【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章拓展资料：用导数求切线方程的四种类型

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数学教案北师大版选修2-2 同步备课-第1章推理与证明学案第1节归纳与类比

§1归纳与类比1.1 归纳推理学习目标核心素养1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．(重点)2．了解归纳推理在数学发展中的作用．(难点) 1．通过归纳推理概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过归纳推理的应用的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．思考：由归纳推理得到的结论一定是正确的吗？[提示]不一定正确．因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，其结论还需要证明其正确性．1．下列关于归纳推理的说法错误的是( )①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①②B．②③C．①③ D．③④A[归纳推理是由特殊到一般的推理，故①②不正确，易知③④均正确，故选A.]2．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于5B [n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．]3．由集合{a 1}，{a 1，a 2}，{a 1，a 2，a 3}，……的子集个数归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为________．2n[集合{a 1}有两个子集和{a 1}，集合{a 1，a 2}的子集有，{a 1}，{a 2}，{a 1，a 2}共4个子集，集合{a 1，a 2，a 3}有8个子集，由此可归纳出集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的子集个数为2n个．]数式中的归纳推理＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)已知f(x)＝x1－x ，设f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f n －1(f n －1(x))(n>1，且n∈N ＋)，则f 3(x)的表达式为________，猜想f n (x)(n∈N ＋)的表达式为________．思路探究：(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论． (2)写出前几项发现规律，归纳猜想结果．(1)C (2)f 3(x)＝x 1－4x f n (x)＝x 1－2n －1x [(1)记a n ＋b n ＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11．通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f 1(x)＝f(x)＝x1－x，f 2(x)＝f 1(f 1(x))＝x 1－x 1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x)＝f 2(f 2(x))＝x 1－2x 1－2·x 1－2x＝x1－4x，由f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)的表达式，归纳f n (x)＝x1－2n －1x.]已知等式或不等式进行归纳推理的方法1．要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； 2．要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； 3．提炼出等式(或不等式)的综合特点； 4．运用归纳推理得出一般结论．1．经计算发现下列不等式：2＋18<210， 4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，……根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.当a ＋b ＝20时，有a ＋b<210，a ，b∈R ＋ [从上面几个不等式可知，左边被开方数的和均为20，故可以归纳为a ＋b ＝20时，a ＋b<210.]数列中的归纳推理【例2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，则a 2 019等于( )A ．2B ．－12C ．－2D ．1(2)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．思路探究：(1)写出数列的前几项，再利用数列的周期性解答．(2)可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．C [(1)a 1＝1，a 2＝－12，a 3＝－2，a 4＝1，…，数列{a n }是周期为3的数列，2 019＝673×3，∴a 2 019＝a 3＝－2．](2)[解] 法一：由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二：观察项数与对应项的关系特点如下：项数 1 2 3 4 对应项1×222×323×424×52分析：各项的分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数加1的积．归纳：第n 个三角形数的石子数应为n (n ＋1)2.数列中的归纳推理在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前几项和；(2)根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . [解] (1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1，得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31．(2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1，a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n－1(n∈N ＋)．几何图形中的归纳推理1．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n 堆的乒乓球总数，试求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值．[提示] 观察图形可知，f(1)＝1，f(2)＝4，f(3)＝10，f(4)＝20. 2．上述问题中，试用n 表示出f(n)的表达式．[提示] 由题意可得：下一堆的个数是上一堆个数加下一堆第一层的个数，即f(2)＝f(1)＋3；f(3)＝f(2)＋6；f(4)＝f(3)＋10；…；f(n)＝f(n －1)＋n (n ＋1)2.将以上(n －1)个式子相加可得 f(n)＝f(1)＋3＋6＋10＋…＋n (n ＋1)2＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n)] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.【例3】有两种花色的正六边形地面砖，按如图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36思路探究：解答本题可先通过观察、分析找到规律，再利用归纳得到结论． B [法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 123 … 个数6 1116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31．法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31．]在题干不变的条件下，第6个图案中周围的边有多少条？ [解] 各个图形周围的边的条数如下表：图案123…边条数18 26 34 …由表可知，周围边的条数依次组成一个以18为首项，8为公差的等差数列，解得第6个图形周围的边的条数为18＋8×(6－1)＝58条．归纳推理在图形中的应用策略通过一组平面或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需形状问题数字化，展现数字之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：3．根据图中线段的排列规则，试猜想第8个图形中线段的条数为________．509 [分别求出前4个图形中线段的数目，发现规律，得出猜想．图形①到④中线段的条数分别为1,5,13,29，因为1＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8个图形中线段的条数应为28＋1－3＝509.]1．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(1)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过理论证明或实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(2)一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真．(3)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2．归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理． (2)由个别到一般的推理称为归纳推理． ( ) (3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2C [a 1＝8，a 2＝14，a 3＝20，猜想a n ＝6n ＋2．]3．已知12＝16×1×2×3,12＋22＝16×2×3×5,12＋22＋32＝16×3×4×7,12＋22＋34＋42＝16×4×5×9，则12＋22＋…＋n 2＝________.(其中n∈N *)．16n(n ＋1)(2n ＋1) [根据题意归纳出12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)，下面给出证明：(k ＋1)3－k 3＝3k 2＋3k ＋1，则23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1，……，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，累加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n ，整理得12＋22＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)．]4．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2， (62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2， (202＋102)(1022＋72)≥(20×102＋10×7)2．请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性的结论，并证明你的结论． [解] 结论为：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac＋bd)2．证明：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)－(ac ＋bd)2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－(a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd) ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc)2≥0.所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2．1.2 类比推理学习目标核心素养1．通过具体实例理解类比推理的意义．(重点) 2．会用类比推理对具体问题作出判断．(难点)1．通过类比推理的意义的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．通过应用类比推理对具体问题判断的学习，体现了逻辑推理的核心素养.1．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理． 2．合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果不一定正确．思考：合情推理的结果为什么不一定正确？[提示] 合情推理是由特殊到一般的推理，简单地说就是直接看出来的，没有通过证明，只归纳了一部分，属于不完全归纳，所以不一定正确．1．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a·3＝b·3，则a ＝b ”类比推出“若a·0＝b·0，则a ＝b”B ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C ．“(a＋b)c ＝ac ＋bc”类比推出“a ＋b c ＝a c ＋bc (c≠0)”D ．“(ab)n＝a n b n”类比推出“(a＋b)n＝a n＋b n” C [由实数运算的知识易得C 项正确．] 2．下列推理是合情推理的是( ) (1)由圆的性质类比出球的有关性质；(2)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； (3)a≥b，b≥c，则a≥c；(4)三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n 边形内角和是(n －2)×180°.A ．(1)(2)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(4)D ．(2)(4)C [(1)为类比推理，(2)(4)为归纳推理，(3)不是合情推理，故选C.]3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．①②③ [正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．]类比推理在数列中的应用【例1】在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100.类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．试写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．思路探究：结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质．[解] 数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下： ∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300.1．本例是由等比类比等差，你能由等差类比出等比结论吗？完成下题：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n (T n ≠0)，则T 4，_______，_______，T 16T 12成等比数列．T 8T 4 T 12T 8[等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．]2．在本例条件不变的情况下，你能写出一个更为一般的结论吗？(不用论证)[解] 对于任意k∈N ＋，都有数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 是等差数列，且公差为k 2d.1．在等比数列与等差数列的类比推理中，要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点．2．类比推理的思维过程观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．即在两类不同事物之间进行对比，找出若干相同或相似之处后，推测这两类事物在其他方面的相同或相似之处．1．在等差数列{a n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有a m ＋a n ＋a p ＝3a r ，类比该结论，写出在等比数列{b n }中类似的结论，并用数列知识加以证明．[解] 类似结论如下：在等比数列{b n }中，如果m ，n ，p ，r∈N ＋，且m ＋n ＋p ＝3r ，那么必有b m b n b p＝b 3r .证明如下：设等比数列{b n }的公比为q ，则b m ＝b 1q m －1，b n ＝b 1q n －1，b p ＝b 1qp －1，b r ＝b 1qr －1，于是b m b n b p ＝b 1qm －1·b 1qn －1·b 1q p －1＝b 31qm ＋n ＋p －3＝b 31q3r －3＝(b 1qr －1)3＝b 3r ，故结论成立．类比推理在几何中的应用【例2】如图所示，在平面上，设h a ，h b ，h c 分别是△ABC 三条边上的高，P 为△ABC 内任意一点，P 到相应三边的距离分别为p a ，p b ，p c ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1．证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．思路探究：三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高．[解] p a h a ＝12BC·p a12BC·h a ＝S △PBCS △ABC，同理，p b h b ＝S △P AC S △ABC ，p c h c ＝S △PABS △ABC .∵S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB ＝S △ABC ，∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＝S △PBC ＋S △PAC ＋S △PAB S △ABC＝1．类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD 中，设h a ，h b ，h c ，h d 分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P 为该四面体内任意一点，P 到相应四个面的距离分别为p a ，p b ，p c ，p d ，可以得到结论p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p dh d＝1．证明：p a h a ＝13S △BCD ·p a13S △BCD ·h a ＝V PBCDV ABCD，同理，p b h b ＝V PACD V ABCD ，p c h c ＝V PABD V ABCD ，p d h d ＝V PABCV ABCD .∵V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABC ＝V ABCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d ＝V PBCD ＋V PACD ＋V PABD ＋V PABCV ABCD＝1．1．在本例中，若△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，其对角分别为A ，B ，C ，那么由a ＝b·cos C＋c·cos B 可类比四面体的什么性质？[解] 在如图所示的四面体中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．猜想S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.2．在本例中，若r 为三角形的内切圆半径，则S △＝12(a ＋b ＋c)r ，请类比出四面体的有关相似性质．[解] 四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(r 为四面体内切球的半径，S 1，S 2，S 3，S 4为四面体的四个面的面积．1．平面图形与空间图形类比平面图形点线边长面积线线角三角形空间图形线面面积体积二面角四面体2．类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．类比推理在其他问题中的应用1．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？[提示] 类比推理．2．已知以下过程可以求1＋2＋3＋…＋n 的和．因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1， n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1， ……22－12＝2×1＋1，有(n ＋1)2－1＝2(1＋2＋…＋n)＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n 2＝n (n ＋1)2.类比以上过程试求12＋22＋32＋…＋n 2的和． [提示] 因为(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1， n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1， ……23－13＝3×12＋3×1＋1，有(n ＋1)3－1＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n ，所以12＋22＋…＋n 2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3＋3n 2＋3n －3n 2＋5n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.【例3】已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值，试写出双曲线x2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．思路探究：双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论 →双曲线中的相应结论→理论证明[解] 类似性质：若M ，N 为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率k PM ，k PN 都存在时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n)，(x ，y)，则 N(－m ，－n)．因为点M(m ，n)是双曲线上的点，所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2．同理y 2＝b 2a2x 2－b 2，则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b2a2(定值)．1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征．然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．2．我们知道： 12＝1，22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，整理得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ，所以1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解] 已知： 13＝1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1，将以上各式的左右两边分别相加，得(13＋23＋…＋n 3)＝[13＋23＋…＋(n －1)3]＋3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，整理得n 3＝3(12＋22＋…＋n 2)－3n 2＋3[1＋2＋…＋(n －1)]＋n ，将1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2代入整理可得12＋22＋…＋n 2＝2n 3＋3n 2＋n 6，即12＋22＋…＋n 2＝n (2n ＋1)(n ＋1)6.1．类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握的事物的特征，推测被研究的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，因此类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证．2．类比推理与归纳推理的比较归纳推理类比类推相同点根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，提出猜想，都属于归纳推理不同点特点由部分到整体，由个别到一般由特殊到特殊推理过程从一类事物中的部分事物具有的属性，猜测该类事物都具有这种属性两类对象具有类似的特征，根据其中一类对象的特征猜测另一类对象具有相应的类似特征1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误B [根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．]2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式为( )A.r22 B.l 22 C.lr 2D ．无法确定C [扇形的弧长对应三角形的底，扇形的半径对应三角形的高，因此可得扇形面积公式S ＝lr2.]3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．1∶8 [由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.]4．在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)”时，有如下方法：先改写第k 项：k(k ＋1)＝13[k(k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k·(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋…＋n(n ＋2)”，将其结果写成关于n 的一次因式的积的形式．[解] 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)，3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，……n(n ＋2)＝16[n(n ＋1)(2n ＋7)－(n －1)n(2n ＋5)]，各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋…＋n(n ＋2)＝16n(n ＋1)(2n ＋7)．。

【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-1课件：第2章空间向量与立体几何复习课件

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
D1 A1 G D A B C B1
C1
M
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
二.共线向量定理与共面向量定理
（一）、共线向量: 1.共线向量:空间两向量互相平行
向量a与b的夹角记作：<a,b>
a b
O
A
a
B
b
范围： 0 a, b 在这个规定下，两个向量的夹角就
如果 a, b
被唯一确定了，并且 a, b＝b, a
2
, 则称 a与b互相垂直，并记作： ab
2）两个向量的数量积
a b a b cos a, b
（三）、有关结论设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α，β 的法向量分别为u,v,则线线平行：l∥m a ∥b a=kb; u=0; a⊥u a· 面面平行：α∥β u ∥v u=kv. 线线垂直：l ⊥ m a ⊥ b a· b=0; 线面垂直：l ⊥ α a ∥ u a=ku; 面面垂直：α ⊥ β u ⊥ v u· v=0. 线面平行：l ∥α
n1 FC1 ，又FC1
FC1 //

平面ADE，
平面ADE
（2） n1 // n2
∴平面ADE//平面B1C1F 2、已知向量 a 1,2,2 则 a 上的单位向量为：
2 2 2 1 1 2 , 或 , , , 3 3 3 3 3 3

sin cos AB,n
AB n AB n
题型三：二面角
二面角的范围：

高中数学选修2-2全套知识点及练习答案解析

选修2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一.导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在x x =处的导数，记作0()f x '或|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2.导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()x f x e '=7 若()log xaf x =,则1()ln f x x a '= 8 若()ln f x x =,则1()f x x'=导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2.[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=∙三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内(1)如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；(2)如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值（2）如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理. 考点三数学归纳法1. 它是一个递推的数学论证方法.2. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础；B.假设在n=k 时命题成立； C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。

高中数学选修2-2全套教案(84页)

高中数学教案选修全套【选修2-2教案｜全套】目录目录 (I)第一章导数及其应用 (1)§1.1.1变化率问题 (1)导数与导函数的概念 (4)§1.1.2导数的概念 (6)§1.1.3导数的几何意义 (9)§1.2.1几个常用函数的导数 (13)§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (16)§1.2.2复合函数的求导法则 (20)§1.3.1函数的单调性与导数（2课时） (23)§1.3.2函数的极值与导数（2课时） (28)§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时） (32)§1.4生活中的优化问题举例（2课时） (35)§1.5.3定积分的概念 (39)第二章推理与证明 (43)合情推理 (43)类比推理 (46)演绎推理 (49)推理案例赏识 (51)直接证明--综合法与分析法 (53)间接证明--反证法 (55)数学归纳法 (57)第3章数系的扩充与复数的引入 (68)§3.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.1数系的扩充和复数的概念 (68)§3.1.2复数的几何意义 (71)§3.2复数代数形式的四则运算 (74)§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义 (74)§3.2.2复数代数形式的乘除运算 (78)第一章导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

高中数学选修2-2“导数及其应用”教材分析及教学建议

高中数学选修2－2“导数及其应用”教材分析及教学建议“导数”是“微积分”的重要内容之一，也是高中数学的传统内容之一，是进一步学习数学和其他自然学科的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具。

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）与《全日制普通高级中学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，在教学内容、教学要求上都有很大的变化。

本文就《标准》和《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》（以下简称“教材”）中对这一内容与要求的变化进行简要的分析，并对教学中应该注意的问题谈一些设想和建议，供大家参考。

1．明确教学内容和教学要求的新变化1．1 教学内容的变化《标准》与《大纲》的内容相比，删去了极限；微分的概念与运算；不定积分的概念与运算；定积分在求旋转体体积中的应用等内容。

1．2 教学要求上的变化认识（要求把导数作为一种重要的数学思想、方法来学习），提高对导数应用性的要求，降低了对求导计算和定积分计算的要求。

2．把握“教材”的编写特点2．1 突出探索性，注重本质以往的教材在编排上从极限概念开始学习，把导数作为一种特殊极限来处理，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了学生对导数思想和本质的认识和理解。

而几个版本的“教材”对这部分内容的处理是，不讲极限概念，不把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是运用丰富的实际背景和具体应用实例，让学生通过观察、实验、类比、归纳、抽象等数学活动，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和了解导数的概念，掌握和理解导数思想和本质的。

例如，人民教育出版社出版的《普通高中课程标准实验教科书数学选修2－2》对“导数概念”的处理就是通过“研究气球膨胀率”和“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”让学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，从而抽象出导数概念的。

2．2 突出应用性，淡化计算在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会用公式和法则进行计算，对计算的要求很高，而忽视了导数作为数学思想、方法的工具性作用。

2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2.1导数的概念课件(32张)

解析：y＝x2在x＝1处的导数为：
2 1 ＋ Δ x －1 lim f′(1)＝Δx→0 ＝2. Δx
答案：C
课后练习:1.某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:
(1)2≤t≤2+Δ t这段时间内的平均速度,这里Δt取值为1;
(2)t=2时刻的瞬时速度.
解 : (1)s 5( 2 t )2 6 (5 22 6) 20t 5( t )2 , s 故平均速度为： 20 5t . t s 当t 1时, 25. t ( 2)t 2时刻的瞬时速度为 :
北师大版高中数学选修2-2第二章
学习目标： 1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程. 2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数f(x)在某一点x0处的导数。 3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵
பைடு நூலகம்
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
当△t = – 0.001时, v 13.0951
△t = – 0.00001, v
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149 当△t =0.001时, v 13.1049
(4)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。 f
导数f (x0 )= lim
x0
x f
x0
x 处的瞬时变化率，它反映的是函数y=f x
x 0
是函数y=f x 在点x0
在点x0 处变化的快慢程度.

数学北师大版选修2-2教材基础第二章§5简单复合函数的求导法则含答案

§5 简单复合函数的求导法则
前面我们学习了简单函数的求导和导数的四则运算,但如果我们遇到层次关系较多的函数，这样的函数我们怎样求它的导数呢？高手支招1细品教材
一、复合函数的定义
一般地，对于两个函数y=f(u)和u=φ（x ），如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数。

如:y=2
x e ，y=lntanx 都是复合函数. 状元笔记复合函数y=f （φ（x)）对自变量x 的导数等于函数y=f （u)关于中间变量u 的导数与中间变量u 关于自变量x 的导数的乘积。

二、复合函数的求导法则
如果函数u=φ(x)在点x 可导，而函数y=f(u)在对应点u=φ(x）可导，则复合函数y=f （φ(x ）)在点x 可导,且其导数为:y′=（f （u ））′=f′(u）·φ′（x).
三、利用复合函数的求导法则求复合函数的导数的步骤
1。

分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量;
2。

求每一层基本初等函数的导数，注意是对哪一个变量求导;
3。

每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数；
4.对于层数比较多的复合函数,可由外向里逐层求导.
【示例】求y=655-
x 的导数. 解：y′=[（5x 65-21)]′=21·(5x 65-21)-·5=65
525-x .
高手支招2基础整理
本节的主要内容是复合函数的概念,复合函数的求导法则及其应用。

本节的知识结构如下:。

北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案选修2-2

高中数学《复数的四则运算》教材解读教案选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++．其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。

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高中数学(北师大版)
选修2-2教案：第2章拓展资料：用导数求切线方程的四种类型
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为
(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（）Ａ．230x y -+=
Ｂ．230x y --=
Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0
022x x y x ='==|．
01x =∴．
由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0
2032x x y x ='=-|．
∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
320000(2)(32)()y x x x x x --=--．
又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或01
2
x =-．
故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或1
3
1
12842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．
评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点
(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭
，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切
点，解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1
y x
=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0
2
01
x x y x ='=-
|． ∴切线方程为00
201()y y x x x -=-
-，即02
0011
()y x x x x -=--．又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得0200
11
(2)x x x -=--．解得000
1
11x y x ==
=，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．
解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，，
则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，
故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．
点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．
所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．。