二次函数图象和性质知识点总结
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二次函数的图象和性质知识点总结
一、知识点回顾
1. 二次函数解析式的几种形式:①一般式:(a 、b 、c 为常数,a ≠0)
②顶点式:(a 、h 、k 为常数,a ≠0),其中(h ,k )为顶点坐
标。
③交点式:,其中是抛物线与x 轴交点的横坐标,即
一元二次方程的两个根,且a ≠0,(也叫两根式)。
2.
二次函数的图象
①二次函数的图象是对称轴平行于(包括重合)
y 轴的抛物线,
几个不同的二次函数,如果a 相同,那么抛物线的开口方向,开口大小(即形状)
完全相同,只是位置不同。②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到,移动
规律可简记为:[左加右减,上加下减],具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时,可以先配方成
的形式,然后
将的图象上(下)左(右)平移得到所求图象,即平移法;也可用描点
法:也是将配成的形式,这样可以确定开口方
向,对称轴及顶点坐标。然后取图象与y 轴的交点(0,c ),及此点关于对称轴对称的点(2h ,c );如果图象与x 轴有两个交点,就直接取这两个点(x 1,0),
y ax
bx c 2
y a x
h k ()
2
y
a x
x x
x ()()12x x 12,ax
bx c
2
0y
ax
bx
c 2
y
ax
bx
c 2
y
a x
h k ()
2
y ax 2
y ax
bx
c 2
y a x h k ()
2
y
ax 2
y
ax
bx
c 2
y
a x h k ()
2
(x 2,0)就行了;如果图象与x 轴只有一个交点或无交点,那应该在对称轴两侧取对称点,(这两点不是与y 轴交点及其对称点),一般画图象找5个点。3. 二次函数的性质函数
二次函数a 、b 、c 为常数,a ≠0(a 、h 、k 为
常数,a ≠0)a >0a <0
a >0a <0
图象
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸(1)抛物线开
口向下,并向
下无限延伸
性(2)对称轴是x =,顶点是()(2)对称轴是x =,顶点是
(
)
(2)对称轴是x =h ,顶点是(h ,k )(2)对称轴是x
=h ,顶点是
(h ,k )
质
(3)当
时,y 随x 的增大而减小;当时,y 随x 的增大而增大(3)当时,y 随x 的增大而增大;当时,y 随x 的增大而减小
(3)当时,y 随x 的增大而减小;当x >h 时,y 随x 的增大而增大。
(3)当x <h 时,
y 随x 的增大而
增大;当x >h
时,y 随x 的增
大而减小
(4)抛物线有最低点,当
时,y 有最小值,(4)抛物线有最高点,当时,y 有最大值,
(4)抛物线有最低点,当x =h 时,y 有最小值(4)抛物线有
最高点,当x
=h 时,y 有最
大值
4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法
①配方法:将解析式
化为的形式,顶点坐标为
y ax bx c 2
y a x h k ()
2
b a 2b a
ac b
a 2442
,b
a 2b
a
ac b
a
2442
,
x b a 2x b a 2x b a 2x b a 2x h x b a 2y ac b
a
最小值
442
x b a 2y ac b
a
最大值
442
y k
最小值y k
最大值
y
ax
bx
c 2
y
a x h k ()
2
(h ,k ),对称轴为直线,若a >0,y 有最小值,当x =h 时,;
若a <0,y 有最大值,当x =h 时,。
②公式法:直接利用顶点坐标公式(
),求其顶点;对称轴是直
线
,若
若,
y 有最大值,当
5. 抛物线与x 轴交点情况:对于抛物线①当时,抛物线与x 轴有两个交点,反之也成立。
②当时,抛物线与x 轴有一个交点,反之也成立,此交点即为
顶点。③当
时,抛物线与x 轴无交点,反之也成立。
二、考点归纳
考点一求二次函数的解析式
例1.已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最
x
h y k
最小值
y k
最大值
b
a
ac b
a 2442
,
x
b a 2a
y x
b
a y ac b
a 02442
,有最小值,当时,;
最小值
a 0x
b a
y ac b
a
2442
时,最大值
y ax
bx c a 2
0()
≠b ac 2
40b
ac
2
40b
ac
2
40