俘获气体有限温度下的BEC11Gross-Pitaevskii方程
克拉伯龙—克劳修斯方程
克拉伯龙—克劳修斯方程克拉伯龙—克劳修斯方程（Clausius-Clapeyron equation）是描述气体相变时蒸气压与温度之间的关系的方程。
该方程由克勞修斯 (Benjamin Paul Émile Clapeyron)和克拉伯龙 (Rudolf Clausius) 两位物理学家分别于1834年和1864年独立提出。
克拉伯龙—克劳修斯方程的基本形式为：ln(P2/P1) = (ΔHvap/R) \left(\frac{1}{T1}-\frac{1}{T2}\right)其中，P1和P2分别为相变前和相变后的蒸气压，ΔHvap为相变的摩尔焓变，R为气体常数，T1和T2分别为相变前和相变后的温度。
该方程的推导基于理想气体状态方程和热力学第二定律，假设相变前和相变后的气体均为理想气体。
克拉伯龙—克劳修斯方程可以用来计算蒸气压关于温度的变化。
利用该方程，可以推导出不同物质的蒸气压随温度变化的特征曲线。
一种常见的应用是计算液体的沸点。
根据该方程，当蒸气压等于环境大气压（常常为标准大气压）时，液体开始沸腾。
因此，通过测量液体在不同温度下的蒸气压，可以得到该液体的沸点。
该方程也可用于预测物质的气化和凝结条件。
当两个物质的蒸气压相等时，它们处于饱和状态，蒸气和液体达到动态平衡。
根据克拉伯龙—克劳修斯方程，可以计算出不同温度下两种物质的蒸气压，从而判断它们是否会发生气化或凝结。
在气候学和大气科学中，克拉伯龙—克劳修斯方程也被用于计算水的饱和水汽压和相对湿度之间的关系。
通过测量气温和精确的水汽压力，可以使用克拉伯龙—克劳修斯方程来计算相对湿度。
这对于气象预测、大气湿度监测和气候研究非常重要。
总结而言，克拉伯龙—克劳修斯方程是物理化学中非常重要的一种方程。
它描述了气体相变时蒸气压与温度之间的关系，并可以应用于计算沸点、预测气化和凝结条件，以及研究大气湿度等相关问题。
基本气体定律和气体状态方程
基本气体定律和气体状态方程一、基本气体定律1.波义耳-马略特定律（Boyle’s Law）波义耳-马略特定律指出，在恒温条件下，一定量的气体压强与体积成反比。
即：P1V1 = P2V2。
2.查理定律（Charles’s Law）查理定律指出，在恒压条件下，一定量的气体温度与体积成正比。
即：V1/T1 = V2/T2。
3.盖-吕萨克定律（Gay-Lussac’s Law）盖-吕萨克定律指出，在恒容条件下，一定量的气体温度与压强成正比。
即：P1/T1 = P2/T2。
4.阿伏加德罗定律（Avogadro’s Law）阿伏加德罗定律指出，在恒温恒压条件下，气体的体积与气体的物质的量（分子数）成正比。
即：V1/n1 = V2/n2。
二、气体状态方程气体状态方程是描述气体在不同状态下的体积、压强、温度之间关系的一个方程。
常用的气体状态方程有：1.理想气体状态方程（Ideal Gas Law）理想气体状态方程是波义耳-马略特定律、查理定律和盖-吕萨克定律的组合，表示为：PV = nRT。
其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质的量，R为气体常数，T表示气体的绝对温度。
2.分态方程（Dalton’s Law of Partial Pressure）分态方程指出，在混合气体中，每种气体都呈独立的状态，各自的分压与它们在混合气体中的物质的量分数成正比。
即：P1 = x1Ptotal，P2 =x2Ptotal，……，Pn = xtotalPtotal。
其中，Ptotal表示混合气体的总压强，x1、x2、……、xtotal分别表示每种气体在混合气体中的物质的量分数。
3.道尔顿分压定律（Dalton’s Law of Pressure）道尔顿分压定律与分态方程相似，指出在混合气体中，每种气体对混合气体的总压强都有贡献，且各自的分压与它们在混合气体中的物质的量成正比。
即：Ptotal = P1 + P2 + … + Pn。
核物理中的玻色-爱因斯坦凝聚态
核物理中的玻色-爱因斯坦凝聚态引言在核物理领域，玻色-爱因斯坦凝聚态（Bose-Einstein condensate, BEC）是一种非常特殊的物态。
它是由一种特定类型的粒子组成的凝聚体，这种粒子被称为玻色子。
1955年，美国物理学家爱因斯坦预测了这种凝聚态的存在，但直到1995年才被实验证实。
自此之后，玻色-爱因斯坦凝聚态引起了广泛的研究和探索，不仅在实验室中得到了制备，还在理论上引发了许多有趣的问题和现象。
本文将介绍核物理中的玻色-爱因斯坦凝聚态的基本原理、实验制备方法以及一些与核物理相关的应用。
基础原理玻色子统计要理解玻色-爱因斯坦凝聚态，首先需要了解玻色子的统计规律。
根据量子力学原理，存在两种不同类型的粒子统计：费米子统计和玻色子统计。
费米子是一类遵循费米-狄拉克统计规律的粒子，它们满足泡利不相容原理，即不能占据同一量子态。
而玻色子则不受泡利不相容原理的限制，可以占据同一量子态。
玻色-爱因斯坦凝聚态的形成玻色-爱因斯坦凝聚态是由大量玻色子凝聚到一个最低能级的态，形成一个宏观量子态的现象。
在低温下，玻色子的运动受到玻色子泡利分布的影响，越来越多的玻色子占据了凝聚态的最低能级，最终形成了一个相干的玻色子集合。
KG方程和GP方程在理论上，玻色-爱因斯坦凝聚态可以通过Klein-Gordon方程（KG方程）或Gross-Pitaevskii方程（GP方程）进行描述。
KG方程是一个量子场论中用来描述玻色子的基本方程，它可以描述单个玻色子的运动行为。
而GP方程则是对多个玻色子系统进行平均场近似后得到的方程，可以有效描述玻色-爱因斯坦凝聚态的性质。
实验制备方法冷却技术要制备玻色-爱因斯坦凝聚态，需要将玻色子冷却到非常低的温度。
为了达到这一目的，研究者们发展了一系列冷却技术，包括蒸发冷却、Sisyphus冷却、光波冷却等。
这些技术可以将玻色子冷却到几个微开尔文甚至更低的温度，使其趋于凝聚态。
磁光陷阱技术除了冷却技术，制备玻色-爱因斯坦凝聚态还需要使用磁光陷阱技术。
gross-pitaevskii方程
gross-pitaevskii方程
Gross-Pitaevskii方程式是描述玻色气体行为的方程，它是一个非
线性的薛定谔方程，用于描述超冷玻色气体的相干结构。
该方程的形式为：$$i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = -
\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r},t) +
V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r},t) + g
|\psi(\mathbf{r},t)|^2\psi(\mathbf{r},t)$$。
其中，$\psi(\mathbf{r},t)$是波函数，$V(\mathbf{r})$是外部势场，$g$是相互作用强度，$|\psi(\mathbf{r},t)|^2$代表玻色气体中粒
子的密度。
这个方程式是基于绝对零度下的玻色气体，现在广泛应用于描
述超冷原子气体（Bose-Einstein condensate,BEC）中的行为。
Gross-Pitaevskii方程式被广泛的应用于玻色气体中的相干结构、
布拉格散射、研究高次谐波生成以及BEC中的soliton。
玻色-爱因斯坦凝聚的有关研究
玻色-爱因斯坦凝聚的相关研究The related research on Bose-Einsteincondensation化学与分子工程学院98级应用化学系刘睿摘要本文对玻色-爱因斯坦凝聚中的唯里关系及分子凝聚进行了研究。
在综述里本文先阐明玻色-爱因斯坦凝聚的基本概念，介绍相关的实验进展。
在第二章里我们对二维空间涡流状态束缚的零温玻色-爱因斯坦凝聚的Gross Pitaevskii方程用唯里能量关系进行详细的分析并对其数值解进行讨论。
第三章对分子态的玻色-爱因斯坦凝聚的形成及性质开展了探讨。
AbstractThe purpose of this dissertation is to deeply understand the virial-relationship in Bose-Einstein condensation and the molecularBose-Einstein condensate. A comprehensive review of the basic concepts of Bose-Einstein condensation, including its theory, experiments and technical skills is presented. We test the result of the Gross Pitaevskii equation of the trapped zero temperature Bose Einstein condensed atomic gases with Virial theorem in the two dimensional space of the vortex state. The numerical solution of virial relationship of the system is analyzed in detail. We also discuss the formation and properties of MBEC (molecular Bose-Einstein condensation).一、 BEC 理论和实验概述（一）、玻色-爱因斯坦凝聚的基本理论形成BEC 的条件是（1）其中T Mk h B πλ2/=是热波长（chermal wavelength ）, 它和粒子的德布罗意波长同数量级，V 是粒子所占体积，N 是粒子数。
超冷原子体系中的玻色爱因斯坦凝聚
南京师范大学泰州学院毕业论文题目超冷体系中的玻色-爱因斯坦凝聚学生姓名房杨学号专业物理学（师范）班级物1101指导教师朱庆利2015 年 5 月摘要所谓超冷原子体系中的玻色-爱因斯坦凝聚，就是当温度降到临界温度以下时，所有原子占据同一个量子态的现象。
由于玻色-爱因斯坦凝聚具有非常奇妙的性质，对其进行研究有助于人们理解和揭示量子力学中的重要问题。
近年来,物理学界取得了很大的进步在玻色-爱因斯坦凝聚的理论和实验研究中。
也有许多关于非线性结构的调查在玻色-爱因斯坦凝聚这个新的话题中展开,如暗孤子、亮孤子,漩涡和冲击波,这是现在热门的研究话题。
本论文简单介绍了超冷原子的概念、BEC的由来和发展过程。
然后对BEC的理论基础进行了详细介绍，紧接着介绍了BEC中的涡旋级涡旋的量子反射相关的知识点。
最后对BEC的发展和展望进行了简要分析。
关键词：涡旋；玻色-爱因斯坦凝聚；量子反射AbstractThe so-called system of ultracold atoms in Bose - Einstein condensate , is that when the temperature drops below the critical temperature , all atoms occupy the same quantum state phenomenon . Because of its unique properties , the investigation of BECs has unanticipated impact for people to understand and exploit the important and fundamental issue in quantum mechanics . In recent years , great progress has been made in the theoretical and experimental studies of Bose –Einstein condensation . There are also many investigations about the nonlinear structures in Bose –Einstein condensation , such as dark soliton , bright soliton , vortices and shock wave , which are hot research topics nowadays .This paper first introduces the concept of ultracold atoms , the origin of the BEC and development process . Theoretical basis of BEC and then carried on the detailed introduction , and then introduces the knowledge point of vortices and quantum reflection with vortices . Finally , the development and a outlook of the BEC is briefly analyzed .Keywords: vortex; Bose-Einstein condensation; quantum reflection目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)第二章玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）简介 (2)2.1B E C的概念 (2)2.2B E C的由来 (2)2.3 BEC实现的曲折性 (2)2.4 BEC实现后的重大进展 (3)第三章玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)的基础理论 (4)3.1 BEC的统计性质 (4)3.2 BEC的平均场理论 (6)第四章玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）中的涡旋 (8)4.1 BEC中的涡旋 (8)4.2涡旋-反涡旋相干叠加态的产生 (9)4.3没有涡旋的态 (11)第五章涡旋的量子反射 (12)5.1 对量子反射的背景简单介绍 (12)5.2 涡旋的量子反射 (13)第六章玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)的发展和展望 (16)6.1 BEC的应用前景及其研究意义 (16)6.2 总结与展望 (16)结束语 (18)参考文献 (19)致谢 (21)第一章绪论玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）是自然界中奇特而有趣的一种物理现象。
克劳修斯-莫索提方程
克劳修斯-莫索提方程克劳修斯-莫索提方程是描述化学反应速率与温度之间关系的一个重要方程。
它由法国化学家亨利·路易斯·莫索提（Louis Paul Cailletet, 1832-1913）于1869年提出，但德国化学家维克多·海涅·克劳修斯（Victor Hermann Herbert Klauckes)在1883年独立地发现了相同的关系。
因此，这个方程也被称为克劳修斯-莫索提方程。
r = A * exp(-Ea/RT)其中，r表示反应速率，A是指前因子（pre-exponential factor），Ea是活化能（activation energy），R是理想气体常数，T是温度（单位为开尔文）。
这个方程告诉我们，温度越高，反应速率越快。
具体来说，当温度升高时，指数函数中的指数（-Ea/RT）会减小，导致反应速率增大。
这可以用热力学的观点来解释，温度的升高增加了分子的热运动能量，使得分子更有可能发生有效碰撞，从而促进反应的进行。
然而，克劳修斯-莫索提方程并不是适用于所有化学反应的普适方程。
例如，对于一些复杂的多步反应，其中包含不同的反应物和中间体，活化能可能与温度有关。
在这种情况下，多步反应的机理需要被仔细地研究和解释。
除了温度，克劳修斯-莫索提方程也可以与其他因素（如压力、浓度等）一起使用来研究反应速率的变化。
改变这些条件可以对反应进行控制和优化，提高反应效率。
总结来说，克劳修斯-莫索提方程是描述化学反应速率与温度关系的重要方程。
它通过确定活化能和前因子，提供了理论基础和实验工具来研究和控制化学反应的速率。
这对于工业生产和科学研究都具有重要意义。
玻色-爱因斯坦凝聚(BEC)简介
玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）玻色-爱因斯坦凝聚现象最早由爱因斯坦预言。
因为玻色子遵循的统计规律，玻色气体中的原子在温度趋近绝对零度时将全部凝聚到能量的基态上。
理想情况下的BEC 完全由玻色气体原子的统计性质造成，而与原子间的相互作用无关。
实验上实现BEC ，需要对玻色气体进行束缚、稀释和冷却，其中的冷却过程在技术上难度最大，也是BEC 实验的关键。
1995年在铷原子气中实现了第一个BEC 系统。
2000年在实验上发现了BEC 中的超流现象，这是继液氦系统之后的第二种超流系统。
与液氦系统相比，BEC 系统具有极弱的相互作用，因而在理论上更容易分析。
同时，BEC 系统的各种物理参数如密度、动能等都在实验上可调。
另外，利用具有自旋的BEC 系统可以进行与自旋有关的超流现象研究，如存在自旋-轨道耦合的BEC 超流及不伴随净质量流的自旋超流等。
相关的理论和实验工作仍在不断取得进展。
本文先通过讨论理想玻色气体在低温下的性质阐明BEC 的量子统计来源，再介绍实验上实现BEC 的束缚、冷却和观测技术，然后介绍与BEC 超流有关的理论和实验方法，最后会简单提及与自旋有关的BEC 超流现象。
1.BEC 的起源：玻色子的统计性质根据量子力学，玻色子在一个量子态上的数目不受任何限制。
以此为基础利用统计系综的方法可以得到理想玻色气体在均匀势场中的粒子数按能级的分布： 111-=-βεεe z a （1） 据此可计算粒子数密度： z z V e z d m h n -+-=⎰∞-111)2(2012/12/33βεεεπ （2） 其中2/32)2(1h mkT n e z πα==-。
右边第二项为基态的粒子数密度。
当温度较高时，1<<z ，（2）式中右边第二项可以忽略，即所有原子都处在0>ε的激发态上。
随着温度降低，使z 接近1时，该项不可忽略，意味着有宏观数目的原子凝聚到基态上。
这便是玻色-爱因斯坦凝聚（BEC ）。
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8.514 凝聚态物理和原子物理中的多体现象 最后修订: 2003年9月29日1 第6课 涡旋、超流。
俘获气体。
有限温度下的BEC我们需要一个非假设特殊平面波态凝聚的一般理论来处理空间变化背景的流体动力学和BEC 问题。
我们可以建立BEC 理论，那样凝聚态波函数就是在经典非线性场方程(Gross-Pitaevskii 方程)被确定为自恰的任意时空函数。
1.1 Gross-Pitaevskii 方程让我们从短程弱相互作用的玻色气体的哈密顿量出发，,由海森堡演化关系出发建立凝聚动力学方程将替为经典变数，从而给出一个经典场动力学问题称为Gross-Pitaevskii equations 方程将模和位相φ= |φ| e i θ分开列方程是有益的和通过比较上述表达式的密度和流，可以获得超流速流是无旋的，▽ x v =0（除了在θ的奇点以外均成立）和（比较欧拉（Euler ）方程）1.2 超流。
漩涡。
考虑超流中的流速通量。
它根据流速和位相的关系可得，由（6）式得知，任何环路C上的通量满足其中，l 为整数。
可见，z通量是 h/m 的倍数；z在如环状导管等多通几何体中的流是离散的；z需要通过量子跃迁的方式来改变流。
事实上，由于通量离散，超流只会以离散的方式耗散而不会连续地耗散，这就是超流的由来。
只有通过向系统加入离散涡旋并沿涡旋方向将其撤走的方法才能消除超流。
朗道的超流准则：准粒子能量(k)=0(k)= - v · k，由流引起的多谱勒频移应该是正向的，从而避免产生大量准粒子。
该准则定义了临界流速上述关系中，没有激发的流是不稳定的，从而说明只有当流速低于临界值的时候才能维持稳定的超流。
朗道的准则给出了超流产生的必要条件。
然而，由于没有考虑涡旋的影响（甚至在υc流速以下都可以在流中产生），我们无法预言临界流速的真实值。
实验观则的临界流速是依赖于系统的（非普适的），而且其数值明显比准粒子色散中得到的υc 低几个量级。
现在考虑z轴上存在奇点的涡流下的速度场，流线是平行于(x,y)平面的同心圆。
常通量要求速度的变化反比于与距散z轴距离为ρ其中，是柱坐标系下的单位方位角向量。
只有靠近漩涡中心的密度变化才是重要的，而一定距离外单个粒子的能量超过相互作用能量，，并有1对弱相互作用玻色气体，临界速度等于Bogoliubov声速所谓的恢复长度ξ决定低于其体积值并且密度消失的漩涡核心的体积。
定性的图像可以通过分析Gross-Pitaevskii 方程而得到。
我们可以找到描述单个漩涡的方程的解。
对单位通量l =1的单一量化漩涡，我们期望有φ( ρ→∞)=和φ( ρ« ξ) αρe iθ，从而可以使用下列形式的试验函数将能量最小化得到r0 = ，结果与上述估算一致。
漩涡的能量可以作为流的动能来估算，其值是正的。
因此，除非系统被驱动或搅动，否则不出现漩涡。
考虑一个以角速度Ω转动的柱状瓶，并找出漩涡开始出现的临界转速考虑半径为b，高为L的柱状瓶，位于其上的对称坐标中的漩涡的流动能是（根据（12）式，因为ρ> ξ，密度可以与一常量近似，而漩涡核中的密度损耗，在ρ≦ξ时，截断了小ρ情况下的发散。
）能量贡献是因为漩涡核，它能用大约 ln 1.464L的实验方程（12）估算，这比动能估算（13）小一点。
The energy of the vortex in a jar rotating with velocity Ω is Eυ (Ω) = Eυ– ΩM, whereM is the angular momentum of the vortex,以速度Ω旋转的柱状瓶的能量为Eυ (Ω) = Eυ– ΩM, 其中，M是漩涡的角动量。
在下列情况下，漩涡成为高能状态注意，平方反比依赖于半径b处的Ωc(1)，这说明在更大的柱状瓶中更容易产生漩涡。
如果转速大于Ωc(1)并不断增加，将得到下一个临界值Ωc(3)，这时出现第二个漩涡，如此类推可以得到第三个漩涡等等。
在高速旋转时存在多个漩涡，我们可以通过因漩涡而产生的全通量与均匀转速流通量∮v · d r =Ωπb2相配的要求来估算漩涡数N，并给出线性依赖关系当然，由于N是整数，实际上漩涡数目将逐步离散地增加，同时平均而言符合（16）式的比例关系。
1.2俘获气体约束气体的玻色凝聚与前面讨论过的均匀系统的BEC有点不同。
最重要的是，BEC跃迁是伴有密度分布突变的。
这是因为凝聚原子的最低量子能态在俘获中心处达到峰值，而且其空间扩展的大小远小于温度略高于T BEC时的热云大小。
在俘获气体的的BEC实验中，被磁阱限制的原子可以用简谐势U(r)= 1/2 mω2r2描述，其基态是高斯波包ψ0 (r) α exp (- r2/2lω2 ) ，宽lω =在没有相互作用的理想玻色气体中，T=0时的BEC态下所有原子聚集在ψ0态。
注意，当原子数目很大的时，峰值为n N / lω3的态密度可以非常高。
存在相互作用时，当单个粒子的相互作用能远大于俘获能级间隔时（即λn » ħω），这种状态很容易达到极限。
为此，原子数应该超过N c = ħωlω3/λ。
然而，实际参数N c为 103-104该数目远少于实验中的典型原子数。
为了理解大原子数下的BEC态，我们可以从Gross-Pitaevskii能量泛函出发找出一个非均匀态φ(x) 并将能量最小化，其中，粒子数N =|φ|2dx被化学势μ固定.让我们来讨论是否可以去除能量功能泛函中的梯度项，因为期望的凝聚大小远大于振子基态宽度lω，后者动能和势能项近似相等。
事实上，大小为R的凝聚，动能、势能和相互作用能可以分别估算为和λN2 / R3（因为气体密度n N2 / R3 )。
比较势能和作用能，将得到凝聚大小R(λN / mω2) 1/5。
当N很大时，N»N c, R值远大于lω，其中，因此动能很小，在估算R时可忽略。
没有动能项，泛函只包含密度项n = |φ|2，E(n)= (((U(x)-μ)n+1/2λn2) dx. 取最小值后得μ= U(x) +λn (18)我们可以通过局域密度近似来得到上述结果，即，将每一小分的BEC云当作均匀系统来处理。
对于后者，正如我们所知的，化学势和密度的关系由（18）式给出。
另外，平衡态下的化学势在整个系统中均为常量。
此条件使密度分布恒定，因此（18）式中的λn项填补了空间中势U(x)的变化，得我们注意到推导密度分布时使用的理据与多电子原子的Thomas-Fermi 理论相似。
该理论基于局域近似并应用于在有效势中运动的电子，其从静电场问题中被确定为自身一致。
俘获BEC理论的局域近似以及（18）（19）式往往被认为是Thomas-Fermi近以。
对中心对称的简谐俘获势，关联BEC半径参数R和通过μ= 的化学势，由（19）式可以得到如下形式的密度分布与R（所以与μ）有关的粒子数记为：BEC半径与粒子数的关系如下，对大数N，N»N c,, 半径R远大于的BEC恢复长度ξ=，这决定了BEC关联中的空间非局域尺度。
这意味着Thomas-Fermi近似确实是本地密度近似。
上述讨论是对T=0的情况的总结，让我们扼要讨论一下BEC跃迁如何影响密度分布。
对于高于跃迁的温度，在俘获井中的气体形成宽度为R T的云，可以由估算。
当T < T , 凝聚出现与宽的热分布共存、半径更窄的形式（22）。
当温度下降且变得很小时，密BEC度分布中的热部分消失，我们将得到零温态（20）。
1.4 有限温度效应：准粒子生命周期准粒子的衰减本源于弹性散射转移率的黄金法则：在正常玻色气体中，当T > T BEC时，计算态|i〉的出射率为out:而|i〉的入射率为in:其中，M ij,mn = M mn,ij=λ, f i =<a i+ a i > ，等等。
总比率是输入比率与输出比率的总和dfi/dt = dfi/dt |in + dfi/dt |out特点：z因为 1+f i = ，等等，在平衡态中比率为零z对近平衡分布，经典的散射率（回忆：λ= 4πħ2 a/m, υT =)z除了散射以外，准粒子是定义明确的：在BEC态中，散射是受凝聚所激发的：从而给出散射率如下out: 出射率in:入射率其中 M ij,mn = M mn,ijλ总比率为df i/dt = df i /dt |in + df i /dt |out ,由于存在玻色凝聚，散射率在T < T BEC时被增大1.5 Finite T effects: two-fluid hydrodynamics, І & П sound.有限温度效应：双流体动力学, І & П声波.动量可以由凝聚和激发传递正常流体由准粒子分布描述其中，准粒子能量的多普勒频移来自于正常气体和超流的相对运动。
来自于正常部分的动量为在最小速度下有其中，Tλ=λn 是Bogoliubov 声波-自由粒子交叉能量，而c = 是声速。
令ρs = ρ – ρn，总动量密度可以表示为j = ρs v s + ρn v n为了描述动力学过程，我们需对方程的ρs , v s 和ρn , v n 分离方程。
我们不打算完全普适地讨论双流体动力学。
相反，我们将描述一个存在于双流区域的集体模式 – II 声波这一特殊现象。
在这种模式中，正常流的相对部分和超流的振动可以以类声波的形式传播。
我们考虑没有外部势的一个均匀系统。
全部质量和质量流密度满足下列连续关系∂tρ + ▽ ‧j = 0 (32)和动量守恒律∂t j = -▽p(33) 从（32）和（33）中消去j后得到∂t2ρ - ▽2 p = 0 (34)对超流速而言，有m∂t v s =▽μ(35)上述由Gross-Pitaevskii方程导出的关系实际上是普适的，对任何超流而言都正确。
它遵循超流序参数的相及化学势ћ∂tθ = -μ之间的关系。
这种形式首次由Josephson在他的超导电性理论中引入。
利用热力学Gibbs关系N dμ= V dp - S dT，ρ= N m/V , σ =S/N m，将梯度▽μ与压力及温度梯度关联起来从方程 (36),(35),(33) 及j = ρs v s + ρn v n ,有在声波中，气体压缩是绝热的，熵是守恒的∂t(ρσ) + ▽(ρσv n) = 0 (38) （熵只由正常部分传递！）经过线性化后结合质量守恒(32)式，有结合(37)式，得考虑形如exp (i qr - iωt)的密度、压力、温度和熵的小振动，将得到集合模式。
选择密度和温度作为独立变量是方便的。
在δρ, δT中，将(34)(40)式线性化，得到根据声速u= ω/q，当满足下式时，方程有一解其中，常数c1和c2是等温的声速和常密度下的温度波的速度，其中 = T( ∂σ /∂T )ρ是单位质量，常数体积下的比热。