高考数学《直接证明与间接证明》复习课件
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高考数学一轮总复习(知识梳理+聚焦考向+能力提升)6.6 直接证明与间接证明课件 理
第十六页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 二 分析法的应用(yìngyòng)
变式训练
2．已知△ABC三边a，b，c的倒数成等 差数列，证明(zhèngmíng)：B为锐角．
证明：要证明 B 为锐角，根据余弦定理，也就是证明 cos B＝
a2＋c2－b2 2ac ＞0，即需证 a2＋c2－b2＞0.
要证明
2
≥f( 2 )，
（3x1－2x1）＋（3x2－2x2） x1＋x2
x1＋x2
即证明
2
≥3 2 －2· 2 ，
3x1＋3x2
x1＋x2
因此只要证明 2 －(x1＋x2)≥3 2 －(x1＋x2)，
3x1＋3x2 x1＋x2 即证明 2 ≥3 2 ，
3x1＋3x2 因此只要证明 2 ≥ 3x1·3x2，
考 向 三 反证法
例题(lìtí)精编
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
(2014·浙江杭州模拟)已知函数 f(x)＝ax＋xx－＋21(a＞1)． (1)证明：函数 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程 f(x)＝0 没有负数根．
(1)用增函数定义证明；(2)假设(jiǎshè)有 负数根，根据指数函数性质证出矛盾．
(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要 证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．
第七页，共32页。
C 聚焦考向透析
考 向 一 综合法的应用(yìngyòng)
例题(lìtí)精编
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，
已知 f(x)＝l1n＋xx－ln x，f(x)在 x＝x0 处取最大值，
高考理科数学一轮复习课件直接证明与间接证明
精确理解概念
在证明之前，确保对涉及的所 有概念有清晰、准确的理解。
偷换概念
在证明过程中，学生可能会不 自觉地改变某个概念的定义或 范围，导致逻辑不严密。
以偏概全
仅根据部分情况就推断整体情 况，缺乏充分的理由和证据支 持。
理顺逻辑关系
在证明过程中，保持清晰的逻 辑链条，确保每一步推理都有 充分的依据。
规范书写，条理清晰
严格按照逻辑顺序进行书写，先 写已知条件，再写推理过程，最
后得出结论。
使用规范的数学符号和术语，避 免使用模糊或歧义的表达方式。
保持证明的连贯性和完整性，确 保每一步推理都有明确的范措施
逻辑错误
循环论证
使用待证明的结论作为证明的 依据，这种逻辑上的“套娃” 现象是无效的。
讨论
本题主要考察综合法的运用，通过变形、代入和基本不等式等方法进行证明。在解题过程中，需要注意对不等式 的变形和已知条件的利用。
例题二：分析法证明等式
解析
本题主要考察分析法证明等式。首先， 我们将原等式进行变形，得到(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - 2(a^2 + b^2 + c^2) = 0。然后，利用已知条件 a+b+c=0进行代入，得到-2ab - 2bc 2ca = 0。最后，通过因式分解等方法进 行证明，得到结论。
讨论
本题主要考察反证法的运用，通过假 设、推理和矛盾等方法进行证明。在 解题过程中，需要注意对假设的设定 和推理过程的严密性。
例题四：同一法证明唯一性问题
解析
本题主要考察同一法证明唯一性问题。首先 ，由前面例题的结论可知，存在c∈(a,b)， 使得f(c) = 0。然后，假设存在另一个 d∈(a,b)，且d≠c，使得f(d) = 0。但是， 由已知条件f(x)在[a,b]上单调增加可知，f(x) 在[a,b]上至多有一个零点，与假设矛盾。因 此，存在唯一c∈(a,b)，使得f(c) = 0。
(人教A版)高考数学复习：6.5《直接证明和间接证明》ppt课件
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(3)反证法证题的一般思路： 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主 要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A，或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有 一个是正确的，不能有第三种情况出现．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
由因导果法 综合法又称为：_________________ (顺推证法)．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、 定理、 定义、 公理等)为止， 这种证明方法叫做分析法．
解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都 正确．
2．(2015· 山西太原模拟)用反证法证明“若 x2－1＝0，则 x x≠－1且x≠1 ＝－1 或 x＝1”时，应假设____________________ ．
解析：“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一
综合法的应用(高频考点)
考点二
考点三
分析法
反证法
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一 综合法的应用(高频考点)
综合法证明是历年高考的热点问题， 也是必考问题之一． 通 常在解答题中某一问出现，一般为中高档题，高考对综合 法的考查常有以下三个命题角度： (1)三角函数、数列证明题； (2)几何证明题； (3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
法二：由均值不等式知，当 x>1 时，2 x<x＋1， x 1 故 x< ＋ .① 2 2 令 k(x)＝ln x－x＋1，则 k(1)＝0， 1 k′(x)＝ －1<0， x 故 k(x)<0，即 ln x<x－1.② 3 由①②得，当 x>1 时，f(x)< (x－1)． 2
第六章 不等式、推理与证明
(3)反证法证题的一般思路： 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主 要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是 A，或者是非 A，即在同一讨论过程中，A 和非 A 有且仅有 一个是正确的，不能有第三种情况出现．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
由因导果法 综合法又称为：_________________ (顺推证法)．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它 成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、 定理、 定义、 公理等)为止， 这种证明方法叫做分析法．
解析：由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都 正确．
2．(2015· 山西太原模拟)用反证法证明“若 x2－1＝0，则 x x≠－1且x≠1 ＝－1 或 x＝1”时，应假设____________________ ．
解析：“x＝－1 或 x＝1”的否定是“x≠－1 且 x≠1”．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一
综合法的应用(高频考点)
考点二
考点三
分析法
反证法
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
考点一 综合法的应用(高频考点)
综合法证明是历年高考的热点问题， 也是必考问题之一． 通 常在解答题中某一问出现，一般为中高档题，高考对综合 法的考查常有以下三个命题角度： (1)三角函数、数列证明题； (2)几何证明题； (3)与函数、方程、不等式结合的证明题．
栏目 导引
第六章 不等式、推理与证明
法二：由均值不等式知，当 x>1 时，2 x<x＋1， x 1 故 x< ＋ .① 2 2 令 k(x)＝ln x－x＋1，则 k(1)＝0， 1 k′(x)＝ －1<0， x 故 k(x)<0，即 ln x<x－1.② 3 由①②得，当 x>1 时，f(x)< (x－1)． 2
苏教版高三数学复习课件11.2 直接证明与间接证明
面PAB与面PCD的交线． (1)证明：因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以AD⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB， 所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA. 由于AB、AD⊂平面ABCD，且AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD.
(1)分清命题的条件和结论； (2)作出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，则开始所作的假定不真，于是原 结论成立，从而间接的证明原命题为真．
4．用反证法证明时，当求证结论的否定有几种不同的情况时，应当一
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O 的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
(1)解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面 PBO＝BO， 所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝ DO. 而AD＝3BC，故点O的位臵满足AO＝2OD. (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD， AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD. 又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB.而PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
证明：假设 <2和 <2都不成立，则有 ≥2和
≥2同时成
因为x>0且
y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此
<2和
<2中
变式3：设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为
(1)分清命题的条件和结论； (2)作出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； (4)断定产生矛盾结果的原因，则开始所作的假定不真，于是原 结论成立，从而间接的证明原命题为真．
4．用反证法证明时，当求证结论的否定有几种不同的情况时，应当一
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O 的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.
(1)解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面 PBO＝BO， 所以BO∥CD.又BC∥AD，所以四边形BCDO为平行四边形，则BC＝ DO. 而AD＝3BC，故点O的位臵满足AO＝2OD. (2)证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD， AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD. 又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A， 所以PD⊥平面PAB.而PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.
证明：假设 <2和 <2都不成立，则有 ≥2和
≥2同时成
因为x>0且
y>0，所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x，两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2，这与已知条件x＋y>2矛盾，因此
<2和
<2中
变式3：设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和. (1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得 （1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》758PPT课件
＋λe2(λ∈R)与向量2e1－e2共线的充要条件 是________.
总结：
若P为已知的条件、定义、公理、定 理等，Q表示结论，则综合法即为 P＝＞Q1＝＞Q2＝＞……＝＞Q
练练手：
例1 已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手：
例2 在三角形ABC中，三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c，且A，B，C成等差 数列，a,b.c成等比数列，求证：三角形 ABC是等边三角形。
C 中，求证：tan Atan B>1. (2) .设e1，e 2是两个 不共线向量，则向量e1
综合法
定义：一般地，利用已知条件 和数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立， 这种方法叫做综合法。
经验传授：
为了很好地利用综合法解题，应做到以下几点：
1、解题时必须做到有理有据，不可想当然，凭 感觉；
2、每拿到一道题时，快速地判断这是哪一章、 哪一节的内容，把相关的内容、方法在脑海中过 一遍电影； 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述 改为符号表示； 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、 化简，将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学 马立军
复习旧知
1、推理方法有几种？ 2、合情推理有几种？
归纳推理具体怎样操作？ 类比推理有哪些经验之谈？ 3、什么是演绎推理？以何种形式呈献？
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确？ 2、你能举一些例子吗？
证明方法的种类
证明方法主要有两类：直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析 法
总结：
若P为已知的条件、定义、公理、定 理等，Q表示结论，则综合法即为 P＝＞Q1＝＞Q2＝＞……＝＞Q
练练手：
例1 已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手：
例2 在三角形ABC中，三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c，且A，B，C成等差 数列，a,b.c成等比数列，求证：三角形 ABC是等边三角形。
C 中，求证：tan Atan B>1. (2) .设e1，e 2是两个 不共线向量，则向量e1
综合法
定义：一般地，利用已知条件 和数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立， 这种方法叫做综合法。
经验传授：
为了很好地利用综合法解题，应做到以下几点：
1、解题时必须做到有理有据，不可想当然，凭 感觉；
2、每拿到一道题时，快速地判断这是哪一章、 哪一节的内容，把相关的内容、方法在脑海中过 一遍电影； 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述 改为符号表示； 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、 化简，将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学 马立军
复习旧知
1、推理方法有几种？ 2、合情推理有几种？
归纳推理具体怎样操作？ 类比推理有哪些经验之谈？ 3、什么是演绎推理？以何种形式呈献？
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确？ 2、你能举一些例子吗？
证明方法的种类
证明方法主要有两类：直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析 法
高考数学一轮复习 直接证明与间接证明 理优秀PPT
高考数学一轮复习 直 接证明与间接证明课
件理
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点．
考点探究
证明：3＋ 考点3 用综合分析法证明命题 6＞0，2 2＋ 7＞0，
欲证 3＋ 6＜2 2＋ 7成立，
只需证(3＋ 6)2＜(2 2＋ 7)2 成立．
考点探究
即 15＋2 54＜15＋2 56， 只需证 54＜ 56，即证 54＜56. ∵54＜56 成立，∴原不等式成立． 点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，是逆向思维，即从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性 质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)＝12－21cos
2
α＋21＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos
α－21sin2α＝1
－12cos
2α＋14cos
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α－41(1－cos
2α)＝1－14cos
2α
－14＋14cos 2α＝43.
方，宜用分析法． 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
件理
高考总复习数学（理科）
第六章 不等式、推理与证明
第六节 直接证明与间接证明
考纲要求
1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了 解分析法和综合法的思考过程、特点．
2.了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法 的思考过程、特点．
考点探究
证明：3＋ 考点3 用综合分析法证明命题 6＞0，2 2＋ 7＞0，
欲证 3＋ 6＜2 2＋ 7成立，
只需证(3＋ 6)2＜(2 2＋ 7)2 成立．
考点探究
即 15＋2 54＜15＋2 56， 只需证 54＜ 56，即证 54＜56. ∵54＜56 成立，∴原不等式成立． 点评：分析法的特点和思路是“执果索因”，是逆向思维，即从 “未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性 质或已经证明成立的结论等．通常采用“欲证——只需证——已知” 的格式，在表达中要注意叙述形式的规范．应用分析法证明问题时要 严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)＝12－21cos
2
α＋21＋12(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－
3 2 sin
αcos
α－21sin2α＝1
－12cos
2α＋14cos
2α＋
3 4 sin
2α－
3 4 sin
2α－41(1－cos
2α)＝1－14cos
2α
－14＋14cos 2α＝43.
方，宜用分析法． 了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．
2.2.2反证法
用反证法证明命题的过程用框图表示为： 用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件 否定结论 导 致 反设 不成立 结论 成立
逻辑矛盾
常用的互为否定的表述方式： 常用的互为否定的表述方式： ≥1 ＜1
＜3 至少有一个—— 一个也没有 至少有一个≥3 ＜n 至少有三个—— 至少有三个 ≥n 至多有两个
三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时， 三国时期，蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时， 派大将魏延领兵去攻打魏国， 派大将魏延领兵去攻打魏国，只留下少数 老弱军士守城， 老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率 大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战， 大队兵马杀来，靠几个老弱军士出城应战， 无异以卵击石，怎么办？ 无异以卵击石，怎么办？诸葛亮冷静思考 之后，决定打开城门， 之后，决定打开城门，让老弱军士在城门 口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案， 口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案， 端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅， 端坐弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿 见此情景，心中疑虑： 见此情景，心中疑虑：“诸葛亮一生精明 过人，谨慎有余，从不冒险， 过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此这 城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城， 般，城内恐怕必有伏兵，故意诱我入城， 绝不能中计也。 绝不能中计也。”
一般地，假设原命题不成立（ 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件 结论不成立），经过正确的推理， 下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾。 最后得出矛盾。 这样的 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 证明方法叫做反证法。 证明方法叫做反证法。 反证法 三个步骤：反设 归谬 归谬—存真 三个步骤：反设—归谬 存真 归缪矛盾： 归缪矛盾： 与已知条件矛盾； （1）与已知条件矛盾； 与已有公理、定理、定义矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； 自相矛盾。 （3）自相矛盾。