北京房山区2020高三数学上期末考试
房山2020高三数学期末答案
房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案高三数学一、选择题（每小题5分，共40分）（11）22(1)(1)2x y -+-= （12）3 （13）11(1)()2n --⋅或1n-（答案不唯一） （14）π；6π （15）(,1]-∞；(1,1]- （16）0；217三、解答题（共6小题，共80分）（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）∵33sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠< ∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅331133431421427=+⋅=（Ⅱ）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BDDBC C =∠333=解得7BD = ∵2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBCDADACBB∴cos ABD ∠3314=在△ABD 中，33AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2233(33)7233749=+-⋅= 解得7AD =（18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则11411()==2020100P A ⨯ （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,22016422060(0)==95C C P X C =，1116422032(1)==95C C P X C =，021642203(2)==95C C P X C =，∴X 的分布列为X 0 1 2P12193295 395∴期望()0121995955E X =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）如果选择A ，可以从A 的亩产数据的中位数或平均值比B 高等方面叙述理由．如果选择B ，可以从B 的亩产数据比A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AE ⊂平面PAD所以CD AD ⊥，CD AE ⊥．又因为△PAD 为等边三角形，E 为PD 的中点， 所以PD AE ⊥．所以AE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,OP OB ，则易知 // OB CD ，OB ⊥AD ，OB ⊥OP ．因为△PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥．以O 为原点，以OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴如图建系，133(1,0,0),((0,2,0)2A E F B -33(2u u u r AE =-，1(,1,0)2u u u r EF =设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r，则：00r u u u r r u u ur n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令2x =，得平面AEF 的一个法向量(2,1,3)rn =-易知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =u u u r17cos ,1724112u u u r ru u u r r u u u r r OB n OB n OB n ⋅<>===-++ 所以平面AEF 与平面PAD 17． （Ⅲ）假设棱PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，且设[],0,1PGPCλλ=∈，则PG PC λ=u u u r u u u r ， (0,03),(1,2,0),(1,0,0)P C D --，(1,2,3)PC =-u u u r，则(,233)G λλλ-(1,233)DG λλλ=-u u u r要使得 //DG 平面AEF ，则222660u u u r r DG n λλλ⋅=--+-=，得45λ=，所以线段PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，45PG PC =． （20）（本小题14分）（Ⅰ）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=椭圆E 的方程为22184x y += z yxO A B DEF P离心率为22c e a == （Ⅱ）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥证明：设直线方程为y kx m =+代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222(21)4280k x kmx m +++-= 由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，22821km kx k m--==+设00(,)P x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==，则84(,)k P m m- 设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+001(2,)(2,)u u u r u u u u rMP MQ x y y ⋅=+⋅-0012(2)x y y =-++842(2)(4)k k m m m -=-++-+1644(4)0k k m m m=-+-+= 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥．解法二：由椭圆的对称性不妨设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x ．22184x y +=得2218=-x y 得002x k y =-．切线方程为0000()2x y y x x y -=--，令4x =-得22000001000004224(4)22x x x y x y x y y y y --++=--+==，002(2)(4,)y x Q +-． 所以，0001002(2)(2,)(2,)2(2)0u u u r u u u u r x MP MQ x y y x y y +⋅=+⋅-=-++=． 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥． （21）（本小题13分）（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1'()2ln 3f x x x=-+(1)2(1)0f f '∴==，则切线方程为22y x =-. （Ⅱ）证法1：1'()2ln 3,(0,)f x x x x=-+∈+∞， 令1()2ln 3,(0,)h x x x x=-+∈+∞， 222121'()0x h x x x x+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增.又1(1)20,()1ln 4ln 024eh h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，01(,1)2x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0f x =，∴0012ln 30x x -+=.（*） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下：x 0(0,)x 0x 0(,)x +∞'()f x -+ ()f x↘极小值↗∴min 0000()()(21)ln 1f x f x x x x ==-+-.由（*）式得0013ln 22x x =-，代入上式得 min 0000001313()()(21)()122222f x f x x x x x x ==--+-=--+.令131()2,(,1)222t x x x x =--+∈，221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1(,1)2上单调递减.()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，.即0()1f x >-()1f x ∴>-.证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞， 令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞，'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1x e=.'(),()h x h x 随x 的变化情况如下：x1(0,)e 1e 1(,)e+∞ '()h x -+()h x↘极小值↗min ()()h x h e e∴==-，即2ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号.1'()x t x x-=，令'()0t x =得1x =.'(),()t x t x 随x 的变化情况如下：x(0,1) 1 (1,)+∞'()t x -+()t x↘极小值↗min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号.22ln (ln 1)1x x x x e∴+-+->->-.即()1f x >-. （22）（本小题13分）（Ⅰ）集合A 不是，因为1233813+=++，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等； 集合B 是，因为集合B 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等. （Ⅱ）由集合P 是“差异集合”知：123{,,,,}k a a a a L 的21k -个非空子集元素和为互不相等的21k -个正整数，于是1221kk a a a +++≥-L ，所以0111212(2)(2)(2)()(21)0k k k kk D a a a a a a -=-+-++-=+++--≥L L（Ⅲ））不妨设123n a a a a <<<<L ，考虑11231111111(1)()()()242--+-+-++-L n na a a a131211234212242------=++++L n n n na a a a a a a a 3211211123242-----=++++L n n n nD D D D D D D a a a a 1212211122311111111()()()222222-----=-+-++-+L n n n n n n n nD D D D a a a a a a a 0≥而111111122422--++++=-L n n ，所以112111122L n n a a a -+++≤- 当1{1,2,4,,2}n P -=L 时，112111122n n a a a -+++=-L ；综上，12111n a a a +++L 的最大值为1122n --.。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：概率
2021北京高三数学上学期期末汇编：概率一．选择题（共1小题）1．（2020秋•海淀区校级期末）已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率()A．310B．13C．38D．29二．填空题（共1小题）2．（2020秋•朝阳区期末）在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据《周髀算经》记载，西周数学家商高就发现勾股定理的一个特例：若勾为三，股为四，则弦为五．一般地，像(3，4，5)这样能够成为一个直角三角形三条边长的正整数组称为勾股数组．若从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，则被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率为．三．解答题（共7小题）3．（2020秋•通州区期末）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如表：假设所有职工对两款APP是否使用相互独立．（Ⅰ）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；（Ⅰ）从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅰ）据电商行业发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%．试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP 的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符．4．（2020秋•顺义区期末）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：注：1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值； 2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率． （Ⅰ）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率； （Ⅰ）从A 、E 两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅰ）用“1ξ=”和“0ξ=”分别表示对A 款运动鞋满意和不满意，用“1η=”和“0η=”分别表示对B 款运动满意和不满意，试比较方差()D ξ与()D η的大小．（结论不要求证明）5．（2020秋•西城区期末）防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用．北京地区2010年至2019年每年汛末(10月1日）水库的蓄水量数据如表：（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；（Ⅰ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设X 为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅰ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）6．（2020秋•房山区期末）2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类．生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从2020年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；（Ⅰ）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X 为选取的这2个月中回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数．求X 的分布列及数学期望；（Ⅰ）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为a 吨．当a 为何值时，自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小．（只需写出结论，不需证明）（注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-，其中x 为1x ，2x ，n x ⋯⋯的平均数）7．（2020秋•石景山区期末）在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅰ）为进一步改善食堂状况，从评分在[50，70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X ，求X 的分布列；（Ⅰ）以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．8．（2020秋•丰台区期末）全社会厉行勤俭节约，反对餐饮浪费．某市为了解居民外出就餐有剩余时是否打包，进行了一项“舌尖上的浪费”的调查，对该市的居民进行简单随机抽样，将获得的数据按不同年龄段整理如表：假设所有居民外出就餐有剩余时是否打包相互独立．（Ⅰ）分别估计该市男性居民外出就餐有剩余时打包的概率，该市女性居民外出就餐有剩余时打包的概率； （Ⅰ）从该市男性居民中随机抽取1人，女性居民中随机抽取1人，记这2人中恰有X 人外出就餐有剩余时打包，求X 的分布列；（Ⅰ）假设每年龄段居民外出就餐有剩余时打包的概率与表格中该段居民外出就餐有剩余时打包的频率相等，用“1k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时打包，“0k ξ=”表示第k 段居民外出就餐有剩余时不打包(1k =，2，3，4)，写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ的大小关系．（只需写出结论） 9．（2020秋•海淀区期末）某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如表所示：注：年返修率=年返修台数年生产台数．（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不少于100元/台的概率；（Ⅰ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀．现从2013~2020年中随机选出3年，记ξ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数．求ξ的分布列和数学期望；（Ⅰ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为21s ，22s ，23s ．若2231{s max s ，22}s ，其中21{max s ，22}s 表示21s ，22s ，这两个数中最大的数．请写出a 的最大值和最小值．（只需写出结论）（注2222121:[()()()]n s x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅-，其中x 为数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数）2021北京高三数学上学期期末汇编：概率参考答案一．选择题（共1小题）1．【分析】利用条件概率公式，设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件B，分别求出P（A），()P AB，根据条件概率公式求得即可．【解答】解：设“第一次拿到白球”为事件A，“第二次拿到红球”为事件BP∴（A）21105==，131()5915P A B=⨯=则所求概率为1()115 (|)1()35P A BP B AP A===故选：B．【点评】本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．二．填空题（共1小题）2．【分析】先求出基本事件总数10n=，再利用列举法求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有4个，由此能求出被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率．【解答】解：从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，12，15)，(9，40，41)，(10，24，26)，(11，60，61)，(12，16，20)这些勾股数组中随机抽取1组，基本事件总数10n=，被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的基本事件有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(12，16，20)，共4个，∴被抽出的勾股数组中的三个数恰好构成等差数列的概率42105P==．故答案为：25．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．解答题（共7小题）3．【分析】（Ⅰ）根据已知数据用频率估计概率即可求解；（Ⅰ）求出X的可能取值，求出对应的概率，由此可以求解；（Ⅰ）根据样本中的数据，估计A，B款男女用户占的比例比较即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由所给数据可知，男职工使用A款APP的人数为72，用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为723 1205=，同理，女职工使用A款APP的概率约为401 1203=；（Ⅰ）X 的可能取值为0，1，2，所以224(0)5315P X ==⨯=，32218(1)535315P X ==⨯+⨯=，311(2)535P X ==⨯=，所以X 的分布列为X 的数学期望481140121515515EX =⨯+⨯+⨯=； （Ⅰ）样本中，A 款APP 的男、女用户为7240112+=（人)， 其中男用户占7264.3%112≈；女用户占4035.7%112≈， 样本中，B 款APP 的男、女用户为6084144+=（人)，其中男用户占6041.7%144≈；女用户占8458.3%144≈， 所以该企业职工使用B 款APP 的情况与官方发布的男、女用户情况更相符．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了学生的运算转化能力，属于中档题． 4．【分析】（Ⅰ）求出C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数，然后求解顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率．（Ⅰ）X 的取值为0，1，2，设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，说明事件M 与N ⌝相互独立．然后求解X 的概率，得到分布列，然后求解期望． （Ⅰ）判断()()D D ξη<．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为3000.7210⨯=-----（2分）故此顾客是C 款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是210212000200=．--------（4分） （Ⅰ）X 的取值为0，1，2．---------------------------------（5分） 设事件M 为“从A 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 事件N 为“从E 款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”， 且事件M 与N ⌝相互独立．根据题意，()P M 估计为0.3，()P N 估计为0.6．则(0)()(1())(1())0.70.40.28P X P MN P M P N ===--=⨯=----（6分）(1)()()()(1())(1())0.30.40.70.60.54P X P MN P MN P M P N P M ==+=-+-=⨯+⨯=---------（7分）(2)()()()0.30.60.18P X P MN P M P N ====⨯=--------------（8分）所以X 的分布列为：-------（10分）X 的期望是：()00.2810.5420.180.9E X =⨯+⨯+⨯=．----（12分）（Ⅰ）()()D D ξη<．-------------------------------------------（14分） 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．5．【分析】（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”，推出从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，求出事件A 包含的数目，然后求解概率即可．（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率，得到随机变量X 的分布列，然后求解期望即可．（Ⅰ）直接判断从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．【解答】解：（Ⅰ）设事件A 为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米”， 从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，⋯（2分）由图表可知，事件A 包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”． ⋯⋯（3分） 所以31()93P A ==．⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年．随机变量X 的所有可能取值为0，1，2．⋯⋯⋯⋯⋯（5分）02242662(0)155C C P X C ⋅====，1124268(1)15C C P X C ⋅===，2024261(2)15C C P X C ⋅===．⋯⋯⋯⋯⋯（8分）所以随机变量X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以2812()012515153E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯（11分）（Ⅰ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大．⋯⋯⋯⋯⋯（14分）【点评】本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．6．【分析】（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ，推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率．（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． （Ⅰ）求出 4.4a =，判断当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．【解答】解：（Ⅰ）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨⋯⋯⋯⋯（2分） 所以1()7P A =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅰ）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3个月．X 的所有可能取值为0，1，2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 02342762(0)217C C P X C ====，113427124(1)217C C P X C ⋅====， 20342731(2)217C C P X C ====⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 所以X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）2416()0127777E X =⨯+⨯+⨯=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）（Ⅰ） 4.4a =⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当添加的新数a 等于原几个数的平均值时，方差最小．【点评】本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 7．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图列方程，能求出m ．（Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列． （Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，从而样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，由此能求出随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率． 【解答】解：（Ⅰ）因为(0.0050.0200.0400.020)101m ++++⨯=， 所以0.015m =．（Ⅰ）依题意，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．0333361(0)20C C P X C ⋅===， 1233369(1)20C C P X C ⋅===， 2133369(2)20C C P X C ⋅===， 3033361(3)20C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列为：（Ⅰ）设事件A = “随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”． 因为样本人数200人，其中男生共有80人， 所以样本中女生共有120人． 由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：1200.0401048⨯⨯=人． 由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，4816820025+=． 所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为8()25P A =． 【点评】本题考查频率、离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查频率分布直方图、超几何分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．【分析】（Ⅰ）设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B ．求出男性居民外出就餐有剩余时打包的人数，男性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率．女性居民外出就餐有剩余时打包的人数，女性居民外出就餐有剩余时不打包的人数，然后求解概率． （Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2．求出概率即可得到分布列． （Ⅰ）写出4312D D D D ξξξξ<<<．【解答】（Ⅰ）解：设该市男性居民外出就餐有剩余时打包为事件A ；设该市女性居民外出就餐有剩余时打包为事件B ．男性居民外出就餐有剩余时打包的有2503006008502000+++=人，男性居民外出就餐有剩余时不打包的有650600**********+++=人，被调查的男性居民有200020004000+=人，所以20001()40002P A ==． 女性居民外出就餐有剩余时打包的有4505507506502400+++=人，女性居民外出就餐有剩余时不打包的有6505502501501600+++=人，被调查的女性居民有240016004000+=人，所以24003()40005P B ==． （Ⅰ）解：X 的所有可能取值为0，1，2． 由题设知，事件A 与B 相互独立，且1()2P A =，2()5P B =． 所以121(0)()()()255P X P AB P A P B ====⨯=，12131(1)()()()()()25252P X P ABAB P A P B P A P B ===+=⨯+⨯=，133(2)()()()2510P X P AB P A P B ====⨯=．所以X 的分布列为（Ⅰ）解：4312D D D D ξξξξ<<<．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及方程的求法，古典概型概率的求法，是中档题．9．【分析】（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，由此能求出从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率．（Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和()E ξ． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．【解答】解：（Ⅰ）由图表知，2013年~2020年中，产品的平均利润少于100元/台的看人发只有2015年，2016年，∴从2013年~2020年中随机抽取一年，该年生产的平均利润不少于100元/台的概率为60.758P ==． （Ⅰ）由图表得，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013年和2015年， ξ∴的所有可能取值为1，2，3，1262383(1)28C C P C ξ===，11 / 1221623815(2)28C C P C ξ===， 3062385(3)14C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：31559()1232828144E ξ∴=⨯+⨯+⨯=． （Ⅰ）a 的最大值为13，最小值为7．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、概率的求法，考查超几何分布分布、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12/ 12。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：常用逻辑用语 (答案详解)
2020-2021年北京高三数学上学期期末汇编：常用逻辑用语一．选择题（共10小题）1．（2020秋•房山区期末）已知，，，均为实数，且，则“”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2020秋•朝阳区期末）已知圆，直线，则“与相交”是“”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020秋•房山区期末）命题“，”的否定是 A ．，均有B ．，均有C ．，使得D ．，使得4．（2020秋•通州区期末）已知命题，，则是 A ．，B ．，C ．，D ．，5．（2020秋•海淀区校级期末）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：①的一个周期是；②是偶函数；③；④在单调递减．其中所有正确结论编号是 A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④6．（2020秋•顺义区期末）已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．m n p q p q >m n >m p n q ->-()22:4C x y +=:0l x y t ++=l C ||2t <()0x ∀>(1)ln x x +<()0x ∀>(1)ln x x +…0x ∀…(1)ln x x +…00x ∃>00(1)ln x x +...00x ∃ (00)(1)ln x x +…:p x R ∀∈20x …p ⌝()x R ∀∈20x <x R ∀∉20x …0x R ∃∈200x …0x R ∃∈200x <()sin[cos ]cos[sin ]f x x x =+[]x x ()f x ()f x 2π()f x ()f x ()f x (0,)π()1()3x axf x x+=-0(,1)x ∈-∞-0()0f x =a ()4(,)3-∞4(0,3(,0)-∞4(,)3+∞7．（2020秋•房山区期末）众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线．给出以下命题：①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，，则；②当时，直线与黑色阴影区域有1个公共点；③当，时，直线与黑色阴影区域有2个公共点．其中所有正确命题的序号是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③8．（2020秋•海淀区校级期末）已知，则下列说法错误的是 A ．若在内单调，则B ．若在内无零点，则C ．若的最小正周期为，则D ．若时，直线是函数图象的一条对称轴9．（2020秋•石景山区期末）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧，，的长度分别为，，，对于以下四个命题：①；②；③；y :(2)l y a x =-0a =l 1s 212()s s s …12:3:1s s =43a =-l (0a ∈1]l ()21()sin (0)22x f x x ωωω=+->()()f x (0,)π203ω<…()f x (0,)π106ω<…|()|y f x =π2ω=2ω=23x π=-()fx (AB ABCD BC =ABFE F AB ¶BECDEF DEHG H DE ¶EG⋯⋯¶BE¶EG ¶GI l m n l m n =+2m l n =⋅2m l n =+④．211m l n=+其中正确的是 A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④10．（2020秋•海淀区期末）数列的通项公式为，，前项和为给出下列三个结论：①存在正整数，，使得；②存在正整数，，使得③记，2，3，则数列有最小项．其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．③C ．①③D ．①②③二．填空题（共2小题）11．（2020秋•海淀区期末）已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减．其中所有正确结论的序号是 ．12．（2020秋•海淀区期末）已知圆，直线，点，点．给出下列4个结论：①当，直线与圆相离；②若直线圆的一条对称轴，则；③若直线上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为；④为圆上的一动点，若，则(){}n a 23n a n n =-*n N ∈n .n S m ()n m n ≠m n S S =m ()n m n ≠m n a a +=12(1n n T a a a n =⋯=)⋯{}n T ()222,,()2,.x x x a f x x x x a ⎧-=⎨--<⎩…a ()f x a ()f x a k ()y f x k =+m a ()f x (1,)m -22:(5)(2)2P x y -+-=:l y ax =(5,2M +(,)A s t 0a =l P l P 25a =l A P N 90MAN ∠=︒a 2021N P 90MAN ∠=︒t其中所有正确结论的序号是 ．2021北京高三数学上学期期末汇编：常用逻辑用语参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据充分条件和必要条件的定义及不等式性质进行判断即可．【解答】解：先考虑必要性，给出证明如下：因为， 且，成立，两个不等式相加得，所以，“”是“”的必要条件；再考虑充分性，举反例反证如下：假设“”是“”的充分条件，因为，取，，则有： 但，，，从而，即不成立．所以“”不是“”的充分条件；故选：．【点评】本题考查了充分条件和必要条件，考查不等式性质问题，属基础题．2．【分析】先利用直线与圆相交，将满足的条件求出来，然后再利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可．【解答】解：圆心，半径为2，则圆心到直线的距离为，因为与相交，则有，所以，即，所以“与相交”是“”的必要而不充分条件．故选：．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了直线与圆位置关系的应用，解题的关键是将直线与圆相交转化为的范围．3．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，使得，故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【分析】直接写出特称命题的否定得答案．m p n q ->-p q >m n >m n >m p n q ->-m n >m p n q ->-p q >m q =-n p =-m n >m p q p -=--n q p q -=--m p n q -=-m p n q ->-m n >m p n q ->-B t (0,0)Cl |d t ==l C d r<|2t<||t <l C ||2t <B t 00x ∃>00(1)ln x x +…C【解答】解：命题：，的否定是：，．故选：．【点评】本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题．5．【分析】①，利用周期定义判断；②，利用和的值判断；③利用的值判断；④判断函数在的函数值判断即可．【解答】解：①：因为，所以函数的一个周期为，故①正确；②：因为，，所以，故函数不是偶函数；故②错误；③因为，故③正确；④：当时，，，所以，所以，即当时，为定值，故④错误；故选：．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【分析】令解得，构造函数，求出在定义域的值域，即可求出的取值范围．【解答】解：函数，令，解得；设，其中，所以是定义域上的单调增函数，所以．若存在，使得，则实数的取值范围是．故选：．x R ∀∈20x …0x R ∃∈20x <D ()4f π(4f π-(0)f ()f x (0,)2π(2)sin[cos(2)]cos[sin(2)]sin[cos ]sin[cos ]()f x x x x x f x πππ+=+++=+=2π()sin[cos ]cos[sin ]sin 0cos01444f πππ=+=+=()sin[cos()]cos[sin()]sin 0cos(1)cos1444f πππ-=-+-=+-=()(44f f ππ≠-(0)sin[cos0]cos[sin 0]sin111f =+=+>>(0,)2x π∈0sin 1x <<0cos 1x <<[sin ][cos ]0x x ==()sin[cos ]cos[sin ]sin 0cos01f x x x =+=+=(0,2x π∈()1f x =B ()0f x =13x a x =-1()3x g x x=-()g x (,1)-∞-a 11()33x x ax f x a x x+=-=--()0f x =13x a x=-1()3x g x x=-(,1)x ∈-∞-()g x (,1)-∞-40()(1)3g x g <<-=0(,1)x ∈-∞-0()0f x =a 4(0,3B【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了特称命题的应用问题，是中档题．7．【分析】对应①②③不同的的值，分别分析即可求解．【解答】解：①当时，直线为轴，则，①正确，②当时，直线化为，即，此时点到直线的距离为，故直线与黑色阴影区域有1个公共点，②正确，③当时，此时直线的方程为：，显然与黑色阴影部分只有一个公共点，③错误，故选：．【点评】本题考查了命题的真假判断，涉及到直线与圆的位置关系的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．8．【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，据此依次分析选项，综合可得答案．【解答】解：根据题意，，由此依次分析选项：对于，若在内单调，则有，解可得，正确，对于，当时，则，若在上无零点，则，解可得，正确，对于，若的最小正周期为，则，解可得，错误，对于，若，则，当时，，则直线是函数图象的一条对称轴，正确，故选：．【点评】本题考查三角函数的性质，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．9．【分析】不妨取，得到，利用题中给出的信息，分别求出，，，然后分别验证选项是否成立即可．【解答】解：不妨设，则，所以因为，所以，同理可得a 0a =l x 22212111:(21):13:1222s s πππ=⨯-⨯⨯⨯⨯=43a =-(2)y a x =-4(2)3y x =--4380x y +-=(0,1)l |38|15d -==l 1a =l 2y x =-A ()sin()6f x x πω=-211()sin cos sin()2226x f x x x x x ωπωωωω=+-=-=-A ()f x (0,)π62ππωπ-…23ω…A B (0,)x π∈(66x ππω-∈-)6πωπ-()f x (0,)π06πωπ-…106ω<…B C |()|y f x =πππω=1ω=C D 2ω=()sin(2)6f x x π=-23x π=-3262x ππ-=-23x π=-()f x D C 1AB =2BC =l m n 1AB =2BC =121)4l π=⨯⨯=3ED =12(34m π=⨯⨯124)4n π=⨯⨯=所以，，，，故正确的是①②．故选：．【点评】本题考查了新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．10．【分析】假设存在正整数，，使得，则，转化为的关系进行分析，即可判断选项①，利用完全平方式将简，可得即，再分析的对称性，可得，从而可判断选项②，利用，2，3，，得到，，，且当时，单调递增，分析即可判断选项③．【解答】解：若存在正整数，，使得，则，即，令，解得（舍或，即，所以存在，，使得，故选项①正确；因为，即，即，且，，记，对称轴为，而，2，3，故只有，时，有，但此时不成立，故不存在正整数，，使得因为，2，3，，则，，，且当时，单调递增，所以当时，，而，故当时，，又，，所以数列有最小项，故选项③正确．故选：．l m n =+2m l n =⋅2m l n ≠+211m l n≠+A m ()n m n ≠m n S S =0m n S S -=n a m n a a +=m n a a =n a 121320a a =-=-=<12(1n n T a a a n =⋯=)⋯12a =-22a =-30a =2n …n a m ()n m n ≠m n S S =0m n S S -=120m m n a a a ++++⋯+=0n a =0n =)3n =30a =2m =3n =m n S S =m n a a +=20-=m n a a =0m a …0n a …23y n n =-32n =1n =⋯11n =22n =12n n a a =121320a a =-=-=<m ()n m n ≠m n a a +=12(1n n T a a a n =⋯=)⋯12a =-22a =-30a =2n …n a 3n >0n a >30T =3n >0n T =24T =12T =-{}n T 12T =-C【点评】本题以数列的有关知识为背景设计问题，要求学生能利用数列的基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解本质．二．填空题（共2小题）11．【分析】由函数的解析式作出函数图象，由图象可以直接判断出正确的选项．【解答】解：由函数的解析式可得图象如图：①时函数为奇函数，故①正确；②由图象可知对于任意的实数，函数无最值，故②正确；③当，时函数没有零点，故③错误；④由图象可知，当时，函数在上单调递减，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查了函数图象与性质，属于基础题．12．【分析】当时，求出直线的方程，然后利用点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系进行分析，即可判断选项①；利用圆的对称轴经过圆心，所以直线经过两个点，从而得到直线的斜率，即可判断选项②；考虑极限情况，，为切点时比，为割点时的更大，故直线的斜率最大时，点，均应为切点，分析求解即可判断选项③；根据，可得点为以为直径的圆上，最大时应该是圆心的纵坐标加半径，利用换元法求出最值即可判断选项④．【解答】解：当时，直线，故圆的半径到直线的距离，()f x ()f x 0a =()f x a ()f x 3k =-8a =()y f x k =+a m >()f x (1,)m -0a =l l M N M N MAN ∠l M N 90MAN ∠=︒A MN t 0a =:0l y =r =P所以当，直线与圆相离，故选项①正确；因为圆的对称轴过圆心，故直线过点，又直线，所以，故选项②正确；考虑极限情况：取的中点，点在以为圆心，为半径的圆上，则，当且仅当，，三点共线且时取等号，所以点在以为圆心，2为半径的圆上或圆内，此时的最大值使得与此圆相切，点到的距离为，解得或（舍，此时，则，又因为，，所以，，故，，三点不共线，即取等号的条件不成立，综上所述，选项③错误；设，，则的中点，，而，则点为以为直径的圆上，设半径为，，则，所以最大时应该是点的纵坐标加半径，即，令，，令，得，，时，所以，故选项④正确；故答案为：①②④．0a =l P l (5,2):l y ax =25a =MN D A D MD 2PA AD DP MD PD +=+==……A P D PD MD =A P a y ax =(5,2)P y ax =2d ==2021a =0a =)AD l ⊥2120AD k =-MD PD =45DPM ∠=︒1PD k =-AD PD k k ≠A P D (5,2)N θθ+(5,2M +MN (5Q θ+2)θ90MAN ∠=︒A MN r 244sin MN θ=-r =t Q 2t θ=+()2g x =+++[1x ∈-1]μ=2()2)f μμμ=+-+μ∈2()2f μμ=+++μ=()2max f f μ===t【点评】本题以命题真假的判断为载体考查了直线与圆的位置关系的应用，涉及了换元法求解函数的最值问题、二次函数的最值问题，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力以及化简运算能力要求很高．。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：函数
2021北京高三数学上学期期末汇编：函数一．选择题（共8小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩，则1(())2f f 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．3 D ．52．（2020秋•西城区期末）已知()f x 为奇函数，其局部图象如图所示，那么( )A ．f （2）2=B ．f （2）2=-C ．f （2）2>-D ．f （2）2<-3．（2020秋•丰台区期末）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意x ，都有()()f x f x -=-；②存在区间D ，()f x 在区间D 上单调递减的函数是( )A ．sin y x =B ．3y x =C ．211y x =+D ．y lnx =4．（2020秋•丰台区期末）若函数2,0()2,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩，则函数()f x 的值域为( ) A ．[0，1) B ．(-∞，0] C ．(-∞，0)(0⋃，1) D ．(,1)-∞5．（2020秋•东城区期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )A ．2x y -=B ．y lnx =C ．1y x =D ．sin y x =6．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是( )A ．sin y x =B ．3y x =C ．2x y -=D ．||y ln x =7．（2020秋•石景山区期末）“ϕπ=”是“函数sin(2)y x ϕ=+为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020秋•西城区期末）设函数()f x 和()g x 的定义域为D ，若存在非零实数c D ∈，使得f （c ）g +（c ）0=，则称函数()f x 和()g x 在D 上具有性质P ．现有三组函数：①()f x x =，2()g x x =；②()2x f x -=，()x g x e =-；③2()f x x =-，()2x g x =．其中具有性质P 的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题（共5小题）9．（2020秋•房山区期末）函数(21)2y ln x =++的定义域为 ．10．（2020秋•石景山区期末）函数()f x lnx =的定义域为 ．11．（2020秋•东城区期末）函数()f x lnx =的定义域是 ．12．（2020秋•顺义区期末）已知函数2()f x ax bx c =++，能说明()f x 既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的一组整数a ，b ，c 的值依次是 ．13．（2020秋•东城区期末）已知函数[sin ][cos ]()23x x f x =+，[0x ∈，2]π，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[1]1=，[0.5]0=，[0.5]1-=-． ①2()3f π= ； ②若()f x x a >+对任意[0x ∈，2]π都成立，则实数a 的取值范围是 ．2021北京高三数学上学期期末汇编：函数参考答案一．选择题（共8小题）1．【分析】推导出211()log 122f ==-，从而1(())(1)2f f f =-，由此能求出1(())2f f 的值． 【解答】解：函数2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩， 211()log 122f ∴==-， 113(())(1)2122f f f -=-=+=． 故选：B ．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据题意，由函数的图象可得(2)(1)2f f -<-=，结合函数的奇偶性可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象，(2)(1)2f f -<-=，则有(2)(1)2f f -->--=-，又由()f x 为奇函数，则f （2）(2)f =--，则有f （2）f >（1）2=-，故选：C ．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数图象的应用，属于基础题．3．【分析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于A ，sin y x =为奇函数，满足①，且在区间(2π，)π上单调递减，满足②，故A 符合题意； 对于B ，3y x =为奇函数，满足①，但在R 上单调递增，不满足②，故B 不符合题意；对于C ，211y x =+为偶函数，不满足①，故C 不符合题意； 对于D ，y lnx =为非奇非偶函数，不满足①，故D 不符合题意．故选：A ．【点评】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4．【分析】根据分段函数()f x 的解析式即可求出每段上()f x 的范围，然后即可得出()f x 的值域．【解答】解：0x 时，20x -；0x <时，021x <<，()f x ∴的值域为：(,1)-∞．故选：D ．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．5．【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于A ，2x y -=为非奇非偶函数，不符合题意；对于B ，y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意；对于C ，1y x=为奇函数，但在区间(0,1)上单调递减，不符合题意； 对于D ，sin y x =为奇函数，由正弦函数的图象可知，sin y x =在区间(0,1)上单调递增，符合题意． 故选：D ．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．6．【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】解：对于A ，sin y x =是奇函数，但在区间(0,)+∞上不单调，不符合题意；对于B ，3y x =是奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，符合题意；对于C ，12()2x x y -==为非奇非偶函数，不符合题意； 对于D ，||y ln x =为偶函数，不符合题意．故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．【分析】函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数sin(2)y x φ=+为奇函数，则k φπ=，k Z ∈，∴ “φπ=”是“函数sin(2)y x φ=+为奇函数的”充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．8．【分析】在选项①②③中分别判断方程()()0f x g x +=是否有非零实数解，即可得到答案．【解答】解：因为()f x x =，2()g x x =，所以2()()f x g x x x +=+，则(1)(1)110f g -+-=-+=，符合题意，故选项①正确；因为()2x f x -=，()x g x e =-，所以()()20x x f x g x e -+=+-=， 可得1()02x x e -=，即(2)1x e =，解得0x =，不符合题意，故选项②不正确；因为2()f x x =-，()2x g x =，所以2()()2x f x g x x +=-+，则f （2）g +（2）22220=-+=，符合题意，故选项③正确．故选：B ．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．二．填空题（共5小题）9．【分析】根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：210x +>，解得：12x >-， 故函数的定义域是1(2-，)+∞， 故答案为：1(2-，)+∞． 【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．10．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：100x x +⎧⎨>⎩，解得：0x >， 故函数()f x 的定义域是(0,)+∞，故答案为：(0,)+∞．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．11．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：100x x -⎧⎨>⎩，解得：1x ， 故函数的定义域是[1，)+∞，故答案为：[1，)+∞．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．12．【分析】根据题意，0a ≠时，函数2()f x ax bx c =++，为二次函数，结合二次函数的性质可得0a <且0b =，据此写出一组符合题意整数即可．【解答】解：根据题意，0a ≠时，函数2()f x ax bx c =++，为二次函数， 若()f x 是偶函数，则其对称轴02b x a=-=，则0b =， 又在区间(0,)+∞上单调递减，必有0a <，综合可得：0a <且0b =，故满足题意的一组整数a ，b ，c 的值依次是1-，0，1（答案不唯一）．故答案为：1-，0，1（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于基础题．13．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及[]x 的定义，可得所求值； ②由题意可得[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-对任意[0x ∈，2]π都成立，分别讨论x 在各个象限和坐标轴的取值情况，结合[]x 的定义，可得所求范围．【解答】解：①221[sin ][cos ][]0133224()2332333f πππ--=+=+=+=； ②若()f x x a >+对任意[0x ∈，2]π都成立，即为[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-对任意[0x ∈，2]π都成立，当0x =或2x π=时，()134f x x -=+=或42π-； 当2x π=时，()21322f x x ππ-=+-=-；当x π=时，14()133f x x ππ-=+-=-； 当32x π=时，1333()12222f x x ππ-=+-=-； 当02x π<<时，sin (0,1)x ∈，cos (0,1)x ∈， 可得0023222a ππ+-=-； 同理可得当2x ππ<<时，可得014233a ππ-+-=-； 当32x ππ<<时，可得1135323262a ππ--+-=-； 当322x ππ<<时，可得10323222a ππ-+-=-． 综上可得，a 的取值范围是(-∞，32]2π-． 故答案为：43；(-∞，32]2π-． 【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义[]x 的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
北京市10区2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编：平面向量
北京市10区2020届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编平面向量1、（昌平区2020届高三上学期期末考试）已知向量(1,3),(1,0),(3,).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1 C . 3 D. 32、（朝阳区2020届高三上学期期末考试）已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u r u u u r 的最大值是（A ）22 （B ）42 （C ）4 （D ）83、（朝阳区2020届高三上学期期中考试）在△ABC 中，90BAC ∠=o ，2BC =， 点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ⋅+=u u u r u u u r u u u r ，则AP u u u r 的取值范围是（A ）1(,1]2 （B ）1[,1]2 （C ）2(,1]2 （D ）2[,1]2 4、（东城区2020届高三上学期期末考试）在平行四边形ABCD 中，已知uu u r uuu r uuu r uuu r AB AC AC AD ⋅=⋅，4AC =uuu r ，2BD =uu u r ，则四边形ABCD 的面积是____．5、（房山区2020届高三上学期期末考试）已知矩形ABCD 中2=AB ，1=AD ，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值是___________，最大值是___________．6、（丰台区2020届高三上学期期末考试）已知菱形ABCD 边长为1，=60BAD ∠︒，则=BD CD u u u r u u u r g（A ）12 （B ）12- （C ）32 （D ）32- 7、（海淀区2020届高三上学期期末考试）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12- （B ）12 （C ）32- （D ）328、（海淀区2020届高三上学期期中考试）在四边形ABCD 中，AB ∥CD ， AC AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r (λ，)μ∈R . 若λμ+=32，则||||CD AB =u u u r u u u r （A ）13 （B ）12（C ）1（D ）29、（石景山区2020届高三上学期期末考试）已知向量()5,m =a ，()2,2=-b ，若()-⊥a b b ，则实数m =A. 1-B. 1C. 2D. 2-10、（通州区2020届高三上学期期末考试）已知向量()3,2a →=-，()m b ,1=→，若()a a b →→→⊥-，则=m ___________.11、（西城区2020届高三上学期期末考试）已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r ,其中x ∈R ,那么b =r_____________12、（朝阳区2020届高三上学期期中考试）已知向量(1,1)=-a ，(3,)m =b ，且//a b ，则=m ________． 13、（海淀区2020届高三上学期期中考试）已知向量(1,2)=a ，(3,)t =b ，且//a b ，则t =_________.14、（北京八中2020届高三上学期期中考试）化简AB BC AD +-u u u r u u u r u u u r 等于15、（北京八中2020届高三上学期期中考试）已知是夹角为60º的两个单位向量，则向量 21e u r ＋2e u u r 与向量21e u r -32e u u r 的夹角为＿＿16、（石景山区2020届高三上学期期末考试）已知向量1e u r ，2e u u r 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+u u u r u r u u r 时，则称有序实数对(,)x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ，对于下列命题：① 线段AB 的中点的广义坐标为1212(,)22x x y y ++； ② 向量OA u u u r 平行于向量OB u u u r 的充要条件是1221x y x y =；③ 向量OA u u u r 垂直于向量OB u u u r 的充要条件是12120x x y y +=.其中，真命题是 .（请写出所有真命题的序号）参考答案：1、B2、D3、A4、45、0；2176、A7、A8、B9、B 10、－511、1312、－3 13、6 14、B 15、180º16、①②。
2024北京房山区高三(上)期末数学试题及答案
2024北京房山高三（上）期末数 学本试卷共6页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}2,0,1,2A =−，{}10B x x =−>，则A B =（ ）A .{}2B .{}1,2C .{}2,0−D .{}2,0,1,2−2.在复平面内，若复数z 对应的点为(1,1)−，则(1i)z −−=（ ） A .2B .2iC .2i −D.2−3.已知向量(2,0)a =，(,1)b m =，且a 与b 的夹角为3π，则m 的值为（ ）A .3−B .3C .D 4.432x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（ ）A .32−B .32C .23−D .235.已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A .22a b >B .11a b> C .b a a b> D .2211ab a b>6.已知直线l ：2y x b =+与圆C ：22(1)(2)5x y −++=相切，则实数b =（ ） A .1或9B .1−或9C .1−或9−D .1或9−7.已知函数()f x 满足()()0f x f x −−=，且在[0,)+∞上单调递减，对于实数a ，b ，则“22a b <”是“()()f a f b >”的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫米/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0e (0)kt P P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：1310.5855⎛⎫≈ ⎪⎝⎭）（ ） A .12%B .10%C .9%D .6%9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 左支上一动点，Q 为双曲线C 的渐近线上一动点，且2PQ PF +最小时，1PF 与双曲线C 的另一条渐近线平行，则双曲线C 的方程可能是（ ）A .2213y x −=B .2213x y −=C .22122x y −=D .2214x y −=10.数学家祖冲之曾给出圆周率π的两个近似值：“约率”227与“密率”355113.它们可用“调日法”得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于3411π<<，取3为弱率，4为强率，计算得1347112a +==+，故1a 为强率，与上一次的弱率3计算得23710123a +==+，故2a 为强率，继续计算，….若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知258m a =，则m =（ ） A .8B .7C .6D .5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题分，共25分。
房山2020高三数学期末答案
房山区2019-2020学年度第一学期期末检测答案高三数学一、选择题（每小题5分，共40分）（11）22(1)(1)2x y -+-= （12）3 （13）11(1)()2n --⋅或1n-（答案不唯一） （14）π；6π （15）(,1]-∞；(1,1]- （16）0；三、解答题（共6小题，共80分）（17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）∵sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠< ∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠= ∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅1131421427=⋅+⋅=（Ⅱ）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BDDBC C =∠=解得7BD = ∵2ABD DBC π∠+∠=，sin 14DBC ∠=， ∴cos ABD ∠=在△ABD中，AB=2222cosAD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2272749=+-⋅=解得7AD=（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A，则11411()==2020100P A⨯（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,22016422060(0)==95C CP XC=，1116422032(1)==95C CP XC=，021642203(2)==95C CP XC=，∴X的分布列为∴期望()0121995955E X=⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由．如果选择B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由．（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，AE⊂平面PAD所以CD AD⊥，CD AE⊥．又因为△PAD为等边三角形，E为PD的中点，所以PD AE⊥．所以AE⊥平面PCD．（Ⅱ）取AD的中点O，连结,OP OB，则易知 //OB CD，OB⊥AD，OB⊥OP．因为△PAD为等边三角形，所以OP AD⊥．以O 为原点，以OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴如图建系，1(1,0,0),((0,2,0)2A E F B -3(2u u u r AE =-，1(,1,0)2u u u r EF =设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =r，则：00r u u u r r u u ur n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即302102x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令2x =，得平面AEF的一个法向量(2,1,rn =-易知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =u u u rcos ,u u u r ru u u r r u u u r r OB n OB n OB n ⋅<>=== 所以平面AEF 与平面PAD． （Ⅲ）假设棱PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，且设[],0,1PGPCλλ=∈，则PG PC λ=u u u r u u u r ，(1,2,0),(1,0,0)P C D --，(1,2,PC =-u u u r，则(,2)G λλ-(1,2)DG λλ=-u u u r要使得 //DG 平面AEF ，则222660u u u r r DG n λλλ⋅=--+-=，得45λ=，所以线段PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，45PG PC =． （20）（本小题14分）（Ⅰ）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=椭圆E 的方程为22184x y +=离心率为c e a ==（Ⅱ）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥证明：设直线方程为y kx m =+代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222(21)4280k x kmx m +++-= 由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，22821km kx k m--==+ 设00(,)P x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==，则84(,)k P m m- 设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+001(2,)(2,)u u u r u u u u rMP MQ x y y ⋅=+⋅-0012(2)x y y =-++842(2)(4)k k m m m -=-++-+1644(4)0k k m m m=-+-+= 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥．解法二：由椭圆的对称性不妨设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x ．22184x y +=得=y 得002x k y =-．切线方程为0000()2x y y x x y -=--，令4x =-得22000001000004224(4)22x x x y x y x y y y y --++=--+==，002(2)(4,)y x Q +-． 所以，0001002(2)(2,)(2,)2(2)0u u u r u u u u r x MP MQ x y y x y y +⋅=+⋅-=-++=． 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥． （21）（本小题13分）（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1'()2ln 3f x x x=-+ (1)2(1)0f f '∴==，。
北京房山区2022高三上年末考试-数学理
北京房山区2022高三上年末考试-数学理数 学 （理科）2020.1本试卷共5页，150分。
考试时刻120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试终止后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则 A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. )2,1[=N M D. ]3,3[-=N M2. 设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b +的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 43. “0ϕ”是“函数()sin()f x x ϕ为奇函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 4. 设4log , 2 ,3.03.03.02===c b a ，则A. c a b <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<5. 已知圆22:21C x y x +-=，直线:(1)1l y k x =-+，则与C 的位置关系是 A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定只是圆心 D.相交且可能过圆心6. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的 表面积是 A. 3 B.932C. 63+D. 623+ 7. 已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为 A. 4 B. 3 C. D. 1-8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅αβαβββ，若平面向量,a b 满足≥>a b ，a 与b 的夹角(0,)3θπ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中，则a b = A.21 B. C. 23 D.或23二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10(1)x dx+⎰= .10.5)1(+x 的展开式中x 的系数是 .（用数字作答） 11.在△ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，,3,3A a b π===则=c ，△ABC 的面积等于 .12.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为.13. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前n *()n ∈N 年的总利润n S （单位：万元）与n 之间的关系为2(6)11nS n =--+.当每辆客车运营的平均利润最大时， n 的值为 . 14. 已知0m >，给出以下两个命题：命题p ：函数)lg()(2m x x f +=存在零点； 命题q ：x ∀∈R ，不等式21x x m +->恒成立.若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则m 的取值范畴为 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解承诺写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数sin 2cos 21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若523)4(=+παf ，求αcos 的值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.D 1C 1B 1A 1ED CBA17. （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多．．投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分. 将学生得分逐次累加并用ξ表示，假如ξ的值不低于3分就认为通过测试，赶忙停止．．．．投篮，否则连续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2：都在B 处投篮.甲同学在A 处投篮的命中率为5.0，在B 处投篮的命中率为8.0.（Ⅰ）甲同学选择方案1.① 求甲同学测试终止后所得总分等于4的概率；② 求甲同学测试终止后所得总分ξ的分布列和数学期望E ξ； （Ⅱ）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数1)(2+-=x ax b x f .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处取得极值2，求,a b 的值； （Ⅱ）当221b a =-时，讨论函数()f x 的单调性.19. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211122n S n n =+ ()n *∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1(211)(29)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式2013nk T >对一切n *∈N 都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设,(21,),()313,(2,),n n a n k k f n a n k k **⎧=-∈⎪=⎨-=∈⎪⎩N N 是否存在m *∈N ，使得(15)5()f m f m += 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）已知函数)(x f y =,若存在0x ，使得00)(x x f =,则称0x 是函数)(x f y =的一个不动点，设二次函数2()(1)2f x ax b x b =+++-.(Ⅰ) 当2,1a b ==时，求函数)(x f 的不动点；(Ⅱ) 若关于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范畴； (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数)(x f y =的图象上B A ,两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，且直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范畴.房山区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2020.01一、 选择题：1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D【解析】C;因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,因此12b a =,||12cos ||b a θ=,因此2||cos 2cos ||a ab b θθ==,且211(0,),cos 1,2cos 2322πθθθ∈∴<<∴<<故有312a b =或,选 D.【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,因此1cos 12θ<=<,因此1214k k <<,因此1223k k =或,而0a b ≥>,因此123,1k k ==或122,1k k ==,因此32a b =,选D. 二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 32 10. 10 11. 4, 12. 913. 5 14.1(0,](1,)2+∞ :01,:1p m q m <≤>数形结合三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（Ⅰ）由cos 0x ≠ ………………1分得,2x k k ππ≠+∈Z………………3分 因此函数)(x f 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈……………4分 （Ⅱ）sin 2cos 21()2cos x x f x x++== 22sin cos 2cos 112cos x x x x+-+……………8分=sin cos )4x x π+=+……………10分())42f ππαα+=+=因此3cos sin()25παα=+=……………13分16. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD∴1D D AC ⊥ ………………1分在长方形ABCD 中，AB BC =∴BD AC ⊥ ………………2分又1BDD D D =∴AC ⊥平面11BB D D ， ………………3分 而1D E ⊂平面11BB D D∴1AC D E ⊥………………4分 zyxD 1C 1B 1A 1EDCBA（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系Dxyz ，则1(1,0,0),(0,0,2),(1,1,1),(1,1,0)A D E B ,1(0,1,1),(1,0,2),(1,1,1)AE AD DE ==-=设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，则100n AD n AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩ 令1z =，则(2,1,1)n =- (7)分2cos ,3n DE n DE n DE-<>===⨯………………9分因此 DE 与平面1AD E ………………10分（Ⅲ）假设在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E . 设P 的坐标为(,0,0)(01)t t ≤≤，则(1,1,0)BP t =-- 因为 BP ∥平面1AD E因此 BP n ⊥， 即0BPn =， 2(1)10t -+=，解得12t =， ………………13分 因此 在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,现在DP 的长12.……14分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）在A 处投篮命中记作A ,不中记作A ；在B 处投篮命中记作B ,不中记作B ； ① 甲同学测试终止后所得总分为4可记作事件ABB ,则))))0.50.80.80.32P ABB P A P P ==⨯⨯=(((B (B ………………2分②ξ的所有可能取值为0,2,3,4，则(0)()()()()0.50.20.20.02P P ABB P A P B P B ξ====⨯⨯=(2)))))))))P P ABB P ABB P A P P B P A P B P ξ==+=+((((B ((((B0.50.8(10.8)0.5(10.8)0.80.16=⨯⨯-+⨯-⨯=(3))0.5P P A ξ===((4)))))0.50.80.80.32P P ABB P A P P ξ====⨯⨯=(((B (B ………………6分ξ的分布列为：………………7分00.0220.1630.540.32 3.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………9分（Ⅱ）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P , 1P =(3)0.50.320.82P ξ≥=+= 2P ()()()P BBB P BBB P BB =++=20.80.20.80.80.896⨯⨯+⨯=因为21P P > 因此 甲同学应选择方案2通过测试的概率更大 ………………13分 18. （本小题满分13分） （Ⅰ）222(1)2()'()()(1)a x x b ax f x x R x -+--=∈+ ………………1分2222(1)ax bx a x --=+依题意有，222'(1)0(11)a b af --===+ 2(1)211b a f -==+ ………………3分 解得0b =，4a =- ………………5分经检验， 4,0a b =-=符合题意， 因此，4,0a b =-=(Ⅱ) 当221b a =-时，222222(1)(1)('()(1)(1)ax a x a ax x a f x x x ---+-==++）当0a =时，22'()(1)xf x x =+解'()0f x =， 得0x = 当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >因此减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞. ………………7分 当0a ≠时，解'()0f x =， 得121,x x aa=-=， ………………9分 当0a >时，1a a-< 当1(,)x a ∈-∞-或(,)x a ∈+∞时，'()0f x >；当1(,)x a a∈-时，'()0f x < 因此增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-. ………………11分 当0a <时，1a a-> 当(,)x a ∈-∞或1(,)x a ∈-+∞时，'()0f x <；当1(,)x a a∈-时，'()0f x >因此增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞,1(,)a-+∞. ………………13分 综上所述：当0a =时, ()f x 减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)-∞； 当0a >时, ()f x 增区间为1(,)a -∞-，(,)a +∞，减区间为1(,)a a-； 当0a <时, 增区间为1(,)a a -，减区间为(,)a -∞，1(,)a-+∞. 19（本小题满分14分）（Ⅰ）当1n =时, 116a S == ……………… 1分 当2n ≥时,221111111()[(1)(1)]52222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+.…… 2分而当1n =时, 56n +=∴5na n =+． ………………4分 （Ⅱ）1(211)(29)n n n c a a =--1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+ ∴12n T c c =++…n c +1111[(1)()2335=-+-+…11()]2121n n +--+21n n =+ ………………7分 ∵11102321(23)(21)n n n n T T n n n n ++-=-=>++++ ∴n T 单调递增，故min 11()3n T T ==． ………………8分 令132013k >，得671k <，因此max 670k =. ……………… 10分（Ⅲ）**,(21,)5,(21,)()=313,(2,)32,(2,)n n a n k k n n k k N f n a n k k n n k k N **⎧⎧=-∈+=-∈⎪⎪=⎨⎨-=∈+=∈⎪⎪⎩⎩N N （1）当m 为奇数时，15m +为偶数， ∴347525m m +=+，11m =．………………1 2分 （2）当m 为偶数时，15m +为奇数， ∴201510m m +=+，57m *=∉N （舍去）． 综上，存在唯独正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立． ……………………1 4分20. （本小题满分13分）(Ⅰ) 当2,1a b ==时，2()221f x x x =+-，解2221x x x +-= …2分 得11,2x x =-= 因此函数()f x 的不动点为11,2x x =-= ……3分 （Ⅱ）因为 关于任意实数b ，函数)(x f 恒有两个不同的不动点，因此 关于任意实数b ，方程()f x x =恒有两个不相等的实数根， 即方程2(1)2ax b x b x +++-=恒有两个不相等的实数根， ………4分 因此 24(2)0x b a b ∆=--> ………5分 即 关于任意实数b ，2480b ab a -+> 因此 2(4)480b a a ∆=--⨯< ……………………7分 解得 02a << …………………8分 （Ⅲ）设函数()f x 的两个不同的不动点为12,x x ，则1122(,),()A x x B x x ， 且12,x x 是220ax bx b ++-=的两个不等实根， 因此12b x x a +=- 直线AB 的斜率为1，线段AB 中点坐标为(,)22b b a a -- 因为 直线211y kx a =++是线段AB 的垂直平分线， 因此 1k =-，且(,)22b b a a --在直线211y kx a =++上 则 21221b b a a a -=++ (0,2)a ∈ ……………………10分 因此2111121a b a a a a a =-=-≥=-++ 当且仅当1(0,2)a =∈时等号成立 …………………12分又 0b <因此 实数b 的取值范畴1[,0)2-. …………13分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
房山区2020届高三第一学期期末数 学本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
AB =（A ）{}0,1 （B ）{}1,0,1- （C ）{}0,1,2 （D ）{}1,0,1,2-（2）已知复数=z z 的虚部为（A ）13 （B（C ）13-（D ）3-（3）等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（A ）28 （B ）21 （C ）14（D ）7（4）从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ， 各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现 采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（A ）55 （B ）80 （C ）90 （D ）110 （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43 （C ）2（D ）4俯视图侧（左）视图正（主）视图（7）已知双曲线C 的方程为2214y x -=，点P ，Q 分别在双曲线的左支和右支上，则直线PQ 的斜率的取值范围是 （A ）(2,2)- （B ）11(,)22-（C ）(,2)(2,)-∞-+∞（D ）11(,)(,)22-∞-+∞ （8）设a ，b 均为单位向量，则“a 与b 夹角为π3”是“||+=a b （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（10）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．（A ）3 （B ）3-（C（D ）（A ）两个点（B ）线段（C ）圆的一部分（D ）抛物线的一部分1（A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）丁第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（11）已知点(2,0)M ，(0,2)N ，以线段MN 为直径的圆的方程为___________． （12）若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则(2)f =___________．（13）已知数列{}n a 满足1n n a a +>，且其前n 项和n S 满足1n n S S +<，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式n a = __________． （14）已知π()cos(2)(0)2ϕϕ=<<+f x x ，若()f x 的最小正周期为___________，若π()()12-≤f x f 对任意的实数x 都成立，则ϕ=____________. （15）已知函数2,1,()2, 1.≤x x x f x a x ⎧->⎪=⎨-⎪⎩①当1a =时，函数()f x的值域是__________；②若函数()f x 的图象与直线1y =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是__________． （16）已知矩形ABCD 中2=AB ，1=AD ，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CDDA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．三、解答题共6题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（17）（本小题13分）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AB =3CD =，sin 14DBC ∠=，3C ∠=π. （Ⅰ）求sin BDC ∠的值； （Ⅱ）求BD ，AD 的值.（18）（本小题13分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶业．该县农科所为了 对比A ，B 两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A ，B 两种茶叶各20亩，所得亩产数据（单位：千克）如下：A ：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；B ：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；（Ⅰ）从A ，B 两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率；（Ⅱ）从B 品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A 还是茶叶B ？说明理由． （19）（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，CD ⊥平面PAD ，△PAD 为等边三角形， // AD BC ，22AD CD BC ===，E ，F 分别为棱PD ，PB 的中点．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点G ，使得 //DG 平面AEF ？若存在，求PG PC的值，若不存在，说明理由．A（20）（本小题14分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．（Ⅰ）求椭圆E 的方程以及离心率；（Ⅱ）若直线y kx m =+与椭圆E 相切于点P ，与直线4x =-相交于点Q ．在x 轴是否存在定点M ，使MP MQ ⊥？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．（21）（本小题13分）已知函数()(21)ln 1f x x x x =-+-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x >-.（22）（本小题13分）设n 为给定的不小于5的正整数，考察n 个不同的正整数1a ，2a ，，n a 构成的集合12{,,,}n P a a a =，若集合P 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P 为“差异集合”．（Ⅰ）分别判断集合{1,3,8,13,23}A =，集合{1,2,4,8,16}B =是否是“差异集合”；（只需写出结论） （Ⅱ）设集合12{,,,}n P a a a =是“差异集合”，记12(1,2,,)i i i b a i n -=-=，求证：数列{}i b 的前k 项和0k D ≥(1,2,,)k n =；（Ⅲ）设集合12{,,,}n P a a a =是“差异集合”，求12111na a a +++的最大值．2020北京房山高三（上）期末数学参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）（11）22(1)(1)2x y -+-= （12）3 （13）11(1)()2n --⋅或1n-（答案不唯一） （14）π；6π （15）(,1]-∞；(1,1]- （16）0；三、解答题（共6小题，共80分） （17）（本小题13分） 解：（Ⅰ）∵sin DBC ∠=，22sin cos 1,02DBC DBC DBC π∠+∠=<∠< ∴13cos 14DBC ∠=在△BDC 中，,3=C DBC C BDC ππ∠∠+∠+∠=∴sin sin()BDC DBC C ∠=∠+∠sin cos cos sin DBC C DBC C =∠⋅+∠⋅113214=+=（Ⅱ）在△BDC 中，由正弦定理得sin sin CD BDDBC C =∠142=解得7BD =∵2ABD DBC π∠+∠=，sin DBC ∠=， ∴cos ABD∠14=在△ABD中，AB =2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠2272749=+-⋅= 解得7AD =（18）（本小题13分） 解：（Ⅰ）从A 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有11个，从B 种茶叶亩产数据中任取一个，不低于55的有4个，设“所取两个数据都不低于55”为事件A ，则11411()==2020100P A ⨯ （Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,22016422060(0)==95C C P X C =，1116422032(1)==95C C P X C =，021642203(2)==95C C P X C =，∴X 的分布列为∴期望12()0121995955E X =⨯+⨯+⨯=（Ⅲ）如果选择A ，可以从A 的亩产数据的中位数或平均值比B 高等方面叙述理由．如果选择B ，可以从B 的亩产数据比A 的方差小，比较稳定等方面叙述理由． （19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）因为CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，AE ⊂平面PAD所以CD AD ⊥，CD AE ⊥．又因为△PAD 为等边三角形，E 为PD 的中点， 所以PD AE ⊥．所以AE ⊥平面PCD ．（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结,OP OB ，则易知 // OB CD ，OB ⊥AD ，OB ⊥OP ．因为△PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥．以O 为原点，以OA OB OP 、、所在直线分别为x y z 、、轴如图建系，1(1,0,0),(,0,(0,1,(0,2,0)222A E F B -3(2AE =-，1(,1,0)2EF =设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则：00n AE n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3022102x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令2x =，得平面AEF的一个法向量(2,1,n =- 易知平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)OB =cos ,1724OB n OB n OB n⋅<>===-所以平面AEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为17． （Ⅲ）假设棱PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，且设[],0,1PGPCλλ=∈，则PG PC λ=， (1,2,0),(1,0,0)P CD --，(1,2,PC =-，则(,2)G λλ-(1,2)DG λλ=-要使得 //DG 平面AEF ，则222660DG n λλλ⋅=--+-=，得45λ=，所以线段PC 上存在点G ，使得 //DG 平面AEF ，45PG PC =． （20）（本小题14分）（Ⅰ）由已知得，2c =，2b =，2228a b c =+=椭圆E 的方程为22184x y +=离心率为2c e a == （Ⅱ）在x 轴存在定点M ，M 为(20)，-使MP MQ ⊥证明：设直线方程为y kx m =+代入22184x y +=得222()8x kx m ++=，化简得222(21)4280k x kmx m +++-=由222(4)4(21)(28)0km k m ∆=-+-=，得22840k m +-=，2284m k =+，22821km kx k m--==+ 设00(,)P x y ，则08k x m -=，2200884k m k y kx m k m m m m --=+=⋅+==，则84(,)k P m m- 设1(4,)Q y -，则14y k m =-+，则(4,4)Q k m --+001(2,)(2,)MP MQ x y y ⋅=+⋅-0012(2)x y y =-++842(2)(4)k k m m m -=-++-+1644(4)0k k m m m=-+-+= 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥．解法二：由椭圆的对称性不妨设000(,)(0)P x y y >与(,0)M x ．22184x y +=得=y 得002x k y =-．切线方程为0000()2x y y x x y -=--，令4x =-得22000001000004224(4)22x x x y x y x y y y y --++=--+==，002(2)(4,)y x Q +-． 所以，00010002(2)(2,)(2,)2(2)0x MP MQ x y y x y y +⋅=+⋅-=-++=． 所以在x 轴存在定点()20，M -使MP MQ ⊥． （21）（本小题13分）（Ⅰ）由()(21)ln 1f x x x x =-+-，得1'()2ln 3f x x x=-+ (1)2(1)0f f '∴==，则切线方程为22y x =-. （Ⅱ）证法1：1'()2ln 3,(0,)f x x x x=-+∈+∞， 令1()2ln 3,(0,)h x x x x=-+∈+∞， 222121'()0x h x x x x+∴=+=>，故()h x 在(0,)+∞上单调递增.又1(1)20,()1ln 4ln 024eh h =>=-=<，又()h x 在(0,)+∞上连续，01(,1)2x ∴∃∈使得0()0h x =，即0'()0f x =，∴0012ln 30x x -+=.（*） '(),()f x f x 随x 的变化情况如下：∴min 0000()()(21)ln 1f x f x x x x ==-+-.由（*）式得0013ln 22x x =-，代入上式得 min 0000001313()()(21)()122222f x f x x x x x x ==--+-=--+. 令131()2,(,1)222t x x x x =--+∈， 221(12)(12)'()2022x x t x x x +-=-=<，故()t x 在1(,1)2上单调递减. ()(1)t x t ∴>，又(1)1t =-，.即0()1f x >-()1f x ∴>-.证法2：()(21)ln 12ln ln 1,(0,)f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞，令()2ln ,()ln 1,(0,)h x x x t x x x x ==-+-∈+∞，'()2(ln 1)h x x =+，令'()0h x =得1x e=. '(),()h x h x 随x 的变化情况如下：min ()()h x h e e∴==-，即2ln x x e ≥-，当且仅当1x e =时取到等号. 1'()x t x x-=，令'()0t x =得1x =. '(),()t x t x 随x 的变化情况如下：min ()(1)0t x t ∴==，即1ln 0x x --≥，当且仅当1x =时取到等号.22ln (ln 1)1x x x x e∴+-+->->-. 即()1f x >-.（22）（本小题13分）（Ⅰ）集合A 不是，因为1233813+=++，即子集{1,23}与子集{3,8,13}元素之和相等；集合B 是，因为集合B 的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等.（Ⅱ）由集合P 是“差异集合”知：123{,,,,}k a a a a 的21k -个非空子集元素和为互不相等的21k -个正整数，于是1221k k a a a +++≥-， 所以0111212(2)(2)(2) ()(21)0k k k k k D a a a a a a -=-+-++-=+++--≥ （Ⅲ））不妨设123n a a a a <<<<，考虑 11231111111(1)()()()242--+-+-++-n na a a a 131211234212242------=++++n n n n a a a a a a a a 3211211123242-----=++++n n n nD D D D D D D a a a a 1212211122311111111()()()222222-----=-+-++-+n n n n n n n nD D D D a a a a a a a 0≥ 而111111122422--++++=-n n ，所以112111122n n a a a -+++≤- 当1{1,2,4,,2}n P -=时，112111122n n a a a -+++=-； 综上，12111n a a a +++的最大值为1122n --.。