高中数学北师大版必修四课下能力提升(7)余弦函数的图像与性质含解析

课下能力提升(七) 余弦函数的图像与性质
一、选择题
1．下列对y ＝cos x 的图像描述错误的是( )
A ．在[0，2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间
C ．关于x 轴对称
D ．与y 轴仅有一个交点
2．函数y ＝|cos x |的一个单调减区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π
3．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3
2，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1
2，32
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2，1
4．设方程cos 2x ＝1的解集为M ，方程sin 4x ＝0的解集为P ，则M 与P 的关系为(
) A ．M P B ．M P
C ．M ＝P
D ．M ∩P ＝∅
二、填空题
5．函数y ＝x cos x 的奇偶性是________．
6．比较大小：sin 3π
5________cos π
5.
7．方程x 2＝cos x 的解的个数是________．
8．函数y ＝1
1－cos x 的值域是________．
三、解答题
9．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π
4的单调减区间．
10．求函数y ＝cos 2
x ＋cos x ＋1的最大、最小值及使y 取最值的x 的集合．
答案
1． 答案：C
2．解析：选C 作出函数y ＝|cos x |的图像如图所示，由图像
可知，A 、B 都不是单调区间，D 是单调增区间，C 是单调减区间．
3．解析：选B ∵0≤x ≤π2
， ∴π6≤x ＋π6≤2π3
， ∵y ＝cos x 在[0，π]上为减函数．
∴－12≤cos(x ＋π6)≤32
. 4．解析：选A 由cos 2x ＝1得2x ＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π(k ∈Z )；由sin 4x ＝0得4x ＝
k π(k ∈Z )，即x ＝k π4
(k ∈Z )． ∴M P .
5．解析：∵f (－x )＝－x ×cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，
∴此函数是奇函数．
答案：奇函数
6．解析：∵sin 3π5＝sin(π－2π5)＝sin 2π5＝sin(π2－π10)＝cos π10
， 0<π10<π5<π2
. ∴cos π10>cos π5
， 即sin 3π5>cos π5
. 答案：>
7．解析：在同一坐标系中画出函数y ＝cos x 与y ＝x 2
的图像(如图)，可知有两个交点．
答案：2
8．解析：∵0<1－cos x ≤2.
∴11－cos x ≥12
. ∴ 函数的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 9．解：由2k π≤3x －π4
≤2k π＋π，k ∈Z ， 得2k π＋π4≤3x ≤2k π＋5π4
，k ∈Z ， ∴2k π3＋π12≤x ≤2k π3＋5π12
，k ∈Z . ∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π3
＋π12，2k π3＋5π12(k ∈Z )． 10．解：令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]．
∴y ＝t 2＋t ＋1，对称轴t ＝－12
. ①当t ＝－12，即x ∈{x |x ＝±23π＋2k π，k ∈Z }时，y min ＝34
. ②当t ＝1，即x ∈{x |x ＝2k π，k ∈Z }时，y max ＝3.。