2013山东高考数学试卷理科及答案详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=•P AB P A P B 。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)16 (B)8(C)3 (D)312、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xyz取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、执行右图所示的程序框图，若输入c 的值为0.25，则输出的n 的值为 _______. 14、在区间[-3,3]上随机取一个数x ， 使得121++-≥x x 成立的概率为______. 15、已知向量AB 与AC 的夹角为0120，且3, 2.==AB AC 若λ=+AP AB AC ， 且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.16、定义“正对数”：0,01,ln ln ,1.+<<⎧=⎨≥⎩x x x x 现有四个命题：①若0,0>>a b ，则ln ()ln ++=ba b a ； ②若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++=+ab a b ；③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++≥-a a b b；④若0,0>>a b ，则ln ()ln ln ln 2++++≤++a b a b . 其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17、（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且76,2,cos .9+===a c b B . （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求sin()-A B 的值.18、（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥-P ABQ 中，平面⊥PB ABQ ，==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（Ⅰ）求证：//AB GH ；（Ⅱ）求二面角--D GH E 的余弦值。

19、（本小题满分12分）甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。

除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23。

假设各局比赛结果相互独立。

（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。

求乙队得分X 的分布列和数学期望。

20、（本小题满分12分） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,2 1.==+n n S S a a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且12λ++=n n na T （λ为常数）。

令22,(*)=∈n n cb n N ，求数列{}nc 的前n 项和n R 。

21、（本小题满分13分） 设函数2()=+x xf x c e（ 2.71828…=e 是自然对数的底数，∈c R ） （Ⅰ）求()f x 的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于x 的方程ln ()=x f x 根的个数。

22、（本小题满分13分）椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的左、右焦点分别是12,F F1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF 。

设12∠F PF 的角平分线PM 交C的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点。

设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0≠k ，试证明1211+kk kk 为定值，并求出这个定值.理科数学试题参考答案一、选择题DCABB CADAB DB 二、填空题313 712①③④三、解答题17、（Ⅰ）由余弦定理 2222cos =+-b a c ac B ， 得 22()2(1cos )=+-+b a c ac B ，又72,6,cos 9=+==b ac B ，所以 9=ac ，解得 3,3==a c . （Ⅱ）在 ∆ABC 中，sin 9==B ， 由正弦定理得sin sin 3==a B A b ， 因为 =a c ， 所以 A 为锐角.所以1cos 3==A ， 因此sin()sin cos cos sin 27-=-=A B A B A B 18、（Ⅰ）证明：因为 ,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点， 所以 //,//EF AB DC AB ，所以 //EF DC ，又 ,平面平面⊄⊂EF PCD DC PCD ，所以 //平面EF PCD ， 又 ,=平面平面平面⊂EF EFQ EFQ PCD GH ，所以//EF GH ，又 //EF AB ，所以//AB GH .（Ⅱ）解法一：在∆ABQ 中， 2,==AQ BD AD DQ 所以 0=90∠ABQ ，即⊥AB BQ ，因为平面⊥PB ABQ ， 所以 ⊥AB PB ， 又 =BPBQ B ，所以 平面⊥AB PBQ .由（Ⅰ）知//AB GH ，所以 平面⊥GH PBQ 又 平面⊂FH PBQ ，所以 ⊥GH FH ，同理可得 ⊥GH HC 所以∠FHC 为二面角 --D GH E 的平面角. 设 2===BA BQ BP ，连接FC ， 在 ∆Rt FBC中，由勾股定理得=FC ∆Rt PBC中，由勾股定理得=PC . 又H 为 ∆PBQ 的重心，所以133==HC PC ，同理3=FH . 在∆FHC 中，由余弦定理得552499cos 5529+-∠==-⨯FHC ，即二面角--D GH E 的余弦值为45-. 解法二：在∆ABQ 中，2,==AQ BD AD DQ ，所以又 平面⊥PB ABQ ，所以 ,,BA BQ BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点，分别以,,BA BQ BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设2===BA BQ BP ，则 (1,0,1),(0,0,1),(0,2,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,2)E F Q D C P , 所以 (1,2,1),(0,2,1),(1,1,2),(0,1,2)=--=-=--=-EQ FQ DP CP 设平面EFQ 的一个法向量为111(,,)=m x y z ， 由0,0•=•=m EQ m FQ ， 得 1111120,20,-+-=⎧⎨-=⎩x y z y z 取 11=y ，得(0,1,2)=m .设平面PDC 的一个法向量为222(,,)=n x y z ，由0,0•=•=n DP n CP ， 得 2222220,0,--+=⎧⎨-+=⎩x y z y z 取 21=z ，得(0,2,1)=n .所以 4cos ,5•<>==m n m n m n, 因为 二面角--D GH E 为钝角，所以 二面角--D GH E 的余弦值为45-. 19、（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件1A ，“甲队以3：1胜利”为事件2A ，“甲队以3：2胜利”为事件3A ， 由题意，各局比赛结果相互独立，故3128()()327==P A ， 22232228()()(1)33327=-⨯=P A C ，222342214()()(1)33227=-⨯=P A C . 所以，甲队以3：0胜利、以3：1胜利的概率都为827，以3：2胜利的概率为427.（Ⅱ）记“乙队以3：2胜利”为事件4A ，由题意，各局比赛结果相互独立， 所以222442214()(1)()(1)33227=-⨯-=P A C ， 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，121216(0)()()(27），==+=+=P X P A A P A P A 又 34(1)(27）===P X P A ，44(2)(27）===P X P A3(3)1(0)(1)(2)27==-=-=-==P X P X P X P X所以X 的分布列为因此 1644370123272727279=⨯+⨯+⨯+⨯=EX 20、（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由4224,2 1.==+n n S S a a 得11114684,(21)22(1) 1.+=+⎧⎨+-=+-+⎩a d a d a n d a n d解得 11, 2.==a d 因此 21,*=-∈n a n n N . （Ⅱ）由题意知：12λ-=-n n nT ， 所以2≥n 时，112112222------=-=+=n n n n n n n n n b T T 故1221221(1)(),*24---===-∈n n n n n c b n n N ， 所以 01231111110()1()2()3()(1)()44444…-=⨯+⨯+⨯+⨯++-⨯n n R n ，则 12311111110()1()2()(2)()(1)()444444…-=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯n nn R n n ，两式相减得1231311111()()()()(1)()44444411()144(1)()14141131()334…-=++++--⨯-=--⨯-+=-n n n n nn R n n n 整理得1131(4)94-+=-n n n R所以 数列{}n c 的前n 项和1131(4)94-+=-n n n R21、解：（Ⅰ）2'()(12)-=-xf x x e ，由 '()0=f x ，解得12=x ，当 12<x 时，'()0>f x ，()f x 单调递增；当 12>x 时，'()0<f x ，()f x 单调递减.所以，函数 ()f x 的单调递增区间是1(,)2-∞，单调递减区间是1(,)2+∞，最大值为111()22-=+f e c .（Ⅱ）令2()ln ()ln ,(0,)-=-=--∈+∞xg x x f x x xec x .（1） 当 (1,)∈+∞x 时， ln 0>x ，则2()ln -=--xg x x xe c ，所以 22'()(21)-=+-x xe g x ex x . 因为 2210,0->>x e x x， 所以 '()0>g x 因此 ()g x 在(1,)+∞上单调递增.（2）当 (0,1)∈x 时， ln 0<x ，则2()ln -=---xg x x xec ，所以 22'()(21)-=-+-x xe g x ex x .因为222(1,),10∈>>>x x e e e x ，所以21-<-x e x.又211-<x ，所以2210-+-<xe x x，即'()0<g x ，因此 ()g x 在(0,1)上单调递减. 综合（1）（2）可知 当 (0,)∈+∞x 时，2()(1)-≥=--g x g e c .当2(1)0-=-->g ec ，即2-<-c e 时，()g x 没有零点，故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0； 当2(1)0-=--=g ec ，即2-=-c e 时，()g x 只有一个零点，故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1；当2(1)0-=--<g e c ，即2->-c e 时，① 当(1,)∈+∞x 时，由（Ⅰ）知 211()ln ln ()ln 12--=--≥-+>--xg x x xec x e c x c ，要使()0>g x ，只需使ln 10-->x c ，即 1(,)+∈+∞cx e ；② 当(0,1)∈x 时，由（Ⅰ）知 211()ln ln ()ln 12--=---≥--+>---xg x x xec x e c x c ，要使()0>g x ，只需使ln 10--->x c ，即 1(0,)--∈cx e；所以 2->c e 时，()g x 有两个零点，故关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2. 综上所述，当2-<-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为0； 当2-=-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为1； 当2->-c e 时，关于x 的方程ln ()=x f x 的根的个数为2.22、解:（Ⅰ）由于222=-c a b ，将=-x c 代入椭圆方程22221+=x y a b，得2=±b y a ，由题意知221=b a ，即22=a b .又==c e a 2,1==a b .椭圆C 的方程为2214+=x y（Ⅱ）解法一：设000(,)(0)≠P x y y .又 12(F F ，所以直线12,PF PF 的方程分别为:12000000:(0,:(0.-+=-=PF PF l y x x y l y x x y由题意知=由于点P 在椭圆上，所以220014+=x y=因为022<-<<m x ，=所以034=m x .因此3322-<<m . 解法二：设00(,)P x y ，当002≤<x 时，①当0=x 时，直线2PF的斜率不存在，易知1)2P或1)2-P .若1)2P ，则直线1PF的方程为0-+=x .=m ，因为<<m，所以=m若1)2-P ,同理可得=m ②当0≠x 时，设直线12,PF PF 的方程分别为12(,(==y k x y k x ，由题意知=，所以221221111+=+k k ， 因为 220014+=x y 并且12,==k k22222020(34)(34)+===-x x ， 即=.因为0002且<≤<≠m x x 所以. 整理得 034=x m ，故302且≤<≠m m综合①②可得 302≤<m .当0-20<<x 时，同理可得 302-<<m . 综上所述，m 的取值范围是 33(,)22-.（Ⅲ）设000(,)(0)≠P x y y ，则直线l 的方程为00()-=-y y k x x ， 联立 2200+=14()⎧⎪⎨⎪-=-⎩x y y y k x x整理得 222222000000(14)8()4(21)0++-+-+-=k x ky k x x y kx y k x由题意 0∆=，即 2220000(4)210-++-=x k x y k y又220014+=x y 所以 22200001680++=y k x y k x 故 004=x k y ， 由（Ⅱ）知00012000211+=+=x x x k k y y y ， 所以 001212004211111()()8+=+=-=-y x kk kk k k k x y ， 因此1211+kk kk 为定值，这个定值为8-.。