《二次函数》单元测试 人教版九年级数学上册 (5)
九年级上册数学《二次函数》单元检测题(附答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试[考试时间：90分钟分数：100分]一．选择题（每题3分,共30分）1．抛物线y＝（x+1）2+（m2+1）（m为常数）的顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．关于二次函数y＝2（x﹣2）2+5,下列说法错误的是（）A ．图象与y轴的交点坐标为（0,13）B ．图象的对称轴在y轴的右侧C ．当x＞0时,y的值随x值的增大而增大D ．当x＝2时,函数有最小值为53．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线的解析式是（）A ．y＝2（x﹣6）2B ．y＝2（x﹣6）2+4C ．y＝2x2D ．y＝2x2+44．设函数y＝A （x﹣h）2+k（A ,h,k是实数,A ≠0）,当x＝1时,y＝1；当x＝8时,y＝8,（）A ．若h＝4,则A ＜0B ．若h＝5,则A ＞0C ．若h＝6,则A ＜0D ．若h＝7,则A ＞05．已知抛物线y＝A x2+B x+C （A ＜0）经过点（﹣1,0）,且满足4A +2B +C ＞0,有下列结论：①A +B ＞0；②﹣A +B +C ＞0；③B 2﹣2A C ＞5A 2．其中,正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．36．二次函数y＝A x2+B x+C ,自变量x与函数y的对应值如表：x﹣3 ﹣2 ﹣1y﹣2 ﹣2 0下面四个说法正确的有（）①抛物线的开口向上②当x＞﹣3时,y随x的增大而增大③二次函数的最小值是﹣2 ④﹣4是方程A x2+B x+C ＝0的一个根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子,如图为杯子的设计稿,若A B ＝4,D E＝3,则杯子的高C E为（）A ．14B ．11C ．6D ．38．二次函数y＝x2﹣2x﹣2与x轴的交点个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．在同一平面直角坐标系中,函数y＝A x2+B x（A ≠0）与y＝B x+A （B ≠0）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于二次函数y＝A x2﹣（2A ﹣1）x+A ﹣1（A ≠0）,有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若A ＜0,函数在x＞1时,y随x的增大而减小；③无论A 取何值,抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论A 取何值,函数图象都经过同一个点．其中所有正确的结论是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④二．填空题（每题4分,共20分）11．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是．12．抛物线y＝x2+B x+C 经过点A （0,3）,B （2,3）,抛物线所对应的函数表达式为．13．已知非负实数x,y,z满足x+y+z＝1,则t＝2xy+yz+2zx的最大值为．14．如图是二次函数y＝A x2+B x+C （A ≠0）的图象的一部分,对称轴为直线x＝,抛物线与x轴的交点分别为A 、B ,则A 、B 两点间的距离是．15．如图,抛物线y＝﹣（x+1）（x﹣9）与坐标轴交于A 、B 、C 三点,D 为顶点,连结AC ,B C ．点P是该抛物线在第一象限内上的一点．过点P作y轴的平行线交B C 于点E,连结A P交B C 于点F,则的最大值为．三．解答题（每题10分,共50分）16．如图,抛物线y＝A x2+B x+3与x轴交于A （﹣3,0）,B （1,0）两点,与y轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点,且满足S△PA O ＝2S△PC O,求出P点的坐标；（3）连接B C ,点E是x轴一动点,点F是抛物线上一动点,若以B 、C 、E、F为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标．17．某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m）,其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm,总占地面积为ym2．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x为何值时,三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？18．如图①,已知抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A 、B （3,0）,与y轴交于点C （0,3）,直线l经过B 、C 两点．抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）判断△B C D 的形状并说明理由．（3）如图②,若点E是线段B C 上方的抛物线上的一个动点,过E点作EF⊥x轴于点F,EF 交线段B C 于点G,当△EC G是直角三角形时,求点E的坐标．19．春节前夕,万果园超市从厂家购进某种礼盒,已知该礼盒每个成本价为32元．经市场调查发现,该礼盒每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．当该款礼盒每个售价为50元时,每天可卖出200个；当该款礼盒每个售价为60元时,每天可卖出100个．（1）求y与x之间的函数解析式（不要求写出x的取值范围）；（2）若该超市想达到每天不低于240个的销售量,则该礼盒每个售价定为多少元时,每天的销售利润最大,最大利润是多少元？20．如图,抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A ,B ,与y轴交于点C ,其中点B 的坐标为（3,0）,点C 的坐标为（0,3）,直线l经过B ,C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C 作C D ∥x轴交抛物线于点D ,过线段C D 上方的抛物线上一动点E作EF ⊥C D 交线段B C 于点F,求四边形EC FD 的面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点,点M是坐标平面内一动点,是否存在动点P,M,使得以C ,B ,P,M为顶点的四边形是矩形？若存在,请直线写出点P的横坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析一．选择题1． B ．2． C ．3． C ．4． C ．5． D ．6． B ．7． B ．8． C ．9． C ．10． B ．二．填空11． 2．12． y＝x2﹣2x+3．13．．14． 3．15．．三．解答题16．解：（1）∵抛物线y＝A x2+B x+3与x轴交于A （﹣3,0）,B （1,0）两点, ∴解得：,∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C ,∴点C （0,3）∴OA ＝OC ＝3,设点P（x,﹣x2﹣2x+3）∵S△PA O ＝2S△PC O,∴×3×|﹣x2﹣2x+3|＝2××3×|x|,∴x＝±或x＝﹣2±,∴点P（,﹣2）或（﹣,2）或（﹣2+,﹣4+2）或（﹣2﹣,﹣4﹣2）；（3）若B C 为边,且四边形B C FE是平行四边形,∴C F∥B E,∴点F与点C 纵坐标相等,∴3＝﹣x2﹣2x+3,∴x1＝﹣2,x2＝0,∴点F（﹣2,3）若B C 为边,且四边形B C EF是平行四边形,∴B E与C F互相平分,∵B E中点纵坐标为0,且点C 纵坐标为3,∴点F的纵坐标为﹣3,∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3∴x＝﹣1±,∴点F（﹣1+,﹣3）或（﹣1﹣,﹣3）；若B C 为对角线,则四边形B EC F是平行四边形,∴B C 与EF互相平分,∵B C 中点纵坐标为,且点E的纵坐标为0,∴点F的纵坐标为3,∴点F（﹣2,3）,综上所述,点F坐标（﹣2,3）或（﹣1+,﹣3）或（﹣1﹣,﹣3）．17．解：（1）根据题意得,y＝x•（60﹣x）＝﹣x2+15x,自变量的取值范围为：0＜x≤40；（2）∵y＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣30）2+225,∴当x＝30时,三间饲养室占地总面积最大,最大为225（m2）．18．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+B x+C 与x轴交于点A 、B （3,0）,与y轴交于点C （0,3）, ∴y＝﹣x2+B x+3,将点B （3,0）代入y＝﹣x2+B x+3,得0＝﹣9+3B +3,∴B ＝2,∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；∵直线l经过B （3,0）,C （0,3）,∴可设直线l的解析式为y＝kx+3,将点B （3,0）代入,得0＝3k+3,∴k＝﹣1,∴直线l的解析式为y＝﹣x+3；（2）△B C D 是直角三角形,理由如下：如图1,过点D 作D H ⊥y 轴于点H ,∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4,∴顶点D （1,4）,∵C （0,3）,B （3,0）,∴HD ＝HC ＝1,OC ＝OB ＝3,∴△D HC 和△OC B 是等腰直角三角形,∴∠HC D ＝∠OC B ＝45°,∴∠D C B ＝180°﹣∠HC D ﹣∠OC B ＝90°,∴△B C D 是直角三角形；（3）∵EF ⊥x 轴,∠OB C ＝45°,∴∠FGB ＝90°﹣∠OB C ＝45°,∴∠EGC ＝45°,∴若△EC G 是直角三角形,只可能存在∠C EG ＝90°或∠EC G ＝90°,①如图2﹣1,当∠C EG ＝90°时,∵EF ⊥x 轴,∴EF ∥y 轴,∴∠EC O ＝∠C OF ＝∠C EF ＝90°,∴四边形OFEC 为矩形,∴y E ＝y C ＝3,在y ＝﹣x 2+2x +3中,当y ＝3时,x 1＝0,x 2＝2,∴E （2,3）；②如图2﹣2,当∠EC G ＝90°时,由（2）知,∠D C B ＝90°,∴此时点E 与点D 重合,∵D （1,4）,∴E （1,4）,综上所述,当△EC G 是直角三角形时,点E 的坐标为（2,3）或（1,4）．19．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+B ,由题意得,,解得：,∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+700；（2）设每天的销售利润为W元,由如图得,W＝（x﹣32）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1020x﹣22400＝﹣10（x﹣51）2+3610, ∵﹣10x+700≥240,解得：x ≤46,∴32＜x ≤46,∵A ＝﹣10＜0,∴当x ＜51时,W 随x 的增大而增大,∴当x ＝46时,W 有最大值,最大利润是﹣10×（46﹣51）2+3610＝3360,答：该礼盒每个售价定为46元时,每天的销售利润最大,最大利润是3360元．20．解：（1）将点B （3,0）,点C （0,3）代入y ＝﹣x 2+B x +C 中, 则有, ∴, ∴y ＝﹣x 2+2x +3；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3,∴对称轴为x ＝1,∵C D ∥x 轴,∴D （2,3）,∴C D ＝2,∵点B （3,0）,点C （0,3）,∴B C 的直线解析式为y ＝﹣x +3,设E （m ,﹣m 2+2m +3）,∵EF ⊥C D 交线段B C 于点F ,∴F （m ,﹣m +3）,∴S 四边形EC FD ＝S △C D E +S △C D F ＝×2×（﹣m 2+2m ）+×2×m ＝﹣m 2+3m , 当m ＝时,四边形EC FD 的面积最大,最大值为；此时E （,）；（3）设P （n ,﹣n 2+2n +3）,①当C P ⊥PB 时,设B C 的中点为J （,）,则有PJ ＝ B C ＝,∴（n ﹣）2+（﹣n 2+2n +3﹣）2＝（）2,解得整理得到n（n﹣3）（n2﹣n﹣1）＝0, ∴n＝0或3或,∵P在第一象限,∴P点横坐标为；②当C P⊥C B 时,P（1,4）．∴P点横坐标为1；综上所述：P点横坐标为或1．。
九年级上册数学《二次函数》单元测试题(带答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞22．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的3．(2020·浙江省初三二模)二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．3k <B ．3k <且0k ≠C ．3k ≤D ．3k ≤且0k ≠4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ．37 B ．47 C ．34 D ．435．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤3a b 2=． 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 411．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y 1=x 2(x≥0)与 y 2= 13x 2(x≥0)的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1=x 2(x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y 2=13x 2(x≥0)的图象于点E ，则DE AB=( )A ．3B ．1C ．2D ．3﹣ 12．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．414．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m才能停下来．16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_________.17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x轴上,且A B 为个单位长度,以A B 为边作等边△A B C ,使点C 落在该函数y轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x﹣1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分) 19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x﹣1)2+k的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．(1)求此二次函数的解析式;(2)当x为何值时，y随x的增大而减小？(3)当x为何值时，y＞0？20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为x (单位:km)，乘坐地铁的时间1y (单位:min)是关于x 的一次函数，其关系如下表:(1)求1y 关于x 的函数解析式;(2)李华骑单车的时间2y (单位:min)也受x 的影响，其关系可以用2y =12x 2-11x ＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)将这个二次函数化为2()y a x h k =++的形式为 ．(2)当自变量x 满足 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．(3)当自变量x 满足 时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量x 满足 时，两个函数的函数值的积小于0．22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过()2,0A ，()0,6B -两点．(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求ABC∆的面积．23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x2+B x+C 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表:(1)表中n的值为;(2)当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？(3)若A (m1，y1)，B (m+1，y2)两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y(个)与售价x(元)之间的函数关系(12≤x≤30);(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=16-x2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m，到地面OA 的距离为172m.(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．(1)求二次函数解析式;(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP'C .是否存在点P ，使四边形POP'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.参考答案一、选择题(本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．(2020·广西壮族自治区初三期中)若关于x 的函数y ＝(2﹣A )x 2﹣x 是二次函数，则A 的取值范围是( ) A ．A ≠0 B ．A ≠2 C ．A ＜2 D ．A ＞2[答案]B[解析]∵函数y=(2-A )x 2-x 是二次函数，∴2-A ≠0，即A ≠2，故选B ．2．(2020·宁夏银川市教育局初三三模)下列对二次函数y=x 2﹣x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的[答案]C[解析]A 、∵A =1＞0，∴抛物线开口向上，选项A 不正确;B 、∵﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B 不正确;C 、当x=0时，y=x 2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项C 正确;D 、∵A ＞0，抛物线的对称轴为直线x=，∴当x ＞时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确，故选C ．3．(2020·浙江省初三二模)二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是() A ． B ．且C ．D ．且[答案]D[解析]∵二次函数y=kx 2−6x+3的图象与x 轴有交点，∴方程kx 2−6x+3=0(k≠0)有实数根， 122ba =121212263y kx x =-+x k 3k <3k <0k ≠3k ≤3k ≤0k ≠即△=36−12k ⩾0，k ⩽3，由于是二次函数，故k≠0，则k 的取值范围是k ⩽3且k≠0.故选D .4．(2020·江苏省初三二模)竖直向上的小球离地面的高度h(米)与时间t(秒)的关系函数关系式为h=-2t 2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第( )秒离地面最高． A ． B ． C ． D ． [答案]A[解析]∵竖直上抛的小球离地面的高度h (米)与时间t (秒)的函数关系式为h ＝﹣2t 2+mt +，小球经过秒落地，∴t ＝时，h ＝0， 则0＝﹣2×()2+m +， 解得:m ＝， 当t ＝＝=时，h 最大， 故答案为:． 5．(2020·江西省初三其他)已知二次函数y=2(x ﹣3)2+1．下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3，﹣1);④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案]A[解析]结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可:①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本说法错误;②图象的对称轴为直线x=3，故本说法错误;③其图象顶点坐标为(3，1)，故本说法错误;④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故本说法正确． 2587437473443258747474742581272b a -()12722-⨯-3737综上所述，说法正确的有④共1个．故选A ．6．(2020·内蒙古自治区初三期末)函数y=A x+B 和y=A x 2+B x+C (A ≠0)在同一个坐标系中的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．[答案]D [解析]解:A ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＞0，由抛物线图象可知，开口向上，A ＞0，对称轴x =﹣＞0，B ＜0;两者相矛盾，错误;B ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＜0，两者相矛盾，错误;C ．由一次函数的图象可知A ＜0，B ＞0，由抛物线图象可知A ＞0，两者相矛盾，错误;D ．由一次函数的图象可知A ＞0，B ＜0，由抛物线图象可知A ＞0，对称轴x =﹣＞0，B ＜0;正确． 故选D ． 7．(2020·湖北省初三期中)抛物线y=(x ﹣2)2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度[答案]D[解析]解:抛物线y=x 2顶点为(0，0)，抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的顶点为(2，﹣1)，则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=(x ﹣2)2﹣1的图象．故选D ．8．(2020·山东省初三二模)小轩从如图所示的二次函数y=A x 2+B x+C (A ≠0)的图象中，观察得出了下面五条信息:①A B ＞0;②A +B +C ＜0;③B +2C ＞0;④A ﹣2B +4C ＞0;⑤． 你认为其中正确信息的个数有 2b a 2b a3a b 2A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案]D [解析]①如图，∵抛物线开口方向向下，∴A ＜0．∵对称轴x ，∴＜0．∴A B ＞0．故①正确． ②如图，当x=1时，y ＜0，即A +B +C ＜0．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=A ﹣B +C ＞0，∴2A ﹣2B +2C ＞0，即3B ﹣2B +2C ＞0．∴B +2C ＞0．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y ＞0，即A ﹣B +C ＞0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴C ＞0．∵B ＜0，∴C ﹣B ＞0．∴(A ﹣B +C )+(C ﹣B )+2C ＞0，即A ﹣2B +4C ＞0．故④正确．⑤如图，对称轴，则．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D ．9．(2020·内蒙古自治区初三期中)设A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y=(x-1)2-3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．B ．C ．D ．[答案]B[解析]解:∵函数的解析式是y =(x -1)2-3，∴对称轴是x =1，∴点A 关于对称轴的点A ′是(4,y 1)，那么点B 在对称轴上，点C 、A ′都在对称轴的右边，∵，∴抛物线开口向上，并且在对称轴的右边y 随x 的增大而增大，b 12a 3=-=-2b a 3=-b 12a 3=-=-3a b 2=123y y y >>132y y y >>321y y y >>312y y y >>10a =>∵4＞2＞1.∴y 1＞y 3＞y 2.故选B .10．(2019·河北省初三零模)在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4[答案]A[解析]由图象可知: 抛物线y 1的顶点为(-2，-2)，与y 轴的交点为(0，1)，根据待定系数法求得y 1=(x+2)2-2; 抛物线y 2的顶点为(0，-1)，与x 轴的一个交点为(1，0)，根据待定系数法求得y 2=x 2-1;抛物线y 3的顶点为(1，1)，与y 轴的交点为(0，2)，根据待定系数法求得y 3=(x-1)2+1;抛物线y 4的顶点为(1，-3)，与y 轴的交点为(0，-1)，根据待定系数法求得y 4=2(x-1)2-3;综上，解析式中的二次项系数一定小于1的是y 1故选A ．11．(2019·河南省初三期末)如图，平行于x 轴的直线A C 分别交函数 y =x (x≥0)与 y =x (x≥0)的图象于 B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y =x (x≥0)的图象于点D ，直线D E ∥A C 交 y =x (x≥0)的图象于点E ，则=() 34122132122132DE ABAB ．1 CD ．3﹣[答案]D[解析]解:设点A的纵坐标为B , 因为点B 在的图象上, 所以其横坐标满足=B , 根据图象可知点B 的坐标为,B ), 同理可得点C 的坐标为 所以点D 因为点D 在的图象上, 故可得 y==3B ，所以点E 的纵坐标为3B ,因为点E 在的图象上, =3B ， 因为点E 在第一象限,可得E 点坐标为(,3B ),故D E=所以= 故选D .12．(2020·湖南省初三一模)某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直)，如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[答案]B 21y x =2x ∴21y x =2)2213y x =∴213x (3b -DE AB3-403[解析]解:设抛物线的解析式为y ＝A (x ﹣1)2+， 把点A (0，10)代入A (x ﹣1)2+，得A (0﹣1)2+＝10， 解得A ＝﹣， 因此抛物线解析式为y ＝﹣(x ﹣1)2+， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1(不合题意，舍去);即OB ＝3米．故选B ．13．(2019·内蒙古自治区初三期末)如图，在△A B C 中，∠B =90°，A B =6C m ，B C =12C m ，动点P 从点A 开始沿边A B 向B 以1C m/s 的速度移动(不与点B 重合)，动点Q 从点B 开始沿边B C 向C 以2C m/s 的速度移动(不与点C 重合)．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过( )秒，四边形A PQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．4[答案]C [解析]解:设P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，四边形A PQC 的面积为SC m 2，则有:S=S △A B C -S △PB Q=12 ×12×6-12 (6-t)×2t =t 2-6t+36=(t-3)2+27．∴当t=3s 时，S 取得最小值．故选C ．14．(2020·黄冈市启黄中学初三二模)已知二次函数y=﹣x 2+x+6及一次函数y=﹣x+m ，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围是( )403403403103103403A ．﹣＜m ＜3B ．﹣＜m ＜2C ．﹣2＜m ＜3D ．﹣6＜m ＜﹣2[答案]D[解析]如图，当y=0时，﹣x 2+x+6=0，解得x 1=﹣2，x 2=3，则A (﹣2，0)，B (3，0)，将该二次函数在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x ﹣3)，即y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)，当直线y=﹣x+m 经过点A (﹣2，0)时，2+m=0，解得m=﹣2;当直线y=﹣x+m 与抛物线y=x 2﹣x ﹣6(﹣2≤x≤3)有唯一公共点时，方程x 2﹣x ﹣6=﹣x+m 有相等的实数解，解得m=﹣6，所以当直线y=﹣x+m 与新图象有4个交点时，m 的取值范围为﹣6＜m ＜﹣2，故选D ．二、填空题(本题共4个小题;每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上)15．(2019·武钢实验学校初三月考)公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．[答案]20．[解析]求停止前滑行多远相当于求s 的最大值.则变形s =-5(t -2)2+20，所以当t =2时，汽车停下来，滑行了20m .16．(2020·黑龙江省初三期末)已知A (0,3)，B (2,3)是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标254254是_________.[答案](1,4).[解析]把A (0,3)，B (2,3)代入抛物线可得B =2，C =3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是(1,4).17．(2020·江苏省初三其他)二次函数y=x 2-2x-3的图象如图所示,若线段A B 在x 轴上,且A B 为位长度,以A B 为边作等边△A B C ,使点C 落在该函数y轴右侧的图象上,则点C 的坐标为__.[答案,3)或(2,-3).[解析]解:∵△A B C 是等边三角形，且∴A B 边上的高为3，又∵点C 在二次函数图象上，∴C 的纵坐标为±3， 令y=±3代入y=x 2-2x-3， ∴或0或2∵使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴或x=2∴3)或(2，-3)故答案为，3)或(2，-3)18．(2020·吉林省实验繁荣学校初三其他)在平面直角坐标系中，如图所示的函数图象是由函数y=(x ﹣1)2+1(x≥0)的图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)．已知不重合的两点A 、B 分别在图象C 1和C 2上，点A 、B 的横坐标分别为A 、B ，且A +B =0．当B ＜x≤A 时该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，则A 的取值范围为_____．[答案]1≤A+1[解析]∵图象C 1和图象C 2组成中心对称图形，对称中心为点(0，2)，∴C 2的解析式为y=(x+1)2+3(x≤0).∵函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关，∴1≤y ≤3.当(x ﹣1)2+1=3，x 当(x ﹣1)2+1=1，x =1;∴1≤A 时，该函数的最大值和最小值均与A 、B 的值无关.故答案为三、解答题(本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分)19．(2020·江门市第二中学初三月考)已知二次函数y=A (x ﹣1)2+k 的图象经过A (﹣1，0)、B (4，5)两点．(1)求此二次函数的解析式;(2)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？(3)当x 为何值时，y ＞0？[答案](1);(2)x ＜1时，y 随x 的增大而减小;(3)x ＜-1或x ＞3时，y ＞0.[解析]解:(1)把A (-1，0)和B (4，5)代入，联立方程组解得，， ∴即;(2)由(1)可知抛物线的对称轴为x=1，∵A =1，∴函数图象开口向上，223y x x =--14a k =⎧⎨=-⎩()2y x 14=--2y x 2x 3=--∴当x<1时，y 随x 的增大而减小;(3)设y=0，则x 2−2x −3=0，解得:x=3或−1，∴函数图象和x 轴的交点坐标为(3，0)和(−1，0)，∵A =1，∴函数图象开口向上，∴x>3或x<−1时，y>0.20．(2020·宁夏回族自治区初三一模)随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择．李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A ，B ，C ，D ，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家．设他出地铁的站点与文化宫站的距离为(单位:km)，乘坐地铁的时间(单位:min)是关于的一次函数，其关系如下表:(1)求关于的函数解析式;(2)李华骑单车的时间(单位:min)也受的影响，其关系可以用=2-11＋78来描述．求李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，并求出最短时间．[答案](1) y 1=2x ＋2 ;(2) 李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min[解析]解:(1)设y 1关于x 的函数解析式为y 1=kx ＋B .将(7，16)，(9，20)代入，得解得∴y 1关于x 的函数解析式为y 1=2x ＋2. (2)设李华从文化宫站回到家所需的时间为y min ，y =y 1＋y 2则y =y 1＋y 2=2x ＋2＋x 2-11x ＋78=x 2-9x ＋80= (x -9)2＋39.5. ∴当x =9时，y 取得最小值，最小值为39.5.所以李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫站回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min. 21．(2020·安徽省定远县第一初级中学初三月考)如图，在同一直角坐标系中，二次函数y=x 2-2x-3的图象与x 1y x 1y x 2y x 2y 12x x 716920k b k b +=⎧⎨+=⎩22k b =⎧⎨=⎩121212两坐标轴分别交于点A 点 B 和点C ，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.(1)将这个二次函数化为的形式为 ．(2)当自变量满足 时，两函数的函数值都随增大而增大．(3)当自变量满足 时，一次函数值大于二次函数值．(4)当自变量满足 时，两个函数的函数值的积小于0．[答案](1) ; (２) ｘ＞1; (３) 0＜ｘ＜3;(4) ｘ＜-1.[解析](1)y ＝x 2 －2x －3＝(x － 1)2－4，(2)抛物线的对称轴为直线x ＝1，则x ＞1时二次函数的函数值都随x 增大而增大，而一次函数y 随x 增大而增大,所以当x ＞ 1时，两函数的函数值都随x 增大而增大，(3)当0＜x ＜3时，一次函数值大于二次函数值;(4)当x ＜－1时，两个函数的函数值的积小于0，故答案为y ＝(x －1)2－4 ; x ＞1 ; 0＜x ＜3 ;x ＜－1. 22．(2019·江苏省海门中南国际小学初二期中)如图，已知二次函数的图象经过，两点．(1)求这个二次函数的解析式;(2)设该二次函数的对称轴与轴交于点，连接，，求的面积．[答案]见解析2()y a x h k =++x x x x 2(-1)-4y x =212y x bx c =-++()2,0A ()0,6B-x C BA BC ABC ∆[解析](1)把，代入得 ， 解得.∴这个二次函数解析式为. (2)∵抛物线对称轴为直线， ∴的坐标为，∴，∴. 23．(2020·江西省初三期末)已知二次函数y=x 2+B x+C 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表:(1)表中n 的值为 ;(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3)若A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)两点都在该函数的图象上，且m ＞2，试比较y 1与y 2的大小．[答案](1)5;(2)当x=2时，y 有最小值，最小值是1;(3)y 1＜y 2[解析](1)∵根据表可知:对称轴是直线x=2，∴点(0，5)和(4，n)关于直线x=2对称，∴n=5，故答案为5;(2)根据表可知:顶点坐标为(2，1)，即当x=2时，y 有最小值，最小值是1; ()2,0A ()0,6B -212y x bx c =-++2206b c c -++=⎧⎨=-⎩46b c =⎧⎨=-⎩21462y x x =-+-44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭C ()4,0422AC OC OA =-=-=1126622ABC S AC OB ∆=⨯=⨯⨯=(3)∵函数的图象开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x=2，∴当m ＞2时，点A (m 1，y 1)，B (m+1，y 2)都在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，∵m ＜m+1，∴y 1＜y 2．24．(2020·武汉十一崇仁初级中学初三其他)2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研:蝙蝠形风筝进价每个为10元，当售价为每个12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请解答以下问题:(1)用表达式表示蝙蝠形风筝销售量y (个)与售价x (元)之间的函数关系(12≤x ≤30);(2)王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？(3)当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？[答案](1)y=－10x ＋300(12≤x ≤30);(2) 王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元;(3) 当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元.[解析]解:(1)设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知:y=180﹣10(x ﹣12)=﹣10x+300(12≤x≤30)．(2)设王大伯获得的利润为W ，则W=(x ﹣10)y=，令W=840，则=840，解得:=16，=24．答:王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．(3)∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=，∵A =﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答:当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．25．(2019·柘城县实验中学初三月考)如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m ，宽是4 m ．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x 2+B x+C 表示，且抛物线上的点C 到OB 的水平距离为3 m ，到地面OA 的距离为m. (1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离;(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？2104003000x x -+-2104003000x x -+-1x 2x 210(20)1000x --+16-172[答案](1)抛物线的函数关系式为y=x 2+2x+4，拱顶D 到地面OA 的距离为10 m;(2)两排灯的水平距离最小是m ．[解析]解:(1)由题知点在抛物线上 所以，解得，所以 所以，当时， 答:，拱顶D 到地面OA 的距离为10米 (2)由题知车最外侧与地面OA 的交点为(2,0)(或(10,0))当x=2或x=10时，，所以可以通过 (3)令，即，可得，解得答:两排灯的水平距离最小是26．(2018·山东省期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为(3，0)，与y 轴交于点C (0，－3)，点P 是直线B C 下方抛物线上的一个动点．16-17(0,4),3,2B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭41719326c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩24b c =⎧⎨=⎩21246y x x =-++62b x a=-=10t y =≦21246y x x =-++2263y =>8y =212486x x -++=212240x x -+=1266x x =+=-12x x -=2y x bx c =++(1)求二次函数解析式;(2)连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形.是否存在点P ，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标;若不存在，请说明理由;(3)当点P 运动到什么位置时，四边形A B PC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形A B PC 的最大面积.[答案](1);(2)存在这样的点，此时P 点的坐标为，); (3)P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． [解析](1)将B 、C 两点的坐标代入，得， 解得. ∴二次函数的解析式为.(2)存在点P ，使四边形POP′C 为菱形;.设P 点坐标为(x ，x 2-2x-3)，PP′交C O 于E.若四边形POP′C 是菱形，则有PC =PO;.连接PP′，则PE ⊥C O 于E ，.∵C (0，-3)，.POP'C POP'C 2y=x 2x 3--32-321547582y x bx c =++93b c=0{c=3++-b=2{c=3--2y=x 2x 3--∴C O=3，.又∵OE=EC ，.∴OE=EC =. ∴y=−;. ∴x 2-2x-3=−， 解得(不合题意，舍去). ∴存在这样的点，此时P 点的坐标为，). (3)过点P 作y 轴的平行线与B C 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P(x ，x 2-2x-3)，设直线B C 的解析式为:y=kx+D ，.则，. 解得: .∴直线B C 的解析式为y=x-3，.则Q 点的坐标为(x ，x-3);.当0=x 2-2x-3，.解得:x 1=-1，x 2=3，.∴A O=1，A B =4，.S 四边形A B PC =S △A B C +S △B PQ +S △C PQ .=A B •O C +QP•B F+QP•OF. =×4×3+ (−x 2+3x)×3. 32323212x x ==32-330d k d -⎧⎨+⎩＝＝13k d ⎧⎨-⎩＝＝1212121212=− (x −)2+. 当x ＝时，四边形A B PC 的面积最大. 此时P 点的坐标为(，−)，四边形A B PC 的面积的最大值为． 32327583232154758。
数学九年级上学期《二次函数》单元检测卷(含答案)
D、由直线可知，直线经过(0，1)，错误，
故选A．
[点睛]考核知识点:一次函数和二次函数性质.
7.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是()
1.抛物线 的顶点坐标是()
A (﹣1，2)B.(﹣1，﹣2)C.(1，﹣2)D.(1，2)
[答案]D
[解析]
[分析]
根据顶点式 ，顶点坐标是(h，k)，即可求解.
[详解]∵顶点式 ，顶点坐标是(h，k)，
∴抛物线 的顶点坐标是(1，2)．
故选D．
[此处有视频，请去附件查看]
2.已知二次函数y＝A(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则A的取值范围是()
25.某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y(件)
与每件销售价x(元)的关系数据如下:
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
(1)已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式(不写出自变量x的取值范围);
(2)如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
3.把二次函数y=x2-4x+1化成y=A(x-h)2+k的形式是()
A.y=(x-2)2+1B.y=(x-2)2-1C.y=(x-2)2-3D.y=(x-2)2+3
[答案]C
[解析]
[分析]
人教新版九年级上册数学第22章 《二次函数》单元测试卷【含答案】
人教新版九年级上册数学第22章《二次函数》单元测试卷一．选择题1．下列函数中是二次函数的为（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x2﹣1C．y＝（x+1）2﹣x2D．y＝x3+2x﹣32．函数y＝（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数3．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．4或34．若y＝2是二次函数，则m等于（）A．﹣2B．2C．±2D．不能确定5．在同一坐标系中，作y＝x2，y＝﹣x2，y＝x2的图象，它们的共同特点是（）A．抛物线的开口方向向上B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点6．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c7．关于二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（）A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）8．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，则m的值是（）A．1或7B．﹣1或7C．1或﹣7D．﹣1或﹣79．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．二．填空题11．若y＝（2﹣m）是二次函数，且开口向上，则m的值为．12．如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是．13．当m＝时，函数y＝（m﹣1）是关于x的二次函数．14．如果y＝（m﹣2）是关于x的二次函数，则m＝．15．抛物线y＝ax2﹣3x+a2﹣1如图所示，则a＝．16．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是．17．已知抛物线y＝x2+4x+5的对称轴是直线x＝．18．在正方形的网格中，抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝kx+m的图象如图所示，请你观察图象并回答：当﹣1＜x＜2时，y1y2（填“＞”或“＜”或“＝”号）．19．如图是二次函数y＝a（x+1）2+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是．20．抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是．三．解答题21．画出函数y＝x2﹣2x﹣8的图象．（1）先求顶点坐标：（，）；（2）列表x……y……（3）画图．22．函数是关于x的二次函数，求m的值．23．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？24．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？25．已知是x的二次函数，求出它的解析式．26．已知二次函数y＝ax2+bx+c．（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．27．下图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象．（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式；（2）小明说：“所输出y的值为3时，输入x的值为0或5．”你认为他说的对吗？试结合图象说明．答案与试题解析一．选择题1．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A错误；B、y＝3x2﹣1是二次函数，故B正确；C、y＝（x+1）2﹣x2不含二次项，故C错误；D、y＝x3+2x﹣3是三次函数，故D错误；故选：B．2．解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选：B．3．解：∵函数y＝a是二次函数且图象开口向上，∴a2﹣2a﹣6＝2，且a＞0，解得a＝4．故选：B．4．解：由y＝2是二次函数，得m2﹣2＝2，解得m＝±2，故选：C．5．解：因为y＝ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．故选：D．6．解：由函数图象已知a＞0，c＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选：D．7．解：∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，∵这个函数的顶点是（﹣1，2），∴对称轴是直线x＝﹣1，故选：D．8．解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+m，∴这条抛物线的顶点为（2，m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|m+4﹣（﹣m﹣4）|＝6，∴2m+8＝±6，当2m+8＝6时，m＝﹣1，当2m+8＝﹣6时，m＝﹣7，∴m的值是﹣1或﹣7．故选：D．9．解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A 选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．10．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．二．填空题11．解：根据题意得，m2﹣3＝2，解得m＝±，∵开口向上，∴2﹣m＞0，解得m＜2，∴m＝﹣．故﹣．12．解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，解得k＝0或k＝3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴k的值是0时．故0．13．解：依题意可知m2+1＝2得m＝1或m＝﹣1又因为m﹣1≠0∴m≠1∴当m＝﹣1时，这个函数是二次函数．14．解：根据二次函数的定义：m2﹣m＝2，m﹣2≠0，解得：m＝﹣1，故﹣1．15．解：∵二次函数的图象过原点（0，0），代入抛物线解析式，得a2﹣1＝0，解得a＝1或a＝﹣1，又∵抛物线的开口向下，故a＜0，∴a＝﹣1．16．解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．17．解：由对称轴公式：对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，故﹣2．18．解：根据图示知，①当x≤﹣1时，y2≤y1；②当﹣1＜x＜2时，y2＜y1；③当x≥2时，y2≥y1；故＜．19．解：由y＝a（x+1）2+2可知对称轴x＝﹣1，根据对称性，图象在对称轴左侧与x轴交点为（﹣3，0），所以该图在对称轴右侧与x轴交点的坐标是（1，0）．20．解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．故（2，3）三．解答题21．解：（1）y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9∴其顶点坐标为（1，﹣9）故1，﹣9（2）列表x…﹣2﹣101234…y…0﹣5﹣8﹣9﹣8﹣50…（3）画图：22．解：由题意可知解得：m＝2．23．解：（1）依题意得∴∴m＝0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．24．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．25．解：由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1又因为m2﹣2m﹣1＝2，m2﹣2m﹣3＝0解得m＝3或m＝﹣1（不合题意，舍去）所以m＝3故y＝12x2+9．26．解：（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，利用函数对称性列表如下：x…﹣10123…y…41014…在给定的坐标中描点，画出图象如下．（2）由y＝ax2+bx+c是二次函数，知a≠0y＝a（x2+x）+c＝a[x2+x+（）2]+c﹣a×（）2＝a（x+）2+∴该二次函数图象的顶点坐标为．27．解：（1）当0≤x≤4时，y＝x+3；当x＞4时，由图表可知y＝（x﹣6）2+k，由函数图象可知，当x＝4时，y＝x+3＝6，此时（4﹣6）2+k＝6，解得k＝2，所以，当x＞4时，y＝（x﹣6）2+2；（2）他说的错误．把y＝3代入y＝x+3中，得x+3＝3，解得x＝0，把y＝3代入y＝（x﹣6）2+2中，得（x﹣6）2+2＝3，解得x＝5或7，正确说法是：所输出y的值为3时，输入x的值为0或5或7．。
数学九年级上学期《二次函数》单元测试(带答案)
A.(1, 0)B.(-1, 0)C.(2, 0)D.(-2, 0)
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A. 1B. 3C. 5D. 7
5.已知二次函数 的图象过点 , , ．若点 , , 也在二次函数 的图象上,则下列结论正确的是()
∴y=x2+x−2,
当y=0时,
x2+x−2=0,
解得x1=1,x2=−2.
故另一个交点坐标是(−2,0).
故答案选D.
[点睛]本题考查了抛物线与坐标轴的交点,解题的关键是熟练的掌握抛物线与坐标轴的交点的知识点.
4.如图,已知二次函数 在坐标平面上的图象经过 、 两点．若 , ,则 的值可能为()
A.1B.3C.5D.7
[答案]B
[解析]
[分析]
先由A(1,2),B(3,2),C(5,7),代入y=Ax2+Bx+C,得到二次函数得到二次函数的解析式,再比较y1、y2、y3的大小．
[详解]把A(1,2),B(3,2),C(5,7)代入y=Ax2+Bx+C得
,
解得 .
∴函数解析式为y= x2− x+ = (x−2)2+ .
人教版数学九年级上学期
《二次函数》单元测试
[考试时间：90分钟分数：120分]
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)、
1.下列函数中,是二次函数的有()
① ② ③ ④
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知二次函数 图象如图所示,给出以下结论：① ；② ；③ ；④ ,其中结论正确有()个．
数学九年级上学期《二次函数》单元测试附答案
[解析]
[分析]
函数配方后得y=（x+1）2+m2+2m-2知当x＞-1时，y随x的增大而增大，根据x=1时最小值为5列方程求解可得．
[详解]∵y=x2+2x+m2+2m-1=（x+1）2+m2+2m-2，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，
根据题意，当x=1时，有m2+2m+2=5，
即A﹣B+C＜0，∴A+C＜B，所以④错误．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．
5.根据表中的二次函数y=Ax2+Bx+C的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
…[来
y
…
4
﹣0.5
﹣2
﹣0.5
…
A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在y轴两侧
16.已知二次函数y=Ax2+Bx+C（A≠0）图象如图所示，现有下列结论，①A B C＞0； ②A+B+C＜0；③B=2A；④A+B＞0；则其中正确的结论是_____（只填写序号）．
17.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是B C、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．
（2）该产品销售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
（3）物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克28元，该农户想在这种产品经销季节每天获得150元的利润，销售价应定为每千克多少元?
九年级上册数学《二次函数》单元综合检测(附答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试[考试时间：90分钟分数：100分]班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题(每题3分,共30分)1．下列函数是二次函数的是( )A ．y＝x+B ．y＝3(x﹣1)2C ．y＝A x2+B x+C D．y＝+3x 2．若点M在抛物线y＝(x+3)2﹣4的对称轴上,则点M的坐标可能是( )A ．(3,﹣4)B ．(﹣3,0)C ．(3,0)D ．(0,﹣4) 3．二次函数y＝2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是( )A ．y＝2x2﹣12xB ．y＝﹣2x2+6x+12C ．y＝2x2+12x+18D ．y＝﹣2x2﹣6x+184．在同一直角坐标系中,函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．5．关于x的函数y＝A x2+(2A +1)x+A ﹣1与坐标轴有两个交点,则A 的取值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．二次函数y＝A x2+B x+C (A ≠0,A 、B 、C 为常数)中,函数y与自变量x的部分对应值如下表,则方程A x2+B x+C ＝0的一个解的范围是( )x 3.17 3.18 3.19y﹣0.03 ﹣0.01 0.02A ．﹣0.03＜x＜﹣0.01B ．3.18＜x＜3.19C ．﹣0.01＜x＜0.02D ．3.17＜x＜3.187．广场上喷水池中的喷头微露水面,喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的高度y(米)关于水珠和喷头的水平距离x(米)的函数解析式是y＝x2+6x(0≤x≤4),那么水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是( )A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米8．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位,再向下平移6个单位,所得抛物线的顶点坐标是( )A ．(3,﹣3)B ．(3,9)C ．(﹣1,﹣3)D ．(﹣1,9)9．如图,已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象与x轴相交于A (﹣2,0)、B (1,0)两点．则以下结论：①A C ＞0；②二次函数y＝A x2+B x+C 的图象的对称轴为x＝﹣1；③2A +C ＝0；④A ﹣B +C ＞0．其中正确的有( )个．A ．0B ．1C ．2D ．310．已知二次函数y＝x2﹣2B x+2B 2﹣4C (其中x是自变量)的图象经过不同两点A (1﹣B ,m),B (2B +C ,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点,则B +C 的值为( )A ．﹣1B ．2C ．3D ．4二．填空题(每题4分,共20分)11．若二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称,则m的值为．12．已知抛物线的顶点为(,﹣),与x轴交于A ,B 两点,在x轴下方与x轴距离为4的点M在抛物线上,且S△A MB ＝10,则点M的坐标为．13．已知二次函数y＝x2﹣4x+3,当自变量满足﹣1≤x≤3时,y的最大值为A ,最小值为B ,则A ﹣B 的值为．14．若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时,则t的取值范围是．15．二次函数y＝A x2+B x+C (A 、B 、C 为常数,A ≠0)中的x与y的部分对应值如表：x﹣1 0 3y n﹣3 ﹣3当n＞0时,下列结论中一定正确的是．(填序号即可)①B C ＞0；②当x＞2时,y的值随x值的增大而增大；③n＞4A ；④当n＝1时,关于x 的一元二次方程A x2+(B +1)x+C ＝0的解是x1＝﹣1,x2＝3．三．解答题(每题10分,共50分)16．如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y＝x2+B x+C 与x轴交于A 、B 两点,与y轴交于点C ,对称轴为直线x＝2,点A 的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)点P为抛物线上一点(不与点A 重合),连接PC ．当∠PC B ＝∠A C B 时,求点P的坐标；(3)在(2)的条件下,将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移,平移后的抛物线的顶点为点D ,点P的对应点为点Q,当OD ⊥D Q时,求抛物线平移的距离．17．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4,把y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”,其中t是不为零的实数,其图象记作抛物线E．现有点A (2,0)和抛物线E上的点B (﹣1,n),请完成下列任务：(1)当t＝2时,抛物线E的顶点坐标是；(2)判断点A 是否在抛物线E上；(3)求n的值．(4)通过(2)和(3)的演算可知,对于t取任何不为零的实数,抛物线E总过定点,这个定点的坐标是．(5)二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是,求出t的值；如果不是,说明理由．(6)以A B 为一边作矩形A B C D ,使得其中一个顶点落在y轴上,若抛物线E经过点A 、B 、C 、D 中的三点,求出所有符合条件的t的值．18．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品,已知购进3件甲商品和2件乙商品,需60元；购进2件甲商品和3件乙商品,需65元．(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件),在销售过程中发现：当11≤x≤19时,甲商品的日销售量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系,x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x(元/件) 11 19日销售量y(件) 18 2请写出当11≤x≤19时,y与x之间的函数关系式．(3)在(2)的条件下,设甲商品的日销售利润为w元,当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时,日销售利润最大？最大利润是多少？19．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整．(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中,m＝．(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分．(3)观察函数图象,写出两条函数的性质．(4)直线y＝kx+B 经过(,),若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+B 有4个不相等的实数根,则B 的取值范围为．20．如图,已知抛物线y＝A x2+B x+C (A ≠0)的对称轴为直线x＝﹣1,抛物线经过A (1,0),C(0,3)两点,与x轴交于A 、B 两点．(1)若直线y＝mx+n经过B 、C 两点,求直线B C 和抛物线的解析式．(2)在该抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M,使点M到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M的坐标；(3)设点P为该抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点,直接写出使△B PC 为直角三角形的点P的坐标．提示：若平面直角坐标系内有两点P(x1,y1)、Q(x2,y2),则线段PQ的长度PQ＝)．答案与解析一．选择题1．解：A 、y＝x+是一次函数,此选项错误；B 、y＝3(x﹣1)2是二次函数,此选项正确；C 、y＝A x2+B x+C 不是二次函数,此选项错误；D 、y＝+3x不是二次函数,此选项错误；故选：B ．2．解：∵y＝(x+3)2﹣4,∴抛物线对称轴为x＝﹣3,∵点M在抛物线对称轴上,∴点M的横坐标为﹣3,故选：B ．3．解：二次函数y＝2(x﹣3)2+2图象向左平移6个单位,再向下平移2个单位后,所得图象的函数表达式是：y＝2(x﹣3+6)2+2﹣2,即y＝2x2+12x+18．故选：C ．4．解：A 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上,与图象不符,故A 选项错误；B 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0,则对称轴应在y轴左侧,与图象不符,故B 选项错误；C 、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下,与图象不符,故C 选项错误；D 、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0,即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x＝﹣＝﹣＝＜0,则对称轴应在y轴左侧,与图象相符,故D 选项正确；故选：D ．5．解：∵关于x的函数y＝A x2+(2A +1)x+A ﹣1的图象与坐标轴有两个交点, ∴可分如下三种情况：①当函数为一次函数时,有A ＝0,∴A ＝0,此时y＝x﹣1,与坐标轴有两个交点；②当函数为二次函数时(A ≠0),与x轴有一个交点,与y轴有一个交点,∵函数与x轴有一个交点,∴△＝0,∴(2A +1)2﹣4A (A ﹣1)＝0,解得A ＝﹣；③函数为二次函数时(A ≠0),与x轴有两个交点,与y轴的交点和x轴上的一个交点重合,即图象经过原点,∴A ﹣1＝0,∴A ＝1．当A ＝1,此时y＝x2+3x,与坐标轴有两个交点．综上所述,A 的取值为0,﹣,1,故选：C ．6．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0,故x应取对应的范围为：3.18＜x＜3.19,故选：B ．7．解：方法一：根据题意,得y＝x2+6x(0≤x≤4),＝﹣(x﹣2)2+6所以水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是2米．方法二：因为对称轴x＝＝2,所以水珠的高度达到最大时,水珠与喷头的水平距离是2米．故选：B ．8．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝(x﹣1)2+3,∴顶点坐标为(1,3),∴把点(1,3)向左平移2个单位,再向下平移6个单位得到(﹣1,﹣3)．故选：C ．9．解：对于①：二次函数开口向下,故A ＜0,与y轴的交点在y的正半轴,故C ＞0,故A C ＜0,因此①错误；对于②：二次函数的图象与x轴相交于A (﹣2,0)、B (1,0),由对称性可知,其对称轴为：,因此②错误；对于③：设二次函数y＝A x2+B x+C 的交点式为y＝A (x+2)(x﹣1)＝A x2+A x﹣2A ,比较一般式与交点式的系数可知：B ＝A ,C ＝﹣2A ,故2A +C ＝0,因此③正确；对于④：当x＝﹣1时对应的y＝A ﹣B +C ,观察图象可知x＝﹣1时对应的函数图象的y 值在x轴上方,故A ﹣B +C ＞0,因此④正确．∴只有③④是正确的．故选：C ．10．解：由二次函数y＝x2﹣2B x+2B 2﹣4C 的图象与x轴有公共点,∴(﹣2B )2﹣4×1×(2B 2﹣4C )≥0,即B 2﹣4C ≤0 ①,由抛物线的对称轴x＝﹣＝B ,抛物线经过不同两点A (1﹣B ,m),B (2B +C ,m),B ＝,即,C ＝B ﹣1 ②,②代入①得,B 2﹣4(B ﹣1)≤0,即(B ﹣2)2≤0,因此B ＝2,C ＝B ﹣1＝2﹣1＝1,∴B +C ＝2+1＝3,故选：C ．二．填空题(共5小题)11．解：∵二次函数y＝x2+mx+3的图象关于直线x＝1对称,∴对称轴为：x＝﹣＝1,解得：m＝﹣2,故答案为：﹣2．12．解：抛物线的顶点为(,﹣),因此设抛物线的关系式为y＝A (x﹣)2﹣, 点M到x轴的距离为4,即△A B M底边A B 上的高为4,∵S△A MB ＝10,∴ A B ×4＝10,∴A B ＝5,又∵抛物线的对称轴为x＝,∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(﹣2,0)(3,0),把(3,0)代入得,0＝A (3﹣)2﹣,解得,A ＝1,∴抛物线的关系式为y＝(x﹣)2﹣,当y＝﹣4时,即(x﹣)2﹣＝﹣4,解得,x1＝2,x2＝﹣1,∴点M(2,﹣4)或(﹣1,﹣4)．13．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1,∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x＝2,∵当自变量满足﹣1≤x≤3时,y的最大值为A ,最小值为B ,∴当x＝﹣1时,取得最大值,当x＝2时,函数取得最小值,∴A ＝1+4+3＝8,B ＝﹣1,∴A ﹣B ＝8﹣(﹣1)＝8+1＝9,故答案为：9．14．解：由函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1可知y＝,画出函数的图象如图：由图象可知函数的最低点为(﹣1,﹣4),把(﹣1,﹣4)代入y＝2x+t解得t＝﹣2,若直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2x+1有一个交点时,x2﹣4x+1﹣t＝0,则△＝16﹣4(1﹣t)＝0,解得t＝﹣3,若直线y＝2x+t与函数y＝x2+2x﹣3有一个交点时,x2﹣3﹣t＝0,则△＝4(3+t)＝0,解得t＝﹣3,由图象可知：直线y＝2x+t与函数y＝x2﹣2|x﹣1|﹣1的图象有且只有两个公共点时t 的取值范围是t＞﹣2或t＝﹣3．故答案为t＞﹣2或t＝﹣3．15．解：①函数的对称轴为直线x＝(0+3)＝,即＝﹣,则B ＝﹣3A ,∵n＞0,故在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,故抛物线开口向上,则A ＞0,对称轴在y轴的右侧,故B ＜0,而C ＝﹣3,故B C ＞0正确,符合题意；②x＝2在函数对称轴的右侧,故y的值随x值的增大而增大,故②正确,符合题意；③当x＝﹣1时,n＝y＝A ﹣B +C ＝4A ﹣3＜4A ,故③错误,不符合题意；④当n＝1时,即：x＝﹣1时,y＝1,A x2+(B +1)x+C ＝0可以变形为A x2+B x+C ＝﹣x,即探讨一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝A x2+B x+C 图象情况,当x＝1,y＝﹣1,即(1,﹣1)是上述两个图象的交点,根据函数的对称性,另外一个交点的横坐标为：×2＝3,则该交点为(3,﹣3),故两个函数交点的横坐标为﹣1、3,即关于x的一元二次方程A x2+(B +1)x+C ＝0的解是x1＝﹣1,x2＝3,正确,符合题意, 故答案为：①②④．三．解答题(共5小题)16．解：(1)∵对称轴为直线x＝2,点A 的坐标为(1,0),∴点B 的坐标是(3,0)．将A (1,0),B (3,0)分别代入y＝x2+B x+C ,得．解得．则该抛物线解析式是：y＝x2﹣4x+3．由y＝x2﹣4x+3＝(x﹣2)2﹣1知,该抛物线顶点坐标是(2,﹣1)；(2)如图1,过点P作PN⊥x轴于N,过点C 作C M⊥PN,交NP的延长线于点M,∵∠C ON＝90°,∴四边形C ONM是矩形．∴∠C MN＝90°,C O＝MN、∴y＝x2﹣4x+3,∴C (0,3)．∵B (3,0),∴OB ＝OC ＝3．∵∠C OB ＝90°,∴∠OC B ＝∠B C M＝45°．又∵∠A C B ＝∠PC B ,∴∠OC B ﹣∠A C B ＝∠B C M﹣∠PC B ,即∠OC A ＝∠PC M．∴tA n∠OC A ＝tA n∠PC M．∴＝．故设PM＝A ,MC ＝3A ,PN＝3﹣A ．∴P(3A ,3﹣A ),将其代入抛物线解析式y＝x2﹣4x+3,得(3A )2﹣4(3﹣A )+3＝3﹣A ．解得A 1＝,A 2＝0(舍去)．∴P(,)．(3)设抛物线平移的距离为m,得y＝(x﹣2)2﹣1﹣m．∴D (2,﹣1﹣m)．如图2,过点D 作直线EF∥x轴,交y轴于点E,交PQ延长线于点F,∵∠OED ＝∠QFD ＝∠OD Q＝90°,∴∠EOD +∠OD E＝90°,∠OD E+∠QD P＝90°．∴∠EOD ＝∠QD F．∴tA n∠EOD ＝tA n∠QD F,∴＝．∴＝．解得m＝．故抛物线平移的距离为．17．解：(1)将t＝2代入抛物线E中,得：y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝2x2﹣4x＝2(x﹣1)2﹣2,∴此时抛物线的顶点坐标为：(1,﹣2)．故答案为：(1,﹣2)；(2)将x＝2代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得y＝0,∴点A (2,0)在抛物线E上．(3)将x＝﹣1代入抛物线E的解析式中,得：n＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝6．(4)将抛物线E的解析式展开,得：y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4)＝t(x﹣2)(x+1)﹣2x+4∴抛物线E必过定点(2,0)、(﹣1,6)．故答案为：A (2,0)、B (﹣1,6)；(5)将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2,y＝0,即点A 在抛物线上．将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2,计算得：y＝﹣6≠6,即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B ,二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．(6)如图,作矩形A B C 1D 1和矩形A B C 2D 2,过点B 作B K⊥y轴于K,过点D 1作D 1G ⊥x轴于G,过点C 2作C 2H⊥y轴于H,过点B 作B M⊥x轴于M,C 2H与B M交于点T．∵∠A MB ＝∠B KC 1,∠KB C 1＝∠A B M,∴△KB C 1∽△MB A ,∴＝,∵A M＝3,B M＝6,B N＝1,∴＝,∴C 1K＝,∴点C 1(0,)．∵B C 1＝A D 1,∠A GD 1＝∠B KC 1＝90°,∠GA D 1＝∠KB C 1, ∴△KB C 1≌△GA D 1(A A S),∴A G＝1,GD 1＝,∴点D 1(3,)．同理△OA D 2∽△GA D 1,∴＝,∵A G＝1,OA ＝2,GD 1＝,∴OD 2＝1,∴点D 2(0,﹣1)．同理△TB C 2≌△OD 2A ,∴TC 2＝A O＝2,B T＝OD 2＝1,∴点C 2(﹣3,5)．∵抛物线E总过定点A (2,0)、B (﹣1,6),∴符合条件的三点可能是A 、B 、C 或A 、B 、D ．当抛物线E经过A 、B 、C 1时,将C 1(0,)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4), 解得t1＝﹣；当抛物线经过A 、B 、D 1时,将D 1(3,)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t＝,当抛物线经过A 、B 、C 2时,将C 2(﹣3,5)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t ＝﹣,当抛物线经过A 、B 、D 2时,将D 2(0,﹣1)代入y＝t(x2﹣3x+2)+(1﹣t)(﹣2x+4),得到t ＝,∴满足条件的所有t的值为：﹣,,﹣,．18．解：(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是A 、B 元/件,由题意得：,解得：．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．(2)设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+B 1,将(11,18),(19,2)代入得：,解得：．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+40(11≤x≤19)．(3)由题意得：w＝(﹣2x+40)(x﹣10)＝﹣2x2+60x﹣400＝﹣2(x﹣15)2+50(11≤x≤19)．∴当x＝15时,w取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时,日销售利润最大,最大利润是50元．19．解：(1)把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中,得y＝﹣25+15+4＝﹣6,∴m＝﹣6,故答案为：﹣6；(2)连线得,(3)由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：(答案不唯一)(4)∵直线y＝kx+B 经过(,),∴,∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+B 有4个不相等的实数根,∴x2﹣3x﹣4+kx+B ＝0和方程x2+3x﹣4+kx+B ＝0各有两个不相等的实数根,即方程x2﹣(3﹣)x﹣4+B ＝和0x2+(3+)x﹣4+B ＝0各有两个不相等的实数根,∴,解得B ≠,且B ＞或B ＜,∴B 的取值范围为B ＞或B ＜．故答案为：B ＞或B ＜．20．解：(1)由题意得：,解得：,∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3,∵对称轴为x＝﹣1,且抛物线经过A (1,0),∴把B (﹣3,0)、C (0,3)分别代入直线y＝mx+n,得,解得：,∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；(2)设直线B C 与对称轴x＝﹣1的交点为M,则此时MA +MC 的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得,y＝﹣1+3＝2,∴M(﹣1,2),即当点M到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2)；(3)如图,设P(﹣1,t),又∵B (﹣3,0),C (0,3),∴B C 2＝18,PB 2＝(﹣1+3)2+t2＝4+t2,PC 2＝(﹣1)2+(t﹣3)2＝t2﹣6t+10,①若点B 为直角顶点,则B C 2+PB 2＝PC 2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C 为直角顶点,则B C 2+PC 2＝PB 2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4,③若点P为直角顶点,则PB 2+PC 2＝B C 2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝,t2＝；综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或(﹣1,) 或(﹣1,)．。
九年级上册数学《二次函数》单元检测题(带答案)
人教版数学九年级上学期《二次函数》单元测试[考试时间：90分钟满分：120分]一．选择题（共12小题）1．二次函数y＝x2+B x+C 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y＝x2﹣2x+1，则B 与C 分别等于（）A ．2，﹣2B ．﹣8，14C ．﹣6，6D ．﹣8，182．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A ．直线x＝2B ．直线x＝﹣2C ．直线x＝1D ．直线x＝﹣1 3．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A ．（2，1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）4．已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示，则在“①A ＜0，②B ＞0，③C ＜0，④B 2﹣4A C ＞0”中正确的判断是（）A ．①②③④B ．④C ．①②③D ．①④5．下列二次函数中，（）的图象与x轴没有交点．A ．y＝3x2B ．y＝2x2﹣4C ．y＝3x2﹣3x+5D ．y＝8x2+5x﹣3 6．已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示，则当函数值为3时，自变量x的值为（）A ．3B ．4C ．﹣1D ．﹣1或37．若二次函数y＝x2﹣A x+1的图象与x轴无交点，则其图象可为下图中的（）A ．B ．C ．D ．8．二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A 、B 两点，它的顶点为C ，则△A B C 的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．169．当函数y＝x2+3﹣2x有最小值时，则x等于（）A ．﹣1B ．﹣3C ．0D ．110．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形A B C D 的边A B 为x米，面积为S平方米，要使矩形A B C D 面积最大，则x的长为（）A ．10米B ．15米C ．20米D ．25米11．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（）A ．2秒B ．4秒C ．6秒D ．8秒12．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s=12gt2．其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共6小题）13．如果将抛物线y＝2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2），那么所得新抛物线的表达式是．14．已知点A （x1，6）B （x2，6）是函数y＝x2﹣2x+4上两点，则当x＝x1+x2时，函数值y＝．15．如图，已知抛物线y＝﹣3（x+m）2+k与x轴交于A （1，0），B （3，0）两点，现将抛物线向左平移，记平移后的抛物线顶点为C ′，当点C ′恰好落在y轴上时，平移后的抛物线解析式为．16．抛物线y=12（x﹣1）2﹣4与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．17．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是．18．已知抛物线y＝x2+mx+7与x轴的一个交点是（3−√2，0），求m＝，另一个交点坐标是．三．解答题（共6小题）19．已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣2），且其图象经过点（3，1），求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标．20．已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象顶点为（1，4），且经过点C （3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）问当x取何值时，y随x的增大而减小？并指出当x取何值时，y＞0．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）证明：对于任意实数m，函数y＝x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点22．如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y轴于点C ．（1）求直线B C 的解析式；（2）点D 是在直线B C 下方的抛物线上的一个动点，当△B C D 的面积最大时，求D 点坐标．23．已知抛物线y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y＝kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．24．已知二次函数y＝x2+2A x﹣2．（1）求证：经过点（0，A ）且与x轴平行的直线与该函数的图象总有两个公共点；（2）该函数和y=−14x2+（A ﹣3）x+12的图象都经过x轴上两个不同的点A 、B ，求A的值．答案与解析一．选择题（共12小题）1．二次函数y＝x2+B x+C 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y＝x2﹣2x+1，则B 与C 分别等于（）A ．2，﹣2B ．﹣8，14C ．﹣6，6D ．﹣8，18[分析]先把得到新的图象的解析式进行变形，再将新抛物线y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到原抛物线的顶点式解析式，再化为一般式即可得出答案．[解答]解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+B x+C∴B ＝﹣6，C ＝62．抛物线y＝﹣3x2+6x+2的对称轴是（）A ．直线x＝2B ．直线x＝﹣2C ．直线x＝1D ．直线x＝﹣1[分析]将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴．[解答]解：∵y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x﹣1）2+5，∴抛物线顶点坐标为（1，5），对称轴为x＝1．3．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（）A ．（2，1）B ．（2，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）[分析]抛物线的顶点式为：y＝A （x﹣h）2+k，其顶点坐标是（h，k），可以确定抛物线的顶点坐标．[解答]解：抛物线y＝（x﹣2）2+1是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：（2，1）．4．已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象如图所示，则在“①A ＜0，②B ＞0，③C ＜0，④B 2﹣4A C ＞0”中正确的判断是（）A ．①②③④B ．④C ．①②③D ．①④[分析]由因为开口向下得到A ＜0，又−b2a＜0可以得到B ＜0，又由图象与x轴有两个不相等的交点可以推出故一元二次方程A x2+B x+C ＝0有两个不相等的实数根，从而确定B 2﹣4A C 的符号．[解答]解：①由抛物线的开口向下知A ＜0；故本选项正确；②对称轴为x=−b2a＜0，∴A 、B 同号，即B ＜0；故本选项错误；③根据图示知，二次函数的图象与y轴的交点为在y轴的正半轴上，C ＞0；故本选项错误；④由图象知，二次函数的图象与x轴有两个交点，∴B 2﹣4A C ＞0；故本选项正确；综上所述，正确的判断是①④；5．下列二次函数中，（）的图象与x轴没有交点．A ．y＝3x2B ．y＝2x2﹣4C ．y＝3x2﹣3x+5D ．y＝8x2+5x﹣3[分析]当△＝B 2﹣4A C ＞0时图象与x轴有两个交点；当△＝B 2﹣4A C ＝0时图象与x 轴有一个交点；当△＝B 2﹣4A C ＜0时图象与x轴没有交点．[解答]解：利用△＝B 2﹣4A C 分别判断每个二次函数，A 项函数△＝0，图象与x 轴一个交点；B 项函数△＝32＞0，图象与x 轴有两个交点；C 项函数△＝﹣51＜0，图象与x 轴没有交点；D 项函数△＝76＞0，图象与x 轴有两个交点．6．已知二次函数y ＝A x 2+B x +C 的图象如图所示，则当函数值为3时，自变量x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．﹣1D ．﹣1或3[分析]利用对称轴、顶点坐标、抛物线与x 轴交点公式求出A 、B 、C 的值，然后求当y ＝3时x 的值．[解答]解：由图象可知：4ac−b 24a =−1，∵二次函数y ＝A x 2+B x +C 的图象与坐标轴交于原点，∴C ＝0，∴B 2＝4A ，又∵二次函数y ＝A x 2+B x +C 的图象与x 的一个交点为（2，0），C ＝0，∴4A +2B ＝0，∴B 2+2B ＝0，解得：B ＝﹣2或B ＝0，∵对称轴x ＝1，∴B ＝0不合题意，则B ＝2，∴A ＝1，则函数解析式为y＝x2﹣2x，当y＝3时，x2﹣2x＝3，解得x＝﹣1或3.7．若二次函数y＝x2﹣A x+1的图象与x轴无交点，则其图象可为下图中的（）A ．B ．C ．D ．[分析]由题意二次函数y＝x2﹣A x+1的图象与x轴无交点，可得方程x2﹣A x+1＝0的△＜0，解得﹣2＜A ＜2，再根据二次函数过点（0，1）来对A 、B 、C 、D 四个选项进行一一验证．[解答]解：已知二次函数解析式为：y＝x2﹣A x+1图象开口向上，令x＝0，得y＝1，∴二次函数图象过点（0，1）∵二次函数y＝x2﹣A x+1的图象与x轴无交点，∴△＝A 2﹣4＜0，∴﹣2＜A ＜2，函数对称轴x=−a2＞−1；∴只有B 选项满足，8．二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A 、B 两点，它的顶点为C ，则△A B C 的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．16[分析]此题容易，只要把坐标写出来，根据面积公式就可解决了．[解答]解：二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）与x轴交于A 、B 两点，则可设A （﹣1，0）、B （3，0）根据顶点坐标公式x=−b2a=1，则y＝4⇒s=12×[3−(−1)]×4=8．9．当函数y＝x2+3﹣2x有最小值时，则x等于（）A ．﹣1B ．﹣3C ．0D ．1[分析]本题考查二次函数最大（小）值的求法．[解答]解：∵函数y＝x2+3﹣2x可化为y＝（x﹣1）2+2，∴当x＝1时函数y＝x2+3﹣2x有最小值．10．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形A B C D 的边A B 为x米，面积为S平方米，要使矩形A B C D 面积最大，则x的长为（）A ．10米B ．15米C ．20米D ．25米[分析]本题考查二次函数最小（大）值的求法．[解答]解：设矩形A B C D 的边A B 为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形A B C D 面积最大，则x=−b2a=−40(−2)×2=10米，即x的长为10米．11．在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s＝5t2+2t，则当物体经过的路程是88米时，该物体所经过的时间为（）A ．2秒B ．4秒C ．6秒D ．8秒[分析]依题意，将s＝88米代入关系式求解一元二次方程可得答案．[解答]解：把s＝88代入s＝5t2+2t得：5t2+2t＝88．解得t1＝4，t2＝﹣4.4（舍去），即t＝4秒．12．物体在地球的引力作用下做自由下落运动，它的运动规律可以表示为：s=12gt2．其中s表示自某一高度下落的距离，t表示下落的时间，g是重力加速度．若某一物体从一固定高度自由下落，其运动过程中下落的距离s和时间t函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．[分析]先根据函数关系式为h=12gt2确定图象属于那一类函数的图象，再根据g、t的取值范围确定图象的具体形状．[解答]解：t为未知数，关系式h=12gt2为二次函数，∵g为正常数∴抛物线开口方向向上，排除C 、D ；又∵时间t不能为负数，∴图象只有右半部分．二．填空题（共6小题）13．如果将抛物线y＝2x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（1，2），那么所得新抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2+2．[分析]平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式[解答]解：∵原抛物线解析式为y＝2x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（1，2），∴平移后的抛物线的表达式为：y＝2（x﹣1）2+2．14．已知点A （x1，6）B （x2，6）是函数y＝x2﹣2x+4上两点，则当x＝x1+x2时，函数值y＝4．[分析]根据题意可以求得当x＝x1+x2时的x的值，从而可以求得相应的y的值，本题得以解决．[解答]解：∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，点A （x1，6）B （x2，6）是函数y＝x2﹣2x+4上两点，∴当x＝x1+x2时，此时x＝2，∴y＝（2﹣1）2+3＝4，15．如图，已知抛物线y＝﹣3（x+m）2+k与x轴交于A （1，0），B （3，0）两点，现将抛物线向左平移，记平移后的抛物线顶点为C ′，当点C ′恰好落在y轴上时，平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣2）2．[分析]首先求出m的值，再求出k的值，最后根据平移规律即可求出平移后的解析式．[解答]解：∵已知抛物线y＝﹣3（x+m）2+k与x轴交于A （1，0），B （3，0）两点，∴∴把点A ，B 分别代入解析式中得：﹣3（1+m）2+k＝0，﹣3（3+m）2+k＝0，∴（1+m）2＝（m+3）2，即1+2m＝9+6m，∴m＝﹣2，∴y＝﹣3（x﹣2）2+k，把A （1，0）代入y＝﹣3（x﹣2）2+k，中得k＝3，∴函数解析式为：y＝﹣3（x﹣2）2+3，当y＝﹣3（x﹣2）2+3向左平移2个单位，点C ′恰好落在y轴上，此时抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2，16．抛物线y=12（x﹣1）2﹣4与x轴的交点坐标为（1+2√2，0），（1﹣2√2，0），与y轴的交点坐标为（0，−7 2）．[分析]令y＝0，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标；求出令x＝0求出y的值即可得到与y轴的交点坐标．[解答]解：令y＝0，即y=12（x﹣1）2﹣4＝0，解得x1＝2√2+1，x2＝1﹣2√2，则抛物线与x轴的交点坐标为（1+2√2，0），（1﹣2√2，0）；令x＝0，y=−7 2，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，−7 2）；17．已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．[分析]先确定抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，若函数的图象与x轴有且只有一个公共点，利用函数图象，当x＝﹣1，y＝0且x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解不等式组即可．[解答]解：抛物线的对称轴为直线x=−22×1=−1，若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．18．已知抛物线y＝x2+mx+7与x轴的一个交点是（3−√2，0），求m＝﹣6，另一个交点坐标是（3+√2，0）．[分析]设方程x2+mx+7＝0的两根分别为A 、B ，利用抛物线与x轴的交点问题得到A ＝3−√2，根据根与系数的关系得到3−√2+B ＝﹣m，（3−√2）B ＝7，然后先计算出B ，再计算出m．[解答]解：设方程x2+mx+7＝0的两根分别为A 、B ，则A ＝3−√2，因为3−√2+B ＝﹣m，（3−√2）B ＝7，所以B ＝3+√2，m＝﹣（3+√2+3−√2）＝﹣6，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3+√2，0）．三．解答题（共6小题）19．已知二次函数的顶点坐标为（2，﹣2），且其图象经过点（3，1），求此二次函数的解析式，并求出该函数图象与y轴的交点坐标．[分析]由于顶点坐标为（2，﹣2），可设二次函数的解析式为y＝A （x﹣2）2﹣2，再把顶点坐标为（2，﹣2），点（3，1）代入即可得出二次函数的解析式，令x＝0，即可得出该函数图象与y轴的交点坐标．[解答]解：由于顶点坐标为（2，﹣2），可设二次函数的解析式为y＝A （x﹣2）2﹣2，把（3，1）代入y＝A （x﹣2）2﹣2，得A （3﹣2）2﹣2＝1，解得A ＝3，所以二次函数的解析式为y＝3（x﹣2）2﹣2，当x＝0时，y＝3×4﹣2＝10，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，10）．20．已知二次函数y＝A x2+B x+C 的图象顶点为（1，4），且经过点C （3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）问当x取何值时，y随x的增大而减小？并指出当x取何值时，y＞0．[分析]（1）由于已知抛物线顶点坐标，则可设顶点式y＝A （x﹣1）2+4，然后把（3，0）代入求出A 的值即可；（2）根据二次函数的性质，当开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小，即x＞1；然后利用抛物线与x轴的交点问题求出抛物线与x轴的交点坐标，再找出函数图象在x 轴上方所对应的自变量的取值范围即可．[解答]解：（1）设抛物线解析式为y＝A （x﹣1）2+4，把（3，0）代入得4A +4＝0，解得A ＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）因为A ＝﹣1＜0，所以当x＞1时，y随x的增大而减小；当y＝0时，﹣（x﹣1）2+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），所以当﹣1＜x＜3时，y＞0．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．（1）若﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；（2）证明：对于任意实数m，函数y＝x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．[分析]（1）由于﹣1是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后解方程可以求出方程的另一根；（2）证明对于任意实数m，函数y＝x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点，就是证明函数的判别式是一个正数即可．[解答]解：（1）∵﹣1是方程的一个根，∴m＝1，将m＝1代入方程得x2﹣x﹣2＝0，解之得x1＝﹣1，x2＝2．∴方程的另一个根是2；（2）∵△＝m2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8，∵无论m取任意实数，都有m2≥0，∴m2+8＞0，∴函数y＝x2﹣mx﹣2的图象与x轴总有两个交点．22．如图，已知二次函数y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y轴于点C ．（1）求直线B C 的解析式；（2）点D 是在直线B C 下方的抛物线上的一个动点，当△B C D 的面积最大时，求D 点坐标．[分析]（1）利用y＝x2﹣4x+3的图象交x轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线y＝x2﹣4x+3交y轴于点C ，即可得出A ，B ，C 点的坐标，将B ，C 点的坐标分别代入y＝kx+B （k≠0），即可得出解析式；（2）设过D 点的直线与直线B C 平行，且抛物线只有一个交点时，△B C D 的面积最大．[解答]解：（1）设直线B C 的解析式为：y＝kx+B （k≠0）．令x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，则A （1，0），B （3，0），C （0，3），将B （3，0），C （0，3），代入y＝kx+B （k≠0），得{0=3k+bb=3，解得：k＝﹣1，B ＝3，B C 所在直线为：y＝﹣x+3；（2）设过D 点的直线与直线B C 平行，且抛物线只有一个交点时，△B C D 的面积最大．∵直线B C 为y ＝﹣x +3，∴设过D 点的直线为y ＝﹣x +B ，∴{y =−x +b y =x 2−4x +3，∴x 2﹣3x +3﹣B ＝0， ∴△＝9﹣4（3﹣B ）＝0，解得B =34，∴{y =−x +34y =x 2−4x +3， 解得，{x =32y =−34， 则点D 的坐标为：（32，−34）．23．已知抛物线y ＝（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1（m ＞1）．（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为2，求m 的值；（3）若一次函数y ＝kx ﹣k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．[分析]（1）令y ＝0，则（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0，利用求根公式可以求得方程的解，即该抛物线与x 轴交点横坐标；（2）利用两点间距离公式列出关于m 的方程，通过解方程来求m 的值；（3）依题意得到：方程kx ﹣k ＝（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1有两个相等的实数根．根据根的判别式的符号求解．[解答]解：（1）令y ＝0，则（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1＝0．∵△＝（﹣2m ）2﹣4（m ﹣1）（m +1）＝4，解方程，得x =2m±22(m−1)． ∴x 1＝1，x 2=m+1m−1．∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0），（m+1m−1，0）； （2）∵m ＞1，∴m+1m−1＞1．由题意可知，m+1m−1−1=2．解得，m ＝2．经检验m ＝2是方程的解且符合题意．∴m ＝2；（3）∵一次函数y ＝kx ﹣k 的图象与抛物线始终只有一个公共点，∴方程kx ﹣k ＝（m ﹣1）x 2﹣2mx +m +1有两个相等的实数根．整理该方程，得（m ﹣1）x 2﹣（2m +k ）x +m +1+k ＝0，∴△＝（2m +k ）2﹣4（m ﹣1）（m +1+k ）＝k 2+4k +4＝（k +2）2＝0，解得k 1＝k 2＝﹣2．∴一次函数的解析式为y ＝﹣2x +2．24．已知二次函数y ＝x 2+2A x ﹣2．（1）求证：经过点（0，A ）且与x 轴平行的直线与该函数的图象总有两个公共点；（2）该函数和y =−14x 2+（A ﹣3）x +12的图象都经过x 轴上两个不同的点A 、B ，求A 的值．[分析]（1）将y ＝A 代入函数解析式，得出B 2﹣4A C 的符号进而得出答案；（2）利用两个函数图象都经过x 轴上的两个不同的点A 、B ，则两个函数图象的对称轴相同，求出即可．[解答]（1）证明：当y ＝A 时，x 2+2A x ﹣2＝A ，x 2+2A x ﹣2﹣A ＝0．∵B 2﹣4A C ＝4（A +12）2+7＞0，∴方程x 2+2A x ﹣2﹣A ＝0有两个不相等的实数根．即二次函数y ＝x 2+2A x ﹣2的图象与经过点（0，A ）且与x 轴平行的直线总有两个公共点；（2）解：∵两个函数图象都经过x 轴上的两个不同的点A 、B ，∴两个函数图象的对称轴相同．即：−2a 2=−a−32×(−14)，解得：A ＝2．。
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九年级数学上册 二次函数 单元测试
一．选择题
1. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则点M c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2. 对称轴平行于y 轴的抛物线的顶点为点(2，3)且抛物线经过点(3，1)，那么
抛物线解析式是( )
A ．y =-2x 2+8x +3
B ．y =-2x -2–8x +3
C ．y =-2x 2+8x –5
D ．y =-2x -2–8x +2
3. 关于二次函数y =ax 2+bx +c 图像有下列命题：
(1)当c =0时，函数的图像经过原点；(2)当c >0时，函数的图像开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不等实根；(3)当b =0时，函数图像关于原点对称．其中正确的个数有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4. 抛物线y =x 2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( )
A ．x =1，(1，-4)
B ．x =1，(1，4)
C ．x =-1，(-1，4)
D ．x =-1，(-1，-4)
5. 把二次函数y =213212---x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，
则两次平移后的图象的解析式是( )
A ．x y (21-=-1)2+7
B ．x y (2
1
-=+7)2+7
C ．x y (21-=+3)2+4
D ．x y (2
1-=-1)2+1
6. 下列函数关系中，可以看做二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)模型的是( )
A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B ．我国人口年自然增长率1%，这样我国人口总数随年份的关系
C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
D ．圆的周长与圆的半径之间的关系．
a) 在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致
为( )
7. 下列各点中是抛物线3)4(312--=x y 图像与x 轴交点的是( )
A ．(5，0)
B ．(6，0)
C ．(7，0)
D ．(8，0)
8. 已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．ab ＞0，c ＞0
B ．ab ＞0，c ＜0
C ．ab ＜0，c ＞0
D ．ab ＜0，c ＜0
9. 已知二次函数y =2x 2+8x +7的图象上有有点A 1(2)y -，，B 21(5)3y -，，C 31(1)5
y -，，
则y 1、y 2、y 3的大小关系为( )
A ．y 1>y 2>y 3
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 2>y 3>y 1
D ．y 3>y 2>y 1
二．填空题
1. 已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交．请你写出一个满足
条件的二次函数的解析式：___________
2. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为x =2，且经过点(1，4)和点(5，0)，则该
抛物线的解析式为_______________．
3. 函数y =2x 2–4x –1写成y =a (x –h)2+k 的形式是________，抛物线
y =2x 2–4x –1的顶点坐标是_______，对称轴是__________．
4. 当m=_________时，函数y =(m 2－4))3(42
-+--m x m m x +3是二次函数，其解析式是__________________，图象的对称轴是_______________，顶点是
________，当x =______时，y 有最____值_______．
5. 已知函数①y =x 2+1，②y =-2x 2+x ．函数____(填序号)有最小值，当x =____时，
该函数的最小值是_______．
6. 抛物线c bx ax y ++=2如右图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是
__________．
7. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴为直线x =4
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数．
丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式__________________．
三．解答题
1.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量
y(件)之间的关系如下表：
若日销售量y是销售价x的一次函数．
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；
(2)要使每日销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时，每日
销售的利润是多少元？
2.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的
变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低
上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?
⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物
线的解析式．
3.如果二次函数y=x2-x+c的图象过点(1，2)，求这个二次函数的解析式，并写
出该函数图象的对称轴．
4.在平面直角坐标系中，给定以下五点A（－2，0），B（1，0）C（4，0），D
9），E（0，－6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满（－2，
2
足以平行于y轴的直线为对称轴．我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．
（1）问符合条件的抛物线还有哪几条
．．．．．？不求解析式，请用约定的方法一一表示出来；
（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的解析式；如果不存在，请说明理由．。