<，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a 0<，b 0>，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a 0>，b 0<，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a 0>，b 0>，由直线可知，a 0<，b 0>，故本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．27．D【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A ．若12y y =，则12x x =±，原说法错误；B ．若12x x =-，则12y y =，原说法错误；C ．若120x x <<，则12y y <，原说法错误；D ．若120x x <<，则12y y >，原说法正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．28． 下 y 轴 （0，－3）【解析】略29． 描点 向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．30．23y x =-【分析】根据开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同可得1a =，再利用顶点坐标即可写出解析式．【详解】∵抛物线与2y x =-的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）∵设抛物线解析式为：2y x k =+，代入顶点坐标（0，-3）得：3k =-∵解析式为23y x =-故答案为23y x =-．【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．31． 向上 向下 |k |【解析】略32．23(2)32y x =++ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)-∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++ 又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同 32a ∴= 则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++ 故答案为：23(2)32y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 33．12y y <．【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】∵二次函数2y x c =-+的开口向下，对称轴为y 轴，∵当0x <时，y 随x 的增大而增大，∵21-<-，∵12y y <，故答案为：12y y <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．34．4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在24y x =-+中：23x -≤≤，∵其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∵其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象的顶点坐标为(0)k ，”是解答本题的关键.35． 1- y 轴 上升【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出m 的值，再根据抛物线开口方向向下可得10+<m ，然后求解即可．【详解】解：由题意得，222m m +=且10+<m ， 解得113m ，213m 且1m <-，∵1m =-对称轴是y 轴， ∵113130m∵在对称轴左侧部分是上升；故答案是：1-y 轴，上升．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．36．b ≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y ＝2x 2+bx 对称轴为直线x ＝﹣22⨯b ＝﹣4b ， ∵a ＝2＞0，x ＞1时，y 随x 增大而增大，∵﹣4b ≤1， 解得b ≥﹣4．故答案为：b ≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．37．y1>y2>y3【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则（-1，y 1）关于y 轴的对称点为（1，y 1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【详解】∵抛物线y=-x 2+a ，∵对称轴为y 轴，∵（-1，y 1）关于对称轴y 轴对称点为（1，y 1），∵a=-1＜0，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3，∵y 1＞y 2＞y 3，故答案为y 1＞y 2＞y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.38．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=--y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴， 2113=+y x 与2113=--y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=--y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=--y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.39．解：（1）(0,4)；（2）见解析；（3）上，4；（4）22x -<<．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：x =-2b a=0 令x =0，y =4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y =0，x =±2，则抛物线与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y =-x 2向上平移4个单位可得出y =-x 2+4；（4）根据图像得，当y >0时，x 的取值范围为：-2<x <2．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∵图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．。
部编数学九年级上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(基础篇)(专项练习) 含答案
专题22.14 二次函数的图象与性质（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】把二次函数化为顶点式1．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（ ）A ．21(2)42y x =--B ．21(1)32y x =--C ．21(2)52y x =--D ．21(2)62y x =--2．在平面直角坐标系中，已知抛物线245y x x =-+，将该抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为（ ）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线2322y x x =-+上运动．过点A 作AC x ^轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为（ ）．A ．2B ．4C ．53D ．73【类型二】画二次函数的图象4．二次函数()221210y a x ax a =+++-=的图象经过原点，则a 的值为（ ）A ．±1B ．1-C ．1D ．05．已知二次函数2y ax bx c =++，且0,0,0a b c <=<，则图象一定经过（ ）象限．A ．三、四B ．一、三、四C ．一、二、三、四D ．二、三、四2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹6．已知二次函数y ＝x 2﹣（m ﹣2）x ＋4图象的顶点在坐标轴上，则m 的值一定不是（ ）A ．2B ．6C ．﹣2D ．0【类型三】二次函数的性质7．已知：二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（ ）x (1)-012…y…0343…A ．()0,3B ．()1,4C ．()2,3D ．()3,08．已知二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．顶点在第一象限C ．1a ³D ．当1x >时，y 的最小值为－19．画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列表如下：x (1234)5…y…2321-6-…关于此函数有以下说法：①函数图象开口向上；②当2x >时，y 随x 的增大而减小；③当0x =时，1y =-．其中正确的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【类型四】二次函数各项系数的符号10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =-+的图象大致是( )．2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹A ．B ．C ．D ．11．在同一坐标系中，直线y ax a =+和抛物线232y ax x =-++（a 是常数，且a ≠0）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．对称轴为直线1x =的抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ¹）如图，小明同学得出了以下结论：①0abc >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>；⑤()a b m am b +£+（m 为任意实数）；⑥当1x <-时，y 随x 的增大而增大．其中结论错误的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【类型五】一次函数与二次函数图象判断13．在同一平面直角坐标系中，函数()20y ax bx a =+¹与y ax b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，对称轴为12x =-，下列结论中，正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．a +b =0C ．b +c ＞aD ．a +c ＜b15．当ab ＜0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【类型六】二次函数图象的平移16．将抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()2312y x =+-B ．()2312y x =++C ．()2312x y =--D ．()2312y x =-+17．关于二次函数y ＝（x ﹣2）2+1，下列说法中错误的是（ ）A ．图象的开口向上B ．图象的对称轴为x ＝2C ．图象与y 轴交于点（0，1）D ．图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到18．如图，抛物线y =x 2经过平移得到抛物线y =ax 2+bx ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标是（ ）A ．（1，-4）B ．（2，-4）C ．（4，-2）D ．（4，-1）二、填空题【类型一】把二次函数化为顶点式19．把二次函数y =-x 2-4x -3化成y =a （x -h ）2+k 的形式是______ .20．已知(0,3)A 、()2,3B 是抛物线2y x bx c =-++上两点，则该抛物线的顶点坐标是_____．21．二次函数245y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则h k -=___________．【类型二】画二次函数的图象22．如图，已知二次函数22y x x =-+，当x ＜a 时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是_____________．23．已知1(4,)A y -，B 2(3,)y -，3(3,)C y 两点都在二次函数22(2)y x b =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为_________．24．写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式_____（写一个即可）．【类型三】二次函数的性质25．已知二次函数21y x mx =-+，（1）该二次函数图像的开口方向为______；（2）若该函数的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为______；26．将二次函数241y x x =--+的图象先向右平移a 个单位再向下平移2a 个单位．（1）若平移后的二次函数图象经过点()1,1-，则a ＝______．（2）平移后的二次函数图象与y 轴交点的纵坐标最大值为______．27．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），与y 轴交于点C ．下列结论：①abc ＞0；②3a ﹣c ＝0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；④对于任意实数m ，总有a ﹣b ≥am 2﹣bm ．其中正确的是 _____（填写序号）．2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹2(0)y ax bx c a =++¹【类型四】二次函数各项系数的符号28．如图，抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是12x =-，则下列结论：①0abc >；②0a b c ++<；③若两点（－2，1y ），（3，2y ）在二次函数图象上，则12y y >．其中正确结论的个数为___．29．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，下列结论①ac ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a ﹣b ＝0；④3a +c ＝0，其中，正确的个数是_____30．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①0ac <；②20b a -<；③240b ac -<；④0a b c -+<，正确的是______．【类型五】一次函数与二次函数图象判断31．如图是二次函数21y ax bx c =++ 和一次函数y 2＝kx +t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是_____．2(0)y ax bx c a =++¹32．已知二次函数22y ax =+的图象开口向下，则直线2y ax =-不经过的象限是第______象限．33．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax bc =+ 的图象不经过第____________象限【类型六】二次函数图象的平移34．抛物线2y x bx c =++图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为223y x x =--，那么原抛物线的解析式为____________35．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数22y x x c =++（c 为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为(1,2)，则新抛物线的函数表达式为_______．36．已知平面直角坐标系中，点P 的坐标为()2,1--，若二次函数242y x x m =-++的图像与线段OP 有且只有一个公共点，则m 满足的条件是______．三、解答题37．如图，已知经过原点的抛物线y ＝2x 2+mx 与x 轴交于另一点A （2，0）．(1)求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；(2)求直线AM 的解析式．38．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (0，3)、B (4，3)、C (1，0)．(1)填空：抛物线的对称轴为直线x = ，抛物线与x 轴的另一个交点D 的坐标为；(2)画出二次函数y =ax 2+bx +c 的图象．(3)当 1 < x £4时， y 的取值范围是39．二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值如下表，根据下表回答问题．x …－3－2－10…y…－2－24…(1)该二次函数与y 轴交点是 ，对称轴是．(2)求出该二次函数的表达式；(3)向下平移该二次函数，使其经过原点，求出平移后图像所对应的二次函数表达式．40．如图，抛物线y ＝﹣x 2+(m ﹣1)x +m 与y 轴交于点(0，3)．（1）m 的值为________；（2）当x 满足________时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）当x 满足________时，抛物线在x 轴上方；（4）当x 满足0≤x ≤4时，y 的取值范围是________．41．已知抛物线21y ax bx c =++的顶点A 是直线22y x =与324y x =-+的交点，且抛物线经过直线324y x =-+与y 轴的交点B ．（1）求点A 的坐标；（2）求抛物线的函数表达式；（3）写出当13y y >时x 的取值范围．42．已知二次函数2243y x x =-+的图像为抛物线C ．(1)抛物线C 顶点坐标为______；(2)将抛物线C 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线1C ，请判断抛物线1C 是否经过点()2,3P ，并说明理由；(3)当23x -££时，求该二次函数的函数值y 的取值范围．参考答案1．D【分析】先把二次项的系数化为1，再配方，从而可得答案．解：21242y x x =--()2144442x x =-+-- ()21262x =--，故选：D.【点拨】本题考查的是利用配方法化抛物线为顶点式，熟练掌握“配方法”是解本题的关键．2．C【分析】把抛物线沿y 轴翻折后，抛物线的开口方向与原抛物线开口方向相反，顶点（2，1）关于y 轴对称的顶点为(2，-1)，则可得翻折后的抛物线的解析式．解：∵2245(2)1y x x x =-+=-+，∴顶点坐标为(2，1)，开口向上，∴抛物线245y x x =-+沿y 轴翻折后顶点坐标为(2，-1)，此时抛物线的开口向下，∴抛物线沿y 轴翻折所得的抛物线的表达式为2(2)1=---y x ，化简后为：245y x x =-+-．故选：C ．【点拨】本题考查了求抛物线关于y 轴对称后的解析式，点关于y 轴对称，把二次函数的一般式化为顶点式等知识，关键是抓住抛物线的开口方向与顶点坐标翻折后的变化．3．C【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，再根据矩形的性质得BD =AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，从而得到BD 的最小值．解：∵2215322333y x x x æö=-+=-+ç÷èø，∴抛物线的顶点坐标为（13，53），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD =AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为53，∴对角线BD 的最小值为53．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．4．C【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a =1或a =-1，然后根据二次函数的定义确定a 的值．解：把（0，0）代入y =（a +1）x 2+3x +a 2-1得a 2-1=0，解得a =1或a =-1，而a +1≠0，所以a 的值为1．故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意不要掉了a +1≠0．5．A【分析】根据0a <，0b =，0c <，可以判断二次函数的开口向下，二次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴，且二次函数的顶点坐标为原点，由此即可判断二次函数图像经过的象限．解：∵二次函数2y ax bx c =++中0a <，0b =，0c <，∴二次函数的解析式为2y ax c =+，二次函数的开口向下，二次函数与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴二次函数的顶点坐标为(0，c )，在y 轴负半轴，∴二次函数2y ax bx c =++的图象 经过三、四象限；故选A ．【点拨】本题主要考查了二次函数图象的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象与系数之间的关系．6．D【分析】先把二次函数的解析式化为顶点式，再利用该函数图象的顶点在坐标轴上，可以得到关于m 的方程，解方程从而可得答案．解：∵二次函数()()22222244,24m m y x m x x --æö=--+=--+ç÷èø∴该函数的顶点坐标为()222,4,22m m éù---+êúêúëû∵二次函数()224y x m x =--+图象的顶点在坐标轴上，∴202-=m 或()22404m --+=，当202-=m 时，2,m = 当()22404m --+=时，()2216,m -= 24m \-=或24,m -=-6m \=或2,m =-综上：2m =或6m =或 2.m =-故选：D ．【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标在坐标轴上的坐标特点是解题的关键．7．D【分析】由表格可知，二次函数的图象关于直线1x =对称，它的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，根据二次函数的对称性可求它的图象与x 轴的另一个交点坐标．解：由表格可知，二次函数的图象关于直线1x =对称，它的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，∴它的图象与x 轴的另一个交点坐标为()3,0，故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于确定二次函数的对称轴．8．C【分析】二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．解：∵二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，∴a -1≥0，∴a ≥1．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数221y ax ax a =++-的图象只经过三个象限，运用函数图象与x 轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．9．C【分析】先由表中数据可知，y 随x 的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y =2时，x =1或x =3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x =2，则求出1y =-时的自变量的值．解：由表中数据可知，y 随x 的增大先增大后减小，∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；∵y =2时，x =1或x =3，∴函数的对称轴为直线x =2，∵开口向下，∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，故②正确，符合题意；∵对称轴为直线x =2，当x =4时，1y =-，∴x =0时，1y =-，故③正确，符合题意；∴正确的选项有②③；故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，仔细观察表格数据确定出对称轴是解题的关键．10．C【分析】观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<，可得0b <，0a ->，从而得到一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限，即可求解．解：观察二次函数2y ax bx c =++的图象得：0,02b a a<-<，∴0b <，0a ->，∴一次函数y ax b =-+的图象经过第一、三、四象限．故选：C【点拨】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．11．D【分析】根据函数图像和解析式中的参数分析函数图像性质，分析函数图像是否可能存在．解：A 、由直线y ＝ax+a 的图像性质和抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <和0a >，图象不符合题意B 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a <，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <及对称轴在y 轴的左侧，图象不符合题意C 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a >，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <，图象不符合题意D 、由直线y ＝ax +a 的图像性质可得0a <，抛物线y ＝﹣ax 2+3x +2的图像性质可得0a <和对称轴在y 轴的左侧，符合题意故选D【点拨】此题考查的知识点：一次函数增减性质、二次函数开口方向和对称轴在y 轴的左侧还是右侧、函数中参数的作用；根据图像变化确定函数中的参数正负性是解答此题的关键．12．B【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：观察图象得：抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，对称轴为直线x =1，∴0,0,12b a c a><-=，∴20b a =-<，∴0abc >，故①正确；根据题意得：抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac D =->，即24b ac >，故②正确；∵对称轴为直线x =1，且抛物线与x 轴的另一个交点位于x 轴负半轴，当x =2时，y <0，即420a b c ++<，故③错误；根据题意得：当x =-1时，y >0，即0a b c -+>∵2b a =-，∴()230a a c a c --+=+>，故④正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴当x =1时，函数值最小，最小值为a +b +c ，∴当x =m 时，2a b c am bm c ++£++，∴()a b m am b +£+，故⑤正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x =1，∴⑥当1x <-时，y 随x 的增大而减小，故⑥错误；∴错误的有2个．故选：B【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，理解二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点确定是解题的关键．13．A【分析】根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可．解：函数()20y ax bx a =+¹经过原点（0，0），则B 错误；当a <0时，y ax b =+经过二、四象限，则D 错误；当02b a->时，b >0， y ax b =+经过一、二、四象限，则C 错误；当a >0，02b a ->时，b <0， y ax b =+经过一、三、四象限，则A 符合题意．故选：A ．【点拨】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图象的性质是解决问题的关键．14．D【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，由对称轴得到b =a ＞0，由抛物线与y 轴的交点得到c ＜0，则abc ＜0；a +b ＞0，据此来进行一一判断即可．解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =122b a -=-，∴b =a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＜0；a +b ＞0；故选项A 、B 错误；∵b =a ＞0，c ＜0，∴b +c ＜a ，a +c ＜b ，故选项C 错误，选项D 正确，故选：D ．【点拨】此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．15．A【分析】根据题意，ab＜0，分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析选项可得答案．解：根据题意，ab＜0，当a＞0时，b＜0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、三、四象限；此时，A选项符合，当a＜0时，b＞0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过一、二、四象限；此时，没有选项符合．故选：A．【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．16．D【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），则抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式．解：∵抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），∴抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x-1）2+2．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式y=a （x-k）2+h，其中对称轴为直线x=k，顶点坐标为（k，h），若把抛物线先右平移m个单位，向上平移n个单位，则得到的抛物线的解析式为y=a（x-k-m）2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移．17．C【分析】根据二次函数的性质判断A，B选项；根据当x＝0时，y＝5判断C选项；根据图象的平移规律判断D选项．解：A选项，a＝1＞0，开口向上，故该选项不符合题意；B选项，图象的对称轴为x＝2，故该选项不符合题意；C选项，当x＝0时，y=5，图象与y轴交于点（0，5）故该选项符合题意；D 选项，图象可以由y ＝x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，故该选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．18．B【分析】确定出抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．解：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A 和点B ，连接OA ，OB ，则由抛物线平移的性质可知，a =1，S 阴影=S △OAB ，∴y =ax 2+bx =x 2+bx = (x +2b ) 2−24b ，∴点A 的坐标为 (−2b ，−24b )，点B 的坐标为 （−2b ，24b ），∴AB =24b +24b =22b ，点O 到AB 的距离：−2b ，∴S △AOB =12×22b ×(−2b )=8，解得：b =−4．∴−2b =2，−24b =−4，∴抛物线y =ax 2+bx 的顶点A 的坐标为 (2，−4)．故选：B ．【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键．19．y =-（x +2）2+11【分析】根据配方法即可求解．解：∵y =-x 2-4x -3=-（x 2+4x +4）+11=-（x +2）2+11，故答案为：y =-（x +2）2+11．【点拨】此题主要考查二次函数的顶点式，解题的关键是熟知配方法的运用．20．()1,4【分析】将A （0，3），B （2，3）代入抛物线y =-x 2+bx +c 的解析式，求出b 、c ，即可得解析式，从而得到顶点坐标．解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y =﹣x 2+bx +c 上两点，∴代入得：3423c b c =ìí-++=î，解得：b =2，c =3，∴抛物线解析式为y =﹣x 2+2x +3=﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线顶点坐标为（1，4），故答案为（1，4）．【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，熟练掌握待定系数法是解题的关键．21．1【分析】根据配方法进行整理即可得解．解：245y x x =-+2(44)1x x =-++2(2)1=-+x ，∴h =2，k =1，211h k \-=-=，故答案为：1．【点拨】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．22．a≤1【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案．解：∵由函数图象可知，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴a≤1，故答案为a≤1．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．312y y y <<．【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-2，然后比较三个点离直线x=-2的远近得到y 1、y 2、y 3的大小关系．解： ∵二次函数的解析式为22(2)y x b =-++，∴抛物线的对称轴为直线x =−2，∵1(4,)A y -，B 2(3,)y -，3(3,)C y ，∴点C 离直线x =−2最远，其次为A 点，B 距离x =−2最近而抛物线开口向下，∴所以根据图象可知：312y y y << ；故答案为：312y y y <<.【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小.24．y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【分析】设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），令a ＝1即可．解：∵抛物线过点（0，0），（﹣2，0），∴可设此二次函数的解析式为y ＝ax （x+2），把a ＝1代入，得y ＝x 2+2x ．故答案为y ＝x 2+2x （答案不唯一）．【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，此题属开放性题目，答案不唯一．25． 向上 2±【分析】根据二次函数的性质求解即可．解：∵二次函数解析式为21y x mx =-+，10a =>，∴抛物线的开口向上，抛物线对称轴为直线12x m =，∵该函数的图象的顶点在x 轴上，∴当12x m =时，22111042y m m =-+=，∴2m =±，故答案为：向上；±2．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键．26． 3或1##1或3 2【分析】（1）先求出平移后的解析式2(2)52y x a a =-+-+-，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；（2）根据平移后的解析式，令x =0，求出与y 轴交点的函数，配方即可．解：（1）∵二次函数2241(2)5y x x x =--+=-++的图象先向右平移a 个单位再向下平移2a 个单位，∴2(2)52y x a a =-+-+-，∵平移后的二次函数图象经过点()1,1-，∴21(12)52a a -=-+-+-，解得1231a a ==，，故答案为3或1；（2）∵平移后的二次函数图象与y 轴交点，∴()22(02)52=-12y a a a =-+-+--+，∴与y 轴交点的纵坐标最大值为2．故答案为2．【点拨】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．27．①④##④①【分析】根据抛物线的对称轴，开口方向，与y 轴的交点位置，即可判断①，根据二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），即可求得对称轴，以及当1x =时，0y =，进而可以判断②③，根据顶点求得函数的最大值，即可判断④．解：Q 抛物线开口向下，0a \<，Q 对称轴0,02b x a a=-<<，0b \<，Q 抛物线与y 轴交于正半轴，0c \>，0abc \>，故①正确，Q 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），B （1，0），\对称轴为12b x a=-=-，则2b a =，当1x =，20y a b c a a c =++=++=，30a c \+=，故②不正确，由函数图象以及对称轴为1x =-，可知，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，故③不正确，Q 对称轴为1x =-，则当1x =-时，y a b c =-+取得最大值，\对于任意实数m ，总有2a b c am bm c -+³-+，即2a b am bm -³-，故④正确．故答案为：①④．【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．28．2【分析】根据观察图象得：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴是直线12x =-，可得a ＜0，c ＞0，0b a =<，从而得到abc ＞0，故①正确；再由抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是直线12x =-，可得抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴的另一个交点为（2，0），从而得到当x =1时，y ＞0，进而得到0a b c ++>，故②错误；再由（3，2y ）关于对称轴直线12x =-的点为（-4，2y ），在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，可得12y y >，故③正确，即可求解．解：观察图象得：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵对称轴是直线12x =-，∴122b a -=-，即0b a =<，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点（－3，0），其对称轴是直线12x =-，∴抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴的另一个交点为（2，0），∵抛物线开口向下，∴当x =1时，y ＞0，∴0a b c ++>，故②错误；根据题意得：（3，2y ）关于对称轴直线12x =-的点为（-4，2y ），∵抛物线开口向下，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大，∴12y y >，故③正确，∴正确的有①③，共2个．故答案为：2【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．29．3个##三个【分析】由图象可知a ＜0，b ＞0，c ＞0，然后可判定①，根据二次函数的图象与x 轴的交点问题可判定②，根据对称轴公式可判定③，把x =-1代入函数解析式可判定④，进而问题可求解．解：由图象可得：a ＜0，对称轴为12b x a=-=，与x 轴的交点有2个，∴2b a =-，即20a b +=，240b ac ->，故②正确，③错误；∴b ＞0，c ＞0，∴0ac <，故①正确；当x =-1时，则有0a b c -+=，∴30a c +=，故④正确；∴正确的有①②④，共3个；故答案为3个．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．30．①②##②①【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①图象开口向下，与y 轴交于正半轴，能得到：0a <，0c >，0ac \<，故①正确；Q ②对称轴1x <-，0a <，12b a\-<-，2b a \<，20b a \-<，故②正确．③图象与x 轴有2个不同的交点，依据根的判别式可知240b ac ->，故③错误．④当1x =-时，0y >，0a b c \-+>，故④错误；故答案为①②．【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．31．﹣1≤x ≤2【分析】根据图象可以直接回答，使得y 1≥y 2的自变量x 的取值范围就是直线y 1=kx+m 落在二次函数y 2=ax 2+bx+c 的图象上方的部分对应的自变量x 的取值范围．解：根据图象可得出：当y 1≥y 2时，x 的取值范围是：﹣1≤x ≤2．故答案为：﹣1≤x ≤2．【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、直观，降低了题的难度．32．四【分析】根据二次函数的图像求出a 的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．解：∵二次函数22y ax =+的图象开口向下，∴0a <．又∵直线2,0,20y ax a =-->>，直线2y ax =-经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．故答案为：四．【点拨】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．33．二##2【分析】由抛物线的开口方向、与y 轴的交点以及对称轴，可确定a ，b ，c 的符号，继而可判定一次函数y ax bc =+的图象不经过哪个象限即可．解：Q 开口向上，0a \>，Q 与y 轴交于负半轴，0c \<，Q 对称轴在y 轴左侧，02b a\-<，又∵0a >，0b \>，0bc \<，\一次函数y ax bc =+的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．【点拨】主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系．注意二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点确定，也考查了一次函数图象的性质．34．22y x x=+【分析】将抛物线223y x x =--的图像先向上平移3个单位，再向左平移2个单位即可得．解：将抛物线2223(1)4y x x x =--=--先向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为2(1)43y x =--+，即为2(1)1y x =--，再向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为2(12)1y x =-+-，即为22(1)12y x x x =+-=+，则原抛物线的解析式为22y x x =+，故答案为：22y x x =+．【点拨】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题关键．35．2(3)2y x =--【分析】将（1，2）代入y =x 2+2x +c ，解得c =-1，设将抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2，向右平移m 个单位，则平移后的抛物线解析式是y =（x +1-m ）2-2，然后将（1，2）代入得到关于m 的方程，通过解方程求得m 的值即可．解：将（1，2）代入y =x 2+2x +c ，得12+2×1+c =2，解得c =-1．设将抛物线y =x 2+2x -1=（x +1）2-2，向右平移m 个单位，则平移后的抛物线解析式是y =（x +1-m ）2-2，将（1，2）代入，得（1+1-m ）2-2=2．。
17【基础】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(基础课程讲义例题练习含答案)
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用描点法画二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2y ax bx c =++的解析式写成2()y a x h k =-+的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数2y ax bx c =++的性质；3.经历探索2y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【要点梳理】要点一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式2()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++．2.一般式化成顶点式2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭． 对照2()y a x h k =-+，可知2bh a=-，244ac b k a -=．∴ 抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．要点诠释：1．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线2bx a =-，顶点坐标是24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线2y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点，当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 关于对称轴的对称点D ，将A 、B 、C 、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 要点诠释：当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ，由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质 1.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象与性质函数二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）图象0a >0a <开口方向 向上 向下对称轴直线2b x a=-直线2b x a=-顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭增减性在对称轴的左侧，即当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当2bx a<-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小．简记：左增右减最大(小)值 抛物线有最低点，当2b x a =-时，y 有最小值，抛物线有最高点，当2bx a=-时，y 有2.二次函数20()y ax bx c a =++≠图象的特征与a 、b 、c 及b 2-4ac 的符号之间的关系要点四、求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当2bx a=-时，244ac b y a-=最值．要点诠释：如果自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，那么首先要看2ba-是否在自变量的取值范围x 1≤x ≤x 2内，若在此范围内，则当2bx a=-时，244ac b y a -=最值，若不在此范围内，则需要考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x ＝x 2时，222y ax bx c =++最大值；当x ＝x 1时，211y ax bx c =++最小值，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x ＝x 1时，211=ax +bx +y c 最大值；当x ＝x 2时，222=ax +bx +y c 最小值，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x ＝x 1，x ＝x 2，2b x a=-时y 值的情况．【典型例题】类型一、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质1. 抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)点： (1)求出m 的值并画出这条抛物线；(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标； (3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？(4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？ 【答案与解析】(1)由抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于(0，3)可得m ＝3．∴ 抛物线解析式为223y x x =-++，如图所示．(2)由2230x x -++=得11x =-，23x =．∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)． ∵ 2223(1)4y x x x =-++=--+，∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．(3)由图象可知：当-1＜x ＜3时，抛物线在x 轴上方． (4)由图象可知：当x ≥1时，y 的值随x 值的增大而减小．【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线； (2)令y ＝0可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标； (3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，举一反三：【变式】（•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5… 由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ） A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 【答案】D.提示：由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得，解得，函数解析式为y=﹣3x 2+1 x=2时y=﹣11，故选：D ．类型二、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值2. 分别在下列范围内求函数223y x x =--的最大值或最小值． (1)0＜x ＜2； (2)2≤x ≤3． 【答案与解析】∵ 2223(1)4y x x x =--=--，∴ 顶点坐标为(1，-4)．(1)∵ x ＝1在0＜x ＜2范围内，且a ＝1＞0， ∴ 当x ＝1时y 有最小值，4y =-最小值．∵ x ＝1是0＜x ＜2范围的中点，在x ＝1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．(2)∵ x ＝1不在2≤x ≤3范围内(如图所示)，又因为函数223y x x =--(2≤x ≤3)的图象是 抛物线223y x x =--的一部分，且当2≤x ≤3时，y 随x 的增大而增大，∴ 当x ＝3时，232330y =-⨯-=最大值；当x ＝2时，222233y =-⨯-=-最小值．【总结升华】先求出抛物线223y x x =--的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3为图中实线部分，易看出x ＝3时，0y =最大值；x ＝2时，3y =-最小值．类型三、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠性质的综合应用3.（•梅州）对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和 （2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【解析】解：y=﹣x 2+2x=﹣（x ﹣1）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；②∵直线x=1两旁部分增减性不一样，∴设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1，②错误；③当y=0，则x （﹣x+2）=0，解得：x 1=0，x 2=2， 故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确； ④∵a=﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）， ∴当0＜x ＜2时，y ＞0，④正确． 故选：C ．【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．4. 一条抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0）和B （6，0），最高点C 的纵坐标是1． （1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；x y（2）设抛物线的对称轴与轴的交点为D ，抛物线与y 轴的交点为E ，请你在抛物线上另找一点P(除点A 、B 、C 、E 外)，先求点C 、A 、E 、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线2y =的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律． 【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是4x =． ∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．则420,3660,164 1.a b c b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得1,42,3.a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴ 所求抛物线的解析式为21234y x x =-+-． x -2 0 2 4 6 8 10 y-8-31-3-8描点、连线，如图所示：（2）取点（-2，-8）为所要找的点P ，如图所示，运用勾股定理求得ED ＝5，PD ＝10，观察图象知AD ＝2，CD ＝1，点E 、P 、A 、C 到直线y ＝2的距离分别是5、10、2、1． （3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y ＝2的距离．【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形， 然后运用勾股定理求得．举一反三：【变式】已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0，b >0，c <0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个 在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （•南昌）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ）.A ．只能是x=﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x=2的左侧D ．在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++<过点(2,0)A -，(0,0)O ，1(3,)B y -，2(3,)C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y =C ．12y y <D ．不能确定3．小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0a <；②1c >；③0b >；④0a b c ++>；⑤0a b c -+>．你认为其中信息正确的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示：x …… 0 1 2 3 4 …… y……4114……点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在函数的图象上，则当1＜x 1＜2，3＜x 2＜4时，y 1与y 2的大小关系正确的 是( )A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1≤y 25．如图所示，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h第5题 第6题6．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在自变量取值范围内，下列说法正确的是( ) A ．有最小值0，有最大值3 B ．有最小值-1，有最大值0 C ．有最小值-1，有最大值3 D ．有最小值-1，无最大值 二、填空题7．把抛物线2y ax bx c =++的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x =-+，则a+b+c ＝________．8．如图所示，是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的图象．根据图形判断①c ＞0； ②a+b+c ＜0；③2a-b ＜0；④284b a ac +>中正确的是________（填写序号）．9．（•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．10．抛物线y=x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是_____.11．抛物线y=x2+kx-2k通过一个定点，这个定点的坐标是_ ____.12．已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是___ __.三、解答题13．（•北京）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y=x﹣1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．14．如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D. 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q.(1)求点B和点C的坐标；(2)设当点M运动了x(秒)时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量x取值范围.(3)在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.15.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为.(1)求此抛物线的解析式；(2)点为抛物线上的一个动点，求使的点的坐标.【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】∵抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x 2满足：﹣2＜x 2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y 轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选D ．2.【答案】A ；【解析】由于抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2，0)，O(0，0)，所以其对称轴为1x =-，根据抛物线对称性知当3x =-和1x =时，其函数值相等，∵ 0a <，开口向下，当2x >-时，y 随x 增大而减小，又213-<<，∴ 12y y >．3.【答案】C ；【解析】由图象知0a <，1c >，02b a->，∴ 0b >，当1x =时，0a b c ++>， 当1x =-时，0a b c -+<，∴ ①②③④正确．4.【答案】B ；【解析】由表可知1＜x 1＜2，∴ 0＜y 1＜1，3＜x 2＜4，∴ 1＜y 2＜4，故y 1＜y 2.5.【答案】A ；【解析】由顶点(n ，k)在(m ，h)的上方，且对称轴相同，∴ m ＝n ，k ＞h.6.【答案】C ；【解析】观察图象在0≤x ≤3时的最低点为(1，-1)，最高点为(3，3)，故有最小值-1，有最大值3.二、填空题7．【答案】11 ；【解析】将235y x x =-+向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得237y x x =++．∴ a ＝1，b ＝3，c ＝7.8．【答案】②④；【解析】观察图象知抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，故①是错误的；当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②是正确的；由于抛物线对称轴在y 轴右侧，则02b a ->， ∵ 0a >，∴ 0b <，故20a b ->，故③是错误的；∵ 0a >，240b ac ->，∴ 284b a ac +>，故④是正确的．9．【答案】1；【解析】∵y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD=AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．10．【答案】-3；【解析】设抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交点的坐标是x 1、x 2，则x 2- x 1=1，△ABC 的面积为1得c=2,由根与系数关系化为123x x +=±，即=3b a -±，由20b a -＞得=3b a-，3b =-. 11．【答案】(2，4)； 【解析】若抛物线y=x 2+kx-2k 通过一个定点，则与k 值无关，即整理y=x 2+kx-2k 得y=x 2+k （x-2），x-2=0，解得x=2,代入y=x 2+k （x-2），y=4,所以过点(2，4).12．【答案】 34； 【解析】又因为函数图象经过，所以，代入即可求得. 三、解答题13.【答案与解析】解：（1）当y=2时，则2=x ﹣1，解得：x=3，∴A （3，2），∵点A 关于直线x=1的对称点为B ，∴B （﹣1，2）．（2）把（3，2），（﹣2，2）代入抛物线C 1：y=x 2+bx+c 得：解得：∴y=x 2﹣2x ﹣1．顶点坐标为（1，﹣2）．（3）如图，当C 2过A 点，B 点时为临界，代入A（3，2）则9a=2，解得：a=，代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2=2，解得：a=2，∴14.【答案与解析】(1)把x=0代入得点C的坐标为C(0，2)把y=0代入得点B的坐标为B(3，0)；(2)连结OP，设点P的坐标为P(x，y)==∵点M运动到B点上停止，∴，∴()；(3)存在. BC==①若BQ=DQ ∵ BQ=DQ，BD=2∴ BM=1 ∴OM=3-1=2∴∴QM=所以Q的坐标为Q(2，)；②若BQ=BD=2∵△BQM∽△BCO，∴==∴=∴ QM=∵=∴=∴BM=∴ OM=所以Q的坐标为Q(，).15.【答案与解析】(1)直线与坐标轴的交点，.则解得此抛物线的解析式.(2)抛物线的顶点，与轴的另一个交点.设，则.化简得.当，得或. 或当时，即，此方程无解.综上所述，满足条件的点的坐标为或.。
九年级数学二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质(巩固篇)(专项练习)Word版含解析
专题2.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（巩固篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2.6 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质（巩固篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数2y ax =的性质综合1．下列关于二次函数22y x =的说法正确的是（ ） A ．它的图象经过点(0，2) B ．它的图象的对称轴是直线2x = C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．当x =0时，y 有最大值为02．在同一直角坐标系中，二次函数23y x =-、213y x =、23y x =的图像的共同点是( )A ．关于y 轴对称，开口向上B ．关于y 轴对称，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小C ．关于y 轴对称，最高点是原点D ．关于y 轴对称，顶点坐标是（0，0） 3．下列关于抛物线2yx 和2y x =-的关系的说法中，错误的是（ ）A ．它们有共同的顶点和对称轴B ．它们都是关于y 轴对称C ．它们的形状相同，开口方向相反D ．点A （-2，4）在这抛物线2yx 上，也在抛物线2y x =-的图像上．4．同一坐标系中，抛物线222114,,24y x y x y x ===-的共同特点是（ ） A ．关于y 轴对称，开口向上B ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大C ．关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小D ．关于y 轴对称，顶点是原点5．下列关于二次函数22y x =的说法正确的是（ ） A ．它的图象经过点()1,2-- B ．当0x <时，y 随x 的增大而减小 C ．当0x =时，y 有最大值为0D ．它的图象的对称轴是直线2x =6．关于抛物线y ＝－x 2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；①当x ＞10时，y 随x 的增大而减小；①当－1＜x ＜2时，－4＜y ＜－1；①若(m ，p)、(n ，p)是该抛物线上两点，则m ＋n ＝0.其中正确的说法有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线2y ax =的顶点是原点 B ．抛物线2y ax =-的开口向下C ．抛物线2y ax =的开口向上D ．抛物线2y ax =的顶点是抛物线的最低点8．关于抛物线2y 2x =，下列说法错误的是 A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．函数有最大值D ．当x>0时，函数y 随x 的增大而增大 知识点二、二次函数2y ax =与一次函数y kx b =+图象位置9．函数y ＝ax －2 (a ≠0)．与y ＝ax 2(a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是A ．B ．C ．D ．10．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2(a ≠0)与y ＝ax (a ≠0)的大致图象可能是( )A ．B ．C ．D ．11．已知a ≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知二次函数2y ax =的图象开口向上，则直线1y ax =-经过的象限是（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、二、四象限D ．第一、三、四象限知识点三、二次函数2y ax =的面积问题 13．下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①14．如图已知A 1，A 2，A 3，…A n 是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A n -1A n =1，分别过点A 1，A 2，A 3，…A n′作x 轴的垂线交二次函数212y x =（x ＞0）的图象于点P 1，P 2，P 3，…Pn ，若记△OA 1P 1的面积为S 1，过点P 1作P 1B 1①A 2P 2于点B 1，记△P 1B 1P 2的面积为S 2，过点P 2作P 2B 2①A 3P 3于点B 2，记△P 2B 2P 3的面积为S 3，…依次进行下去，最后记△P n -1B n -1P n （n ＞1）的面积为S n ，则S n =（ ）A ．214n -B ．24nC ．()214n - D ．214n + 15．如图，①O 的半径为2，C 1是函数y ＝x 2的图象，C 2是函数y ＝﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．都不对16．如图，菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线y=13x 2上，其中点O 为坐标原点，对角线OB 在y 轴上，且OB=2．则菱形OABC 的面积是（ ）A．B ．C ．4D ．知识点四、二次函数2y ax 与几何综合问题17．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，﹣1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过①ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或a≥2B ．12≤a≤2C ．﹣1≤a ＜0或1＜a≤2D ．﹣1≤a ＜0或0＜a≤218．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC →CD 方向运动，当P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 点运动的时间为t ，APQ 的面积为S ，则S 与t 的函数关系图象是（ ）A．B．C．D．19．如图，菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，垂直于AB的直线l从点A出发，以1cm/s的速度向右移动到点C停止若直线l的移动时间为x（s），直线l扫过菱形ABCD的面积为y（cm2），则下列能反映y关于x函数关系的大致图象是（）A．B．C ．D ．20．如图，Rt ①OAB 的顶点A （-2，4）在抛物线y =ax 2上，将Rt ①OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到①OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ）A ．)B ．(2,2)C ．,2)D ．21．如图，分别过点P n (n ，0)(n 为正整数)作x 轴的垂线，交二次函数212y x =(x ＞0)的图象于点A n ，交直线12y x =- (x ＞0)于点B n ，则1122111n nA B A B A B +++的值为（ ）A ．21nn + B ．2C ．2(1)n n +D ．21n + 22．如图，①O 被抛物线y=12x 2所截的弦长AB=4，则①O 的半径为（ ）．A．2B．C D．423．如图，在平行四边形ABCD中，①A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→D方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→D 方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，动点M自点A出发沿A→B的方向，以每秒1cm的速度运动，同时动点N自点A出发沿A→D→C的方向以每秒2cm 的速度运动，当点N到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为x（秒），①AMN 的面积为y（cm2），则下列图象中能反映y与x之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题知识点一、二次函数2y ax =的性质综合25．抛物线24(3)y x =-+的开口方向是_____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，顶点是图像的最____点（填“高”或“低”）． 26．下列说法中正确的序号是_____________ ①在函数y =﹣x 2中，当x =0时y 有最大值0； ①在函数y =2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大①抛物线y =2x 2，y =﹣x 2，y =﹣212x 中，抛物线y =2x 2的开口最小，抛物线y =﹣x 2的开口最大①不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点 27．函数2y ax =的部分对应值如下表：根据表格回答：（1）=a _________，b = ________；（2）函数的解析式为 _________，定义域是 ________；（3）请再举一些对应值，猜测该函数的图像关于________轴对称．28．已知函数232y x =-，不画图像，回答下列各题.（1）开口方向为______； （2）对称轴为______； （3）顶点坐标为______；（4）当0x ≥时，y 随x 的增大而______； （5）当x ______时，0y =；（6）当x ______时，函数y 的最______值是______.29．抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______．30．抛物线y ＝15x 2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x ＜0时，y随x 的增大而_____；当x ＞0时，y 随x 的增大而_____；当x ＝0时，y 有最_____值是_____． 31．函数223y x =，其图象是_________，开口向_____，对称轴是________，顶点坐标为_______，图象有最_______点，函数y 有最______值，是______，当0x >时，y 随x 的减小而_______.32．已知点A （–3，y 1），B （–1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y=23x 2上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是__________（用“<”连接）．33．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0）其部分图象如图所示，下列结论：①b 2﹣4ac ＜0；①方程ax 2+bx +c 的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3； ①2a +b ＝0，①当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3：①当x ＞0，y 随x 增大而减小，其中结论正确的序号是_____．知识点二、二次函数2y ax =的面积问题34．如图，把抛物线y=12x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为______．35．如图，①O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=－2x2的图象，则图中阴影部分的面积为_______．36．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=1 3x2与y=–13x2的图象，则阴影部分的面积是__________．37．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An作x轴的垂线交二次函数y＝12x2(x＞0)的图象于点P1，P2，P3，…，Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1①A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2①A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3……依次进行下去，则S3＝________，最后记△Pn－1Bn－1Pn(n＞1)的面积为Sn，则Sn＝________．38．下图是一个可以绕O 点自由转动的转盘，①O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，3C 是函数y 的图象，则指针指向阴影部分的概率__________.39．设直线2y =与抛物线2y x 交于,A B 两点，点P 为直线2y =上方的抛物线2y x 上一点，若PAB 的面积为P 的坐标为_________________．40．如图，正方形的边长为3，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y ＝2x 2与y ＝－2x 2的图像，则图中阴影部分的面积是______________．知识点三、二次函数2y ax =与几何综合问题41．在平面直角坐标系中，抛物线2y x 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．42．如图，正方形OABC 的顶点B 在抛物线y ＝x 2的第一象限部分，若B 点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC 的面积为_____．43．二次函数y ＝23x 2的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2017在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2017在二次函数y ＝23x 2位于第一象限的图象上．若①A 0B 1A 1，①A 1B 2A 2，①A 2B 3A 3，…，①A 2016B 2017A 2017都为正三角形，则①A 2016B 2017A 2017的边长为____．44．如图分别过点(,0)(1,2,,)i P i i n =作x 轴的垂线，交2y x 的图象于点i A ，交直线y x =-于点i B ，则1122111n nAB ABA B +++=__________．45．二次函数2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B 、C 在函数图象上，四边形OBAC 为菱形，且①AOB=30°，则点C 的坐标为_______．46．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数21(0)y x x =≥与22(0)3x y x =≥的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交2y 的图象于点E ，则DE AB=_______．三、解答题知识点一、二次函数2y ax =的存在性问题47．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点(1，b )．(1)求a ，b 的值．(2)抛物线y ＝ax 2的图象上是否存在一点P ，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．知识点二、二次函数2y ax =的面积问题48．在平面直角坐标系中，若抛物线22y x =与直线1y x =+交于点(,)A a b 和点(,)B c d ，其中a c >，点O 为原点，求ABO ∆的面积.知识点三、二次函数2y ax =的几何问题49．如图所示，已知函数y ＝ax 2(a≠0)的图象上的点D ，C 与x 轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成▱ABCD ，DC 与y 轴的交点为E(0，6)，试求a 的值．参考答案：1．C【分析】根据二次函数的图象性质即可判断．【详解】解：A 、当x =0时，y =0≠2，故此选项错误；B 、它的图象的对称轴是直线x =0，故此选项错误；C 、当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；D 、当x =0时，y 有最小值是0，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．2．D【分析】根据二次函数2y ax =的图象和性质判断所给的三个二次函数的图象和性质．【详解】A 选项错误，二次函数23y x =-的开口向下；B 选项错误，二次函数23y x =-，当0x <时，y 随着x 的增大而增大；C 选项错误，二次函数23y x =和213y x =的最低点是原点； D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数2y ax =的图象和性质，解题的关键是熟悉它的图象和性质．3．D【分析】根据抛物线2y ax =的性质直接回答即可．【详解】解：抛物线2y x 和2y x =-的性质可知，二次项系数a 的绝对值相等，所以开口方向相反，并且都关于y 轴对称，顶点都为原点，但是点A （-2，4）在这抛物线2y x 上，但不在抛物线2y x =-的图像上，综上所述，A ，B ，C 选项都正确，只有D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解形如2y ax =的抛物线的性质．4．D【分析】形如y=ax 2的抛物线共同特点就是：关于y 轴对称，顶点是原点，a 正负性决定开口方向．a 的绝对值大小决定开口的大小． 【详解】解：因为抛物线222114,,24y x y x y x ===-都符合抛物线的最简形式y=ax 2， 其对称轴是y 轴，A 、214y x =-开口向下，故选项错误； B 、抛物线y=ax 2在x ＜0时和x ＞0，y 随x 的增大的变化情况不一样，故选项错误； C 、抛物线y=ax 2在x ＜0时和x ＞0，y 随x 的增大的变化情况不一样，故选项错误；D 、抛物线y=ax 2的顶点是原点，故选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的性质确定抛物线的开口、对称轴以及顶点坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数的性质确定二次函数的图象是关键．5．B【分析】根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可．【详解】由题意得：当x=-1时，y=2，故A 选项错误；当0x <时，y 随x 的增大而减小，故B 选项正确；当0x =时，y 有小值为0，故C 选项错误；图象的对称轴是直线0x =，故D 选项错误；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数20y ax a 的图像和性质，正确的作出示意图是本题的关键．6．C【分析】直接根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】解：①y ＝－x 2①①抛物线开口向下，顶点是原点，故该项正确；①对称轴为x=0，当x>10时，y 随x 的增大而减少，故该项正确；①当-1<x<2时，-4<y<0，故该项错误；①若(m ，p)、（n ，p ）是该抛物线上两点，则m+n=0，故该项正确．故选：C ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．7．A【分析】根据二次函数的性质直接作出选择．【详解】解：A.抛物线2y ax =的顶点是原点，正确；B.抛物线2y ax =-的开口不确定，因为a 不知是正是负；C.抛物线2y ax =的开口不确定，因为a 不知是正是负；D.抛物线2y ax =的顶点不确定，因为a 不知是正是负，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，此题难度不大．8．C【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．【详解】A. 因为a =2>0，所以开口向上，正确；B. 对称轴是y 轴，正确；C. 当x =0时，函数有最小值0，错误；D. 当x >0时，y 随x 增大而增大，正确；故选:C【点睛】考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键. 9．A【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，①当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．【详解】解：①在y=ax-2，①b=-2，①一次函数图象与y轴的负半轴相交，①①当a＞0时，①二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，①①当a＜0时，①二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故选A．【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．10．C【详解】①y=ax(a≠0)的图象是一条经过原点的直线，所以A不正确；①当a>0时，y=ax²(a≠0)的开口向上，y=ax（a≠0的的图象经过第一，第三象限，当a<0时y=ax²(a≠0)的开口向下，y=ax(a≠0)的图象经过第二，第四象限，①选项B,D不正确，选项C正确．故选C.11．C【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正比例函数的图象的相关知识点．12．D【分析】二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y=kx+b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．【详解】解：①二次函数y=ax2的图象开口向上，①a＞0；又①直线y=ax-1与y轴负半轴相交，①y=ax-1经过的象限是第一、三、四象限．故选：D．13．D【详解】首先根据各图形的函数解析式求出函数与坐标轴交点的坐标，进而可求得各个阴影部分的面积，进而可比较出个阴影部分面积的大小关系．解答：解：甲：直线y=-x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=12×2×2=2；乙：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；丙：该抛物线与坐标轴交于：（-1，0），（1，0），（0，-1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=12×2×1=1；丁：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=12xy=12×2=1；因此①①的面积相等，故选D．点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，是基础题，熟练掌握各函数的图象特点是解决问题的关键．14．A【分析】根据二次函数上点的特征，求得当x=n和x=n-1时y的值，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】二次函数y=12x2，由图象知：当x=n时，y=12n2，当x=n-1时，y=12（n-1）2，①S n =12×1×[12n 2-12（n -1）2]=21 4n -． 故选A ．【点睛】本题二次函数规律探究题，求得当x=n 和x=n -1时y 的值是解决问题的关键.15．B【分析】根据函数y=x 2与函数y=-x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：①C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=-x 2的图象，①两函数图象关于x 轴对称，①阴影部分面积即是半圆面积，①面积为：12π×22=2π． 故选B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的对称性，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．16．B【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A ，C 点坐标，进而利用三角形面积求法得出答案．【详解】①菱形OABC 的顶点O 、A 、C 在抛物线y=13x 2上，对角线OB 在y 轴上，且OB=2， ①由题意可得：A ，C 点纵坐标为1，故1=13x 2， 解得：故1)，C(1)，故菱形OABC 的面积是：12AC ⋅OB=12故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A ，C 点坐标是解题关键．17．D【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a 的取值范围即可.【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）①-1=a×12①a=-1①-1≤a<0若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）①2=a×12①a=2①0<a≤2①a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．18．B【分析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，①点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象．【详解】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t，AP•QB＝t2，函数图象为抛物线；故可得S＝12①点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4，AP×4＝2t，函数图象为一次函数．故可得S＝12综上可得总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段．故选：B．【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求出函数解析式，利用解析式判断图象．19．C【分析】先由勾股定理计算出AE，BE，从而就可以得出0≤x≤4时的函数解析式，排除掉A和D；再得出当4＜x≤5时的函数解析式，进而排除B，从而得正确选项为C．【详解】解∵菱形ABCD的边长为5cm，AB边上的高DE＝3cm，∴在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE＝4cm，∴BE＝1cm，当0≤x≤4时，由相似三角形的性质及三角形的面积公式得：y＝13x24x⨯＝238x，从而函数图象应为开口向上的抛物线，因此排除选项A和D；当4＜x≤5时，y＝1433x43x62⨯⨯+（﹣）＝﹣，从而函数图象是直线的一部分，且y随x的增大而增大，因此排除选项B；综上，排除A，B和D．故选C．【点睛】本题是动点函数图象题型，当某部分的解析式好写时，可以写出来，结合排除法，答案还是不难得到的．20．C【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC①x 轴，从而求得P的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P的坐标．【详解】①Rt①OAB的顶点A（−2，4）在抛物线y=ax2上，①4＝4a，解得a＝1，①抛物线为y=x2，①点A（−2，4），①B（−2，0），①OB＝2，①将Rt①OAB绕点O顺时针旋转90°，得到①OCD，①D点在y轴上，且OD＝OB＝2，①D（0，2），①DC①OD，①DC①x轴，①P点的纵坐标为2，令y=2，得2=x2，解得：x①点P在第一象限，①点P的坐标为：，2）故答案为：C ．【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化－旋转，掌握旋转的性质是解题的关键．21．A【分析】根据题意写出A n 、B n 的坐标，然后可得到21122n n A B n n =+，从而2121121n n A B n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意可知A n 、P n 、B n 的横坐标相同，①P n (n ，0)，①B n (n ，12n -)，A n (n ，212n )， ①2211112222n n A B n n n n ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭， 2211211211122n n A B n n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭+， ①11221111111121222231n n A B A B A B n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111212231n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭+++ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+ 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标，代数式的化简，得出11121n n A B n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭是解题的关键． 22．B【分析】由二次函数的性质以及在Rt①OCB 中，利用勾股定理求出OB 即可．【详解】解：如图，连接OB ，①AB=4，①BC=2，则点B的横坐标位，y=12，x2=2，①点B的坐标为（2，2），①OC=2，在Rt①OCB中，BC=2，OC=2,由勾股定理的，故选B．23．A【详解】解：当点P在AB上时，即0≤x≤3时，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积=122；；当点P在BC上时，高不变，但底边在增大，所以P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积关系式为一个一次函数；当P在CD上时，表示出所围成的面积关系式，根据开口方向判断出开口向下，相应的图象为A．24．D【分析】根据动点移动是图形的面积变化，确定是属于哪一种函数，再选择图象.【详解】在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2cm，AD+DC=AB+AD=4+2=6cm，①点M以每秒1cm的速度运动，①4÷1=4秒，①点N以每秒2cm的速度运动，①6÷2=3秒，①点N先到达终点，运动时间为3秒，①点N在AD上运动时，y=12AM∙AN=12x∙2x=x2（0≤x≤1）；①点N在DC上运动时，y=12AM∙AD=12x×2=x（1≤x≤3），①能反映y与x之间的函数关系的是D选项．故选D．【点睛】考核知识点：函数图象.25． 向下 (-3，0) x=-3 高【分析】根据二次函数的性质：当a<0时，抛物线的开口向下，顶点式：2()(ya x h k a ，h ，k 是常数，0)a ≠，其中(,)h k 为顶点坐标，对称轴为：x h =． 【详解】解：在抛物线24(3)y x =-+中，①40a =-<，①抛物线开口向下，顶点是图像的最高点；①3h =-，0k =，①对称轴为x=-3，顶点坐标是(-3，0)；故答案是：向下，(-3，0)，y 轴，高．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．26．①①①【分析】根据二次函数y ＝ax 2的图象与性质逐一判断即得答案【详解】解：由函数的解析式y ＝－x 2，可知a =﹣1＜0，得到函数的开口向下，有最大值y =0，故①正确；由函数的解析式y ＝2x 2，可知其对称轴为y 轴，对称轴的左边（x ＜0），y 随x 增大而减小，对称轴的右边（x ＞0），y 随x 增大而增大，故①正确；根据二次函数的性质，系数a 决定抛物线的开口方向和开口大小，且a 越大开口越小，可知抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y ＝－x 2的开口第二小，而y 212x =-开口最大，故①不正确；不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点，故①正确．综上，正确的结论是：①①①．故答案为：①①①．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数y =ax 2的与性质是解题的关键．27． 2 8 22y x = 一切实数 y【分析】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，可得22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8；（2）由（1）可得函数解析式，定义域是一切实数；（3）当x=-2，x=-3，x=3时，分别计算出对应的y 值，然后观察数据即可得到结论．【详解】（1）把x=-1，y=2代入2y ax =，得a=2，①函数解析式为：22y x =，把x=2，y=b 代入22y x =中，得b=8，故答案为：a=2，b=8．（2）函数的解析式为22y x =，定义域是一切实数，故答案为：22y x =，一切实数．（3）当x=-2时，y=8；当x=-3时，y=18；当x=3时，y=18；可得该函数的图像关于y 轴对称．故答案为：y ．【点睛】本题主要考查了二次函数2y ax =的图象和性质，熟练掌握其图象和性质是解题的关键．28． 向下 y 轴 ()0,0 减小 0= 0= 大 0【分析】根据二次函数的解析式和图像性质即可依次写出. 【详解】对于232y x =- （1）①a=32-＜0，①开口方向为向下； （2）对称轴为y 轴；（3）顶点坐标为()0,0；（4）当0x ≥时，y 随x 的增大而减小；（5）当x =0时，0y =；（6）当x =0时，函数y 的最大值是0.故填：(1). 向下(2). y 轴 (3)()0,0(4).减小(5)0=(6)0=；大；0【点睛】本题主要考查二次函数的性质及图象，掌握二次函数的顶点式y ＝ax 2对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．29． (0，0) y 轴 ≤0 ＞0 0 小 0．【详解】解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0），对称轴是y 轴．当x ≤0时，y 随x 增大而减小；当x ＞0时，y 随x 增大而增大；当x ＝0时，y 有最小值是0．故答案为 （0，0） ； y 轴 ； ≤0 ；＞0 ； 0 ； 小； 0．30． 上， y 轴， （0，0）， 减小， 增大， 最小， 0．【分析】根据二次函数的性质，可得答案．【详解】解：y ＝15x 2的开口方向 上，对称轴是 y 轴，顶点是 （0，0），当x ＜0时，y 随x 的增大而 减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而 增大；当x ＝0时，y 有最 最小值是 0， 故答案为上，y 轴，（0，0），减小，增大，最小，0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．31． 抛物线 上 y 轴 （0，0） 低 小 0 减小【分析】由函数图象与系数的关系及二次函数的性质，即可得到答案.【详解】解：函数223y x =的图像是抛物线，开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是原点（0，0），图像有最低点，函数y 有最小值，最小值是0，当0x >时，y 随x 的减小而减小； 故答案为抛物线；上；y 轴；（0，0）；低；小；0；减小.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，综合性较强．解题的关键是熟记二次函数的图像和性质.32．y2＜y3＜y1【详解】解：①点A （﹣3，y 1），B （﹣1，y 2），C （2，y 3）在抛物线y =23x 2，①y 1=23×（﹣3）2=6，y 2=23×（﹣1）2=23，y 3=23×22=8233．＜83＜6，①y 2＜y 3＜y 1．故答案为y 2＜y 3＜y 1． 点睛：本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．33．①①①【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由图象可知：抛物线与x 轴有两个交点，①①＝b 2﹣4ac ＞0，故①错误；①（﹣1，0）关于直线x ＝1的对称点为（3，0），①ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3，故①正确；①对称轴为x ＝1， 故2b a- ＝1， ①2a +b ＝0，故①正确；①当y ＞0时，由图象可知：﹣1＜x ＜3，故①正确；①当x ＞1时，y 随着x 的增大而减小，故①错误；故答案为①①①．【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．34．272【分析】根据点O 与点A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P 的坐标，过点P 作PM ①y 轴于点M ，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO 的面积，然后求解即可．【详解】过点P 作PM ①y 轴于点M ，设PQ 交x 轴于点N ，①抛物线平移后经过原点O 和点A （﹣6，0），①平移后的抛物线对称轴为x =﹣3．①平移后的二次函数解析式为：y =12（x +3）2+h ， 将（﹣6，0）代入得出：0=12（﹣6+3）2+h ，解得：h =﹣92． ①点P 的坐标是（－3，﹣92）． 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO 的面积，①S =9273=22⨯-， 故答案为：272。
专题03 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(解析版) 初升高数学无忧衔接(沪教版2020)
热身练习
一、单选题
1．（2020·河北邯郸市·高一开学考试）抛物线 y x2 bx c 图象向右平移 3 个单位再向下平移 4 个单位，
所得图象的解析式为 y x2 2x 2 ，则 b 、 c 的值为（ ）
A． b 4 ， c 9
【答案】A
B． b 4 ， c 9 C． b 4 ， c 9
又 b 1，所以 b 2a ，代入得 a 2a +c>0 ，
2a 所以 3a c 0 成立，故②正确； 当 x 1 时， y 0 ，所以 a+b+c 0 ，即 a+c b ，
又 a+c>b ，所以 a+c2 b2 0 ，故③正确；
对称轴是 x 1 ，当 x 1 时，有最小值 a+b+c ， 所以 a+b+c am2 +bm+c ，所以 a b m(am b) ，故④正确，
综上得结论正确的是②③④， 故选：C. 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
知识精讲
一、二次函数图像的伸缩变换 问题 函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝ 1 x2，y＝－2x2 的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2 2
，得
，故 正确，
故选：C． 例 2.下列说法错误的是( ) A．二次函数 y=－2x2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0 B．二次函数 y=4x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 C．在三条抛物线 y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2 中，y=2x2 的图象开口最大，y=－x2 的图象开口最小 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 【答案】C 【解析】 A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确； B、二次函数 y=4x2 中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确； C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2 的图象开口最小，y=-0.5x2 的图象开口最大，故该选错误； D、不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确． 故选 C．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. 将二次函数223y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，结果为（ ）．
A ．2(1)4y x =++
B ．2(1)4y x =-+
C ．2(1)2y x =++
D ．2
(1)2y x =-+
2．（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论：
①二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
3．（2016•益阳）关于抛物线y=x 2﹣2x +1，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上 B ．与x 轴有两个重合的交点
C ．对称轴是直线x=1
D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
4．抛物线2y x bx c =++的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式 为2
23y x x =--，则b 、c 的值为（ ）．
A .b=2，c=2
B . b=2，c=0
C . b= -2，c= -1
D . b= -3，c=2
5．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值( )
A. 等于0
B.等于1
C. 等于-1
D. 不能确定
6．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )
二、填空题
7．二次函数2241y x x =--的最小值是________．
8．已知二次函数2
2y ax ax c =-+，当x ＝-1时，函数y 的值为4，那么当x ＝3时，函数y 的值为________．
9．（2015•怀化）二次函数y=x 2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
10．二次函数23y x mx =-+的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．
第10题 第11题
11．如图二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴
第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是___ ； 第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.
12．（2016•玄武区一模）如图为函数：y=x 2﹣1，y=x 2+6x +8，y=x 2﹣6x +8，y=x 2﹣12x +35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x 2﹣6x +8的图象的序号是 ．
三、解答题
13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴，抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过B 、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC 、BD 、CD ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
14. 如图所示，抛物线2
54y ax ax a =-+与x 轴相交于点A 、B ，且过点C （5，4）．
（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
15.已知抛物线215322
y x x =---： (1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D ；
【解析】根据配方法的方法及步骤，将22x x -化成含x 的完全平方式为2
(1)1x --， 所以22
23(1)2y x x x =-+=-+．
2.【答案】B.
【解析】∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax 2+bx+c 的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y ＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax 2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B ．
3.【答案】D ．
【解析】画出抛物线y=x 2﹣2x +1的图象，如图所示．
A 、∵a=1，
∴抛物线开口向上，A 正确；
B 、∵令x 2﹣2x +1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，
∴该抛物线与x 轴有两个重合的交点，B 正确； C 、∵﹣=﹣=1，
∴该抛物线对称轴是直线x=1，C 正确；
D 、∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为x=1，
∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，D 不正确．
故选D ．
4.【答案】B ；
【解析】2223(1)4y x x x =--=--，把抛物线2(1)4y x =--向左平移2个单位长度，
再向上平移3个单位长度后得抛物线2(1)1y x =+-，
∴ 222
(1)12y x bx c x x x =++=+-=+，∴ 2b =，0c =．
5.【答案】A ；
【解析】因为抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式
得a+b+c=0.
6.【答案】A ；
【解析】分类讨论，当a ＞0，a ＜0时分别进行分析.
二、填空题
7．【答案】-3；
【解析】∵ 20a =>，∴ 函数有最小值． 当4122
x -=-=⨯时，242(1)(4)342y ⨯⨯---==-⨯． 8．【答案】4；
【解析】由对称轴212a x a
-=
=-，∴ x ＝3与x ＝-1关于x ＝1对称，∴ x ＝3时，y ＝4. 9．【答案】(1，-4) ；
【解析】求出解析式2223(1)4y x x x =--=--.
10．【答案】4；
【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把1x =，0y =代入23y x mx =-+，得130m -+=，
解得4m =．
11．【答案】①④，②③④；
12.【答案】③
【解析】y=x 2﹣1对称轴是x=0，图象中第二个，
y=x 2+6x +8对称轴是x=﹣3，图象中第一个，
y=x 2﹣6x +8对称轴是x=3，图象中第三个，
y=x 2﹣12x +35对称轴是x=6，图象中第四个.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）由已知得：C （0，4），B （4，4），
把B 与C 坐标代入y=﹣x 2+bx+c 得：
，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x 2+2x+4；
（2）∵y=﹣x 2+2x+4=﹣（x ﹣2）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S 四边形ABDC =S △ABC +S △BCD =×4×4+×4×2=8+4=12．
14.【答案与解析】
（1）把点C(5，4)代入抛物线254y ax ax a =-+得，252544a a a -+=，解得1a =． ∴ 该二次函数的解析式为254y x x =-+． ∵ 22595424y x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝
⎭， ∴ 顶点坐标为59,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
． （2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，
得到二次函数解析式为225917342424y x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，即22y x x =++． 15.【答案与解析】
(1)∵ 102a =-<，b ＝-3，∴ 331222b x a -=-=-=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
， 把x ＝-3代入解析式得，21
5(3)3(3)222
y =-⨯--⨯--=． ∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x ＝-3，顶点坐标是(-3，2)．
(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x ＝-3．抛物线与x 轴两交点为B(-5，0)和
C(-1，0)，与y 轴的交点为50,2D ⎛⎫-
⎪⎝⎭，取D 关于对称轴的对称点56,2E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数215322
y x x =---的图象，如图所示．
从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x ＜-3时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧， 即当x ＞-3时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点， 所以函数有最大值，当x ＝-3时，2y =最大．。