2014年高一下学期数学期中考试
河北省正定中学2014-2015学年高一下学期期中试卷数学Word版含答案
2014-2015学年度第二学期高一期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.） 1．设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）.A ac bc > .B 11a b < .C 22a b > .D 33a b > 2.等比数列{}n a 中，若33,2a =前3项和392S =，则数列{}n a 的公比为（ ）.A 1 .B 12- .C 1或12 .D 1或12-3．已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调减区间为（ ）.A 7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ .B 7[,],1212k k k Z ππππ++∈.C 2[,],63k k k Z ππππ++∈ .D 2[2,2],63k k k Z ππππ++∈4.如图1，正方体''''ABCD A B C D -中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC 、MN 的中点，则四棱锥'A EFGH -的侧视图为（ ）5. 实数,x y 满足条件40,220,0,0,x y x y z x y x y +-≤⎧⎪-+≥=-⎨⎪≥≥⎩则的最大值为（ ）.A 1- .B 0 .C 2 .D 46．已知sin cos αα-=，则1tan tan αα+的值为 （ ） .A －4 .B 4 .C －8 .D 87．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-, 466a a +=-,则当n S 取最小值时,n = （ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 9 8．若cos c a B =,sin b a C =,则ABC ∆是（ ）.A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 直角三角形 .D 等边三角形9．已知0,0a b >>则4a b ++的最小值为（ ） .A 2 .B .C 4 .D 510.设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P Q 、分别是侧棱11,AA CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为（ ）.A 16V .B 14V .C 13V .D 12V12.在ABC △中,E 、F 分别为,AB AC 中点.P 为EF 上任一点,实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=.设ABC △,PBC △,PCA △,PAB △的面积分别为123,,,,S S S S 记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=,则23λλ取最大值时,2x y +的值为（ ）.A -1 .B 1 .C -32 .D 32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知(1,2),(,4)10,_____.a b x a b a b ==⋅=-=且则14．设常数0a >,若241a x a x+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________.15.已知函数2,0()21,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩若函数()()2g x f x m =+有三个零点，则实数m 的取值范围是 . 16.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为_______. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<<，（Ⅰ）若21=a ，求B A ⋂； （Ⅱ）若A B =∅，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,M N 分别是棱11,AA CC 的中点， （Ⅰ）求正方体1111ABCD A B C D -的内切球的半径与外接球的半径之比；（Ⅱ）求四棱锥1A MB ND -的体积.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{}n b 的通项公式． 20．（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小值，及取最小值时x 的值；（Ⅱ）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求,a b 的值．21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项均为正数，它的前n 项的和为n S ，且2111822n n n S a a =++，数列{}n b 满足1111,()n n n n b a b a a b ++=-=．其中n N *∈． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n na cb =，求证：数列{}n c 的前n 项的和59n T >（n N *∈）．22．（本小题满分12分） 已知2(),f x ax x a a R =+-∈.（Ⅰ）若不等式13)12()1()(2--++->a x a x a x f 对任意实数]1,1[-∈x 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0a <，解不等式()1f x >.高一第二学期期中考试数学试题答案一．1-5 DDBCD 6-10 CABCC 11-12 DD 二14.13a ≥ 15. ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,116.470 17.（1）………4分（2）当A =∅时，需满足121,a a -≥+解得：2a ≤-；………6分当A ≠∅时，需满足121121,21011a a a a a a -<+-<+⎧⎧⎨⎨+≤-≥⎩⎩或解得：1222a a -<≤-≥或；综上，的取值范围为1(,][2,)2-∞-⋃+∞. ………10分18.(1)内切球半径12r a =，外接球半径R a = ，内切球与外接球半径之比为；………6分(2)法一：连MN,则11A MB NDA MB N A MNDV V V ---=+1111,3A MB N N AMB AMB V V a S --∆==⋅⋅12111111,2224AMB S AM B A a a a ∆=⋅⋅=⋅⋅=123111,3412A MB N V a a a -∴=⋅⋅=1.1,3A MND N AMD AMD V V a S --∆==⋅⋅121111,2224AMB S AM AD a a a ∆=⋅⋅=⋅⋅=23111,3412A MND V a a a -∴=⋅⋅=综上，1131.6A MB ND A MB N A MND V V V a ---=+=………12分法二：连MN,则11A MB ND A MB N A MNDV V V ---=+又1S S ,MB N MND ∆∆=故1,A MB N A MND V V --=112A MB ND A MB N V V --∴=111311,312A MB N N AMB AMB V V a S a --∆==⋅⋅=11312.6A MB ND A MB N V V a --∴==19．解：（Ⅰ）因为35232S a S a =⎧⎨=⎩ 所以112123()43()a d a d a d a +=+⎧⎨+=⎩，即122223a da a =⎧⎨=⎩． 因为252a a =，0d ≠， 所以20a ≠． 所以112a d =⎧⎨=⎩． 所以21n a n =-． ………6分 （Ⅱ）因为*12()n an n b b n N +-=∈，所以1212ab b -=，2322a b b -=，……112n a n n b b ---=． 相加得1121222n a a a n b b --=+++=1323222n -+++=12(41)3n -- 即21213n n b -+=．…12分20解：，则()f x 的最小值是2-，当且仅当,6x k k Z ππ=-∈，则，，，，，由正弦定理，得由余弦定理，得，即，由解得．.21解：（I ）2111822n n n S a a =++， ① 当2n ≥时，2111111822n n n S a a ---=++， ②① －②得：221111()()82n n n n n a a a a a --=-+-，即1111()()4n n n n n n a a a a a a ---+=+-，∵数列{}n a 的各项均为正数，∴14n n a a --=（2n ≥），又12a =，∴42n a n =-；∵1111,()n n n n b a b a a b ++=-=，∴1112,4n n b b b +==，∴112()4n n b -=⋅；（II ）∵1(21)4n nn na c nb -==-， ∴22113454(23)4(21)4n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，2214434(25)4(23)4(21)4n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅L ∴，两式相减得21555312(444)(21)4(2)4333n n n n T n n --=++++--=---⋅<-，∴59n T >．22、解：（1）原不等式等价于01222>++-a ax x 对任意的实数]1,1[-∈x 恒成立， 设12)(122)(222++--=++-=a a a x a ax x x g○1当1-<a 时，01221)1()(min >+++=-=a a g x g ，得Φ∈a ； ○2当11≤≤-a 时，012)()(2min >++-==a a a g x g ，得121≤<--a ；○3当1>a 时，01221)1()(min >++-==a a g x g ，得1>a ； 综上21->a（3）210ax x a +-->，即(1)(1)0x ax a -++>因为0a <，所以1(1)()0a x x a +-+<，因为 1211()a a a a++--=所以当102a -<<时，11a a +<-， 解集为｛x|11a x a +<<-｝；当12a =-时，2(1)0x -<，解集为φ；当12a <-时，11a a +>-， 解集为｛x|11a x a+-<<｝。
浙江省杭州十四中2013-2014学年高一下学期期中数学试
杭十四中二〇一三学年第二学期中测试高一年级数学学科试卷注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出 答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。
一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。
1．函数()sin cos f x x x =的最小值是(▲)A ．1 B.－1 C ．12 D ．－122．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =(▲)A ．1B ．2C ．4D ．8 3．函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是(▲) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =(▲) A ．2 B.3 C ．6 D ．75．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=(▲)A ．7-B ．17- C ．7 D ．176．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列, 且2c a =, 则cos B =(▲)A ．34B C D ．147．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(▲)A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．已知函数()2cos 2f x x x m +-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是(▲)A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[l,2]9．在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是(▲) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形 10．在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =(▲)A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。
安徽省黄山市2014年高一数学下学期期中试题
安徽省黄山市2014年高一数学下学期期中试题安徽省黄山市2014年高一数学下学期期中试题一．选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分．1．若a＜b＜0，则()A.1a＜1bB．0＜ab＜1C．ab＞b2D.ba＞ab2．在等比数列，，，则()A．B．C．D．3.在中，，则A等于()＋＋＋α等于()A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cosα5已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差dA．4或5B．5或6 C．6或7D．不存在6．若，则（）A.B.C.0D.0或7若数列an的通项公式是an＝(－1)n•(3n－2)，则a1＋a2＋…a10＝() A．15B．12C．－12D．－158关于x的不等式对一切恒成立,则的取值范围是()A．B．C．D．9.已知是以为公比的等比数列,且,则:()....与的大小不确定10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＞0，T＝1a＋1b＋1c，则()A．T＞0.T＜0C．T＝0D．T≥0二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分．三、解答题：共6小题，75分，应写出必要的文字说明，推理过程或计算步骤.16（12分）已知函数(1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．17.（12分）△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若=4，，求的值。
18（12分）不等式的解集为A，不等式的解集为B。
（1）求A∩B；（2）若不等式的解集为A∩B，求a和b的值。
20．（13分）若不等式组x2－x－2＞02x2＋＋＋5k＜0的整数解只有－2，求k的取值范围．21（14分)已知公比q为正数的等比数列{}的前n项和为，且．(I)求q的值；(Ⅱ)若且数列{}也为等比数列，求数列{(2n一1)}的前n项和．黄山市田家炳实验中学高一数学（下）期中测试答题卷一选择题题号12345678910答案二填空题11_______12_________13________14_________15__________ 三解答题：16（12分）17（12分）18（12分）19（12分）20（13分）21（14分）黄山市高一数学（下）期中测试卷5已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差dA．4或5B．5或6 C．6或7D．不存在解析由d∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0.∴S5＝S6且最大．答案B6．若，则（）A.B.C.0D.0或答案D.答案：B题号12345678910答案CCBDBDCBAB二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分．11.已知则的取值区间是（-24,45）.12.在△ABC中，已知b＝3，c＝33，A＝30°，则角C等于_____120°13.五个数：2，x，y，z,18成等比数列，则x＝____________.解析依题意，有18＝2•q4，∴q4＝9，q＝±3.∴x＝2q＝±23.答案±2314.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时________10海里15．若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式_________三、解答题：共6小题，75分，应写出必要的文字说明，推理过程或计算步骤.16（12分）已知函数(1)写出函数的单调递减区间；(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．16．解：3分（1）为所求6分（2）9分12分17.（12分）△ABC中，是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若=4，，求的值。
杭州十四中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题及答案
注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。
一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。
1．函数()sin cos f x x x =的最小值是(▲)A ．1 B.－1 C ．12 D ．－122．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =(▲)A ．1B ．2C ．4D ．8 3．函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是(▲) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =(▲) A ．2 B.3 C ．6 D ．7 5．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=(▲) A ．7-B ．17- C ．7D ．176．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列, 且2c a =, 则cos B =(▲)A ．34B C D ．147．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(▲)A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．已知函数()2cos 2f x x x m +-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是(▲)A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[l,2]9．在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是(▲) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形 10．在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =(▲)A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。
2014-2015年河南省郑州一中高一(下)期中数学试卷和答案
（3）估计电子元件寿命的众数，中位数及平均数．
19．（12 分）根据科学研究人的身高是具有遗传性的，唐三的身高为 1.90m，他
的爷爷的身高 1.70m，他的父亲的身高为 1.80m，他的儿子唐东的身高为 1.90m，
（1）请根据以上数据画出父（x）子（y）身高的散点图；
（2）根据父（x）子（y）身高的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）．
13．（5 分）某公司生产三种型号的轿车，产量分别是 1600 辆、6000 辆和 2000
辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车种抽取 48 辆进行检验，
这三种型号的轿车依次应抽取
．
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14．（5 分）已知函数 （f x）=2co（s 2x﹣ ），x∈[0， ），则 （f x）的值域为
A．（﹣ ， ）
B．（0， ）
C．（0， ）∪（ ，2π）
D．（0， ）∪（ ，2π）
第 1 页（共 15 页）
9．（5 分）采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随
机编号为 1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号
码为 9．抽到的 32 人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷 A，编号落入区
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）将 1920°转化为弧度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：1920°=5×360°+120° =5×2
=
故选：D． 2．（5 分）已知角 α 的终边在射线 y=﹣3x（x≥0）上，则 sinαcosα 等于（ ）
。2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题
14、若不等式 2 kx 2 kx 3 0 的解集为空集 , 则实数 k 的取值范围是 _________． 8
15、△ ABC 中 , 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 b＝8, c＝ 6, A＝ , ∠ BAC 的角平分线交边 BC 于点 D, 则 3
（2 n 1）2n 1,
∴ 2Tn 1 22 3 2 3
(2n
3) 2n
( 2n
1)2 n
1
因此
Tn 1 2 (2 2 2 2 2 3
2
2n)
(2n
1) 2 n
1
,
即： Tn 1 2 (23 2 4
2 n 1) ( 2n 1)2 n 1 , ∴ Tn (2n 3)2n 1 6 . …… 12 分
22、答案 : （ 1）∵ an
an 1
2n ，∴ an 1
1 2n 1 3
(an 1 2n ) ， 3
∵ a1
1 2
1
0，
33
an 1
∴
an
1 2n 1 3 1 2n 3
1，
∴ { an
1
2n} 是首项为
1
，公比为
1 的等比数列。且 an
1 [2 n
( 1)n ]
3
3
3
…… 3 分 [ 来源:Z*xx*]
快乐的学习，快乐的考试！
（ 1）求数列 an 的通项公式；
（ 2）设 bn
2
n an
, 求数列
2
bn 的前 n项和 Sn ．
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四川省雅安中学2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含答案
雅安中学2014—2015学年高一年级下期期中数 学 试 题本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题卷和机读卡一并收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．设向量a ＝(cos α，12)，若a 的模长为22，则cos 2α等于( )A ．－12B ．－14 C.12 D.32 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3C ．4D ．12 3．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )A ．－22 B.22 C ．－1 D ．1 4．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos(x －π3)的图象( )A ．向右平移π6个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位D ．向左平移π6个单位6．已知A ，B ，C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A ，1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定 7．已知函数f (x )＝(1＋cos 2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数8．设0≤θ≤2π，向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P2→的模长的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 3 D ．329．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( ) A.16 B.14 C.13 D.1210．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是A. 2B.2 C ． 3 D ．3第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.12．已知cos 4α－sin 4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.13．若向量AB →＝(3，－1)，n ＝(2,1)，且n ·AC →＝7，那么n ·BC →＝________.14．若θ∈[0，π2]，且sin θ＝45，则tan θ2＝________. 15.下列叙述正确的是________.①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，.②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心；④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=⇔O 为ABC ∆的内心 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. (1)若a ⊥b ，求θ；(2)求|a ＋b |的最大值及此时θ的值.17．(12分)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π. (1)求f (x )的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f (α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．18．(1)已知0<β<π2<α<π，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos βα＝－19，⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα2sin ＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．19．(12分)已知x ∈R ，向量OA →＝(a cos 2x,1)，OB →＝(2，3a sin 2x －a )，f (x )＝OA →·OB →，a ≠0.(1)求函数f (x )的解析式，并求当a >0时，f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为5，求a 的值．20．(13分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．21．（14分）半径为2的扇形AOB 中，圆心角为32π，按照下面两个图形从扇形中切割一个矩形PQRS ，设θ=∠POA（1）请用角θ分别表示矩形PQRS 的面积；（2）按图形所示的两种方式切割矩形PQRS ，问何时矩形面积最大.雅安中学2014——2015学年高一年级下期期中数 学 试 题答案一．选择题：ABDCA ADDDB1．A [∵|a |＝cos 2α＋14＝22，∴cos 2α＝14.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－12.]2．B [∵|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12. ∴|a ＋2b |＝2 3.] 3．D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28° ＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28° ＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]4．C [∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，∴8a －b ＝(6,3)，∵(8a －b )·c ＝(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30， ∴x ＝4.]5．A [方法一 y ＝cos(x －π3)＝sin(x ＋π6)，向右平移π6个单位即得y ＝sin(x －π6＋π6)＝sin x ，故选A.方法二 y ＝sin x ＝cos(x －π2)，y ＝cos(x －π3)6π−−−−−−→向右平移个单位6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝cos(x －π2)，无论哪种解法都需要统一函数名称．] 6．A [∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2.∴π2>A >π2－B >0.∵函数y ＝sin x ，x ∈(0，π2)是递增函数，∴sin A >sin(π2－B )．即sin A >cos B .∴p ·q ＝sin A －cos B >0.∴p 与q 所成的角是锐角．]7．D [f (x )＝(1＋cos 2x )1－cos 2x 2＝12(1－cos 22x )＝12－12×1＋cos 4x2＝14－14cos 4x ，∴T ＝2π4＝π2，f (－x )＝f (x )，故选D.] 8．D [|P 1P 2→|＝(2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)2＝10－8cos θ≤18＝3 2.]9．D [由题意知tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan (ωx ＋π6)，即tan(ωx ＋π4－πω6)＝tan(ωx ＋π6)．∴π4－π6ω＝k π＋π6，得ω＝－6k ＋12，则ωmin ＝12(ω>0)．] 10.【解析】设AOC α∠=,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧∙=∙+∙⎪⎨∙=∙+∙⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤答案：2.二．填空题 11.π2解析 ∵a ∥b ， ∴sin αsin β－cos αcos β＝0即cos(α＋β)＝0. ∵0<α＋β<π.∴α＋β＝π2.12.13－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23. 又2α∈(0，π)．∴sin 2α＝53.∴cos(2α＋π3)＝12cos 2α－32sin 2α＝13－156.13．2解析 n ·BC →＝n ·(AC →－AB →)＝n ·AC →－n ·AB →＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.14. 12 解析 ∵sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2sin θ2cos θ2sin 2θ2＋cos 2θ2＝2tanθ21＋tan 2θ2＝45.∴2tan 2θ2－5tan θ2＋2＝0，∴tan θ2＝12或tan θ2＝2.∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]．∴tan θ2∈[0,1]，∴tan θ2＝12.15.（1），（2）①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，特别地0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；(),[0,)AB AC λλ+∈+∞是BC 边上的中线AD 上的任意向量，过重心；()12AD AB AC =+，等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. ②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心；()||cos ||cos AB ACAB B AC Cλ+[0,)λ∈+∞是△ABC 的边BC 的高AD 上的任意向量，过垂心.③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的内心；向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线).④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=222OA OB OC OA OB OC ⇔==⇔==⇔O 为ABC ∆的外心.三．解答题16．解 (1)若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0.由此得tan θ＝－1(－π2<θ<π2)，∴θ＝－π4.(2)由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得 a ＋b ＝(sin θ＋1,1＋cos θ)，|a ＋b |＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin (θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |的最大值为2＋1.17．解 (1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T ＝2π，则ω＝2πT＝1.∴f (x )＝sin(x ＋φ)．∵f (x )是偶函数，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f (x )＝cos x .(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.18 .解 (1)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.19．解 (1)f (x )＝2a cos 2x ＋3a sin 2x －a ＝3a sin 2x ＋a cos 2x ＝2a sin(2x ＋π6)．当a >0时，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．故函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由(1)知f (x )＝2a sin(2x ＋π6)．当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]．若a >0，当2x ＋π6＝π2时，f (x )max ＝2a ＝5，则a ＝52；若a <0，当2x ＋π6＝7π6时，f (x )max ＝－a ＝5，则a ＝－5.所以a ＝52或－5.20．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x (0<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t ≤ 2.则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t ≤ 2.∴t ＝－22时，y 取得最小值，且y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22.由于0<x <π，故x ＝11π12.所以函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b|a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0.∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin 2α＝0.∴52sin 2α＋32cos 2α＝0.∴tan 2α＝－35. 22 ．。
2014-2015学年高一下学期期中联考数学试题word版 含答案
2014-2015学年度春学期三校期中联考试卷高一数学一．填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知直线l ：30x ay -+=的倾斜角为o30，则实数a 的值是_____________. 2.不等式26510x x --+≤的解集是_________________.3.数列{}n a 为等差数列，已知389220a a a ++=，则7a =___________.4.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若 120,3,1===C c b ，则ABC ∆的面积是__________.5.若{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若9,384==S S ，则17181920a a a a +++=_____.6.在公比为2=q 的等比数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，若64255,2==m m S a ，则=m .7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a b bc -=， sin 3sin C B =，则A =____________.8.等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且212n n n S S S ++=+，则数列{}n a 的公比为_____. 9.已知(2,3),(4,1),A B -直线:10l kx y k +-+=与线段AB 有公共点，则k 的取值是 _____________.10.变量y x ,满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3|||3|z x y =+-的取值范围是__________.11..数列{}n a 的首项为11a =，数列{}n b 为等比数列且1n n nab a +=，若511102=b b 则21a = ．12在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、,45a C ==,tan 21tan A cB b+=, 则边长c 的值是____________.13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且121a a ==，(){}2n n nS n a ++为等差数列，则 n a =_______________.14．已知函数22()21,f x x ax a =-+-若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则 实数a 的取值范围是___________.二．解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内．作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15,16,17题每题14分，18,19,20题每题16分) 15.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小（2）若4a b =，求边c 的大小.16.已知直线l 经过点(3,4)P .（1）若直线l 的倾斜角为(90)θθ≠，且直线l 经过另外一点(cos ,sin )θθ，求此时直线l 的 方程；（2）若直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程.17.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足2n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足111,n n n b b b a +==+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设(3)n n c n b =-，求数列n c 的前n 项和n T .18.如图，在ABC Rt ∆中，P BC AC ACB ,2,3,2===∠π是ABC ∆内的一点．（1)若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长； （2）若32π=∠BPC ，设θ=∠PCB ，求PBC ∆的面积)(θS 的解析式，并求)(θS 的最大值·19.已知函数b x a a x x f +-+-=)5(3)(2（1）当不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-时，求实数b a ,的值； （2）若对任意实数a ，0)2(<f 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）设b 为常数，解关于a 的不等式0)1(<f .20.设数列}{n a ，}{n b ，}{n c ，已知41=a ，31=b ，51=c ，n n a a =+1，21nn n c a b +=+，21n n n b a c +=+（*N ∈n ）． （1）求数列}{n n b c -的通项公式； （2）求证：对任意*N ∈n ，n n c b +为定值；（3）设n S 为数列}{n c 的前n 项和，若对任意*N ∈n ，都有]3,1[)4(∈-⋅n S p n ，求实数p 的取值范围．2014-2015学年度春学期期中试卷高一数学参考答案及评分建议 2015.4一．填空题（每空5分，共70分）1. 2. 1[,)(,1]6+∞⋃-∞-， 3. 5， 4. 4， 5.15. ， 6. 8，7.3π， 8. 12-， 9.43k ≥或23k ≤-， 10.[3,92]， 11.4， 12. 13. 12n n-， 14. 2a ≤-.二．解答题（第15-17题每题14分，第18-20题每题16分）15 .解：（1）利用正弦定理，由1cos 2a C c b +=，得1sin cos sin sin 2A C CB +=.……2分 因为sin sin()sin cos cos sin B AC A C A C =+=+，所以1sin cos sin 2C A C =.……4分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =.………6分因为0A π<<，所以.3A π=………8分（2）由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，因为4a b ==，3A π=，所以211316242c c =+-⨯⨯⨯，即2430c c -+=，………12分 解得1c =或3c =………14分 16.解：（1）直线l 的斜率为4sin sin tan 3cos cos k θθθθθ-===-，………2分解得4cos 3sin θθ=，即4tan 3θ=……4分 所以直线l 的斜率为43，直线l 的方程为43y x =；………6分（2）由题意知，直线l 的斜率必存在，且不为零，则设:4(3)l y k x -=-，………7分 分别令,x y 等于零得到x 轴上的截距为43k-+，y 轴上的截距为34k -+，………8分 由43k-+=34k -+，得43k -+=34k -+，解得1k =-或43k =；………10分或者43k-+=34k -，解得1k =或43k =；………12分经检验43k =不合题意，舍去.………13分综上：k 的值为1±，直线l 的方程为：1y x =+或7y x =-+.……14分（用截距式也可）17.解：（1）当1n =时，111112,1a S a a a +=+=∴=.………1分 因为2n n S a =-，即112,2n n n n a S a S +++=∴+=. 两式相减得：12n n a a +=，………2分 因为0n a ≠，所以*11()2n n a n N a +=∈.………3分 所以数列{}n a 是首项11a =，公比为12的等比数列， 所以11()2n n a -=.………4分（2）因为1111,()2n n n n n n b b a b b -++=+∴-=，………5分利用累加得：1221111()111121()()22()1222212n n n n b b -----=++++==--.………7分又因为11b =，所以1132()2n n b -=-.………8分 （3）因为11(3)2()2n n n C n b n -=-=，………9分所以012111112[()2()3()()]2222n n T n -=++++.123111112[()2()3()()]22222n n T n =++++. ………10分 由-，得：01211111112[()()()()]2()222222n nn T n -=++++-.………11分故11()18184244()84()8222212nn n n n n nT n n -+=-=--=--………14分18.解：（1）因为P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且2BC =， 所以,4PCB PC π∠==，………1分又因为,24ACB ACP ππ∠=∴∠=，………2分在PAC ∆中，由余弦定理得：2222cos 54PA AC PC AC PC π=+-⋅=，………5分所以PA =………6分（2）在PBC ∆中，32π=∠BPC ，θ=∠PCB ，所以3PBC πθ∠=-，………7分 由正弦定理得2,2sin sin sin()33PB PCππθθ==-………8分,sin()3PB PC πθθ∴==-………9分 所以PBC ∆得面积12()sin sin()sin 233S PB PC ππθθθ=⋅=-………11分=22sin cos sin 22333θθθθθ-=+-……12分=sin(2)(0,)3633ππθθ+-∈，………14分 所以当6πθ=时，PBC ∆………16分 19 .解：（1） 0)(>x f 即0)5(32>+-+-b x a a x ∴0)5(32<---b x a a x ∴⎩⎨⎧=---=--+0)5(3270)5(3b a a b a a ……2分∴⎩⎨⎧==92b a 或⎩⎨⎧==93b a （若用根与系数关系也算对） ……………………4分（2）0)2(<f ，即0)5(212<+-+-b a a 即0)12(1022>-+-b a a …………6分∴0<∆恒成立 21-<∴b …………………………10分 （3）0)1(<f 即0352>+--b a a ,∴△=b b 413)3(4)5(2+=+---10当0<∆即413-<b 时， R a ∈ …………………………………12分20当0=∆即413-=b 时，解集为{，a a 25|≠R a ∈} ………………………14分30当0>∆即413->b 时，解集为{a 21345++>b a 或21345+-<b a } ……16分20. 解：（1）因为n n a a =+1，41=a ，所以4=n a （*N ∈n ）， …………１分所以222421+=+=+=+nn n nn c c c a b ，2221+=+=+n n n n b b a c ， )(21)(2111n n n n n n b c c b b c --=-=-++， …………………………………2分即数列}{n n b c -是首项为2，公比为21-的等比数列， …………………………3分所以1212-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-n n n b c ． ………………………………………………………4分（2）4)(2111++=+++n n n n c b c b ， ……………………………………5分所以)8(2142811-+=-+=-+++n n n nn n c b c b c b ，………………………………8分 而0811=-+c b ，所以由上述递推关系可得，当*N ∈n 时，08=-+n n c b 恒成立，即n n c b +恒为定值．………………………………………………………………………10分（3）由（1）、（2）知⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-=+-1212,8n n n n n b c c b ，所以1214-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n c ，…………11分所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--+=nnn n n S 2113242112114，所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=-⋅nn p n S p 21132)4(， …………………………………………12分由]3,1[)4(∈-⋅n S p n 得3211321≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅≤np ，因为0211>⎪⎭⎫⎝⎛--n，所以nnp ⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111， ……………………13分当n 为奇数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递增，且121110<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<n， 当n 为偶数时，n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111随n 的增大而递减，且12111>⎪⎭⎫ ⎝⎛--n， 所以，n ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111的最大值为34，n⎪⎭⎫⎝⎛--2113的最小值为2． …………………15分 由nn p ⎪⎭⎫⎝⎛--≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--2113322111，得23234≤≤p ，解得32≤≤p ． …………16分 所以，所求实数p 的取值范围是]3,2[．。
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2014年上期（春季）期中考试
第I 卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
）
1.常数数列a,a,a,…,a,… （ ）
A 一定是等差数列但不一定是等比数列
B 一定是等比数列但不一定是等差数列
C 既是等差数列又是等比数列
D 既不一定是等差数列也不一定是等比数列 2.在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 （ ） A
DC AB = B AC AB AD =+ C AD BD AB += D 0=+CB AD
3.已知△ABC 中，a=1，b=3，A=︒30，则角B 等于（ ）
A. ︒60
B. ︒60或︒120
C. ︒30或︒150
D. ︒120 4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22
5a ，2a =1，则1a = （ ） A.
2
1
B. 22
C. 2
D.2
5. 若a,b,c 成等比数列，则函数y=ax 2
+bx+c 的图象与x 轴交点的个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2 6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 7.（改编）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若ac b c a 32
2
2
=-+，则角B 的值为（ ）
A.
6π B. 3π C. 6π或65π D. 3π或3
2π
8. （改编） 等差数列{}n a 的前m 项和为10，前2m 项和为20，则它的前3m 项的和为 （ ） A 60 B 50 C 40 D 30
9. 设向量a b 、
满足|a |=|b |=1, a b ⋅ 1
=2
-,则2a b += （ ）
B C D 10. 在ABC ∆中，B=600
，ac b =2
，则ABC ∆的形状一定是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰或直角三角形
11.如图.点M 是ABC ∆的重心,则MC MB MA -+为（ ）
A ．0
B ．4
C ．4
D ．4
12.（课本题）等边三角形ABC 的边长为1，,a BC =,b CA =c AB =， 那么a
c c b b a ∙+∙+∙
等于（ ）
A. 3 B ．-3 C ．
23
D ．-2
3
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
）
13.在数列}{n a 中，3,511+==+n n a a a ，则这个数列的通项公式n a =__________ 14. （改编）在等比数列}{n a 中，若8,273==a a ，则=5a ____
15.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a b + 与向量ka b -
垂直,则k = .
16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足5
3cos =A ，3AB AC ⋅=
，若6b c +=，则
a 的值是__________
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
如图平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a
，AD =b ，试以a ，b
为基底表示、BF 、CG
．
18．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。
19. （本小题满分12分）
（改编）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且2sin a b A =． （1）求B 的大小；
（2）求sinA+sinC 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
（原创）已知数列{}n a 的前n 项和为n S =n n 2
1
212+,n *N ∈ （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2）设n b =
n a n ∙+)2(1，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：n T <4
3
.
21．（本小题满分12分）
一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号，正在该海域执行护航任务的我海军
“黄山”舰在A 处获悉后，立即测出该商船在北偏东450距离10海里的C 处，并沿南偏东750
方向，以 9海里/小时的速度航行，“ 黄山”舰立即以21海里/小时的速度前去营救，求“ 黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及经过的路程。
22．（本小题满分14分）
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为 等比数列{}n b 中的b 、b 、b 。
（1） 求数列{}n b 的通项公式； （2） 数列{}n b 的前n 项和为n
S ，求证：数列54
n S ⎧⎫
+
⎨⎬⎩
⎭
是等比数列。
绵阳普明中学
2012年上期（春季）期中考试 高一数学试题答案
一．选择题
ACBBA CADBC DD 二．填空题
13.3n+2 14. 4 15. 1 16. 25 三、解答题：
17. 解：1122
DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-
1122
BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-
G 是△CBD 的重心，111()
333CG CA AC a b ==-=-+
18.（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==-
，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-=
所以|||AB AC AB AC +=-=
故所求的两条对角线的长分别为
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则:
E 为B 、C 的中点，E （0，1）
又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=；
（2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++。
由(t -)·=0，得：(32,5)(2,1)0t t ++⋅--=，
从而511,t =-所以115
t =-。
或者：2· AB OC tOC = ，(3,5),AB =
2115
||
AB OC t OC ⋅==-
19. （1）B=600 （2） sinA+sinC=sinA+sin(1200
-A)=sinA+
23cosA+2
1
sinA =3sin(A+300
)
∵300<A+300 <1500
∴23<3sin(A+300
)< 3 即sinA+sinC 的取值范围是（2
3，3）
20 （1）n a =n （2）∵ n b =
n a n ∙+)2(1=n n ∙+)2(1=21(n 1-2
1
+n )
∴n T =++21b b …+n b =
21〔(1-31)+(21-41)+(31-51)+…+(1
111+--n n )+(n 1-21+n ) 〕 =
)2(21)1(2143+-
+-n n <4
3
21 . 设所需要的最少时间为t,AB=21t,BC=9t,∠C=1200
, 则由余弦定理得(21t)2
=100+812
t +90t 解得t= 32小时，或t=-12
5小时（舍去），AB=14海里，靠近商船所需要的最少时间是32小时，航行14海里。
a-d ，a, a+d. 依题意，得a-d+a+a+d =15,解得a=5.
所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7-d ，10，18+d.
依题意，有（7-d ）（18+d ）=100，解得d=2或d=-13（舍去）. 故{}n b 的第3项为5，公比为2. 由3122b b =⋅，即1252b =⋅，解得15.4
b =
所以{}n b 是以
54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为135
2524
n n n b --=⋅=⋅. （2）数列{}n b 的前n 项和25
(12)
5452,124n n n S --=
=⋅--即2552.4
n n S ++=⋅ 所以1112
5
55524,
2.542524
n n n n
S S S -+-+
⋅+===⋅+ 因此5
{}4
n S +是以52为首项，公比为2的等比数列.
B
C。