2015春中石油(北京)《高等数学(二)》 第三阶段作业答案
2.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分3.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：D 此题得分：2.5分4.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分5.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分6.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分
7.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：D 此题得分：2.5分8.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分9.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分10.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分11.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分
12.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分13.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分14.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分15.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分16.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：D 此题得分：2.5分17.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分18.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分
19.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分20.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分21.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分22.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分23.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分
24.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分25.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分26.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分27.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：A 此题得分：2.5分28.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：D 此题得分：2.5分
29.（2.5
分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：C 此题得分：2.5分30.（2.5分）
∙A、.
∙B、.
∙C、.
∙D、.
我的答案：B 此题得分：2.5分判断题(共10道题)
收起
31.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：正确此题得分：2.5分32.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：错误此题得分：2.5分
33.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：正确此题得分：2.5分34.（2.5
分）
∙正确
∙错误
我的答案：错误此题得分：2.5分
35.（2.5
分）
∙正确
∙错误
我的答案：错误此题得分：2.5分36.（2.5
分）
∙正确
∙错误
我的答案：正确此题得分：2.5分
37.（2.5
分）
∙正确
∙错误
我的答案：错误此题得分：2.5分38.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：错误此题得分：2.5分
39.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：正确此题得分：2.5分40.（2.5分）
∙正确
∙错误
我的答案：正确此题得分：2.5分。
《高等数学(Ⅱ)》期末考试试卷参考答案
北京化工大学2016-2017学年第二学期《高等数学（Ⅱ）》期末考试试卷参考答案一．填空题 1. 02.)(32dy dx + 3.224. 35.2ππ-+e e 6.x e c c 321-+二．解答题 1.,,0xy z y x z z x z x x z yy +--=∂∂⇒=+∂∂+∂∂+zy zx y x y x y y x zz x +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++,0zx y x z y z y z z y xx y +--=∂∂⇒=∂∂+∂∂++01-=∂∂∂∂∂∂∴z yy x x z 2. )1(141114414103413x d x dx x x dy x dx I x ---=-=-=⎰⎰⎰⎰61)1(6101234=-=x 3.,02,111lim,1<<-⇒<∴==++=∞→x t R nnx t n 令)0,2(,2,0-=收敛域为时，皆发散x )111)(1(])1()[1()1)()1(()(,111'--++='++=++=∑∑∞=∞=-x x x x x x x n x s n n n n )0,2(,1)(2-∈+=x x xx s 4. 22111)2,1,0(,2)0(,1)0(,1)0(-=-==='=='=='z y x t z t y t x 故切线方程为此点坐标为5.22)313(,02:,022πππ=-==-+=∴→=⎰⎰D DS dxdy x x I y x 总补线：,42,4)2(20022-=∴==-=⎰π求补I y dy y I6.xy x xy yx yye yx x x y 163)83()128(22223+=+∂∂=++∂∂偏积分即有两边同时对该方程为全微分方程。
x xy yx xu∴+=∂∂∴∴2283y ye yx x yx x y yuy x yx y y x u 1288)(,4)(),(2323223++=++'=∂∂∴++=ψψ.2234)1(12),(),1(12)(y x yx y e C y x u y e C y y y ++-+=-+=ψC y x yx y e y =++-∴2234)1(12通解为7.==-⇒-=-=='∑∑∞=∞=-)()0()(,!)1(!)()(02022x f f x f n x n x ex f n nn n n x ),()12(!)1(012+∞-∞∈+-∑∞=+x n n x n n n ， 三．解答题 1.共四个坐标,2,0,3,10360963212122==-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=-+=∂∂y y x x y y yfx x xf ，,66,0,662>--====+==B AC y f C f B x f A yy xy xx 若有极值，则1,11,1>-<<->⇒y x y x 或为极值点和只有)2,3()0,1(-∴，4)0,1(,012),0,1(-=∴>=f A 极小值为对于32)2,3(,0),2,3(=-∴<-f A 极大值为对于2.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+++=+-++=V dV z y x dV x z y x I )(]12[222222）（由奇偶性可知⎰⎰⎰Ω=-0)2(dV x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=ΩΩππϕϕθπ010420222sin )(;34drr d d dV z y x V 而15323454,5451*2*2πππππ=+=∴==求I3. ∑∑∞=∞=∞→∴=>=111,111sin lim ),0(1sin n a n n a a n a n nu nn a n u 同敛散与即收敛时,1,1,1∑∞=>n a n a 绝对收敛即收敛∑∑∞=∞=11,n n n nu u)2,0(sin )2,0()1,0(1,101ππ∈⊆∈≤<∑∞=x x n u a a n n 在且发散。
中国石油大学高等数学(二)在线作业1-3
第7题
B
在线作业一答案
CCDCC BDBDD DCBCB CDCAC EBBCD DCAAB 错错对错错错对错错对
第二次在线作业
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第9题
第10题
第11题
第12题
第13题
第14题
第15题
第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题
第29题
第30题
第31题
第32题
第33题
第34题
第35题
第36题
第37题
第38题
第39题
第40题
DCDCC BDCAB BACBC DACBC ABCAA BADCB 对错对错错对错错对对
第三次在线作业
第1题
第2题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第10题
第11题
第12题
第13题
第15题
第16题
第17题
第18题
第19题
第20题
第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题
第27题
第28题
第29题
第30题
第31题
第32题
第33题
第34题
第35题
第36题
第37题
第38题
第39题
40题
DABCB CCCBD BDABA BBACD BDABD BADDA 对错对对错对对错错对。
中国石油大学-高等数学(二)第一次在线作业
中国石油大学高等数学（二）第一次在线作业第1题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续的概念，二元函数的偏导数的概念第2题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数全微分的存在条件第3题您的答案：D批注：考察的知识点：二元函数的连续与偏导数存在之间的关系第4题您的答案：C批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第5题<／p>您的答案：C批注：考察的知识点：二重积分的计算。
具体方法：式子两边做区域D上的二重积分的计算，令已知的等式中的二重积分为一个固定的字母，然后再求得此字母的值，代入初始给的等式中即得到结果。
第6题您的答案：B批注：考察的知识点：可微与偏导存在的关系第7题您的答案：D批注：考察的知识点：二重积分的计算第8题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的定义第9题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第11题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第12题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第13题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第14题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的定义第15题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第16题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极限、连续、偏导数、可微之间的关系第17题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微、方向导数之间的关系第18题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数在一点处的微分的计算第19题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第20题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第21题您的答案：E题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第22题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第23题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第24题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第26题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第27题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第28题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第29题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第30题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第31题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数的计算第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与连续之间的关系第34题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的连续与可积分之间的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的概念第36题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的计算第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二重积分的几何意义第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的极值第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：二元函数的偏导数存在与可微之间的关系作业总得分：20.0作业总批注：。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
中国石油大学(北京)高等数学II期中考试试卷
六、 【 满分 14 分 】设有一小山 ，取它的底面所在的 平面为 xOy 坐标面，其底部所占的闭区域为
D ( x, y ) x 2 y 2 xy 75 ，小山的高度函数为 h h( x, y ) 75 x 2 y 2 xy ．
(1) 设 M ( x0 , y0 ) D ，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数
七、 【8 分】解：由
x 2 y 2 t 2
f ( x 2 y 2 )dxdy d f ( 2 ) d 2 f ( 2 ) d ………..【4】
0 0 0
2
t
t
原式 2 lim
t 0
1 t4
t
0
f ( 2 ) d 2 lim
y z 1 0 可得其方向向量为 s (0, 1, 1) ， ………………………….. x 0
1 1 , ) ，…………..【3】 2 2
..
C 0 1 1 因平面垂直于平面 z 0 ，又过两点 (1, 1,1) ， (0, , ) ，所以 A B D 0 2 2 B / 2 D 0
参考答案
参考解答与评分标准
一、填空题【每小题 3 分，共 15 分】
1、 0 ； 2、 5、
| a |2 | b |2 x 1 y 2 z 3 或 ； 3、 x 2 y 3 z 14 0; ； 4、 dx 2dy ； 2 2 1 2 3
f ( x, y )dx ．
2. 二元函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微分的充分条件是（ A. f x ( x0 , y 0 ) 及 f y ( x0 , y 0 ) 均存在 B. f x ( x, y ) 及 f y ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 的某领域中均连续
《高等数学(二)》 作业及参考答案
《高等数学(二)》作业一、填空题1．点A （2，3，-4）在第 卦限。
2．设22(,)sin,(,)yf x y x xy y f tx ty x=--=则 .3。
4．设25(,),ff x y x y y x y∂=-=∂则。
5．设共域D 由直线1,0x y y x ===和所围成，则将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为累次积分得 。
6．设L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段，则对弧长的曲线积分()Lx y ds +⎰= 。
7．平面2250x y z -++=的法向量是 。
8．球面2229x y z ++=与平面1x y +=的交线在0x y 面上的投影方程为 。
9．设22,z u v ∂=-=∂z而u=x-y,v=x+y,则x。
10．函数z =的定义域为 。
11．设n 是曲面22z x y =+及平面z=1所围成的闭区域，化三重积为(,,)nf x y z dx dy dz ⎰⎰⎰为三次积分，得到 。
12．设L 是抛物线2y x =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧，则22()Lx y dx -=⎰。
13．已知两点12(1,3,1)(2,1,3)M M 和。
向量1212M M M M =的模 ；向量12M M 的方向余弦cos α= ，cos β= ，cos γ= 。
14．点M （4，-3，5）到x 轴的距离为 。
15．设sin ,cos ,ln ,dzz uv t u t v t dt=+===而则全导数。
16．设积分区域D 是：222(0)x y a a +≤>，把二重积分(,)Df x y dx dy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，得 。
17．设D 是由直线0,01x y x y ==+=和所围成的闭区域，则二重积分Dx d σ⎰⎰= 。
18．设L 为XoY 面内直线x=a 上的一段直线，则(,)Lp x y dx ⎰= 。
19．过点0000(,,)p x y z 作平行于z 轴的直线，则直线方程为 。
《高等数学》(Ⅱ)期中试题及答案解析
中国石油大学（北京）2008／2009学年第二学期《高等微积分》(Ⅱ) 期中试卷一、填空题（本题包括5小题，每小题4分，本题满分20分）1. 函数)ln(),(22y x y x f +=沿21bl al l +=方向的方向导数，其中b a ,为正实数，{}{}1,0,0,121==l l ： 。
⎰⎰⎰Ω++=--=+=Ω积分是在球面坐标系下的三次为连续函数其中则重积分所围成的积分区域是由设)()(,4.22222222f dv z y x f I y x z y x z 与。
()()()=+→2222,0,lim .3yx y x yx 。
().)2,0(,11)(,21)(.41∈----=∑∞=x x x x f x x x f n n 的幂级数是展开成将设.222)(,0,0,2)(.5πππππ+=⎩⎨⎧≤<≤<-=处收敛于为周期的傅里叶级数在的以则设x x f x x x x f二、计算题（本题包括6小题，每小题8分，本题满分48分）1、讨论函数()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,,00,1sin ,22222222y x y x y x y x y x f 在()0,0点的偏导数，偏导函数连续性及可微性。
2、试将yux u 2222∂∂+∂∂化成极坐标的形式。
3、试将()()π≤≤=x x x f 0展开成为正弦，余弦级数，并写出和函数()x s 。
4、试求内接于椭球1222222=++cz b y a x 的长方体中（长方体的各面平行于坐标轴）体积最大者。
5、计算积分()⎰⎰++Dyx adxdy,23222其中D 为a y a x ≤≤≤≤0;0。
6、证明曲线t t tae z t ae y t ae x ===,sin ,cos 与锥面222z y x =+的各母线相交的角度相同。
三、（本题满分8分）.,,还是条件收敛若收敛是绝对收敛敛散性试判断下列两个级数的∑∞=+-1;)1ln()1()1(n n n .,0)1ln(1,故该级数收敛这是一交错级数解↓→+n.................)2(分及比较判别法知故由调和级数的发散性都有又,1)1ln(1)1ln()1(:,,2,1nn n n n >+=+-=∀ .)1(,)1(仅条件收敛即级数非绝对收敛该级数 .......................................................................)4(分∑∞=++-11.2)1()1()2(n n n n n ,2)1()1(,1nn n n n u +-=+令这是一交错级数解 .)2(,121)21(21lim 2)1(2)2)(1(lim ||||lim 11绝对收敛故知级数由于<=+=+++=∞→+∞→+∞→n n n n n u u n nn n nn n...........)8(分 四、（本题满分6分）设函数)(),(y x g x y xy f z +=,其中g f ,均具有二阶连续偏导数, 求yx z∂∂∂2.:,,,有由四则法则与链式法则令解yxw x y v xy u === g y f xy f y•x w g x v f x u f x z '+'-'=∂∂'+∂∂'+∂∂'=∂∂122121 ........................................................................)4(分 y y y g y g yf x y f x f y•f y x z )(11)(1)(22222112''+'-''-'-''+'=∂∂∂ ............................................................)6(分 y wg y g yy v f y u f x y f x y v f y u f y•f ∂∂''+'-∂∂''+∂∂''-'-∂∂''+∂∂''+'=11)(1)(2222122212111g yx g y f x f f x y f y x f y x f xy ''-'-'-'+''-''-''+''=3222122321121111 ....................................................)8(分 .113222122311g yxg y f x f f x y f xy ''-'-'-'+''-''=或 ...............................................................)8(分 五、（本题满分8分）在极坐标系下交换积分的次序。
中国石油大学(北京)_高等数学(二) 第三次在线作业(含题目)
中国石油大学高等数学（二）第三次在线作业第1题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数的收敛与绝对收敛第2题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第3题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第4题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第5题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第6题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第7题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数敛散性的判别第8题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：交错级数的收敛域第9题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第10题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第11题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质第12题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、向量垂直、数量积第13题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第14题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：单位向量、共线的概念、数量积第15题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的夹角第16题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第17题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第18题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第19题您的答案：C题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量平行的性质、数量积第20题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第21题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：阿贝尔定理第22题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第23题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第24题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第25题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第26题您的答案：B题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第27题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：幂级数的收敛域第28题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量垂直的性质第29题您的答案：D题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面第30题您的答案：A题目分数：0.5此题得分：0.5批注：二次曲面与空间曲线第31题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的概念第32题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第33题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：空间曲线第34题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第35题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的关系第36题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：向量的平行概念与单位向量概念第37题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件第38题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：旋转曲面与柱面第39题您的答案：错误题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数敛散性的判别第40题您的答案：正确题目分数：0.5此题得分：0.5批注：考察的知识点：级数收敛的必要条件作业总得分：20.0作业总批注：。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案解析
2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ） (A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ). (A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dxdy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，1122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则111(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰x x n nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x即2222()(1)∞===-∑n n xnx xA x x ，(21)∞=∴+∑nn n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x xx x x x . 16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI xxy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）2224200032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c，切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y ax c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）. （A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）120()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关. 二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n nn a x ∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂.解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxydxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰，故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分）计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)d r dr πθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nnn n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a 为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同， 00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2. 计算IΩ=其中Ω是由上半球面z=和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=， :02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤IΩ=2340sin (2.d d d ππθϕϕρπ==-⎰⎰⎰3. 求锥面z =被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积.（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤xz '=y z '=，.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n nn ∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim 0,n n n n n n n →∞→∞⋅==312ln n n n ∞=∴∑ 收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数， 证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-=212π+ . 4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直 2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z+-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ： 质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=.法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y P x Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧． 解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zxxydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 . 解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x n n x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy ee 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy e e dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。