双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、概述在数学中，双曲线是一种经常出现的曲线形式，它是一种重要的几何概念。
而双曲线的渐近线方程则是另外一种与双曲线密切相关的数学概念。
本文将从双曲线方程与其渐近线方程之间的关系入手，深入探讨这两者之间的通联和作用。
二、双曲线方程的基本形式双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线在$x$轴和$y$轴上的定点。
通过对双曲线方程进行适当的平移和旋转操作，可以得到不同形式的双曲线方程，如横坐标和纵坐标对调的双曲线方程等。
三、双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程可以通过双曲线方程中的参数$a$和$b$来确定。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程可以表示为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这意味着，双曲线方程中的参数$a$和$b$可以直接决定双曲线的渐近线方程。
四、双曲线方程和渐近线方程的关系双曲线方程和其渐近线方程之间存在着密切的关系。
从双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$的形式中可以直接得到其渐近线方程$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这说明双曲线方程和其渐近线方程是密切相关的，可以互相推导和确定。
另通过双曲线方程和其渐近线方程之间的关系，可以进一步推导出双曲线曲线的性质和特点。
根据双曲线方程和其渐近线方程的关系，可以得到双曲线在无穷远点附近的性态和渐进行为。
这进一步丰富了我们对双曲线的理解和认识。
五、个人观点对于双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，我个人认为这种关系不仅能够帮助我们更深入地理解双曲线本身的特性，还可以为我们在数学建模和科学研究中提供重要的数学工具和方法。
通过深入研究和理解双曲线方程和渐近线方程之间的关系，我们可以更好地应用双曲线来描述现实世界中复杂的变化和规律。
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题
圆锥曲线解题技巧如何利用双曲线的渐近线和焦点求解问题圆锥曲线是数学中重要的曲线之一，也是解题时常会遇到的问题。
在圆锥曲线的研究和解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来辅助我们解决问题。
本文将介绍如何利用双曲线的渐近线和焦点，在解题过程中应用相关的技巧。
一、双曲线的渐近线双曲线是一个重要的圆锥曲线，其特点是有两条渐近线。
在解题过程中，渐近线可以帮助我们确定双曲线的形状和特性，从而更好地理解和解决问题。
双曲线的渐近线可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，我们可以得到其渐近线的斜率为±(b/a)。
3. 确定渐近线的截距。
根据双曲线的标准形式，我们可以得到渐近线的截距为±(0, ±b)。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的渐近线方程和截距。
在解题时，可以利用这些渐近线来帮助我们理解双曲线的形状，从而更好地解决问题。
二、双曲线的焦点双曲线的焦点是解题过程中需要重点关注的一个要素，通过确定焦点的位置，我们可以更好地解决与双曲线相关的问题。
双曲线的焦点可以通过以下步骤求得：1. 通过对双曲线方程进行变换，将其转化为标准形式。
标准形式的双曲线方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b为常数。
2. 根据双曲线的标准形式，焦点的坐标为(F, 0)，其中F为焦距。
3. 确定焦距。
焦距的计算公式为c = √(a^2 + b^2)，其中c为焦距。
通过以上步骤，我们可以得到双曲线的焦点坐标及焦距。
在解题时，可以利用这些焦点来求解与双曲线相关的问题，从而得到更准确和全面的解答。
三、应用双曲线的渐近线和焦点解题在解题过程中，我们可以运用双曲线的渐近线和焦点，来解决与双曲线相关的问题。
具体步骤如下：1. 根据题目给出的条件，确定双曲线的方程和参数。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、引言在数学中，双曲线是一种常见的曲线形式，具有独特的性质和特点。
而双曲线的渐近线方程则是与双曲线密切相关的另一个重要概念。
本文将探讨双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，通过深入分析和讨论，以便读者能够更全面、深入地理解这一主题。
二、双曲线方程的基本形式双曲线通常具有如下的标准方程形式：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标距离。
双曲线的性质和特点令人着迷，它在几何和代数上都有着重要的应用，因此对双曲线的理解至关重要。
三、渐近线方程的定义和性质双曲线的渐近线方程是指双曲线的渐近线所满足的方程形式。
渐近线通常由直线构成，而双曲线有两组渐近线。
根据双曲线的不同方程形式和性质，其对应的渐近线方程也有所不同。
对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方程可以表示为y = ±(b/a)x。
这意味着双曲线在无穷远处与直线y = ±(b/a)x趋于平行，这是双曲线与其渐近线方程之间紧密联系的体现。
四、双曲线方程与渐近线方程的关系分析通过以上对双曲线方程和渐近线方程的介绍，我们可以发现它们之间存在着密切的关系。
双曲线的渐近线方程不仅能够帮助我们更好地理解双曲线的性质，还可以为我们在实际问题中应用双曲线提供便利。
双曲线方程和渐近线方程之间的关系可以从几个方面进行深入讨论：1. 几何性质：双曲线的渐近线方程决定了双曲线在无穷远处的走向，从几何角度出发，渐近线方程可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和特点。
2. 代数性质：双曲线方程可以通过与其渐近线方程的关系，来解决一些涉及双曲线的代数问题，例如求解交点坐标、渐近线与双曲线的夹角等问题。
3. 实际应用：在物理学、工程学等领域，双曲线和其渐近线方程的关系也有着重要的应用。
渐近线方程求双曲线
求双曲线的标准方程，已知其渐近线方程为y = ±(√3/3)x，并且该双曲线过点(3, √2)。
首先，根据双曲线的渐近线方程y = ±(b/a)x，可以得到b/a = √3/3，即b = (√3/3)a。
接下来，由于双曲线过点(3, √2)，将这个点的坐标代入双曲线的标准方程x²/a² - y²/b² = 1 中，可以得到：\(9/a² - 2/b² = 1\)现在利用之前得到的关系b = (√3/3)a，代入上述方程中，得到：(9/a² - 2/((√3/3)²a²) = 1\)简化后得到：\(9/a² - 18/a² = 1\)合并同类项，得到：\(-9/a² = 1\)解得\(a² = -9\)这里产生了一个问题，a² 不能为负数，这表明前面的计算出现了错误。
我们重新审视之前的步骤，发现在代入点(3, √2) 到双曲线标准方程时，应该得到的方程是：\(9/a² - 2/b² = 1\)利用b = (√3/3)a 的关系，我们有：\(9/a² - 2/((√3/3)²a²) = 1\)化简得到：\(9/a² - 18/(3a²) = 1\)进一步化简：\(9/a² - 6/a² = 1\)合并同类项：\(3/a² = 1\)解得\(a² = 3\)因此，b² = (√3/3)²a² = (√3/3)² 3 = 1最终，双曲线的标准方程为：\(x²/3 - y²/1 = 1\)。
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关问题俞㊀纲(云南省昆明市第三中学㊀６５００００)摘㊀要:文章通过举例剖析解决双曲线渐进线相关问题的策略ꎬ代数上运用二次方程的运算技巧ꎬ几何上运用特征三角形㊁角平分线等几何性质.关键词:双曲线渐近线ꎻ代数计算ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－０００７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:俞纲ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀渐进线是双曲线的重要性质ꎬ在历年高考的选择题㊁填空题中多次出现ꎬ而且基础题和难题都有涉及ꎬ如何针对性地选择适当方法来巧妙解决相关问题ꎬ尽量避免复杂的代数计算值得我们研究.１用二次方程解决双曲线渐近线的代数计算㊀㊀渐近线方程与双曲线的位置有关ꎬ由于双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘ可写为(ｙ＋ｂａｘ)(ｙ－ｂａｘ)＝０ꎬ可以看作ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０因式分解所得ꎻｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃａｂｘ恰好可以看作ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝０因式分解所得ꎬ因此双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的两条渐近线方程可等价于二次方程Ａｘ２－Ｂｙ２＝０ꎬ对于与渐近线有关的一些代数计算ꎬ可以借助该二次方程进行方便计算.１.１双曲线方程与渐近线方程的相互转化例１㊀(２０１３年高考江苏卷第３题)双曲线ｘ２１６－ｙ２９＝１的两条渐近线的方程为.分析㊀不用单独求出ａꎬｂ后再代入渐近线方程ꎬ直接由ｘ２１６－ｙ２９＝０因式分解可得渐近线方程为ｙ＝ʃ３４ｘ.㊀例２㊀(２０１５年高考全国Ⅱ卷第１５题)已知双曲线过点(４ꎬ３)ꎬ且渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ则该双曲线的标准方程为.分析㊀虽然不知道双曲线焦点位置ꎬ但不用分类设双曲线方程ꎬ把两渐近线方程可写为(ｙ＋１２ｘ) (ｙ－１２ｘ)＝０ꎬ即ｙ２－ｘ２４＝０ꎬ从而双曲线方程可以设为ｙ２－１４ｘ２＝λꎬ把点Ｍ(４ꎬ３)代入ꎬ解得λ＝－１ꎬ该双曲线的方程为ｘ２４－ｙ２＝１.例３㊀(２０１４年高考北京卷第１１题)设双曲线Ｃ经过点(２ꎬ２)ꎬ且与ｙ２４－ｘ２＝１具有相同渐近线ꎬ７则Ｃ的方程为ꎬ渐近线方程为.分析㊀与ｙ２４－ｘ２＝１共渐近线的双曲线可设为ｙ２４－ｘ２＝λꎬ把点(２ꎬ２)代入得λ＝－３ꎬ则Ｃ的方程为ｘ２３－ｙ２１２＝１.令ｙ２４－ｘ２＝０ꎬ得渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘ.小结㊀上述三题都属于基础中等题ꎬ通过方程的代数特征直接设双曲线渐近线的方程进行研究ꎬ避免了对两种位置的双曲线分别研究的麻烦.当然ꎬ不是所有条件都适合代数方法直接设方程ꎬ归纳言之ꎬ以下三个代数结论可直接运用:双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的渐近线方程可直接由Ａｘ２－Ｂｙ２＝０因式分解得到ꎻ以ｙ＝ｋｘ为一条渐近线的双曲线方程必定可以写为(ｙ＋ｋｘ) (ｙ－ｋｘ)＝λ(λʂ０)ꎬ即ｙ２－ｋ２ｘ２＝λ(λʂ０)的形式ꎻ与双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)有相同渐近线的双曲线方程必定可以写为Ａｘ２－Ｂｙ２＝λ的形式.１.２直线与双曲线的两渐近线相交的问题一条直线与双曲线两渐近线交于两点的问题ꎬ一般需要把该直线分别与两条渐进线方程联立ꎬ通过解两个二元一次方程组ꎬ得到两个交点坐标后再进行相应的表示与计算ꎬ如果把两条渐进线看作一个整体ꎬ借助二次方程来表示它ꎬ则可以借助直线与二次曲线位置关系的研究方法ꎬ运用 设而不求 的思想进行整体计算ꎬ避免直接表示交点坐标ꎬ达到事半功倍的效果.例４㊀过点Ｍ(３ꎬ１)作斜率为２的直线ꎬ与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若Ｍ恰好为ＡＢ的中点ꎬ则双曲线的离心率为.分析㊀此题可以把直线方程写出ꎬ再与两渐近线分别联立得到ＡꎬＢ两点的坐标ꎬ运用中点坐标公式得到等量关系ꎬ但计算相对繁琐ꎬ运用二次方程理论则能简化运算.双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为其上两点ꎬ由点差法ꎬ得ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０ꎬìîíïïïï即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＝(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２.则２ｘＭ２ｙＭ＝ａ２ｂ２ ｋＡＢ.所以３２＝ａ２ｂ２.从而ｅ＝ｃａ＝１５３例５㊀(２０１４年高考浙江卷第１６题)设直线ｘ－３ｙ＋ｍ＝０(ｍʂ０)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若点Ｐ(ｍꎬ０)满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ则该双曲线的离心率是.解析㊀设双曲线两渐近线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线ｌ与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由ｘɪ－１ꎬ１[]ꎬ得(ｘ１－ｍ)２＋ｙ２１＝(ｘ２－ｍ)２＋ｙ２２.整理ꎬ得ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)ｙ２－ｙ１ｘ１－ｘ２.即ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－ｋＡＢ).亦即３ｙ１－ｍ＋３ｙ２－ｍ－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－１３).即１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍ.由ｘ＝３ｙ－ｍꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬìîíïïï联立得(９ｂ２－ａ２)ｙ２－６ｂ２ｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝６ｂ２ｍ９ｂ２－ａ２.代入１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍꎬ得ａ２＝４ｂ２.则ｅ＝５２.小结㊀由于双曲线及渐近线都含有未知字母ꎬ８直线与两条渐近线联立两次分别表示出两交点坐标再计算相对繁琐ꎬ若能借助韦达定理巧用 设而不求 的思想进行整体转化ꎬ则能简化运算.例６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２３＝１ꎬ过点Ｐ(２ꎬ１)作直线ｌ交双曲线的两渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝４ꎬ求此时直线的斜率.解析㊀设直线的倾斜角为αꎬ参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ双曲线的渐进线方程为ｘ２４－ｙ２３＝０ꎬ把直线参数方程代入化简ꎬ得(３ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α)ｔ２＋(１２ｃｏｓα－８ｓｉｎα)ｔ＋８＝０.由韦达定理ꎬ得ｔ１ｔ２＝８７ｃｏｓ２α－４.则｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝８｜７ｃｏｓ２α－４｜＝４.得ｃｏｓ２α＝６７或２７.则ｓｉｎ２α＝１７或５７.从而ｋ＝ʃ６６或ʃ１０２.２用几何性质解决双曲线渐近线的几何问题双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的渐进线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ其几何含义可直观体现在如下两个直角三角形中:如图１ꎬ过焦点Ｆ作渐近线的垂线ＦＭꎬ垂足为点Ｍꎬ过顶点Ａ作实轴垂线ＡＮꎬ交渐近线于点Ｎ.记øＦＯＭ＝θꎬ在ＲｔәＯＦＭ中ꎬ｜ＯＦ｜＝ｃꎬ｜ＭＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＭ｜＝ａꎬｔａｎθ＝ｂａꎬｓｉｎθ＝ｂｃꎬｃｏｓθ＝ａｃ.在ＲｔәＯＡＮ中ꎬ｜ＯＡ｜＝ａꎬ｜ＡＮ｜＝ｂꎬ｜ＯＮ｜＝ｃ.借助这两个直角三角形ꎬ可以更直观地理解渐近线斜率的几何意义ꎬ并且可以得到一些常用结论ꎬ如:焦点到渐近线的距离为ｂꎻ以Ｏ为圆心ꎬ实轴长２ａ为直径的圆与渐近线相交ꎬ交点与焦点的连线恰好与渐近线垂直ꎻ以Ｏ为圆心ꎬ焦距长２ｃ为直径的图１圆与渐近线相交ꎬ交点与顶点的连线恰好与实轴垂直ꎻ两渐近线的夹角被坐标轴平分等性质ꎬ运用这些几何性质ꎬ可以灵活解决一些相关的问题.例７㊀(２０１８年高考全国新课标卷第１１题)已知双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２＝１ꎬＯ为坐标原点ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ过点Ｆ的直线与两渐近线交于ＭꎬＮ两点ꎬ若әＯＭＮ为直角三角形ꎬ则｜ＭＮ｜＝(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.４分析㊀由题意得ꎬＯＭʅＭＮꎬ即直线ＭＮ与渐近线垂直ꎬ从而可以写出直线ＭＮ的方程ꎬ再分别与两渐近线方程联立就得ＭꎬＮ两点坐标ꎬ最后借助两点间距离公式求出｜ＭＮ｜ꎬ但显然求出交点再算距离的代数运算相对复杂ꎬ用几何方法则可简化运算.由题意ꎬＯＭʅＭＦꎬ则根据性质可知｜ＦＭ｜＝ｂ＝１ꎬ｜ＯＭ｜＝ａ＝３.又由øＭＯＮ＝２θ＝π３ꎬ则在ＲｔәＭＯＮ中ꎬ｜ＭＮ｜＝｜ＯＭ｜ ｔａｎπ３＝３ꎬ故选Ｂ.例８㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点关于一条渐近线的对称点恰好在另一条渐近线上ꎬ则双曲线的离心率为.图２分析㊀如图２ꎬ根据题意ꎬ可以求出焦点Ｆ关于９渐进线ｙ＝ｂａｘ的对称点Ｐ的坐标ꎬ再代入另一条渐近线方程ｙ＝－ｂａｘ中ꎬ但求对称点的代数运算相对复杂ꎬ会导致此题 小题大做 .若能运用几何性质ꎬ根据点Ｆ与点Ｐ关于渐近线对称ꎬ则øＰＯＨ＝øＦＯＨꎬ再由两渐近线关于ｘ轴对称ꎬ则øＦＯＨ＝π３ꎬ则ｋ＝３ꎬ即ｂａ＝３ꎬ所以ｅ＝２ꎬ题目实现 秒杀 .例９㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点为Ｆ２ꎬ点ＭꎬＮ在双曲线的同一条渐近线上ꎬＯ为坐标原点.若直线Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ且ＯＦ２ʅＦ２Ｎꎬ｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜ꎬ则双曲线的渐近线方程为.图３分析㊀根据题意ꎬ可以求出ＭꎬＮ两点的坐标ꎬ进而表示出｜Ｆ２Ｍ｜与｜Ｆ２Ｎ｜的长度ꎬ再列式求解ꎬ但计算比较复杂.若用几何方法ꎬ如图３ꎬ根据两渐近线与ｘ轴夹角相同且Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ可得øＦ２ＯＭ＝øＭＦ２Ｏꎬ即әＭＯＦ２为等腰三角形ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＯＦ２于点Ｅꎬ则点Ｅ为ＯＦ２中点且ＮＦ２ʊＭＥꎬ则｜ＮＦ２｜＝２｜ＭＥ｜.从而根据｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜可得到｜ＯＭ｜＝５｜ＭＥ｜ꎬ即ｔａｎøＭＯＥ＝１２ꎬ渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ问题得到巧妙化简.例１０㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过Ｆ作一条渐近线的垂线ꎬ与两渐近线交于点ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀根据题意ꎬ由ＡＦң＝２ＦＢңꎬ可得到ｙ１＝－２ｙ２ꎬ可以由直线与两条渐近线方程联立ꎬ求出两点的纵坐标后再列式求解ꎬ但显然求交点的代数运算相对复杂.用几何方法ꎬ由性质可知ꎬ｜ＦＢ｜＝ｂꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由于ＯＦ是øＢＯＡ的平分线ꎬ根据角平分线性质ꎬ则｜ＦＢ｜｜ＦＡ｜＝｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜ꎬ从而在ＲｔәＡＯＢ中ꎬ｜ＡＢ｜＝３ｂꎬ｜ＯＡ｜＝２ａꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由勾股定理可得４ａ２＝９ｂ２＋ａ２ꎬ从而ｅ＝２３３ꎬ问题得到巧妙解答.３根据题目特点选择合适的方法进行求解例１１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ作斜率为１的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀此题为例１０变式ꎬ我们分别用三种方法求解ꎬ对比运算复杂程度的差异.方法１㊀(直接求交点法)双曲线两渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ直线ＡＢ方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ由ａ>ｂ>０可知ꎬＡꎬＢ位于ｘ轴两侧ꎬ则由ＡＦＢＦ＝２１得ｙＡ＝－２ｙＢ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝ｂｃａ－ｂ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝－ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝－ｂｃａ＋ｂ.根据ｙＡ＝－２ｙＢꎬ得ｂｃａ－ｂ＝２ｂｃａ＋ｂ.从而得到ａ＝３ｂꎬ则ｅ＝１０３.方法２㊀(韦达定理整体化简)设双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ直线与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由题得ｙ１＝－２ｙ２.０１由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ{联立得(ｂ２－ａ２)ｙ２－２ｂｃ２ｙ＋ｂ２ｃ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬｙ１ｙ２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２ꎬìîíïïïï根据ｙ１＝－２ｙ２ꎬ得－ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬ－２ｙ２２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２.ìîíïïïï从而得到ａ２＝９ｂ２.则ｅ＝１０３.图４方法３㊀(几何法)如图４ꎬ作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｄꎬ则ＦＢ＝ＦＤꎬøＢＦＯ＝øＤＦＯ＝π４.由此øＡＦＤ＝π２.在ＲｔәＡＦＤ中ꎬＡＦ＝２ＦＤꎬ则ｔａｎøＦＡＤ＝１２.而øＦＯＤ＝π４－øＦＡＤꎬ则ｔａｎøＦＯＤ＝１３.则ｂａ＝１３.从而ｅ＝ｃａ＝１０３.小结㊀第一种方法因为直线的方程比较简单ꎬ所以其与两渐近线联立求交点运算不太复杂ꎻ第二种方法二次方程根与系数关系式法由于韦达定理表示ｙ１㊁ｙ２的不对称式较麻烦ꎬ所以计算没有优势ꎻ用几何法通过转化运算相对较少ꎬ同时在求解过程中我们还可以发现ꎬ点Ｆ的位置没有实质的影响ꎬ由此我们可以得到该问题的一般化描述:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＭ为ｘ轴上一点ꎬ过点Ｍ作斜率为ｋ的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＭＢＭ＝λꎬ求双曲线Ｃ的离心率ｅ.显然当直线的倾斜角不是特殊角时ꎬ几何方法的运算也将变得复杂ꎬ这时三种方法的复杂程度差别不大ꎬ则方法１的思路更简单直接一些.例１２㊀已知Ｐ为双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２１＝１上一动点ꎬ点Ｐ到双曲线两渐近线的距离分别为ｍꎬｎꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为.分析㊀此题几何法不方便解决ꎬ回归到坐标法进行一般化的研究ꎬ设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的一个动点ꎬ其两条渐近线方程分别为ｙ＝ʃｂａｘꎬ即ｂｘʃａｙ＝０ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到两渐近线的距离分别为ｍ＝｜ｂｘ０－ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬｎ＝｜ｂｘ０＋ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬ可以发现ｍ ｎ＝｜ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０｜ａ２＋ｂ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ꎬ则ｍ＋ｎȡ２ｍｎ＝２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当ｍ＝ｎ时取等号ꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ此题答案为３.渐近线作为双曲线的重要性质ꎬ其相关问题蕴含了丰富的数形结合㊁等价转化的思想ꎬ对数学运算也有较高的要求ꎬ这就需要我们一方面要锻炼运算能力ꎬ总结运算技巧ꎻ另一方面要多对比一个问题的代数思路与几何思路的差异ꎬ关注不同方法运算复杂程度的区别ꎬ选择合适的方法来针对性解决相关问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１１。
为什么是双曲线的渐近线
问题探究 是不是所有的双曲线都有渐近线？
问题探究
从“形”的角度看，双曲线与它的渐近线无限 接近，但永不相交。
从“数”的角度看，双曲线方程与它的渐近线
方程之间有什么关系呢？
y
b
Oa
x
y
b
Oa
x
拓展延伸 你还可以得到哪些关于渐近线的结论？
课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获？
谢谢
Thanks
因为 所以
为什么是双曲线的渐近线
复习引入 标准方程：
复习引入
问题探究
问题探究
数形结合是解析几何中研究问题的重要思想方法， 画图时应注意分析方程的特点.
问题探究
你能否用图形计算器，或者运用所学过的知识， 从“数”的角度进行说明？
双曲线 的各支向外延伸时，与直线 无限接近， 但永不相交，我们把直线叫做双曲线的渐近线.
双曲线渐近线方程的推导过程
双曲线渐近线方程的推导过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠双曲线渐近线方程的推导过程，这可有意思啦！
咱先想想双曲线是啥样儿的呀，就像两个弯弯的大括弧对吧。
那渐近线呢，就是这两个大括弧无限靠近但就是挨不着的线。
咱从双曲线的标准方程开始说起哈。
就好比咱要去一个神秘的地方，这标准方程就是咱的地图。
那这地图上的信息咋就能让咱找到渐近线呢？
咱先把方程变变样子，经过一番捣鼓，你看呀，当那个变量变得超级大的时候，另外一个变量和它的比值就会趋近于一个固定的值，这就像是一个人跑步，跑着跑着速度就稳定了。
这不，渐近线就慢慢浮出水面啦！
你说这神奇不神奇？就好像变魔术一样，通过一些计算和推理，就能把隐藏在双曲线里的渐近线给揪出来。
咱再打个比方，双曲线就像个调皮的小孩子，总喜欢藏起来一些小秘密，而渐近线就是其中一个。
我们呢，就是那个聪明的侦探，通过蛛丝马迹一点点把它找出来。
你想想看，如果没有渐近线，那双曲线得多孤单呀，有了渐近线的陪伴，它们就像好朋友一样。
而且哦，这渐近线还能帮我们更好地理解双曲线的性质呢。
就好像了解一个人的好朋友，就能更了解这个人一样。
总之呢，双曲线渐近线方程的推导过程就像是一场奇妙的冒险，充满了惊喜和发现。
通过一步步的探索，我们揭开了双曲线神秘的面纱，找到了那隐藏着的渐近线。
是不是很有趣呀？希望大家都能像喜欢探险一样喜欢这个推导过程，感受到数学的魅力和乐趣呀！。